lasmatematicas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas Repaso de operaciones con números enteros

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "lasmatematicas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas Repaso de operaciones con números enteros"

Transcripción

1 lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg Repso de operciones con números enteros º ESO Cómo se sumn y se restn números enteros? Es más fácil verlo con lgunos ejemplos que explicrlo con plrs. Ejemplo 1: Ejemplo : ) Sumo los números positivos: ) Sumo los números negtivos: c) Luego se rest: (oserv que el resultdo es, en este cso, positivo). Por cierto: ) Sumo los números positivos: ) Sumo los números negtivos: c) Luego se rest: (oserv que el resultdo es hor negtivo porque 19 es myor que 1). Por cierto: Los mtemáticos de verdd lo hcen en un sol líne, dndo un pr de psos, seprdos por el signo igul: Y sí es como nos deemos de costumrr hcerlo prtir de hor! Hy otr form de hcer ls operciones nteriores: se procede operndo siempre de izquierd derech. Fíjte: Ejemplo 1: Ejemplo : Elige l form que más te guste. Son equivlentes. Pero no te equivoques nunc! Y si hy préntesis? Pues se hce primero l operción que hy entre préntesis y luego se procede como ntes. Vemos otro pr de ejemplos. Ejemplo : ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo 4: ( ) ( ) ( ) ( ) Oserv que un menos delnte de un préntesis cmi el signo de lo que hy dentro del mismo. Sin emrgo, un más delnte del préntesis dej lo que hy dentro del mismo tl y como est. Hy otr form de hcerlo y tiene que ver con lo que se h dicho en el párrfo nterior. Se puede suprimir directmente culquier préntesis teniendo en cuent que: Si está precedido del signo más los signos interiores no vrín. Si está precedido del signo menos se cmin los signos interiores. Ejemplo : ( ) ( ) Ejemplo 4: ( ) ( ) Elige l form que más te guste. Son equivlentes. Pero te digo lo mismo que ntes: no te equivoques nunc! Vemos, finlmente, otro ejemplo más un poco más lrgo. Ahor con corchetes: Ejemplo 5: [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ] [ ] [ ] Despcito y uen letr! Así llegrás lejos Págin 1

2 lsmtemtics.eu Pedro Cstro Orteg Repso de operciones con números enteros º ESO Cómo se multiplicn y se dividen números enteros? El producto o multiplicción se notrá con un punto ( ). A veces incluso no se pone nd. Por ejemplo: ( ). Pr denotr l división se utilizn dos puntos ( ). Pero ntes de nd recordemos l regl de los signos: Multiplicción División Regl Ejemplo Regl Ejemplo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Oserv que, si no es necesrio, no se escrie el préntesis. Además, los números positivos no es necesrio ponerles delnte el signo Est propiedd se conoce como economí del lenguje mtemático! Ams operciones con frecuenci precen mezclds. En este cso se efectún de izquierd derech teniendo en cuent ls regls nteriores: Ejemplo 6: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo 7: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Operciones cominds Normlmente, ls cutro operciones nteriores (sum, rest, multiplicción y división), precen cominds. Pr no equivocrte dees seguir siempre, y ordendmente, est jerrquí: 1. Corchetes y préntesis.. Multiplicciones y divisiones.. Sums y rests. Hy que tener en cuent que ls operciones del mismo nivel (multiplicciones y divisiones por un ldo, y sums y rests por otro) se relizn siempre de izquierd derech. Ejemplo 8: ( ) ( ) ( ) [primero los préntesis] ( ) ( ) ( ) [hor ls multiplicciones] ( ) [l finl hemos relizdo ls sums y rests] Ejemplo 9: ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) Que ls operciones son un poco más lrgs? No ps nd. Con pcienci y sin pris, siguiendo l jerrquí, todo dee de slir ien. Insisto: no tengs pris y crás ntes. Ejemplo 10: ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ] [ ] ( ) Págin

3 Operciones con frcciones Introducción lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Pr operr con frcciones se sigue el mismo método que pr operr con números enteros. Es decir, hy que respetr un jerrquí. Recordémosl: 1. Corchetes y préntesis.. Multiplicciones y divisiones.. Sums y rests. Hy que tener en cuent que ls operciones del mismo nivel (multiplicciones y divisiones por un ldo, y sums y rests por otro) se relizn siempre de izquierd derech. Pr poder hcer operciones cominds con frcciones deemos prender primero sumr y restr y, luego, multiplicr y dividir. Pr sumr y restr es fundmentl ser cundo dos frcciones son equivlentes y cómo se reducen frcciones común denomindor. Vmos pues ello. Frcciones equivlentes Dos frcciones son equivlentes cundo expresn l mism cntidd. Por ejemplo 5 y 4 representn l mism 10 cntidd pues :5 4:10 0,4. Pr ser si dos frcciones son equivlentes st compror que formn un proporción, es decir: De este modo oservmos que 5 y 4 10 Hy un propiedd importnte de ls frcciones: c d c d son equivlentes porque Si se multiplicn o se dividen el numerdor y el denomindor de un frcción por el mismo número, se otiene un frcción equivlente l dd. Es decir: Oserv que de l frcción denomindor por. k ; k : k : k 5 se puede otener l frcción equivlente 4 10 multiplicndo el numerdor y el Oserv tmién que, por ejemplo, dividiendo el numerdor y el denomindor de l frcción 1 18 entre 6, se otiene l frcción. Este proceso se conoce con el nomre de simplificción de frcciones. Un frcción que no se puede simplificr se llm frcción irreducile. Si el número entre el que dividimos el numerdor y el denomindor es el máximo común divisor de mos estremos seguros de que l frcción que se otiene es l irreducile. Por ejemplo, en el cso nterior, si dividimos numerdor y denomindor de l frcción 1 entre se otiene l frcción 18 4, que es un frcción equivlente l nterior, pero no es l frcción irreducile pues podemos volver plicr el 6 proceso con est últim dividiendo numerdor y denomindor entre. Operciones con frcciones Págin 1

