ÁLGEBRA ABSTRACTA Notas de curso

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1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA. ESCUELA DE MATEMÁTICA. ÁLGEBRA ABSTRACTA Notas de curso MARCO A. PÉREZ B. Octubre, 2012.

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3 Estas notas están basadas en un curso dado por Inés Nuñez en la Universidad Central de Venezuela entre finales de 2005 y principios de Cualquier error u omisión es responsabilidad del autor. En la portada: una imagen del cubo de Rubik, cuyas permutaciones forman una estructura de grupo, objeto de estudio fundamental en el álgebra. i

4 ii

5 TABLA DE CONTENIDOS 1 NÚMEROS ENTEROS El Principio del Buen Orden Divisibilidad Mínimo común múltiplo Relaciones de equivalencia y conjunto cociente Problemas GRUPOS El concepto de Grupo. Ejemplos Grupos finitos Subgrupos Permutaciones Homomorfismos Clases laterales y clases de congruencia Subgrupos normales Problemas ANILLOS El concepto de Anillo. Ejemplos Subanillos e ideales Ideales principales y maximales Anillo cociente Homomorfismos de anillos Problemas CUERPOS El concepto de Cuerpo. Ejemplos Cuerpo cociente Característica de un polinomio iii

6 5 ANILLOS DE POLINOMIOS Elementos algebraicos y trascendentes sobre un anillo Polinomios de varias variables Anillos euclidianos BIBLIOGRAFÍA 51 iv

7 CAPÍTULO 1 NÚMEROS ENTEROS 1.1 El Principio del Buen Orden Para comenzar estas notas, recordemos al conjunto N de los números naturales, el cual posee dos operaciones binarias, la suma y la multiplicación: + : N N N (a, b) a + b, : N N N (a, b) a b. Antes de que estudiemos los grupos como una de las estructuras fundamentales en el álgebra, es bueno que sepamos que existen extructuras más simples que el grupo, por ejemplo el monoide, que es sencillamente un conjunto no vacío con una operación binaria asociativa. Por ejemplo, N es un monoide, ya sea con respecto a + o a. Es probable que la propiedad asociativa sea la más importante dentro de las que se estudian en álgebra. La existencia del cero en N no se fija, existen autores que prefieren incluirlo, otros que no. Por lo tanto es probable que en algunos libros podamos ver la definición N = {1, 2,... }, o en otros N = {0, 1, 2,... }. Por convención, trabajaremos con la primera definición de N. Dentro de N existen ecuaciones que no poseen solución, como por ejemplo x + 3 = 2. Todos sabemos que x = 1 es una solución para este problema, pero 1 no es un número natural. Es aquí donde entran los números enteros, que estudiaremos en esta primera sección. Sabemos de cursos anteriores que el conjunto de los números enteros se denota por Z y que se escribe por extensión como Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... }. La ecuación x + 3 = 2 sí tiene solución en Z. Ahora, Z no resuelve totas las ecuaciones existentes. Por ejemplo, sabemos que 2x + 3 = 8 tiene por solución 5/2, el cual no es un número entero, sino racional. Entonces en este punto aparece el conjunto de los números racionales Q en el cual se puede resolver la ecuación anterior. Hasta el momento, da la impresión de que se crean nuevos números, pero en realidad los que se establecen son nuevos axiomas bajo los cuales es posible encontrar soluciones a ciertas ecuaciones que sin tales axiomas serían imposibles de resolver. Dentro de todas las estructuras que bajos a estudiar, la máxima es aquélla conocida como cuerpo. Decimos máxima en el sentido que poseer la mayor cantidad de axiomas. Un ejemplo de cuerpo es el conjunto de los número reales R, el cual posee una suma y una multiplicación +, : R R R que satisface los siguientes axiomas (axiomas de cuerpo): (1) a + b = b + a, para todo a, b R. (2) a + (b + c) = (a + b) + c, para todo a, b, c R. (3) Existe un elemento 0 R tal que a + 0 = a, para todo a R. 1

