Ángulo inscrito es aquel cuyo vértice está en la circunferencia. Todos los ángulos inscritos que compartan el mismo arco son iguales.

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1 TEMA 8: PROBLEMAS MÉTRICOS EN EL PLANO ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Ángulo central es aquel cuyo vértice está en el centro de la circunferencia. Ángulo inscrito es aquel cuyo vértice está en la circunferencia. Todos los ángulos inscritos que compartan el mismo arco son iguales. Si los dos ángulos comparten el mismo arco, entonces el ángulo central es el doble que el inscrito. Ejercicios. 1. Halla las medidas de los siguientes ángulos.

2 2. Calcula los ángulos. a) b) c) d) e) f) g) h)

3 3. En esta figura se han dibujado varios ángulos en un hexágono regular inscrito en una circunferencia. Averiguar cuál es el valor de los ángulos marcados en la figura. 4. Calcula la medida de X en cada caso: 5. Calcula los ángulos desconocidos:

4 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes si: Sus lados son proporcionales. Sus ángulos son iguales. Para que dos triángulos sean semejantes basta que cumplan una de las dos condiciones. Dos triángulos están en posición de Tales cuando están de la forma: Dos triángulos en posición de Tales son semejantes Ejercicios. 6. Nos aseguran que estos dos triángulos son semejantes. Halla los lados y los ángulos que les faltan a cada uno de ellos. 7. Los lados de un triángulo miden 3 cm, 4 cm y 5 cm. Se construye otro semejante a él cuyo lado menor mide 15 cm. a) Cuál es e s la razón de semejanza? b) Halla los otros dos lados del segundo triángulo. c) El primer triángulo es rectángulo. Podemos asegurar que el segundo también lo será?

5 8. El gato de Leticia se ha subido a un poste. Leticia puede ver a su gato reflejado en un charco. Toma las medidas que se indican en el dibujo y mide la altura de sus ojos: 144 cm. A qué altura se encuentra el gato? TEOREMA DE PITÁGORAS. APLICACIONES El teorema de Pitágoras dice: En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Ejercicios. 9. Calcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que sus catetos miden 33 cm y 56 cm, respectivamente. 10. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 97 cm, y uno de los catetos, 72 cm. Calcula la longitud del otro cateto. Para saber si un triángulo cuyos lados, de menor valor a mayor valor, valen a, b, c, es rectángulo se hace lo siguiente: a 2 + b 2 = c 2 c C 2 2 el triángulo es RECTÁNGULO el triángulo es OBTUSÁNGULO el triángulo es ACUTÁNGULO Ejercicios. 11. Averigua cómo son los triángulos de lados: a) 7 cm, 8 cm y 11 cm b)11 cm, 17 cm y 15 cm c)34 cm, 16 cm y 30 cm

6 12. Una circunferencia de centro O tiene un radio de 80 cm. Desde un punto P que dista 130 cm de O trazamos una tangente.. Cuál es la longitud del segmento tangente, PT? 13. Dos circunferencias de centros O y O y radios 9 cm y 5 cm tienen sus centros a 20 cm. Hallar la longitud del segmento tangente exterior común. 14. Una circunferencia tiene un radio de 15 cm. Una recta, r, corta a la circunferencia en dos puntos, A y B. La distancia entre A y B es de 18 cm. Cuál es la distancia del centro de la circunferencia a la recta? APLICACIÓN ALGEBRAICA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Vamos a ver algunos ejercicios de aplicación del teorema sobre triángulos no rectángulos y otras figuras. Ejercicios. 15. En un triángulo de lados 4 cm, 6 cm y 8 cm, calcular la altura sobre el lado mayor.