4 Operciones con frcciones lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Reducción de frcciones común denomindor Pr poder comprr frcciones sin necesidd de dividir podemos hcer que trnsformr ls frcciones dds en otrs equivlentes que teng el mismo denomindor. Así sremos cuál es l myor y l menor simplemente comprndo los denomindores. Pr reducir frcciones común denomindor se recurre l mínimo común múltiplo de los denomindores. Lo veremos mejor con un ejemplo. Imginemos que nos dn ls frcciones 8, 5 6, 4 9, 7 y que nos piden hllr otrs cutro frcciones equivlentes 1 ls nteriores, pero tods ells con el mismo denomindor. Se procede de l siguiente mner. Elegimos como denomindor común el mínimo común múltiplo de los denomindores: 8 6 mcm 8, 6, 9, En cd frcción, multiplicmos numerdor y denomindor por el mismo número, el decudo pr otener 7 en el denomindor. El número decudo se otiene dividiendo el mínimo común múltiplo entre el denomindor de cd frcción: :8 9, 7: :9 8, 7: Y hemos reducido ls cutro frcciones común denomindor. Oserv hor que ests últims son muy sencills de ordenr: Así pues ls cutro frcciones del principio, ordends de myor menor serín: Sum y rest de frcciones Pr sumr o restr frcciones, ls reducimos previmente común denomindor. Si lguno de los sumndos es un número entero, los trnsformmos en un frcción con denomindor uno:. 1 Ejemplo mcm 10, 5, Oserv como en este último cso hemos simplificdo el resultdo hst l frcción irreducile. Operciones con frcciones Págin

5 Operciones con frcciones lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Si en l operción con sums y rests precen préntesis hy dos forms de proceder primero eliminrlo según l jerrquí: Ejemplo Se efectún primero ls operciones que hy entre préntesis y luego se hcen ls sums y rests. Si el préntesis v precedido de un signo más se puede eliminr sin más, de tl mner que los signos del interior del préntesis no vrín. Si el préntesis v precedido de un signo menos, el préntesis se suprime, pero en este cso los signos interiores se trnsformn: el más se convierte en menos y el menos en más. Recuerd que restr es sumr opuestos Oserv que hemos utilizdo l primer de ls opciones nteriores: hemos hecho primero l operción que v entre préntesis y finlmente se h efectudo l rest. Hgmos hor l mism operción pero utilizndo l segund opción Oserv que, l estr el préntesis precedido del signo menos los signos del interior vrín: el más se convierte en menos, y el menos se convierte en más. Puedes elegir l opción que prefiers unque l segund es muy útil pues hemos de hcer el mínimo común múltiplo un sol vez. Ejemplo Oserv cómo, siempre que se puede, se simplific el resultdo hst l frcción irreducile. Oserv tmién que, si el resultdo es negtivo, d igul escriir el menos en el numerdor o delnte de l frcción:. Operciones con frcciones Págin

6 Operciones con frcciones lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Multiplicción y división de frcciones Multiplicción de frcciones El resultdo de multiplicr dos frcciones es otr frcción, cuyo numerdor es el producto de los numerdores y cuyo denomindor es el producto de los denomindores. c c d d En ocsiones ni siquier se escrie el puntito (que signific por ). Es decir, l multiplicción veces se denot simplemente por yuxtposición (usc el vero yuxtponer en el diccionrio), siempre que no hy lugr error. Por ejemplo pr multiplicr ls frcciones 4 5 y 10 c d c d, hcemos: Oserv que cundo se multiplic por un número negtivo, éste se pone entre préntesis. Esto es pr no confundir el producto con un rest. Oserv tmién que se h plicdo l regl de los signos: un positivo por un negtivo d resultdo negtivo ( más por menos igul menos ). División de frcciones Pr dividir dos frcción se multiplicn los términos cruzdos. c A veces l división : tmién se escrie sí: d c d c d : d c. O se, que tmién podemos escriir: c d d c Oserv que el numerdor del resultdo es el producto de los extremos y el denomindor del resultdo es el producto de los medios. Vemos un pr de ejemplos: : ; Oserv que en l segund división se h vuelto plicr l regl de los signos: más entre menos igul menos. Operciones con frcciones Págin 4

7 Operciones con frcciones lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Frcción invers Es ueno ser que dos frcciones son inverss cundo su producto es igul 1. Tod frcción distint de cero tiene invers. L invers de es, pues 1. 1 Muchs veces se escrie que se lee l invers de prtido por es prtido por. O se que el exponente menos uno, en mtemátics signific hcer inversos. 5 Por ejemplo, l frcción invers de 1 es 1 5, y que Otro ejemplo más: l frcción invers de 1 es 1 y que En mtemátics, dividir no es otr cos que multiplicr por l frcción invers. Oserv: De hí viene lo de multiplicr los términos en cruz. 1 c c d d : d d c c Operciones cominds con frcciones A veces l sum y rest se cominn con l multiplicción y l división. Siguiendo l jerrquí de ls operciones y con un poco de cuiddo no es muy difícil hcer operciones cominds. Vemos unos cuntos ejemplos. Ejemplo Primero el préntesis Y luego el producto, Ejemplo Y ses, primero el préntesis, luego el producto y, finlmente, l rest: Operciones con frcciones Págin 5

8 Operciones con frcciones lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Oserv l importnci de simplificr en los psos intermedios. En vez de hcer l multiplicción se h 4 10 simplificdo l frcción 10, oteniendo 1 1 y se h efectudo el producto 5 4, cuyo resultdo es más sencillo que 5 el producto inicil. Es muy conveniente y consejle costumrrse simplificr en los psos intermedios. Ejemplo : Aquí hy que tener cuiddo. Primero relizmos el préntesis que hy dentro del corchete. Podemos provechr e ir hciendo tmién, l mismo tiempo, el primer préntesis. Luego se hce l división que hy dentro del corchete y, finlmente, el producto. Oserv: : : : Recuerd que l división se hce multiplicndo los términos en cruz. Hemos vuelto simplificr en un pso 1 intermedio y hemos multiplicdo 4, en vez de hcer 1 60 porque, como puedes ver, el resultdo de multiplicr por 4 qued mucho más sencillo que el resultdo de multiplicr por 60. Como siempre, hy que 15 simplificr el resultdo. Ejemplo : Y no explicré los psos dr. Descúrelo y convéncete de que lo entiendes : : : Ejemplo En este último ejemplo l división hor se d en form tmién de frcción. Oserv que l operción del numerdor se hce por un ldo y l del denomindor por otro. Se simplificn los psos intermedios y, finlmente, se efectú l división. Operciones con frcciones Págin 6

9 Operciones con frcciones lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Potencis, ríces cudrds y frcciones Definición de potenci y de ríz cudrd de un frcción Por ejemplo: 4 81 n n ; n 7 ; ; Oserv que, en el segundo ejemplo, como l se es negtiv y el exponente es impr el resultdo es negtivo. Ls propieddes de ls potencis de números enteros se conservn con los números frccionrios. Ests propieddes se trducen en regls de uso práctico. No solmente hy que memorizrls sino que hy que entender su justificción. Así ls usrás de mner más eficz. Dejo de cd propiedd se h escrito entre comills su trducción l cstellno. Cd un de ells se ilustr con un ejemplo. Potenci de un producto Potenci de un cociente Tmién se puede hcer sí: n n n c c d d potenci de un producto es igul l producto de ls potencis n n n c c : : d d potenci de un cociente es igul l cociente de ls potencis : : : : Producto de potencis de l mism se : n m nm producto de potencis de l mism se es igul l se elevd l sum de los exponentes Operciones con frcciones Págin 7

10 Operciones con frcciones lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Cociente de potencis de l mism se : ; m n m n m nm cociente de potencis de l mism se es igul l se elevd l diferenci de los exponentes Potenci de un potenci : m n potenci de un potenci es igul l se elevd l producto de los exponentes Potencis de exponente negtivo nm Recuerd que el inverso de un frcción lo escriímos sí:. Pues ien este es el primer exponente negtivo que dees prender. Y no olvides que exponente menos uno signific inverso de. En generl Est iguldd somos cpces de demostrrl. Oserv: n n n 1 n 1n 1 n n Lo único que hemos hecho es descomponer n como 1 n y luego plicr l propiedd nterior (potenci de un potenci). Por cierto, ls propieddes hy que ser plicrls, no solmente de mner direct (de izquierd derech) sino tmién l contrrio (de derech izquierd) Por ejemplo: 5 8 Potencis de exponente cero 0 1 Operciones con frcciones Págin 8

11 Operciones con frcciones lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg º ESO º ESO Est propiedd tmién l podemos demostrr: 0 nn n n n n n n 1 1 Hz un esfuerzo e intent explicr qué se h utilizdo en cd uno de los psos. Operciones cominds con potencis Al operr es posile que tmién prezc lgun l ríz cudrd de lgun frcción, o lgun expresión elevd un número. Vemos un pr de ejemplos. Ejemplo : : 1 : 1 : : : : Ejemplo : : 1 : : 1 : : 9 1 Operciones con frcciones Págin 9

12 lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo Ecuciones de primer grdo º ESO - º ESO Definición, elementos y solución de l ecución de primer grdo Un ecución de primer grdo es un iguldd del tipo x donde y son números reles conocidos, con 0. Al número desconocido x se le llm incógnit. A veces, l igul que cundo se trj con polinomios, los números y se le llmn coeficientes de l ecución de primer grdo. Al número tmién se le llm término independiente. Al sustituir l incógnit x por su vlor se h de verificr l iguldd. Clrmente l incógnit h de tomr el vlor y que x x Oserv que l división se puede llevr co porque hemos supuesto que 0. En relidd, pr despejr x, lo que hemos hecho es dividir mos miemros de l iguldd entre : x x x Est propiedd se prende, no con demsid corrección, con l siguiente frse: lo que está multiplicndo ps l otro miemro dividiendo. En este cso, como multiplic x, ps l otro miemro dividiendo, con lo que x. Sin emrgo hy que tener cuiddo con l técnic nterior, y tener en cuent que en relidd l propiedd que se plic es: si se dividen los dos miemros de un iguldd entre un mismo número distinto de cero, l iguldd no vrí. Est propiedd de ls igulddes es, de hecho, l mism que est otr: si se multiplicn los dos miemros de un iguldd por un mismo número, l iguldd no vrí. Oserv y verás: 1 1 x x x x Acmos pues de recordr que dividir entre un número distinto de cero es lo mismo que multiplicr por 1. Ejemplo L solución de l ecución de primer grdo x 4 es x, y que 4, con lo que se verific l iguldd inicil. Oserv que, relmente, tl y como se h comentdo nteriormente, pr despejr l incógnit x, se hn dividido los dos miemros de l iguldd entre : x 4 4 x 4 x Como conclusión, decir que pr resolver culquier ecución de primer grdo, deemos llegr, medinte un proceso o un serie de psos, l iguldd x y que, en este momento, tendremos l solución: x. Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin 1

13 lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo º ESO - º ESO Procedimiento pr resolver un ecución de primer grdo Un ecución de primer grdo no prece hitulmente en l form x, sino que se present como un iguldd entre dos expresiones lgerics en ls que pueden precer corchetes, préntesis y frcciones. Por ejemplo: x x x 1 x 6 x x1 5 x5 x 4 6 Recordemos que l expresión que se encuentr l izquierd de l iguldd recie el nomre de primer miemro de l ecución y que l expresión que está l derech de l iguldd se llm segundo miemro de l ecución. Los psos pr resolver un ecución culquier de primer grdo son los siguientes: 1. Eliminr los corchetes y préntesis.. Eliminr los denomindores. Pr ello se multiplicn todos y cd uno de los términos de l ecución por el mínimo común múltiplo de los denomindores.. Trsponer términos. Lo que se quiere decir con esto es que deemos presentr los términos en los que prece l incógnit en uno de los miemros de l iguldd, y los términos que no tienen incógnit en el otro miemro de l iguldd. Pr ello plicmos l siguiente y conocid propiedd de ls igulddes: Si se sum o se rest l mism cntidd los dos miemros de un iguldd, l iguldd no vrí. 4. Reducir términos semejntes. Un vez relizd l trsposición de términos podremos sumr y restr todos los términos de mos miemros pues serán todos semejntes. De este modo l ecución precerá y de l form x. 5. Despejr l incógnit. Un vez despejd l incógnit es conveniente simplificrl, cso de que se posile. Ilustrremos este proceso con vrios ejemplos. Ejemplo x 45x 6 7x 14 4x 5 Est ecución no tiene ni corchetes, ni préntesis y demás tmpoco precen frcciones en ell. Por tnto nos podemos sltr los psos 1 y, y comenzr directmente con el pso, es decir, con l trsposición de términos. Pr ello vmos presentr los términos con l incógnit en el primer miemro y los términos sin incógnit en el segundo. Oserv que sumndo 4, sumndo y restndo 6 en mos miemros de l iguldd, tenemos: x 45x x 14 4x 5 46 ; x 5x 7x 14 4x 5 46 Ahor, si restmos 7x y 4x en mos miemros de l iguldd otenemos: x 5x 7x 4x 7x 14 4x 5 467x 4x ; x 5x 7x 4x L trsposición de términos se prende con frecuenci medinte l siguiente regl: lo que está sumndo ps l otro miemro restndo, y lo que está restndo ps l otro miemro sumndo. Oserv que como 4 y estn restndo en el primer miemro, psn l segundo sumndo, y que como 6 est sumndo en el primer miemro, ps l segundo miemro restndo. De igul modo, como 7x y 4x estn sumndo en el segundo miemro sumndo, psn l primero restndo. No olvides sin emrgo que, pr ser precisos, est regl práctic es consecuenci de l propiedd de ls igulddes descrit nteriormente: Si se sum o se rest l mism cntidd los dos miemros de un iguldd, l iguldd no vrí. Ahor reducimos términos semejntes y despejmos l incógnit: 9 9 4x 9 x x 4 4 Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin

14 lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo º ESO - º ESO Ejemplo x 1 x x x Est ecución no tiene ni corchetes ni préntesis, con lo que podemos ir directmente l pso número. Pr eliminr los denomindores, multiplicremos todos los términos por el mínimo común múltiplo de ellos. En este cso mcm, 9, Entonces: x 1 x x 18 18x ; 9 6 x x x x Oserv que lo que hemos hecho es dividir el mínimo común múltiplo (en este cso 18 ) entre cd uno de los denomindores, utilizndo l siguiente propiedd de ls frcciones: c c x 1 18 En nuestro cso, fíjte lo que se h hecho en el primer término: 18 x1 6x 1 Se h trnsformdo de este modo l ecución con denominres en un ecución sin ellos, unque hor tenemos préntesis. Pero estos se eliminn fácilmente: 1x 6 54x x x 6 ; 1x 654x x x 6 En este pso hy que tener especil cuiddo con los signos. Recuerd que un menos delnte de un préntesis cmirá de signo todo lo que v trs él, y que restr un polinomio es sumr el opuesto del mismo. Ahor sólo qued trsponer términos, reducir términos semejntes y despejr l incógnit que, unque prece mucho, es lo más sencillo en el proceso de resolución de un ecución de primer grdo. 14 1x 54x x 9x x 14 x 7 Ejemplo 4 x 1 1x 4x 1 x En este cso, prece que no hy préntesis, pero sí que los hy y que, por ejemplo x1 x 1 x. Así que lo primer que hremos es efectur estos productos y dejr l ecución solmente con denomindores: x 1x 1x x Ahor multiplicmos por 0, que es el mínimo común múltiplo de los denomindores: 6 x 10 1x 5 1x x 1x x 60x 15 4x Por último trsponemos términos, reducimos términos semejntes y despejmos l incógnit: x 0x 60x 4x x 17 x x Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin

15 lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo º ESO - º ESO Ejemplo 5 Eliminemos préntesis: x 1 1 x 1 5 x x x 10x 15 x x 1 x Eliminemos denomindores multiplicndo por el mínimo común múltiplo, que es 1 : x x 15 1x 4x x 1 4x 440x 60 1x 8x x Trsponemos términos, reducimos términos semejntes y despejmos l incógnit: Ejemplo x 40x 1x 8x x x 57 x x 4 4 Vmos finlizr resolviendo l ecución de primer grdo con que se rí est sección. Oserv que no se explicn como ntes los psos que se vn dndo. Dees de identificr cd uno de ellos. x x x 1 x 6 x x1 5 x5 x ; 4 6 x x 5x 15 x x 1 x 1 x5 x 6 ; 4 6 x x 5x 15 x x 6x 6 x5 x 6 ; 4 6 x x 5x 15 4x x5 x 6 ; 4 6 4x x 1x 15 5x x 1x 16 ; 8x 9x 91x 60 10x 0 4x 198 6x 7 ; 8x 9x 1x 10x 4x 6x ; 61x 49 ; 49 x 61 Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin 4

16 lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo Ecuciones de segundo grdo º ESO - º ESO Definición y elementos de l ecución de segundo grdo Un ecución de segundo grdo es un iguldd del tipo: x x c 0 donde, y c son números reles conocidos con 0, y recien el nomre de coeficientes de l ecución de segundo grdo. Al igul que en el cso de ls ecuciones de primer grdo, l número desconocido x se le llm incógnit. Ecuciones de segundo grdo incomplets Cso 1: 0 En este cso l ecución de segundo grdo tom l form: Pr resolverls se despej tener en cuent que: x c 0 x y luego se extre l ríz cudrd pr despejr finlmente l incógnit x. Hy que Si el rdicndo es myor que cero otendremos dos soluciones, l ríz cudrd con signo positivo y l ríz cudrd con signo negtivo. Si el rdicndo es cero l solución es x 0. Si el rdicndo es negtivo l ecución de segundo grdo no tiene soluciones reles. Not: el rdicndo de un ríz es quello que se encuentr dentro de l ríz. Ejemplo 7 Despejmos x : x x 4 x x 8 Extremos l ríz cudrd de 8. Como 8 es positivo tenemos dos soluciones: x x1 8 x Oserv que, cundo l ecución de segundo grdo, tiene dos soluciones, ésts se denotn con suíndices: x 1, x. Ejemplo 8 Despejmos x : 6x x 1 x x 6 Al intentr extrer l ríz cudrd de, oservmos que no podemos hcerlo porque es negtivo: x (no existe, pues no hy ningún número cuyo cudrdo se ) Así pues, en este cso l ecución no tiene soluciones reles. 8 8 Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin 5

