TALLER # 5 de GEOMETRÍA EUCLIDIANA ÁREAS Y VOLÚMENES. Universidad de Antioquia. Departamento de Matemáticas. Septiembre 2008

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Soledad Fernández Ruiz
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1 TALLER # 5 de GEOMETRÍA EUCLIDIANA ÁREAS Y VOLÚMENES Universidad de Antioquia Departamento de Matemáticas Septiembre Sea ABCD un rectángulo, E punto medio de, a) Calcular el área del rectángulo ABCD. b) Calcular el área del trapecio AECD. Profesor Manuel J. Salazar J. c) Sea F un punto entre C y D. Hallar AF tal que el área del sea del área del cuadrilátero FCBE. 2. Dos circunferencias donde y cada una de ellas pasando por el centro de la otra, se cortan en A y B, sea a) Las medidas de los ángulos Hallar: b) La longitud del perímetro del rombo OAO B. c) El área del rombo. d) La superficie común a los dos círculos. 3. Las bases de un trapecio miden uno de los lados oblicuos es igual a la base menor y forma un ángulo de 45 con la base mayor. Hallar el área del trapecio. 4. Dado un ABC rectángulo en A, cuya hipotenusa mide, Se traza la mediana y por los puntos A y B se trazan paralelas a respectivamente, estas paralelas se cortan en N. Hallar el área del cuadrilátero AMBN.

2 5. Dado un rectángulo ABCD con y y sobre un punto N tal que Determinar sobre un punto M tal que la diferencia de áreas de los trapecios ADMN y BCMN sea 80 unidades cuadradas. 6. En un trapecio rectángulo ABDC de altura, de bases se traza una recta con E y F Determinar sobre la base dos puntos F y G tales que el trapecio quede dividido por las rectas en tres partes equivalentes. 7. Las dos bases de un trapecio miden 15 y 27 cm. Se une uno de los extremos de la base menor con un punto M de la base mayor tal que el triángulo y el cuadrilátero que se forman tienen la misma área, encontrar el punto M. 8. Mostrar que el triángulo determinado por las rectas que van del punto medio de uno de los lados no paralelos de un trapecio a los vértices opuestos es equivalente a la mitad del trapecio. 9. Hallar una fórmula para calcular el área comprendida entre tres circunferencias del mismo radio y tangentes exteriormente.

3 10. Se tiene un ABC inscrito en una circunferencia de radio R. Sabiendo que ) Encontrar el área del triángulo. 11. Demostrar que en un triángulo, cualquiera de las medianas lo divide en dos triángulos equivalentes. 12. Dado el ABC con medianas relativas a respectivamente, las cuales se cortan en O. Probar que las regiones determinadas por el cuadrilátero ANOM y el triángulo BOC, son equivalentes. 13. Demostrar que el área de un trapecio es igual al producto de la altura por la base media del trapecio. (la base media de un trapecio es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos del trapecio). 14. Dado un triángulo equilátero de lado x, probar que la longitud de cualquiera de sus alturas es: 15. El área de un hexágono regular es centímetros cuadrados. Cuáles son el perímetro y la apotema? 16. Si un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen el mismo perímetro. Hallar la razón de sus áreas. 17. Sea ABCD un cuadrado de lado sea E un punto entre D y A, F un punto entre A y B. H Si mostrar que:

4 a) b) El área del c) El área del cuadrilátero 18. Si la apotema de un hexágono regular es de 5 metros. Cuáles son el perímetro y el área? 19. Sea el triángulo acutángulo, con las alturas respectivas, las cuales se cortan en O, probar que: 20. Sea el trapecio ABCD con los lados paralelos sea E el punto de corte de las diagonales, probar que: 21. Sean D, E y F los puntos medios de los lados de un triángulo probar que 22. Sea el triángulo con D entre B y C, E entre A y C, F entre A y B, rectángulo, probar que:

5 23. Mostrar que el área de un triángulo de lados donde R es el radio de la circunferencia circunscrita. 24. Demostrar que la suma de las áreas de las lúnulas construidas sobre un triángulo rectángulo es igual al área de dicho triángulo. 25. Sea ABCD un trapecio con, E punto medio de Probar que: 26. Los puntos A y B dividen en tres partes iguales el diámetro EF que mide 5. Calcular el área de la figura ABCDA. EFG es un equilátero. π =3, Cuál es el volumen de un cono si el diámetro de la base mide 0,32 m y la altura 0,24 m? 28. Hallar el área de una esfera si la circunferencia de un círculo máximo tiene un radio de 2m.

6 29. Hallar el área sombreada. 30. La base de una pirámide regular es un hexágono de 6,12m de perímetro; la altura de la pirámide es los 2/3 del perímetro. Cuál es su área total y su volumen? 31. Un paralelepípedo rectángulo de hielo de 10,50 m de alto, está sumergido en agua de mar. La densidad del hielo es 0.93 y la del agua de mar es de 1,026 Cuál es la altura de la parte del paralelepípedo que sobresale del agua?

7 32. Hallar el área del trapecio ABCD sabiendo que: DC = 4, CB=13, DB= Una pirámide está limitada por una base cuadrada de 0,40 m de lado y por cuatro triángulos equiláteros. Calcular: a. Su superficie total. b. Su altura. c. Su volumen. 34. El radio de la base de un cilindro tiene 0,35 m y la altura es el duplo de su diámetro. Calcular: a. El área lateral. b. El área total. c. El volumen. 35. Cuál es el peso de un prisma cuadrangular de hierro colado de 5,25 de alto y cuyos lados tienen 0,12 y 0,16 m? La densidad del hierro colado es 7, Calcular el área del triángulo mixtilíneo ABC. R =10.50, r =3.50, AB tangente a las dos circunferencias. 37. La altura, anchura, y largura de un paralelepípedo rectángulo tienen respectivamente 2, 3 y 4 metros; Cuál es? a. El volumen. b. El área total. c. La diagonal.

8 38. El área de la lúnula DECF es 80 m 2. Calcular el área del trapecio ABCD, sabiendo que el DOC es equilátero. 39. Cuál es el volumen de una pared que tiene 4,5 m de largo, 0,25 m de espesor y 3,20 m de alto? 40. Un aula de clase tiene 8,25 m de largo, 7 m de ancho y 3,45 m de alto. Qué volumen de aire contiene? 41. Cuál es el área lateral de una pirámide regular que tiene por base un triángulo equilátero de 5 m de lado, si la apotema de de las caras mide 8,17 m? 42. Hallar el área del isósceles ABC, si R= 13 y r = Un lado de un triángulo, la altura y la bisectriz que parten de uno de los extremos de aquel, miden respectivamente 20, 12 y 15. Calcular el área del triángulo.

9 44. Calcular el área del círculo O`, el cual es tangente al O y los catetos AB y AC del triángulo rectángulo ABC. 45. La base de una pirámide regular es una cuadrado de 10 m de lado, las aristas laterales tienen 10 m de longitud Cuál es el área total de esa pirámide? 46. Hallar el volumen de una pirámide que tiene 3,60 m de altura y cuya base es un triángulo que tiene 3,24 m de base y 2,75 de altura. 47. El área del DCE es la tercera parte de la del ABC. Hallar la relación en que están las áreas de los triángulos ADE y ABC. 48. Cuál es el volumen de una pirámide regular triangular de 2 m de alto y el lado de la base es 0,80 m? CONSTRUCCIONES 1) Construir un cuadrado que sea el duplo de otro dado CDAB 2) Expresar en función del radio el área de un triángulo equilátero inscrito en un círculo. 3) Expresar en función del radio, el área del octógono regular inscrito en un círculo. 4) Construir un cuadrado equivalente a un rectángulo de dimensiones ab. 5) Construir un rectángulo equivalente al paralelogramo ABCD. 6) Construir un triángulo isósceles equivalente a un triángulo cualquiera. 7) Construir un triángulo rectángulo equivalente a un triángulo cualquiera. 8) Construir un rectángulo equivalente a un triángulo cualquiera. 9) Construir un paralelogramo equivalente a un triángulo cualquiera. 10) Construir un rectángulo equivalente a un triángulo cualquiera.

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