7 16. Los lados paralelos de un trapecio miden 17 cm y 38 cm. Loa otros dos, 13 cm y 20 cm. Halla su área. ÁREAS DE LOS POLÍGONOS Recordemos las áreas de los polígonos más conocidos. Rectángulo Cuadrado Paralelogramo Trapecio A= A= A= A= Rombo Triángulo rectángulo Triángulo Polígono A= A= A= A=

8 Ejercicios. 17. Halla el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 37 cm y 55 cm, y el lado oblicuo,, 14 cm. 18. Halla el área del hexágono regular en el que cada uno de sus lados mide 10 cm. 19. Halla el área de un rombo de 3 cm de lado, sabiendo que una diagonal mide 46 cm. ÁREA DE FIGURAS CURVAS Recordemos las áreas de las más importantes. Círculo Sector circular Corona circular A= A= A= Elipse Segmento de parábola 2 A=π.a.b A= a.b 3

9 Ejercicios. 20. Halla el área de la parte coloreada en las siguientes figuras. a) b) 1. Halla el valor del ángulo a en cada uno de estos casos: EJERCICIOS 2. Calcula la medida de los ángulos desconocidos. Sol: a) 75 b) 132 c) 130 d) 145 Sol: a) B=D=F=55º, C=A=G=E=125º b) X=65º, Y=25º y Z=155º. 3. Calcula los ángulos X, Y, Z en los siguientes polígonos regulares: Sol: a) X=120º, Y=60º, Z=300º b) X=90º, Y=90º, Z=270º c) X=60º, Y=120º, Z=240º d) X=45º, Y=135º, Z=225º

10 4. Indica cuánto miden los ángulos P y Q, sabiendo que el ángulo AOB = Cuánto miden los ángulos P, Q y R si el ángulo AOB es un ángulo recto? 6. El triángulo ABC es isósceles, AB = AC. Cuánto miden los ángulos de ese triángulo? 7. Justifica por qué los triángulos ABM y CDM tienen los ángulos iguales. Cómo son esos triángulos? 8. Dibuja un triángulo ABC inscrito en una circunferencia, de modo que los vértices A y B sean extremos de un diámetro y el arco AC sea la sexta parte de la circunferencia. Cuánto miden sus ángulos? Sol: A=60º, B=30º y C=90º 9. Una fotografía de 15 cm de ancho y 10 cm de alto tiene alrededor un marco de 2 cm de ancho. Son semejantes los rectángulos interior y exterior del marco? Responde razonadamente. 10. Hemos dividido en cuatro partes iguales el lado mayor del rectángulo ABCD y en tres partes iguales el lado menor. a) Es semejante cada uno de los doce rectángulos obtenidos con el inicial? b) Si dividimos los dos lados en tres partes iguales, obtendríamos rectángulos semejantes? Sol: a) No b) Si 11. En un mapa cuya escala es 1: , la distancia entre dos ciudades es de 3,5 cm. a) Cuál es la distancia real entre ellas? b) Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades cuya distancia real es 250 km? Sol: a) 52,5 km b) 16,67 cm.

11 12. En una oficina de venta de pisos han hecho este plano a escala 1:50: a) Calcula las dimensiones reales del salón y halla su área. b) Halla las dimensiones de la mesa B y del sillón A. Te parecen razonables? Es posible que los vendedores hayan dibujado los muebles para dar la sensación de que la habitación es más grande de lo que realmente es? Sol: a) 6 m 2 b) Las dimensiones de la mesa B en la realidad: 40 cm x 80 cm. Las s dimensiones del sillón A: 35 cm x 35 cm. 13. Dos triángulos ABC y A'B'C' son semejantes y su razón de semejanza es 1,2. Calcula los lados del triángulo A'B'C' sabiendo que: AB= 16 cm, BC= 25 cm y AC= 39 cm. Sol: 19,2 ; 30 y 46,8 cm. 14. Halla las longitudes de los lados a y b sabiendo que estos dos triángulos tienen sus lados paralelos: Sol: a = 37,5 m y b = 13 m. 15. Cuál es la altura de una casa que proyecta una sombra de 68 m, al mismo tiempo que una persona de 1,65 m de altura proyecta una sombra de 2 m? Sol: 56,1 m 16. Para calcular la altura de un árbol, Eduardo ve la copa reflejada en un charco y toma las medidas que indica el dibujo. Cuál es la altura del árbol? Sol: 5,4 m. 17. Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,5 m y alejándote 0,5 m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo? Sol: 5,1 m. 18. a) Por qué son semejantes los triángulos APQ y ACB? b) Calcula x = BQ Sol: b) x = 8,75 cm.