17 lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo º ESO - º ESO Cso : c 0 En este cso l ecución de segundo grdo tom l form: x x 0 El proceso de resolución consiste en extrer fctor común l incógnit x pues ést prece en mos términos. Un de ls soluciones siempre es x 1 0. L otr solución se otiene de igulr cero el otro fctor y de resolver l correspondiente ecución de primer grdo. Veámoslo: Ejemplo 9 Scmos x fctor común: x x 0 x1 0 x x 0 x 0 x x x 18x 0 x x 18 0 Un solución es x 1 0. L otr se otiene de igulr cero el fctor x 18 : x1 0 xx x 18 0 x 18 x x 6 Ecución de segundo grdo. Cso generl En este cso vmos suponer que los tres coeficientes, y c son todos distintos de cero. Este cso es el más generl y l ecución de segundo grdo qued, en su form reducid, sí: x x c 0 L solución se otiene de sustituir los coeficientes, y c en l siguiente fórmul: x 4 c Oserv que el símolo indic que, pr otener ls dos posiles soluciones, hy que sumr por un ldo y restr por otro: 4 1 c x ; x 4 c Ejemplo 10 x 5x 0 En este cso, 5 y c. Sustituyendo en l fórmul nterior: x x x x x 1 Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin 6

18 lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo º ESO - º ESO A l expresión 4c, situd en el interior de l ríz de l fórmul que proporcion ls soluciones, se le llm discriminnte de l ecución de segundo grdo. Pueden ocurrir tres coss: Si el discriminnte es myor que cero ( 4c 0) l ecución de segundo grdo tiene dos soluciones reles (vése el ejemplo nterior). Si el discriminnte es igul cero ( 4c 0) l ecución de segundo grdo tiene un únic solución, que se suele llmr solución dole. Est solución se otiene medinte l expresión: x Es fácil ver l demostrción: 4c 0 0 x Si el discriminnte es menor que cero ( 4c 0) l ecución de segundo grdo no tiene soluciones reles. L rzón es, de nuevo, l no existenci de ríces cudrds de números negtivos en el conjunto de los números reles. Ejemplo 11 4x 1x 9 0 Ahor tenemos que 4, 1 y c 9. Por tnto el discriminnte es: 4c Como el discriminnte es menor que cero, l solución de l ecución de segundo grdo es únic. Ést es: 1 1 x x 4 8 Procedimiento pr resolver un ecución de segundo grdo Al igul que en el cso de ls ecuciones de primer grdo, un ecución de primer grdo no suele precer en su form reducid, tl y como se h trtdo en el prtdo nterior, sino que se present como un iguldd entre dos expresiones lgerics en ls que pueden precer corchetes, préntesis y frcciones. Por ejemplo: x x xx x x x 8 4 Los psos pr resolver un ecución de segundo grdo son muy similres los que se seguín pr resolver ecuciones de primer grdo: 1. Eliminr los corchetes y préntesis.. Eliminr los denomindores. Pr ello se multiplicn todos y cd uno de los términos de l ecución por el mínimo común múltiplo de los denomindores.. Colocr todos los términos en el primer miemro. De este modo en el segundo miemro precerá un cero. 4. Reducir términos semejntes. Un vez relizd l trsposición de términos podremos sumr y restr todos los términos de mos miemros pues serán todos semejntes. De este modo l ecución precerá y en su form reducid más generl x x c 0, o ien se presentrá en un de sus dos forms incomplets: x c 0, x x Despejr l incógnit. Pr ello procederemos como y se h explicdo en el cso de que l ecución de segundo grdo se incomplet. Si l ecución se present en su form reducid más generl se plicrá l fórmul y conocid pr despejr l incógnit: 4 c x Vemos continución lgunos ejemplos de resolución de ecuciones de segundo grdo. Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin 7

19 lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo º ESO - º ESO Ejemplo 1 5 x x x Est ecución no tiene denomindores sí que strá eliminr el préntesis y colocr todos los términos en el primer miemro de l ecución: x 5x x 6x 10x x 6x 10x x 0 6x 11x 0 Los coeficientes son 6, 11 y c. Entonces: x x x x 1 x Ejemplo x x x Est ecución de segundo grdo no tiene préntesis, pero sí que precen denomindores. Multiplicmos todos los términos por el mínimo común múltiplo de los mismos, que es 4. 5x x 5 x x x x x x x Ahor colocmos todos los términos en el primer miemro y reducimos términos semejntes: 0x x 40 9x 0 x 1x 40 0 Los coeficientes hor son, 1 y c 40. Por tnto: x x x x x Ejemplo 14 x 5x 0 En est ecución, pr eliminr los préntesis, tenemos que plicr l propiedd distriutiv ( todos por todos ): 15 x x x 5x 5 0 x x 5x 0 Eliminmos denomindores multiplicndo todos los términos por, reducimos términos semejntes y despejmos: 15 x x 5x 0 4x 6x 10x x 16x x x 8 8 x x 8 x 8 Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin 8

20 lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Ecuciones de primer y de segundo grdo º ESO - º ESO Ejemplo 15 Resolvmos hor l ecución que se poní como ejemplo l principio de este prtdo. Eliminmos préntesis: x x xx x x x 8 4 x 1x 5x 15 5x x x 4 x 8 4 Eliminmos denomindores. Pr ello multiplicmos por 1 cd uno de los términos de l ecución: x 1x 5x 15 5x x x x 1 18 ; 4 6 x 1x 4 5x 15 5x 1x x x 4 96 ; 18x 7x 18 0x 60 0x 1x 6x 6x 1 96 Colocmos todos los términos en el primer miemro y reducimos términos semejntes: x x x x x x x ; x 110x 4 0 Antes de otener el vlor de x medinte nuestr fórmul hremos lgo muy importnte. Si los coeficientes tienen un divisor común se pueden dividir todos los términos entre este divisor común, quedndo un ecución de segundo grdo equivlente l nterior, pero con l diferenci de que los coeficientes serán más pequeños y, por tnto, más fácil operr con ellos l hor de plicr l fórmul medinte l que otenemos x. Los coeficientes de nuestr ecución tienen un divisor común: el. Así, dividiendo entre cd uno de los términos otenemos est otr ecución: 16x 55x 1 0 Los coeficientes de est ecución son 16, 55 y c 1 (más fáciles de trtr que los de l ecución nterior). De este modo: x x x x x 16 Not finl: l importnci de seprr decudmente un pso del siguiente Hrás oservdo que, cd vez que dmos un pso sore un ecución, y se de primer o de segundo grdo, pr otener otr ecución equivlente, pero un poco más sencill pues hemos conseguido suprimir préntesis, o hemos elimindo denomindores, o ien se hn reducido términos semejntes, etcéter, se h seprdo l ecución nterior de l siguiente o ien medinte el símolo (que se trduce por implic o por entonces ), o ien simplemente por un punto y com (;). Ams forms son decuds y son ls que hitulmente se utilizn. Tmién comentr que, y se medinte el punto y com o medinte el símolo, cd pso se puede seprr del siguiente escriiéndolo en renglones distintos, o uno continución de otro. Ams forms son corrects tmién. Aunque l principio quizás se conveniente escriir cd pso en un renglón distinto, pues sí es posile que ves cd cción con más clridd. En estos puntes se h hecho de ms forms, como hrás podido compror. Ecuciones de primer y de segundo grdo Págin 9