8 (4) Para cada a R, existe a R tal que a + ( a) = 0. (5) a b = b a, para todo a, b R. (6) a (b c) = (a b) c, para todo, a, b, c R. (7) Existe un elemento 1 R tal que a 1 = a, para todo a R. (8) Para cada a R\{0}, existe a 1 R tal que a a 1 = 1. (9) a (b + c) = a b + a c, para todo a, b, c R. Esta sección está dedicada al conjunto de los números enteros. Consideremos el conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3,... }. Podemos escribir el conjunto de los números emnteros como Z = N {0} N, donde N = { n : n N}. El conjunto N tiene la siguiente propiedad. Principio del Buen Orden (o Principio del Elemento Mínimo). Todo subconjunto no vacío de N tiene un elemento menor. Ejemplo (1) Sea P (x) una propiedad que se cumnple para un cierto subconjunto A de N. Entonces existe a A tal que a r, para todo r A. (2) Todo número natural tiene un sucesor inmediato (único). Demostremos esto: Sea n N y consideremos en conjunto S = {x N : x > n}. Como S N, S posee un menor elemento (por el Principio del Buen Orden), llamémoslo a. Si existiera x N tal que n < x a entonces x S, por tanto a x. Entonces a = x. Luego, a es el único sucesor inmediato de n. Obsérvese que que Z no vale el Principio del Buen Orden. Por ejemplo, {n Z : n < 6} no posee un menor elemento. Sin embargo, hay un segundo principio muy importante, válido para Z, conocido como el Principio de Inducción Completa. Principio de Inducción Completa. Sea P (n) una propiedad sobre Z. Si: (1) P (1) es cierta; (2) P (n + 1) es cierta siempre que P (n) lo sea; entonces P (n) es cierta para todo n 1. Existe otra manera de enunciar este principio, y es la siguiente: Principio de Inducción Completa. Sea P un subconjunto de los número naturales tales que: (1) 1 P. (2) n P = n + 1 P. Entonces P = N. Análogamente, tenemos: Ejercicio El Principio de Inducción Completa implica el Principio del Buen Orden. 2

9 1.2 Divisibilidad Comencemos con el objeto de estudio principal de la aritmética, la noción de divisibilidad. Definición Sean a y b números enteros, con a b. Decimos que a divide a b o que b es múltiplo de a (y lo denotaremos por a b) si existe un entero c tal que b = c a. En caso contrario, denotamos a b. Ejercicio Sean a, b y c números enteros, entonces los siguientes enunciados son ciertos: (1) Si a b y b c entonces a c. (2) Si a b y a c entonces a (m b + n c), para cualquier par de enteros m y n. (3) Si a b y b 0 entonces 0 < a b. (4) Si a b y b a entonces a = ±b. Teorema (Algoritmo de Euclides o de la División). Dados a, b Z, con b 0. Entonces existen enteros q y r (únicos) tales que a = b q + r, donde 0 r < b. Definición Un entero positivo distinto de 1 se dice primo si sólo tiene como divisores al 1 y a él mismo. Definición Sean a, b Z, no ambos nulos. El máximo común divisor entre a y b, denotado por (a, b), es un número entero positivo c tal que: (1) c a y c b. (2) Si d a y d b entonces d c. Ejercicio Sean a, b Z. Si (a, b) existe entonces es único. Teorema Dados a, b Z (no ambos cero), el máximo común divisor entre a y b existe y es de la forma (a, b) = a m 0 + b n 0, para ciertos m o, n 0 Z. Demostración: Sea S = {a m + b n : m, n Z} Z. En S existen elementos positivos ya que si x S, x = a m + b n, entonces x = a ( m) + b ( n) S. Sea A S el conjunto de los elementos positivos de S. En A vale el Principio del Elemento Mínimo, por tanto A tiene un menor elemento. Sea c ése elemento. Tenemos c = a m 0 + b n 0, para algún par m 0, n 0 Z. Ahora supongamos que d a y d b. Entonces a = d q y b = d q. Tenemos c = d q m 0 + d q n 0 = d (q m 0 + q n 0 ). Entonces c d. Debemos probar ahora que c a y c b. Sea x = a m + b n. Por el Algoritmo de Euclides, x = c q + r, donde 0 r < c. Es decir x = q (a m 0 + b n 0 ) + r. Luego a m + b n = q (a m 0 + b n 0 ) + r, r = a (m q m 0 ) + b (n q n 0 ) A. Luego, r = 0. De donde x = c q y c divide a todo elemento de S, y luego divide a a y a b. Por lo tanto, c = a m 0 + b n 0 y c es el máximo común divisor entre a y b. 3