12 19. Si DF = 4 cm, cuál es el área y el perímetro del trapecio EFAC? Sol: área= 100,8 cm 2 y Perímetro= 56,8 cm. 20. En un triángulo ABC, la base AB mide 5,7 m y la altura relativa a esa base mide 9,5 m. Cuánto mide el área de otro triángulo semejante a ABC en el que A'B'= 4,14 m? Sol: 14,28 m 2. Si BD es paralelo a AE, y AC = 15 cm, CE = 11 cm, BD = 6,4 cm, AE = 18 cm: a) Calcula CD y BC. b) Si A = 37 y C = 80, calcula los ángulos E, B y D. 21. Calcula el valor de x en estos polígonos: Sol: a) 5,2 m b) 17 cm c) 13 dm d) 11,3 m. 22. Calcula x en cada caso: Sol: a) 5,2 m b) 10,4 cm c) 6,9 m d) 8,5 cm e) 8,5 dm. 23. La diagonal de un rectángulo mide 37 cm, y uno de sus lados, 12 cm. Calcula su perímetro y su área. Sol: Perímetro= 94 cm y Área=420 cm En un triángulo rectángulo, los catetos miden 9 cm y 12 cm. En otro triángulo rectángulo, un cateto mide 14,4 cm, y la hipotenusa, 15 cm. Cuál de los dos tiene mayor perímetro? Sol: El primer triángulo tiene mayor perímetro. 25. La diagonal de un rectángulo de lados 7 cm y 24 cm mide igual que el lado de un cuadrado. Halla la diagonal de ese cuadrado. Sol: 35,36 cm. 26. Calcula x en estos trapecios y halla su área: Sol: a) x = 8 cm y A=70 cm 2 b) x=8 cm y A=144 cm Clasifica en rectángulos, acutángulos u obtusángulos los triángulos de lados: a) 11 m, 13 m, 20 m. b) 20 m, 21 m, 29 m. c) 25 m, 29 m, 36 m. d) 7 m, 24 m, 25 m. Sol: a) obtusángulo. b) rectángulo. c) acutángulo. d) rectángulo. 28. Halla el área de las figuras coloreadas. Sol: a) 240 cm 2 b) 50 cm 2 c) 192 m 2 d) 651 m 2 d) 3 487,5 m 2 e) 160 cm 2.

13 29. Calcula el área de las figuras coloreadas. Sol: a) 185,45 m 2 b) 509,6 m 2 c) 86,6 cm 2 d) 228,13 cm 2 e) 30,92 cm 2 f) 377 cm Halla el área de la zona coloreada en cada figura: Sol: a) 72 cm 2 b) 18 cm Las diagonales del rombo inscrito en la elipse miden 16 cm y 30 cm. Halla el área de la parte coloreada. Sol: 137 cm En una circunferencia de 56,52 cm de longitud, dibuja los cuadrados circunscrito e inscrito. Calcula el área y el perímetro de cada cuadrado (toma π = 3,14). Sol: A CUADRADO GRANDE = 324 cm 2 P CUADRADO GRANDE = 72 cm A CUADRADO PEQUEÑO = 162,1 cm 2 P CUADRADO PEQUEÑO = 50,92 cm. 33. Halla, en cada caso, el área de un sector circular de un círculo de 15 cm de radio y cuya amplitud es: a) 90 b) 120 c) 65 d) 140 Sol: a) 176,71 cm 2 b) 235,62 cm 2 c) 127,63 cm 2 d) 274,89 cm Calcular el área de un segmento circular de 60 de amplitud en un círculo de 12 cm de radio. Sol: 3 cm Calcula el área de un segmento circular de 90 de amplitud en un círculo de 18 cm de radio. Sol: 92,47 cm Cierta finca tiene la forma y las dimensiones indicadas en la figura. Calcula su área. Sol: 780 m Calcula el área de la parte coloreada de cada uno de estos cuadrados de 12 m de lado: Sol: a) 30,9 m 2 b) 56,61 m 2 c) 30,9 m 2 d) 61,8 m 2 e) 82,2 m 2 f) 82,2 m 2