21 Áres de figurs plns lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Á re de figurs plns º ESO Tendremos en cuent que, en cd cso, llmremos A l áre o superficie de cd un de ls figurs plns. Polígonos Cudrdo Rectángulo Romo l l A l A l = ldo = se = ltur D D d A d D = digonl myor d = digonl menor Romoide o prlelogrmo Triángulo Trpecio h A h = se h = ltur h h A = se h = ltur h B A B h B = se myor = se menor Polígono regulr: pentágono, hexágono, octógono, etc. Llmemos P l perímetro y n l número de ldos de P cd polígono regulr. Entonces P n y A = ldo Ejercicio resuelto Clcul el áre de un pentágono regulr cuyo ldo mide 6 cm si el rdio de l circunferenci circunscrit es de 5 cm. Solución L potem form un triángulo rectángulo con el rdio r y l mitd del ldo. Por tnto podemos plicr el teorem de Pitágors pr clculr l longitud, es decir: ldo = 6 cm r cm Así, el áre es: 654 A 60 cm r mitd del ldo = cm

22 Áres de figurs plns lsmtemátics.eu Pedro Cstro Orteg Figurs circulres º ESO Seguiremos llmndo A l áre o superficie de cd figur circulr. Tmién denotremos con L l longitud de l figur circulr correspondiente. Circunferenci y círculo L r A r Arco de circunferenci y sector circulr r L r 60º A r 60º Coron circulr R es el rdio de l circunferenci myor r es el rdio de l circunferenci menor A R r Ejercicio resuelto En un circuito de crrers completmente circulr, de 5 m de rdio, hy que trzr un rco de circunferenci con un ángulo de 0º y pintr el sector circulr correspondiente. Clcul l longitud del rco de l circunferenci y el áre del sector circulr. Solución L longitud del rco de circunferenci es: 0º L 5 1, 09 m 60º El áre del sector circulr mide: 0º A 5 16, 6 m 60º

OPERACIONES CON RADICALES

OPERACIONES CON RADICALES OPERACIONES CON RADICALES RAÍCES Y RADICALES L ríz n-ésim de un número, representd por n, es un operción sore que d como resultdo un número tl que n. Si n es pr, h dos resultdos posiles: positivo negtivo:,

Más detalles

Ecuaciones de 1 er y 2º grado

Ecuaciones de 1 er y 2º grado Ecuciones de 1 er y º grdo Antes de empezr resolver estos tipos de ecuciones hemos de hcer un serie de definiciones previs, que irán compñds por lgunos ejemplos. Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones

Más detalles

TEMA 3: Polinomios y fracciones algebraicas. Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 1

TEMA 3: Polinomios y fracciones algebraicas. Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 1 TEMA Polinomios y frcciones lgerics Tem Polinomios y frcciones lgerics ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Operciones con polinomios...- Sum y rest de polinomios...- Producto de polinomios...- División de polinomios..-

Más detalles

Unidad 1: Números reales.

Unidad 1: Números reales. Unidd 1: Números reles. 1 Unidd 1: Números reles. 1.- Números rcionles e irrcionles Números rcionles: Son quellos que se pueden escriir como un frcción. 1. Números enteros 2. Números decimles exctos y

Más detalles

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3

Máximo común divisor. 2. Descomposición en primos Ejemplo. Encontrar mcd 504,300 Se descomponen ambos números en primos 504 2 252 2 126 2 63 3 21 3 Máximo común divisor El máximo común divisor de dos números nturles y es el número más grnde que divide tnto como. se denot mcd,. Lists: (tl vez, el más intuitivo, pero el menos eficiente) Encontrr mcd

Más detalles

Potencias y radicales

Potencias y radicales Potencis y rdicles. Rdicles Definición Llmmos ríz n-ésim de un número ddo l número que elevdo n nos d. por ser n n Un rdicl es equivlente un potenci de eponente frccionrio en l que el denomindor de l frcción

Más detalles

Módulo 12 La División

Módulo 12 La División Módulo L División OBJETIVO: Epresrá lguns propieddes de l división usndo propieddes de l división los inversos; epresr un numero rcionl de l form deciml frcción común vicevers. L división es un operción

Más detalles

Concepto clave. La derivada de una función se define principalmente de dos maneras: 1. Como el límite del cociente de Fermat ( )( )

Concepto clave. La derivada de una función se define principalmente de dos maneras: 1. Como el límite del cociente de Fermat ( )( ) Concepto clve L derivd de un función se define principlmente de dos mners: 1. Como el límite del cociente de Fermt f ( ) lím x f ( x) f ( ) x. Como el límite del cociente de incrementos f ( x) lím x 0

Más detalles

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,

Más detalles

a n =b Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a. Números primos: son números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el 1.

a n =b Si a es múltiplo de b, entonces b es divisor de a. Números primos: son números cuyos únicos divisores son ellos mismos y el 1. 1) NÚMEROS NATURALES Son números que sirven pr contr. Descomposición polinómic de un número. Ej : 1.34.567 1: Uniddes de millón : Centens de millr 3: Decens de millr 4: Uniddes de millr 5: Centens 6: Decens

Más detalles

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Myo de 2015 Operciones Básics con Frcciones Número

Más detalles

Unidad 2. Fracciones y decimales

Unidad 2. Fracciones y decimales Mtemátics Múltiplo.º ESO / Resumen Unidd Unidd. Frcciones y decimles FRACCIONES NÚMEROS DECIMALES EXPRESIÓN, 8, 9 SIGNIFICADO FRACCIONES EQUIVALENTES 0 30 0 0 Prte de un unidd Prte de un cntidd ORDENACIÓN

Más detalles

(lo podemos visualizar como el área de un cuadrado de lado 4) Pues bien, diremos que la base de dicha potencia, 4, es su raíz cuadrada exacta: 16 = 4.