10 Definición Si (a, b) = 1 entonces a y b son coprimos. Ejercicio Si b es un entero y p es primo entonces (p, b) = p o (p, b) = 1 o p b. (1) p b = (p, b) = p. (2) p b = (p, b) = 1. Teorema (Teorema Fundamental de la Aritmética). Todo entero a > 1 se descompone de un modo único en la forma a = p α1 1 p α2 2 pαr r, donde p 1 > p 2 > > p r, cada p i es primo, y α i N, para cada 1 i r. Antes de demostrar esto, establezcamos unos resultados previos. Lema Si a Z y a bc, con a y b coprimos, entonces a c. Demostración: Como a y b son coprimos, existen m 0 y n 0 tales que 1 = m 0 a + n 0 b. Luego, c = m 0 c a + n 0 b c. Como a bc, existe q Z tal que b c = q a. Entonces c = c a m 0 + a q n 0 = (c m 0 + q n 0 ) a, es decir a c. Corolario Si p es primo y divide al producto de varios enteros, entonces p divide a uno de esos enteros. Demostración: Supongamos que p (a 1 a 2 a r ). Usemos el Principio de Inducción: r = 2: Si p a 1 entonces (a 1, p) = 1 y por el lema anterior p a 2. De igual forma se razona si p a 2. Supongamos que si p a 1 a 2 a r 1 entonces p a k para algún 1 k r 1. Sabemos que p a 1 (a 2 a r ). Si p a 1, (p, a 1 ) = 1 entonces p a 2 a r. Por la hipótesis inductiva, se tiene p a j para algún 2 j r. Si p (a 2 a r ) entonces (p, a 2 a r ) = 1 y p a 1. Demostración del Teorema Fundamental de la Aritmética: Usaremos inducción: Si p(m 0 ) es cierta, y si cada vez que p(r) es cierta para m 0 r < k se tiene que p(k) es cierta, entonces p(n) es cierta para todo n m 0. Si a = 2 no hay nada que demostrar. Supongamos que el teorema es cierto para todo entero r, 2 r < k. Consideremos k. Si k es primo, el teorema vale. Si k no es primo, k = u v, con u 1 y v 1 con u < k y v < k. Por hipótesis inductiva, u y v se escriben como producto de primos: u = r β1 1 rβ2 2 rβs s, 4

11 v = q γ1 1 qγ2 2 qβm m. Luego, k = (r β1 1 rβ2 2 rβs s ) (q γ1 1 qγ2 2 qβm m ). Agrupamos potencias semejantes y reordenando éstas obtenemos la descomposición deseada. Falta probar la unicidad. p α2 2 pαr r = q β1 1 qβ2 Supongamos que a = p α1 1 p α2 2 pαr r, se tiene p 1 q β1 1 qβ2 y a = q β1 1 q β2 2 qβs s. Como p α1. Como p 1 es primo, por el corolario anterior, 2 qβs s 2 qβs s p 1 q j para algún j {1,..., s}. Luego, p 1 = q j q 1 (1). De igual forma, q 1 p α1 1 p α2 2 pαr r. Así que q 1 p t, para algún t {1,..., r}. Luego, q 1 = p t p 1 (2). De (1) y (2) se concluye que p 1 = q 1. Supongamos que α 1 > β 1. Tenemos α 1 = β 1 + (α 1 β 1 ), por tanto p β1 1 pα1 β1 1 p α2 2 pαr r = p β1 1 qβ2 2 qβs s p α1 β1 1 p α2 2 pαr r = q β2 2 qβs s. Esto no puede ocurrir, así que α 1 β 1 = 0, α 1 = β 1. Hacemos igual con p α2 2 pαr r 1 = q β2 2 qβs s. Procediendo inductivamente, se obtiene el resultado, es decir, p i = q j, α i = β j, 1 i r, 1 j s, r = s. 1.3 Mínimo común múltiplo Definición Sean a y b enteros no nulos. El mínimo común múltiplo entre a y b, denotado por [a, b], es un entero positivo m tal que: (1) a m y b m. (2) Siempre que a x y b x para algún x, entonces m x. Ejercicio Probar que el mínimo común múltiplo entre a y b es único. Teorema Si a y b son enteros no nulos, entonces a b = [a, b] (a, b). Demostración: Sea m = [a, b] y d = (a, b). Entonces a b d = a b d b = a d. Tenemos a ( a b /d) y b ( a b /d). Luego, m ( a b /d) (1). Por otra parte, a b es un múltiplo común de a y b; por lo tanto m a b y en particular a b /m es un entero. Ahora bien, m = k a. Luego, k a b m = k a b m = ±b. Es decir, a b a b m b. Análogamente, m a. Es decir, a b a b m es un divisor común entre a y b. Luego, m d y a b a b m d (2). De (1) y (2) se obtiene d = m. 1.4 Relaciones de equivalencia y conjunto cociente Alguna vez hemos llegado a pensar en la siguiente definición de números racionales: Q = {a/b : a, b Z, b 0}. 5