14 38. Calcula la altura del triángulo siguiente, aplicando el teorema de Pitágoras a los dos triángulos rectángulos que aparecen. Después, halla su área: Sol: 210 cm Halla la altura del trapecio siguiente. Después, calcula su área. 40. a) Calcula el radio de esta circunferencia: Sol: 390 m 2. b) Cuál será la longitud de una cuerda cuya distancia al centro es 2,9 cm? Sol: a) 3,9 cm b) 5,2 cm. 41. En un círculo de 52 cm de diámetro se traza una cuerda a 10 cm del centro. Halla el área del cuadrilátero que se forma uniendo los extremos de la cuerda con los del diámetro paralelo a ella. Sol: 500 cm El área de una corona circular es 20π cm2, y la circunferencia interna mide 8π cm. Calcula el radio de la circunferencia externa. Sol: 6 cm. 43. Calcula: a) La longitud de PT. b) El área de la parte coloreada. Sol: a) 13,86 cm b) 20,73 cm Calcula el área del triángulo curvilíneo comprendido entre tres circunferencias tangentes y cuyo radio mide 5 cm. Sol: 4,09 cm a) A un cuadrado de 1 dm de lado le cortamos triangulitos isósceles en las cuatro esquinas. Calcula x para que el octógono resultante sea regular. b) Calcula el área de un octógono regular de 8 cm de lado. Sol: a) 0,35 dm b) 309,12 cm 2.

15 46. Observa la primera figura en forma de huevo (compuesta por un semicírculo, una semielipse y dos circulitos de 1 cm de diámetro), y la segunda figura en forma de corazón (compuesta por dos semicírculos, una semielipse y dos circulitos de 1 cm de diámetro): Halla los radios, x e y, de los dos semicírculos de la segunda figura para que la superficie del corazón sea el 80% de la superficie del huevo (con los dos circulitos incluidos en las dos figuras). Sol: 3 cm y 4 cm. 1. Calcula los ángulos marcados con números de la figura. AUTOEVALUACIÓN 2. En un libro de biología observamos el dibujo de una célula. Sabemos que su diámetro real es de 10-5 m y en el dibujo mide 4 cm. a) Calcula la escala con la que ha sido dibujada. b) Una pulga cuyo tamaño es de 2 mm, cuánto medirá si la dibujas con la misma escala? 3. Sabiendo que estos triángulos tiene sus lados paralelos, indica razonadamente si son semejantes y calcula los lados a y b. 4. a) La distancia de un punto P, exterior a una circunferencia, al punto de tangencia es de 15 cm; y el radio de la circunferencia es de 8 cm. Cuál es la distancia de P al centro de la circunferencia? b) En otra circunferencia de 41 dm de radio trazamos una cuerda de 18 dm de longitud. Halla la distancia de la cuerda al centro de la circunferencia. 5. Calcula el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 10cm y 18 cm y cuyos lados oblicuos miden 15 cm. 6. Halla el área de la parte sombreada. 7. Los radios de dos circunferencias miden 3 cm y 8 cm, respectivamente. El segmento de tangente común externa mide 12 cm. Calcula la distancia entre sus centros. 8. Calcula el área de la zona sombreada de esta figura sabiendo que el radio del círculo vale 5 cm

16 9. Calcula el área de la siguiente figura: 10. Calcula el área de este octógono regular de 6 cm de lado. 11. Calcula el área de un hexágono de 10 cm de lado. 12. Calcula el área de este triángulo: