FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

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1 Unidad 4 Antes de comenzar con el análisis de esta unidad debemos recordar los siguientes temas: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Función Abreviatura Equivalencia Seno sin (sen) Coseno cos Tangente tan (tg) Cotangente cot (cotg) Secante sec Cosecante csc (cosec) Página 1 de 16

2 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS E ANGULOS NOTABLES Sen 0 1 Cos 1 0 Tan 0 1 Teorema del Seno Existe una relación muy útil para la resolución de triángulos que relaciona los lados con los ángulos. Esta relación es conocida como teorema del seno En el triángulo AC C se verifica de donde h c = b sen(a) Análogamente en el triángulo BC C y obtenemos h c = a sen(b) Igualando ambas expresiones resulta la igualdad a sen(b) = b sen(a) expresión equivalente a Igualmente podemos considerar los triángulos rectágulos AA C y ABA al trazar la altura relativa al vértice A. Mediante un razonamiento análogo al anterior obtendremos e las expresiones obtenidas podemos deducir que expresión conocida como teorema del seno (o de los senos) y que demuestra que la relación que existe entre los lados de un triángulo y los senos opuestos es siempre la misma. El teorema es válido para cualquier tipo de triángulo. Página 2 de 16

3 Teorema del Coseno En el triángulo rectángulo AC C se verifica b 2 = m 2 + h c 2 siendo m la proyección ortogonal del lado b sobre c y h c la altura relativa al vértice C. En el triángulo rectángulo AC C se verifica b 2 = m 2 + h c 2 siendo m la proyección ortogonal del lado b sobre c y h c la altura relativa al vértice C. Si m y n son las proyecciones ortogonales de los lados b y a sobre el lado c y consideramos el triángulo rectángulo BC C resulta a 2 = h 2 c + n 2 = h 2 c + (c - m) 2 = = (h 2 c + m 2 ) + c 2-2cm = b 2 + c 2-2cm Expresión que proporciona el valor del cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo Como en el triángulo rectángulo AC C es m = b cos(a), si sustituimos en la expresión anterior a 2 = b 2 + c 2-2bc cos(a) Teorema del Coseno El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo comprendido. Sea el triángulo BAC obtusángulo en A. Si m es la proyección ortogonal del lado b sobre c tendremos a 2 = h 2 c + (c + m) 2 = c 2 + 2mc + (m 2 + h 2 c ) = = b 2 + c 2 + 2cm (*) Expresión que proporciona el valor del cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso Como en el triángulo AC C resulta que m = b cos(180 - A) = - b cos(a) si sustituimos en (*) volvemos a obtener la expresión obtenida anteriormente para el teorema del coseno. Es decir, dicho teorema se verifica para cualquier tipo de triángulo. (Para el caso particular que A = 90º obtendríamos el teorema de Pitágoras) Tanto la expresión del cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo como la del cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso son dos excelentes criterios para determinar con qué tipo de triángulo nos encontramos. Según que el cuadrado del lado de un triángulo sea Página 3 de 16

4 menor, igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos, el ángulo será agudo, recto u obtuso. Si los lado de un triángulo vienen dados por la terna (3,4,5) se trata de un triángulo rectángulo pues = 5 2. Si los lados vienen dado por la terna (3,5,7) se trata de un triángulo obtusángulo pues = 34 < 7 2. Si la terna de los lados es (7,8,10) el triángulo es acutángulo pues = 113 > 10 2 Unidades de medida a) Superficie: 1 centiarea = 1ca = 1m² 1 area = 1 a = 100 m² 1 hectaria = 1ha = m² b) Angulares: Sistema sexagesimal 1 giro=360 Sistema centesimal 1 giro =400partes Sistema natural 1radian 57, radianes 360 Relación entre los sistemas Sexagesimal-natural 1rd=360 /2 rd/360 =1/57 o sea aprox 1/60 1 =1rd/3438 o sea aprox 1/ =1rd/ o sea 1/ Una demostración vectorial del Teorema del Coseno Consideremos un triángulo cualquiera ABC en el que a + b = c y las longitudes de los lados de dicho triángulo son los módulos de los vectores a, b y c. Multiplicando escalarmente a por sí mismo tenemos: aa = (c - b)(c - b) = bb + cc - 2 bc = = b 2 + c 2-2 b c cos (b, c) Es decir a 2 = b 2 + c 2-2 b c cos (b, c) Página 4 de 16

5 Nivelación: Nivelación es el procedimiento mediante el cual se busca determinar: A) El desnivel existente entre dos (o mas), hechos físicos existentes entre sí. B) La relación entre uno (o mas), hechos físicos y un plano de referencia. El primer caso constituye la forma mas común de nivelación, en este caso comparamos dos (o varios) puntos (o planos) entre sí y determinamos el desnivel en metros o centímetros existente entre cada uno de ellos individualmente. En el segundo caso establecemos un nuevo "valor" llamado COTA que relaciona colectivamente a cada uno de los hechos físicos aludidos con el que se toma como referencia.(en el dibujo el nivel del mar). Concepto de PUNTO (topográfico): Es el lugar físico -dentro de un plano- que es objeto de un trabajo topográfico. ebe ser un objeto individual, de existencia física o virtual, de una cierta estabilidad temporal y con capacidad de ser posicionado mediante coordenadas (x, y, z). Son ejemplos de punto: una piedra, una estaca, un mojón, un clavo o ménsula adherida a una pared, incluso un lugar puntual cualquiera sobre la superficie terrestre. Casos especiales de puntos son los Puntos Fijos (PF) que son puntos de gran estabilidad física a los que algún ente se ha encargado de nivelar y se ha calculado su cota; y Puntos Trigonométricos iguales al caso anterior pero que además se les ha dado coordenadas de posición dentro de un plano (x e y, o N, S, E, O). Concepto de PLANO (topográfico): Es el lugar físico definido por dos o más puntos (reales o ficticios), que se encuentran a una misma cota. Son ejemplos de plano (para la topografía) la superficie de un reservorio de agua, una base de cemento, el cordón de una vereda, una superficie de tierra previamente horizontalizada, o incluso el plano visual de un nivel o teodolito, etc. Un caso especial del plano son los llamados planos de referencia o comparación, estos son planos reales o ficticios, con una cota conocida o asignada, natural o arbitraria, de gran estabilidad física y que se los puede tomar como referencia real para posicionar puntos o planos con respecto a ellos, son ejemplos de planos de referencia el nivel del mar, o el plano definido por los puntos de igual presión atmosférica en un instante determinado, o el definido por los puntos de igual gravedad. Página 5 de 16

6 Concepto de COTA (topográfico): Es el valor numérico del desnivel existente entre un punto o un plano cualquiera, y el plano de referencia elegido para un trabajo. Podemos utilizar distintos tipos de cotas: Absolutas: cuando están definidas con respecto a un plano de referencia aceptado como real y válido para una región, un país o un conjunto de países; que la respetan por tener un sustento técnico que las hace valederas. El sistema de referencia vertical de Argentina fue materializado a través de una serie corta de observaciones en el mareógrafo de Mar del Plata en En la década del cuarenta, la marca de referencia del mareógrafo fue conectada por nivelación de alta precisión a una marca mucho más estable en Tandil, localidad ubicada aproximadamente unos 200 Km. de la línea de costa. Este punto permanece hoy como el origen del sistema de nivelación nacional. Este marco de referencia fue extendido a todo el país a través de nivelaciones de alta precisión. La red de nivelación de primer orden fue completada por el IGM en el año 2001 y consiste de unos puntos distribuidos a lo largo de varias decenas de miles de kilómetros de líneas de nivelación geodésicas de alta precisión. Los puntos fijos del I.G.M. se reconocen por estar constituidos por un disco de bronce de unos 15 cm. de diámetro empotrados en pilotes de H A enterrados en inmediaciones de las rutas nacionales, esta red verdadera obra básica de todas las obras de infraestructura nacional se comenzó a construir en 1934, año en que se sanciona la Ley de la carta principio de la cartografía nacional, fue este un trabajo ciclópeo que tuvo como protagonistas a generaciones de Ingenieros Geógrafos, Técnicos Geógrafos Matemáticos y personal de maestranza del Instituto Geográfico Militar por décadas. Arbitrarias: Cuando están definidas sin ninguna base o razón mas que la voluntad de quien lleva a cabo el trabajo de nivelación, este tipo de cota se utiliza en los casos de trabajos que no tendrán conexión con otros y que su situación no afecte obras o trabajos concatenadas con el mismo a los efectos de no encarecer la obra con una nivelación adicional para obtener una cota que no es necesaria. Ficticias: Cuando no están definidas por ningún elemento físico, existen solo en los planos de proyecto de una obra y deben ser materializadas mediante replanteos, para darle existencia real. Tipos de Nivelación: Existen tres métodos de nivelación utilizados en los trabajos topográficos: nivelación geométrica, nivelación trigonométrica y nivelación satelital el cual utiliza el sistema de posicionamiento global; dos métodos mas que solo son utilizados por la geodesia, el método gravimétrico y el barométrico; y uno utilizado en cartografía mediante la restitución fotogramétrica. Página 6 de 16

7 1) Nivelación Geométrica Es el mas preciso y utilizado de todos, se lleva a cabo mediante la utilización de un nivel óptico o electrónico, existen cuatro tipos de nivelación geométrica definidos según su precisión: 1 y 2 orden (utilizados en geodesia), 3 y 4 orden (utilizados en topografía), el procedimiento es igual en todos ellos, solo cambian los instrumentos utilizados para medir y las precisiones que se deben respetar. También podríamos diferenciar dos tipos más según el trabajo a realizar: nivelación geométrica lineal, si se nivela desde un punto hasta otro siguiendo una trayectoria que une a ambos o nivelación geométrica de superficie, cuando nivelamos un sector o una línea desde una misma estación referida a un mismo plano de referencia. Se realiza mediante lecturas efectuadas con el Hilo Medio del retículo del nivel, sobre una mira graduada que se coloca a una distancia en general, no mayor de 60 o 70 mts., estas lecturas se restan convenientemente entre sí obteniéndose de esta manera el desnivel existente entre los dos puntos donde estuvo apoyada la mira. Este es el procedimiento en el caso en el que solo debamos obtener el desnivel existente entre dos puntos, pero en el caso en que es necesario el replanteo o la obtención de una o mas cotas, el cálculo se complica ya que debemos agregar dos nuevos elementos al cálculo: la cota y el plano Visual (PV) o cota del eje óptico del anteojo del nivel, paso intermedio que debemos calcular antes de calcular la cota de los demás puntos. Para el trabajo con cotas debemos tener al menos uno de los puntos, objetos del trabajo, con cota conocida o un PF en sus inmediaciones a los efectos de tomarlo como plano de referencia, de no ser así se deberá hacer una nivelación, llamada de "enlace" hasta un PF cercano para obtener una referencia, de no ser posible o económicamente conveniente siempre queda la opción de nivelar uno de los puntos mediante la colocación sobre él de un baroaltímetro (instrumento que a través de la medición de la presión barométrica nos da una altura sobre el nivel del mar bastante aproximada) o simplemente darle una cota arbitraria. Página 7 de 16

8 Supongamos como en el caso de la figura tener un PF como inicio del trabajo, esto facilita la tarea, se debe colocar la mira sobre este y se toma la lectura, en general solo se utiliza el hilo medio, aunque algunos prefieren tomar lecturas sobre los tres hilos y hacer luego la comprobación siguiente: (Hilo sup. + Hilo inf. ) / 2 = Hilo medio Lo cual no es necesario, y en la práctica suele tornarse engorroso y hasta peligroso, pues a mayor cantidad de lecturas, mayor posibilidad de error, tanto de errores groseros como de errores accidentales. Una vez tomada la lectura se suma este valor a la cota del PF y hemos obtenido la cota del PV. Ya obtenida esta cota se colocará la mira sobre la estaca a la que se quiere dar cota y se tomará una nueva lectura, notemos ahora que a simple vista se hace obvio que esta lectura es la diferencia entre la cota del PV y la cota de la estaca, de manera que restamos la lectura obtenida a la cota del PV y el resultado es la cota de la estaca. Un caso particular del uso de planos de referencia, es cuando necesitamos replantear una cota que aparece en un plano de proyecto de obra y no esta materializada en el terreno. Supongamos volver al caso anterior, pero esta vez la cota a que deberá quedar la estaca es conocida previamente porque aparece en el proyecto que estamos replanteando. En este caso clavamos la estaca apenas en el terreno y dejamos la masa a mano, esta vez ya conocemos la cota del PV que ya había sido calculada y la cota a la que deberá quedar la estaca, nos falta la diferencia entre ambas, que hallaremos restando ambos valores, así que hacemos la resta y el resultado será la lectura que deberemos ver en el retículo, retomamos entonces la masa y alternativamente golpearemos la estaca y haremos lecturas hasta que logramos leer el valor calculado, con el hilo medio. en el caso de la figura 0,281. Página 8 de 16

9 Nivelación geométrica compuesta o lineal: Es el mas usado ya que generalmente los puntos a nivelar se encuentran a mas de la distancia máxima en que se puede colocar la mira, y por lo tanto se deben realizar tantas nivelaciones simples como sean necesarias para unirlos, para realizar una nivelación se debe tener en cuenta una distancia para cada tramo de entre 120 a 180 mts. y luego dividir la longitud total por esta distancia para hallar la cantidad de tramos a realizar; los puntos intermedios entre los dos (o mas) puntos objetos del trabajo, se llamarán puntos de paso o PP. Para el cálculo de una nivelación tenemos dos procedimientos igualmente válidos, que serán utilizados alternativamente según el criterio del operador, el mas sencillo es el de las sumatorias para este caso debemos agrupar todas la lecturas "hacia atrás" (es decir hacia el punto de partida) por un lado y todas las lecturas hacia "adelante" (es decir hacia el punto de llegada) por otro; luego efectuamos el siguiente cálculo: El otro caso es el cálculo del plano visual mas sencillo y rápido, no es más que ir realizando sucesivas nivelaciones simples, las cuales con una calculadora se realizan en el momento y se pueden comprobar y controlar en el lugar sin perdida de tiempo. Para el caso del gráfico anterior sería: 512, ,357-0, ,109-0, ,033 -,0,322 = 515,314 m.s.n.m.m. Métodos de control en nivelación geométrica compuesta Ante la incertidumbre de haber cometido un error y donde se lo ha cometido, conviene tomar ciertos recaudos antes de regresar al gabinete para el trabajo de cálculo. A.- Nivelación de ida y vuelta: es decir salir de un punto y volver al mismo por otro camino, las cotas de partida y de llegada deben ser iguales. B.- Nivelación doble de cada tramo: es decir hacer dos estaciones por cada tramo. C.- Partir de un PF y llegar a otro PF Página 9 de 16

10 .- Hacer los PP en lugares estables o estacas para poder repetir los tramos anteriores en caso de error. Errores en nivelación geométrica lineal Partiendo de la certeza de que siempre que se mide se cometen errores, solo nos resta esmerarnos para que este sea tan pequeño que se pueda despreciar o calcular y anular. El indicador que nos indica cuando un error es lo suficientemente pequeño como para ser despreciado es la TOLERANCIA ALTIMÉTRICA del trabajo, esta puede ser impuesta arbitrariamente por el operador según la importancia técnica del trabajo o su valor económico; puede estar dada por el trabajo en sí (como el caso de los trabajos cartográficos donde debe ser suficientemente pequeño como para no ser notado en el trabajo final por efecto de la escala) o puede estar sujeta a las especificaciones del Reglamento Nacional de Mensuras que son las siguientes: Niv. 1er Orden (Geod. de alta precisión) 1,5 mm por km de doble nivelación. " 2do " ( " " " " ) 3,0 mm " " " " " 3er " ( Topográfica ) 3,0 cm " " " " " 4to " ( Técnica ) 10 cm " " " " Una vez terminado el trabajo y calculado el error (recordar : Siempre existe!!!), se lo compara con la tolerancia, si es menor, lo que ocurre habitualmente se lo distribuye en cada tramo proporcionalmente, procedimiento llamado COMPENSACION ; si por el contrario el error es mayor que la tolerancia se deberá repetir la nivelación totalmente (o algunos tramos si se ha tenido la precaución de estaquear los PP). Ejemplo de Nivelación Geométrica Lineal: Se desea obtener el perfil de la alineación A-4 y verificar la misma realizando nivelación de IA Y VUELTA. Lectura atras Lectura adelante A E1 1 E2 2 E3 3 E4 4 Página 10 de 16