(lo podemos visualizar como el área de un cuadrado de lado 4) Pues bien, diremos que la base de dicha potencia, 4, es su raíz cuadrada exacta: 16 = 4. Deprtmento de Mtemátics http://www.colegiovirgendegrci.org/eso/dmte.htm ARITMÉTICA: Rdicles. RADICALES... Ríz cudrd. Anlicemos los siguientes ejemplos: == es un potenci de se y exponente. El resultdo,,

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 147

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 147 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA págin 17 págin 18 EXPONENTES NEGATIVOS Y FRACCIONARIOS EXPONENTES L ide de los eponentes nce con l necesidd de revir cierts multiplicciones. Como es sido, cundo se multiplic

Más detalles

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN http://www.cepmrm.es ACFGS - Mtemátics ESG - /0 Pág. de Polinomios: Teorí ejercicios. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. CLASIFICACIÓN Tnto en mtemátics, como en físic, en economí, en químic,... es corriente el

Más detalles

ECUACIONES (4º ESO Op B)

ECUACIONES (4º ESO Op B) ECUACIONES ( ESO Op B) IDENTIDADES, IGUALDADES FALSAS Y ECUACIONES.- Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones lgebrics (un de ells puede ser un número), seprds por el signo. Ejemplos.- + + 1 ( +

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles

Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones

Las expresiones algebraicas provienen de fórmulas físicas, geométricas, de economía, etc. Son expresiones Definición de Polinomio Epresiones Algerics Epresión lgeric es tod cominción de números letrs ligdos por los signos de ls operciones ritmétics: dición, sustrcción, multiplicción, división potencición.

Más detalles

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS

UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Repúblic Bolivrin de Venezuel Universidd Alonso de Ojed Administrción Mención Gerenci y Mercdeo UNIDAD I FUNDAMENTOS BÁSICOS Ing. Ronny Altuve Ciudd Ojed, Septiembre de 2015 Conjuntos Numéricos ) Los Números

Más detalles

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado

56 CAPÍTULO 2. CÁLCULO ALGEBRAICO. SECCIÓN 2.4 Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado 56 CAPÍTULO. CÁLCULO ALGEBRAICO SECCIÓN.4 Resolución de Ecuciones de Segundo Grdo Introducción Hemos estudido cómo resolver ecuciones lineles, que son quells que podemos escribir de l form x + b = 0. Si

Más detalles

73 ESO. E = m c 2. «El que pregunta lo que no sabe es ignorante un. día. El que no lo pregunta será ignorante toda la vida»

73 ESO. E = m c 2. «El que pregunta lo que no sabe es ignorante un. día. El que no lo pregunta será ignorante toda la vida» 73 ESO dí. «El que pregunt lo que no se es ignornte un El que no lo pregunt será ignornte tod l vid» E = m c ÍNDICE: MENSAJES OCULTOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso

Colegio Técnico Nacional Arq. Raúl María Benítez Perdomo Matemática Primer Curso Colegio Técnico Ncionl Arq. Rúl Mrí Benítez Perdomo Mtemátic Primer Curso Rdicción Se un número rel culquier, n un número nturl mor que 1, se llm ríz n esim de todo número rel, que stisfce l ecución n

Más detalles

IES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE:

IES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE: IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer exmen 4º ESO NOMBRE: ) Nomrr los principles conjuntos numéricos, explicitndo cuáles son sus elementos y ls relciones de inclusión entre ellos

Más detalles

el blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Ecuaciones. pág. 1

el blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. Ecuaciones. pág. 1 el de mte de id: Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores

Más detalles

Fracciones algebraicas

Fracciones algebraicas Frcciones lgerics L histori del número irrcionl "" = 3.459653589793... Los ntiguos le dn un vlor de 3 con lo que errn en un 5 %; Arquímedes le dio el vlor, los chinos en el 7 siglo I le signron el vlor

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

4 FRACCIONES INTRODUCCIÓN A LAS FRACCIOES. FRACCIONES EQUIVALENTES COMPARACIÓN DE FRACCIONES. REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR

4 FRACCIONES INTRODUCCIÓN A LAS FRACCIOES. FRACCIONES EQUIVALENTES COMPARACIÓN DE FRACCIONES. REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR FRACCIONES..- INTRODUCCIÓN A LAS FRACCIOES. FRACCIONES EQUIVALENTES...- COMPARACIÓN DE FRACCIONES. REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR..- OPERACIONES CON FRACCIONES (I)..- OPERACIONES CON FRACCIONES (II)..-

Más detalles

OPERACIONES CON RADICALES

OPERACIONES CON RADICALES OPERACIONES CON RADICALES Como consecuenci de ls fórmuls fundmentles de rdicles, se pueden relizr ls siguientes operciones. Se requiere que en los rdicles sólo h productos o cocientes. Si huier sumndos

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS Y POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS: MONOMIOS Y POLINOMIOS EXPRESIONES LGERIS: MONOMIOS Y POLINOMIOS EXPRESIÓN LGERI.- Un epresión lgeric es culquier cominción de números letrs unidos por ls operciones ritmétics (sum, rest, multiplicción, división, potenci, (o)

Más detalles

Multiplicar y dividir radicales

Multiplicar y dividir radicales Multiplicr y dividir rdicles 1 Repso Simplificr: 000 4 0 18 1000 4 4 4 10 4 0 0 ( ( ) 0 8) 0 0 0 8 Multiplicción de rdicles Si y son números reles, n n n n n Podemos decir que cundo multiplicmos rdicles

Más detalles

OPERACIONES CON FRACIONES

OPERACIONES CON FRACIONES LEY DE SIGNOS OPERACIONES CON FRACIONES SUMA Y RESTA: Si se sumn dos números con el mismo signo, se sumn los vlores solutos y se coloc el signo común (+) + (+) = + 8 (-) + (-) = - 8 Si se sumn dos números

Más detalles

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5.