12 El problema con esta definición es que cada punto racional de la recta real tiene asociada una familia de elementos de Q. Por ejemplo, el punto 1/2 tiene asociados a los números 2/4, 4/8, 8/( 16), entre otros. La definición correcta de Q es la siguiente: Consideremos el conjunto Z (Z\{0}) con la siguiente relación: (a, b) (c, d) a d = b c. Esta relación resulta ser una relación de equivalencia. El conjunto de los números racionales está definido por Q := Z (Z\{0})/. Dicho de otra manera, Q es el conjunto de elementos a/b donde a Z y b Z\{0} con la relación de igualdad a/b = c/d si y sólo si a d = b c. Bajo esta relación, en Q no se tienen elementos repetidos. Las clases que se producen bajo esta relación de igualdad son disjuntas. Q Definición Sea S un conjunto. Una partición de S es una descomposición en bloques de S, tal que: (1) Todo elemento de S está en un bloque. Denotaremos los bloques de la siguiente forma: b, para b S. Dos bloques a y b satisfacen: (2) a b = o a = b. (3) La unión de todos los bloques de una partición es igual al conjunto S. Volviendo a Q, tenemos, por ejemplo, 1909 a Q: 4897 = pues = Veamos lo siguiente, sea (1) a a. (2) Si a, b x, b, a x. (3) Si a, b x y b, c y, entonces a y y por tanto x = y. Entonces denotamos a b si a, b x. (1) a a. (2) Si a b entonces b a. (3) Si a b y b c entonces a c. 6

13 Teorema Sea S un conjunto no vacío y sea una ralación entre elementos de S que satisface las propiedades siguientes: (1) Reflexividad: a a para todo a S. (2) Simetría: Si a b entonces b a, para todo a, b S. (3) Transitividad: Si a b y b c entonces a c. Entonces produce una partición de S, donde a = {x S : x a} representa el bloque donde está a S. Recíprocamente, toda partición de S da lugar a una relación natural que verifica las propiedades (1), (2) y (3), definiendo a b a = b. Demostración: Ya hemos demostrado la proposición recíproca. Sea a S, entonces a a (por (1)). Sea b S, entonces b b (por (1)). Supongamos que a b, entonces existe x a y x b. De donde x a y x b. Por simetría, a x y x b. Se sigue por transitividad que a b, es decir a b. Tenemos a b. De igual forma se puede probar que b a. Luego a = b. Si S = no se cumple la propiedad reflexiva. Una relación que satisface las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva, se llama relación de equivalencia. Cada bloque a en la partición dada por la relación se llama clase de equivalencia de a y al conjunto de clases de equivalencia se denomina conjunto cociente. Ejemplo Consideremos la relación m n equivalencia: r s si, y sólo si, m s = n r. Veamos que es una relación de (1) Reflexividad: m n m n vale pues m n = n m. (2) Simetría: Si m/n r/s, entonces r/s = m/n?. Tenemos m s = n r. Luego n r = m s, es decir r n = s m, es decir r/s = m/n. (3) Transitividad: Si m/n r/s y r/s p/q, entonces m/n p/q? Tenemos m s = r n y r q = p s. De donde (m s) q = (r n) q, es decir (r q) n = (p s) n. Se sigue 0 = (m s) q (p s) n = (m q p n) s. Como s 0, nos queda m q p n = 0, es decir m q = p n. Ejercicio Defínase en Z la relación R de la siguiente forma: arb = a b 0. Demuestre que R no es una relación de equivalencia. Ejemplo Para cada n Z +, tenemos una relación importante, la relación de congruencia módulo n. Sean h, k Z, decimos que h es congruente con k módulo n (b k (mod n)) si, y sólo si, h k = n r para algún r Z. Ejercicio Demuestre que para n Z +, la congruencia módulo n es una relación de equivalencia para n = 1, 2, 3, 4. Generalice lo observado para cualquier n. Al conjunto de clases de equivalencia de la relación de congruencia (módulo n) se le denota por Z n. 7