11 Planilla de datos obtenidos de la nivelación geométrica: Pε E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 Pβ LECTURA ATRÁS LECTURA AELANTE ISTANCIA (m) ΔH (cm) COTA (m) OBSERVACIONES Hs Hm Hi Hs Hm Hi A 1,73 1,59 1,455 27,5 15,00 Ochava de Compostela y 36, ,36 1,22 1,085 27,5 15,364 Asturias 1 1,58 1,45 1,315 26,5 15,364 3, ,54 1,41 1,278 26,2 15, ,435 1,312 1, ,398-24,14 3 1,672 1,548 1,42 25,2 15, ,165 1,042 0,92 24,5 15,157 Árbol que indica el fin de -85,82 4 2,015 1,895 1, ,298 la ida y comienzo de la vuelta 4 2,015 1,895 1, ,298 90,96 5 1,112 0,98 0,85 26,2 15, ,78 1,584 1,386 39,4 15,208 22,55 6 1,542 1,35 1, , ,32 1,15 0, ,434 Ochava de Compostela y -43,39 A 1,78 1,575 1, ,00 Asturias Así entonces tenemos: AE1 (1,73 1,455) 100 A E 1 27, 5m E11 (1,36 1,085) E 1 27, 5m 1E 2 (1,58 1,315) E 2 26, 5m E 22 (1,54 1,278) E 2 26, 2m 2E3 (1,435 1,185) E 3 25m E33 (1,672 1,42) E 3 25, 2m 3E 4 (1,165 0,92) E 4 24, 5m E 44 (2,015 1,775) E 4 24m 4E5 (2,015 1,775) E 5 24m E55 (1,112 0,85) E 5 26, 2m 5E6 (1,78 1,386) E 6 39, 4m E66 (1,542 1,152) E 6 39m 6E7 (1,32 0,91) E 7 41m E7 A (1,78 1,37) 100 A E 7 41m Página 11 de 16

12 El ΔH entre dos miras lo podríamos obtener restando la lectura atrás y la de adelante, pero esto solo sería valido si la sumatoria de todas las lecturas ΔH diera como resultado cero, esto es poco probable que ocurra; por lo tanto la lectura ΔH debe ser corregida con un error igual y contrario al producido si H 0 no existe error de lectura H 1 A 1,59 1,22 H1 A 0, 37 m H 2 1 1,45 1, 41 H 2 1 0, 04 m H 3 2 1,312 1, 548 H 3 2 0, 236 m H 1,042 1,895 H 0, 853 m H 1,895 0, 98 H 0, 915 m H 1,584 1, 35 H 0, 234 m 4 3 A 6 1, H 1,575 H A 6 0, 425 m 5 4 H 0,37 0,04 0,236 0,853 0,915 0,234 0,425 m 5 4 H 0, 045 m Como ΔH 0 o bien se reparte el error o se vuelven a realizar nuevas mediciones. Si T se reparte el error; si T se toman nuevas medidas. ε = + 4,5 cm. 6 5 T K L(km.) K es una constante que oscila entre 1 y 5 cm. L es la longitud total de las mediciones, en nuestro caso 417 m. 6 5 T 5 cm 0, 417 km T 3, 23 cm Como T < ε se deberían tomar nuevas medidas, pero a los efectos didácticos de completar el ejemplo, proseguiremos a repartir el error. Como el error es positivo, repartiremos el error con signo cambiado, así entonces ε = - 4,5 cm. La distancia entre dos miras de correspondientes a una misma estación es: E1= 55 m E2= 52,7 m E3= 50,2 m E4= 48,5 m E5= 50,2 m E6= 78,4 m E7= 82 m El porcentaje que representa esa distancia respecto de la total será: E1= 13,2 % E2= 12,6 % E3= 12,0 % E4= 11,6 % E5= 12,0 % E6= 18,8 % E7= 19,7 % Página 12 de 16