14 Definición Se dice que un conjunto C = {x 1, x 2,..., x m } es un sistema completo de restos módulo m si para cualquier entero y existe un único entero x i C tal que y x i (mod m). Un sistema reducido de restos módulo m es un conjunto R = {x 1, x 2,..., x k } tal que para cualquier número entero y primo con m existe un único entero x i R tal que y x i (mod m). Un sistema reducido de restos módulo m puede obtenerse a partir de un sistema completo de restos módulo m, eliminando de este último aquellos enteros que no son primos con m. Si se tienen dos sistemas reducidos de restos módulo m, digamos R y R, cada elemento de R es congruente módulo m con un único elemento de R, y viceversa. Por consiguiente, todos los sistemas reducidos de restos módulo m tienen el mismo número de elementos. A este número se le llama Indicador de Euler de m y se denota por φ(m). Dado que los elementos de un sistema reducido de restos módulo m pueden obtenerse a partir del sistema completo de restos módulo m formado por los números 1, 2,..., m 1, m, tenemos que φ(m) indica el número de enteros positivos menores o iguales que m que son coprimos con m. En particular, nótese que si m es primo entonces φ(m) = m 1. Si X = {x 1,..., x k } es un sistema completo (o reducido) de restos módulo m y (a, m) = 1, entonces a x = {a x 1,..., a x k } es también un sistema completo (resp. reducido) de restos módulo m. Teorema (Teorema de Euler). Si (a, m) = 1 entonces a φ(m) 1 (mod m). Demostración: Consideremos un sistema reducido de restos módulo m, R = {x 1, x 2,..., x φ(m) }. Como (a, m) = 1 el conjunto a R = {a x 1, a x 2,..., a x φ(m) } es también un sistema reducido de restos módulo m. Por consiguiente, a cada x i R le corresponde un y sólo un a x j a R tal que x i a x j (mod m). Además, a elementos diferentes de R les corresponderán elementos diferentes de a R, por tanto a x 1, a x 2,..., a x φ(m) son congruentes con x 1, x 2,..., x φ(m) módulo m (no necesariamente en ese orden). Luego, (a x 1 ) (a x 2 ) (a x φ(m) ) x 1 x 2 x φ(m) (mod m) x 1 x 2 x φ(m) a φ(m) x 1 x 2 x φ(m) (mod m), y como (x 1 x 2 x φ(m), m) = 1 se tiene a φ(m) 1 (mod m). Teorema (Pequeño Teorema de Fermat). Si p es primo tal que p a, entonces a p 1 1 (mod p). Demostración: Como p a y p es primo, se tiene que (p, a) = 1. Además, φ(p) = p 1. Por el Teorema de Euler, a p 1 1 (mod p). Luego se tiene a p a (mod p). Teorema (Teorema de Wilson). Sea p un número primo. Entonces (p 1)! 1 (mod p). 8

15 Demostración: Sea j un entero tal que 1 j p 1, entonces (p, j) = 1 (porque p es primo). Consideremos i j 1 (mod p) (1). Se tiene i j = 1+k p, con k Z. Se sigue i j = m 0 p + n 0 j + k p, con m 0, n 0 Z. Nos queda i j = n 0 j + (m 0 + k) p. Tenemos p j (i n 0 ). Como (p, j) = 1, nos queda p (i n 0 ). Luego i = n 0 + α p. La ecuación (1) tiene solución única en i tal que 0 i p 1. Evidentemente, i 0. Luego tenemos 1 i p 1. Si a cada j le asignamos un i correspondiente, como i j j i 1 (mod p) podemos observar que j es el entero asociado con i. Observamos además que (mod p) y (p 1) 2 1 (mod p), luego 1 y p 1 se asocian con ellos mismos. Consideremos los casos en que 2 j p 2. PAra estos enteros se tiene que (j 1, p) = 1 y (j +1, p) = 1. Por consiguiente, (j 2 1, p) = 1 y entonces j 2 1 (mod p). Luego, todo j tal que 2 j p 2 está asociado con un i tal que i j y 2 i p 2. Por tanto, los enteros 2, 3,..., p 2 pueden ser asociados en parejas {i, j} tales que j i 1 (mod p). It follows 2 3 (p 2) 1 (mod p), and since 1 (p 1) 1 (mod p), we obtain (p 1) 1 (mod p). 9

16 1.5 Problemas Problema 1.1. Decida si en los siguientes conjuntos se satisface o no el Principio del Elemento Mínimo: (a) R +, el conjunto de los reales positivos. (b) A = {n 2 : n Z}. Problema 1.2. Demuestre que no puede existir una sucesión decreciente infinita de enteros positivos. Problema 1.3. Demuestre que si (a, m) = 1 y (b, m) = 1, entonces (a b, m) = 1. En Z n, tenemos las siguientes operaciones: + : Z n Z n Z n (a, b) a + b = a + b. : Z n Z n Z n (a, b) a b = a b. Problema 1.4. Demostrar que la operación + definida en Z n está bien definida, esto es que si a = a y b = b entonces a + b = a + b. Verifique además que (Z n, +) se comporta de la misma manera que Z con respecto a la suma en Z usual. Problema 1.5. Verifique que la operación definida en Z n está bien definida. Ver además si esta operación se comporta como el producto usual en Z, y si no lo hace dar las condiciones para que esto suceda. Sugerencia: Ver que pasa con n primo y con n no primo. Problema 1.6. Decida si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) Si a b y b a entonces a = ±b. (b) Si a (c + b) entonces a b. (c) Si a (b c) entonces a b o bien a c. (d) Si b g y b h entonces b (r g + s h), para cualesquiera enteros r y s. (e) Si a 2 b 2 entonces a b. (f) Si s b 2 entonces a 2 b 2. (g) Si d = (a, b), a c y b c entonces (a b) (d c). Problema 1.7. Demuestre que n > 1 es un número primo si, y sólo si, para cualquier entero a se tiene que (a, n) = 1 o n a. Problema 1.8. Demuestre que existen infinitos números primos. Problema 1.9. Sea n un entero positivo. Demuestre que si n es primo y si a 0, entonces existe b Z n tal que a b = 1. Problema Si a b a c (mod m) y d = (a, m), entonces b c (mod m/d). Problema Supongamos que (a, m) = 1. Si a b a c (mod m), entonces b c (mod m). Problema La ecuación a x b (mod m) tiene solución si, y sólo si, (a, m) b. Problema Demuestre que n es primo si, y sólo si, en Z n a b = 0 implica a = 0 o b = 0. 10

17 Problema Demuestre que si n es impar, entonces n 1 = 0. Qué pasa si n es par?. Problema Si de una cesta se sacan huevos de 2 en 2, de 3 en 3, de 5 en 5, sobran uno, dos y tres huevos respectivamente. Cuántos huevos había en el canasto?. Problema Encuentre la intersección de la clase del 7 módulo 4 y la clase del 5 módulo 15. Problema Demuestre que si 13 a y 13 b, entonces a 12 b 12 (mod 13). Problema Demuestre que si a y b son primos relativos con 91, entonces a 12 b 12 es divisible por

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19 CAPÍTULO 2 GRUPOS Vagamente hablando, un grupo es un conjunto no vacío junto con una operación benaria que satisface ciertas propiedades. Recordemos que una operación binaria sobre un conjunto S es una función : S S S (a, b) a b. Consideremos los siguientes ejemplos de operaciones binarias en Z + : (1) a b = min{a, b}. Por ejemplo, 1 10 = 1, 2 2 = 2, 3 1 = 1. (2) a b = a, observe que 1 3 = 1 y 3 1 = 3. Note que no es conmutativa. (3) a b = (a b) + 2, donde a b = min{a, b}. Por ejemplo, tenemos (2 3) 1 = 4 1 = 3 y 2 (3 1) = 2 3 = 4. En este caso no es asociativa. Recordemos los conceptos usados en los ejemplos anteriores. Una operación binaria : S S S es: (1) conmutativa si a b = b a, para todo a, b S; (2) asociativa si a (b c) = (a b) c, para todo a, b, c S. 2.1 El concepto de Grupo. Ejemplos Definición Un grupo es un par (G, ) donde G es un conjunto no vacío, y es una operación binaria G G G que satisface los siguientes axiomas: (1) es asociativa. (2) Existe e G tal que a e = a y e a = a, para todo a G. A tal e se le llama elemento neutro, identidad o cero. (3) Para cada a G, existe a G tal que a a = a a = e. A a se le llama elemento inverso o recíproco de a. 13