13 El error correspondiente a cada diferencia de nivel asociada a cada estación es: ε1= -0,594 cm. ε2= -0,567 cm. ε3= -0,54 cm. ε4= -0,522 cm. ε5= -0,54 cm. ε6= -0,846 cm. ε7= -0,89 cm. Así entonces el desnivel ΔH será la lectura atrás menos la lectura adelante más el error calculado con su signo. H 1 A 37 0,594 H1 A 36, 406 cm H , 567 H 2 1 3, 433 cm H ,6 0, 54 H , 14 cm H 85,3 0,522 H 85, 82 cm H 91,5 0, 54 H 90, 96 cm H 23,4 0, 846 H 22, 55 cm 4 3 A6 42,5 4 3 H 0,89 H A 6 43, 39 cm Si ahora partiendo del punto A de cota conocida (15,00m) sumamos los desniveles con su signo obtenemos las cotas de los puntos en los cuales se colocaron las miras. Cota A = 15,00m. Cota 1 = 15,00 m + 36,406 cm. Cota 1= 15,364 m. Cota 2 = 15,364 m + 3,433 cm. Cota 2= 15,398 m. Cota 3 = 15,398 m - 24,14 cm. Cota 3= 15,157 m. Cota 4 = 15,157 m - 85,82 cm. Cota 4 = 14,298 m. Cota 5 = 14,298 m + 90,96 cm. Cota 5= 15,208 m. Cota 6 = 15,208 m + 22,55cm. Cota 6= 15,434 m. Cota A = 15,434 m - 43,39cm. Cota A= 15,00 m. Página 13 de 16

14 PERFIL LONGITUINAL EFINITIVO PUNTO ISTANCIA COTA A 0 15,00 m 1 55,00 m 15,364 m 6 77,80 m 15,434 m 2 107,70 m 15,398 m 5 157,90 m 15,157 m 3 156,20 m 15,208 m 4 206,40 m 14,298 m PUNTO ISTANCIA COTA E1 27,50 m 15,182 m E7 41,00 m 15,217 m E2 81,15 m 15,381 m E6 116,80 m 15,321 m E3 132,70 m 15,278 m E4 = E5 182,4 m 14,278 m PLANO E COMPARACIÓN P.C = 14,00 M ESCALA HORIZONTAL = 1:1000 ESCALA VERTICAL = 1:20 ebido a que la nivelación de IA y VUELTA, no fue hecha respetando los mismos puntos de estación de puntos de mira, los perfiles deben ser superpuestos. Página 14 de 16

15 2) Nivelación Trigonométrica Es la nivelación que se realiza a partir de la medición de ángulos cenitales, de altura o depresión, y de distancias inclinadas que luego se usarán para la resolución de triángulos rectángulos, donde la incógnita será el cateto opuesto del ángulo a resolver, que en estos casos son el desnivel existente entre el punto estación y un, otro, punto cualquiera. El ejemplo más simple es cuando con una ET medimos el ángulo vertical y la distancia inclinada existente entre la estación y un punto cualquiera, tal como se ve en la figura siguiente, y calculamos luego el desnivel. Aquí hm y hi son respectivamente altura de los prismas y altura del instrumento; para eliminar estos dos términos de la ecuación simplemente medimos la altura del instrumento y elevamos los prismas a esa misma altura con lo que estos se anulan entre sí al resultar hm = hi Cálculo de alturas inaccesibles: La utilización práctica de la nivelación trigonométrica es la determinación de desniveles cuando no es posible acceder al lugar donde colocar los prismas, es decir al lugar cuya altura queremos averiguar, deberemos valernos para ello de un recurso llamado base trigonométrica, a partir de ella mediremos estacionados en sus extremos ciertos ángulos que nos permitirán calcular la altura de cualquier hecho físico circundante. Página 15 de 16

16 En el caso del gráfico a partir de ABP', obtendremos AP' y BP' ya que AB se puede medir, al igual que los ángulos, conociendo estas distancias podemos calcular luego PP' a partir de APP' y de BPP', estos valores no serán iguales (seguramente por errores accidentales en la medición o vicios del cálculo mediante valores naturales), por lo que será necesario hacer un promedio para obtener el mas preciso. Una vez obtenido PP', que es la altura del pararrayos hasta la altura del teodolito, se le debe sumar la altura del instrumento para obtener la altura total, y si lo que se desea obtener es la cota, se le deberá sumar la cota de A o de B a la altura total. esarrollo del cálculo: Supongamos que AB = 10 mst, a= 89 20' 10", g= 88 10' 30", b= 24 05' 15" y e= 24 05' 10". Por lo tanto d= ( a + g ) = 02 29' 20" Si el promedio de estos valores es PP' = 93,954 mts y la altura del teodolito hubiera sido 1,53 mts. entonces P tendría una altura total de 95,484.mts y si la cota de A hubiera sido 293,4528 m.s.n.m.m. la cota de P hubiera sido de 388,9368 m.s.n.m.m. Página 16 de 16