20 Ejemplo (1) Sea GL n (R) el conjunto de las matrices de orden n con coeficientes en R que son invertibles. Con el producto usual de matrices GL n (R) GL n (R) GL n (R), el par (GL n (R), ) es un grupo, conocido como grupo lineal general. Es importante recordar que si A y B son matrices invertibles del mismo orden, entonces A B es invertible y (A B) 1 = B 1 A 1. (2) Sea S = { 1, 1} y el producto usual en Z. Entonces (S, ) es un grupo. (3) El conjunto Z con la operación usual es también ejemplo de grupo. (4) El conjunto de los enteros positivos Z + es un grupo con respecto a la multiplicación, mientras que con respecto a la suma usual no lo es. Teorema Si G es un grupo con operación binaria, entonces valen las leyes de cancelación izquierda y derecha, es decir: (1) a b = a c = b = c. (2) b a = c a = b = c. Demostración: Sólo probaremos (1), pues (2) es similar. Por la existencia del elemento inverso a 1 y por la propiedad asociativa y la del elemento neutro e, tenemos b = e b = (a 1 a) b = a 1 (a b) = a 1 (a c) = c. Proposición En un grupo (G, ) la ecuaciones a x = b y y a = b tienen solución única en G. Demostración: Sólo haremos la prueba para la ecuación a x = b. Multiplicamos por el elemento inverso de a y usamos los otros dos axiomas de grupo: a x = b a 1 (a x) = a 1 b (a 1 a) x = a 1 b e x = a 1 b x = a 1 b. Tenemos que a 1 b es una solución para la ecuación anterior. Falta probar que es única. Supongamos que tenemos dos soluciones x 1 y x 2 para la ecuación a x = b. Luego se tiene a x 1 = a x 2. Por la ley de cancelación izquierda, nos queda x 1 = x 2. 14

21 Proposición Sea (G, ) un grupo, entonces: (1) e es único. (2) a 1 es único para cada a G. (3) (a b) 1 = b 1 a 1. Demostración: (1) Supongamos la existencia de dos elementos neutros e y e. Tenemos e = e e = e. (2) Supongamos que a y a son inversos de a G. Tenemos a = a e = a (a a ) = (a a) a = e a = a. (3) Tenemos (a b) (b 1 a 1 ) =]a (b b 1 )] a 1 = [a e] a 1 = a a 1 = e. (b 1 a 1 ) (a b) = b 1 [(a 1 a) b] = b 1 (e b) = b 1 b = e. Por la parte (2), se tiene (a b) 1 = b 1 a 1. Definición Un grupo (G, ) es abeliano si la operación es conmutativa. Ejemplo En conjunto M n (R) de las matrices cuadradas de orden n con coeficientes en R, equipado con la suma usual, es un grupo abeliano. Ejercicio Defínase en Q + por a b = a b 2. Verifique si (Q+, ) es un grupo, y en caso afirmativo vea si es abeliano. Ejemplo En R 2, consideremos las rotaciones ρ i : R 2 R 2, las reflexiones µ i : R 2 R 2 con respecto a los ejes X e Y, y las reflexiones δ i : R 2 R 2 con respecto a las diagonales. Estos movimientos rígidos conforman el llamado grupo diedral de orden 4, D 4 = {ρ i, µ i, δ i }, donde la operación binaria es la composición. Ejercicio Describir todas las operaciones ρ i, µ i y δ i posibles. Haga la tabla para el producto definido en D 4. Describa todas las cosas interesantes que se observen en la tabla. Demuestre que D 4 no es abeliano. 15

22 2.2 Grupos finitos Definición Un grupo finito (G, ) es aquel tal que la cardinalidad de G es finita. Si G es un grupo finito, se define el orden de G como el número de elementos de G. Denotaremos el orden de G por G. Sólo existe un grupo de orden 1, en el sentido de que todos los grupos de orden 1 son isomorfos a ({x}, ), donde x x x También existe sólo un grupo de dos elementos, digamos G = {e, a}, donde e es el elemento identidad. e a e e a a a e Lo mismo para grupos de tres elementos, sólo existe uno de ellos, digamos G = {e, a, b}. e a b e e a b a a b e b b e a Ejercicio Demuestre que sólo hay dos grupos con cuatro elementos, uno con cinco elementos, y dos con seis elementos. Si (G, +) es un grupo abeliano, usaremos la notación = +, e = 0, a n = n a y a 1 = a. 2.3 Subgrupos Definición Un subconjunto no vacío H de un grupo G se denomina subgrupo de G si H, dotado con la misma operación binaria de G, es un grupo. Esta condición la denotaremos por H G. Ejemplo (1) Todo grupo G es un subgrupo se sí mismo. (2) {e} es subgrupo de G, siempre que G sea un grupo y e sea el elemento neutro de G. Los conjunto G y {e} son llamados subgrupos triviales de G. (3) Z es un subgrupo de (Q, +). (4) 2 Z es un subgrupo de (Z, +). Ejercicio Sean H 1 = {A GL 2 (R) : A es una matrix triangular superior} y H 2 = {A GL 2 (R) : det(a) = 1}. Verificar que H 1 y H 2 son subgrupos de GL 2 (R) bajo una cierta operación. Cuál es?. 16

23 Teorema Sea H (G, ). Una condición necesaria y suficiente para que H sea un subgrupo de (G, ) es que satisfaga: (1) H. (2) a b H, para todo a, b H. (3) Existe e H tal que a e = e a = a, para todo a H. (4) Para cada a H, existe a 1 H tal que a a 1 = a 1 a = e. Demostración: La implicación H (G, ) = (1), (2), (3) y (4) es trivial. Ahora asumamos (1), (2), (3) y (4). Por (1) y (2), se tiene que es una operación binaria sobre H, que es asociativa por serlo en G. Como H, existe a H. Por (4), a 1 H y así e = a 1 a H. Ejercicio Probar que un subconjunto no vacío H de un grupo G es un subgrupo de G si, y sólo si, a b 1 H para todo a, b H. Teorema Si H es un subconjunto finito no vacío de un grupo G, y H es cerrado respecto a la operación de G, entonces H es un subgrupo de G. Demostración: Sea a H, como la operación de G es cerrada en H, tenemos que a, a 2, a 3, H. Pero H es finito, luego debe haber repeticiones de estos elementos. Luego, sean r y s enteros tales que a r = a s. Supongamos sin pérdida de generalidad que r > s > 0.Por la ley de cancelacón, tenemos H a r s = e. Como r > s, tenemos r s 1 0, por lo que a r s a 1 = a r s 1 H. Tenemos a 1 = a r s 1 porque a r s 1 = a r s = e. Teorema Si para cada i I, H i es un subgrupo de G, entonces H = i I H i es un subgrupo de G. Demostración: Note que H ya que e H i para todo i I. Ahora, sean x, y H. Veamos que x y 1 H. Como x, y H, se tiene x, y H i para todo i I. Como cada H i G, se tiene x y 1 H i para todo i I. Entonces x y 1 H. Por lo tanto H G. Definición Sea G un grupo y X G un subconjunto de G. Definimos el subgrupo de G generado por X por K = {H : X H y H G}. Denotaremos a K por K = X. 17

24 Si existiera otro subgrupo H tal que X H y H X, entonces X H, por definición de X. Por lo que H = X. En otras palabras, X es el menor subgrupo de G que contiene a X. Si X = {a}, entonces X a, a 2, a 3,.... Supongamos que existe b X con b a. Tenemos que {b, b 2, b 3,... } es un subgrupo que no contiene a X. Por lo que a := X = {a i : i Z}. A este grupo se denomina grupo cíclico de generador a. Por convención, a a a = a n si n > 0, a n = e si n = 0, a 1 a 1 a 1 = a n si n < 0. Ejercicio Si G es un grupo y X G, entonces el subgrupo generado por X, X, es X = {x α1 1 xαn n : n N, α i Z, x i X, 1 i n}. Ejercicio Muestre que no existe un análogo para el Teorema si consideramos H = {H i : i I}. Ejercicio Pruebe que todo grupo cíclico es abeliano. 2.4 Permutaciones Sea A un conjunto finito A = {a 1, a 2,..., a n }. Tenemos la biyección A [n] := {1, 2,..., n}. Definición Sea A = {a 1, a 2,..., a n } un alfabeto. Una palabra de k letras en el alfabeto A es una sucesión a i1 a i2 a ik donde a ij A. Definición Una permutación en [n] es una biyección de [n] en [n]. Las podemos identificar con los posibles órdenes que se puedan establecer en n. Al conjunto de todas las permutaciones de [n] lo denotaremos por S n := {f : [n] [n] / f es biyectiva}. Ejemplo Para [3], tenemos las permutaciones siguientes: (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 2 1) (3 1 2) 18

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