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5. Itroducció º ESO º ESO Pr operr co frccioes se sigue el mismo método que pr operr co úmeros eteros. Es decir, hy que respetr u jerrquí. Recordémosl: 1. Corchetes y prétesis.. Multipliccioes y divisioes..

Más detalles

Módulo 14 Multiplicación de expresiones algebraicas. Exponentes

Módulo 14 Multiplicación de expresiones algebraicas. Exponentes Módulo 14 Multiplicción de expresiones lgebrics. Exponentes OBJETIVO: Identificr potenci, bse exponente de un expresión lgebric. Multiplicr dividir polinomios. Recordemos lguns definiciones básics. Un

Más detalles

Manual de teoría: Álgebra Matemática Bachillerato

Manual de teoría: Álgebra Matemática Bachillerato Mnul de teorí: Álgebr Mtemátic Bchillerto Relizdo por José Pblo Flores Zúñig Álgebr: José Pblo Flores Zúñig Págin Contenido: ) Álgebr. Fctorizción. Simplificción de epresiones lgebrics. Ecuciones Álgebr:

Más detalles

La raíz cuadrada de un número es otro nº que al elevarlo al cuadrado nos da el radicando La raíz cuadrado de 9 es 3. Pues 3 2 es

La raíz cuadrada de un número es otro nº que al elevarlo al cuadrado nos da el radicando La raíz cuadrado de 9 es 3. Pues 3 2 es Curso 1/1 Mtemátics L ríz es l oerción contrri l otenci. c c L ríz cudrd de un número es otro nº que l elevrlo l cudrdo nos d el rdicndo. 9 L ríz cudrdo de 9 es. Pues es 9 9 L ríz cudrd de culquier nº

Más detalles

Regla de Sarrus: Para recordar con mayor facilidad el desarrollo del determinante de orden 3, podemos usar esta regla:

Regla de Sarrus: Para recordar con mayor facilidad el desarrollo del determinante de orden 3, podemos usar esta regla: UNIDD 8: Determinntes. DETERMINNTES DE ORDEN Y Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, por det( ) ó, l siguiente nº rel: det( ) = = = Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, not por det( ) ó, l siguiente

Más detalles

De preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero.

De preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN O MÁS PREGUNTA Clculr los determinntes siguientes ) ) c) RESOLUCIÓN Pr resolver el determinnte de un mtriz cudrd de orden o más es recomendle plicr el método de Reducción

Más detalles

open green road Guía Matemática FRACCIONES ALGEBRAICAS profesor: Nicolás Melgarejo .co

open green road Guía Matemática FRACCIONES ALGEBRAICAS profesor: Nicolás Melgarejo .co Guí Mtemátic FRACCIONES ALGEBRAICAS profesor: Nicolás Melgrejo.co . Introducción El mnejo lgebrico es un herrmient básic que nos permite comunicr ides en el mbiente científico sin importr l lengu que ellos

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 12, N o 1. Agosto Febrero 2012.

Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 12, N o 1. Agosto Febrero 2012. Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.

Más detalles

DETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas:

DETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas: ÁLGEBR Educgui.com DETERMINNTES Determinnte es l expresión numéric de un mtriz. Según el orden de l mtriz el determinnte se resuelve de distints forms: DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN Pr poder solucionr un

Más detalles

COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES Prof. Cecilia Galimberti

COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES Prof. Cecilia Galimberti COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES - 0 - Prof. Cecili Glimerti MATEMÁTICA AÑO B GUÍA N - NÚMEROS IRRACIONALES NUMEROS IRRACIONALES Conocemos hst hor distintos Conjuntos Numéricos: - Los n nturles: (, 8,.8),

Más detalles

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que

Más detalles

RESUMEN 01 NÚMEROS. Nombre : Curso. Profesor :

RESUMEN 01 NÚMEROS. Nombre : Curso. Profesor : RESUMEN 01 NÚMEROS Nomre : Curso : Profesor : PÁGINA 1 Números Los elementos del conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, } se denominn Números Nturles. Los Números Crdinles corresponden l unión del conjunto de los

Más detalles

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1 el log de mte de id: Mtemátics I. Ecuciones. pág. ECUACIONES Un ecución es un propuest de iguldd en l que interviene un letr llmd incógnit. L solución de l ecución es el vlor o vlores de l incógnit (o

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN)

INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN) Lortorio Tercero Básico Centro Integrl Empresril por Mdurez CIEM INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA (TÉRMINOS, ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN). Identific los elementos que se piden: ) Los términos de 5r +s ) Los términos

Más detalles

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio NUMEROS IRRACIONALES Conocemos hst hor distintos conjuntos numéricos: - Los n nturles: (, 8,.978), representdos por l letr N - Los n enteros: ( -, -, 8, 68), representdos por l letr Z - Los n rcionles

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS Miguel Angel Rodríguez Pozuet Doctor Ingeniero Industril OBSERVACIONES SOBRE LA NOMENCLATURA En este teto, siguiendo l nomencltur hitul

Más detalles

3º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa NÚMEROS REALES

3º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa NÚMEROS REALES º ESO NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. NÚMEROS REALES.- NÚMEROS RACIONALES Los números rcionles son lo que hbitulmente conocemos como frcciones. Un número rcionl o frcción está compuesto por

Más detalles

Una nueva unidad para medir ángulos: el radián

Una nueva unidad para medir ángulos: el radián Unidd. Trigonometrí Un nuev unidd pr medir ángulos: el rdián Hst hor hemos utilizdo pr medir los ángulos el sistem segesiml. Como y ses cd un de ls 60 prtes igules en ls que se divide l circunferenci se

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Mtemátics II LE.Tem 4: Introducción l teorí de integrción Integrles inmedits MÉTODOS DE INTEGRACIÓN x α = xα+ α+ + C, si α - (f(x)) α f '(x) = (f(x))α+ + C, si α - α + x = x + C f '(x) = f(x) + C f(x)

Más detalles

IES Fernando de Herrera 13 de enero de 2014 Primer trimestre Examen de autoevaluación 1º Bach CCSS NOMBRE:

IES Fernando de Herrera 13 de enero de 2014 Primer trimestre Examen de autoevaluación 1º Bach CCSS NOMBRE: IES Fernndo de Herrer de enero de 04 Primer trimestre Exmen de utoevlución º Bch CCSS NOMBRE: 7 ) ) Representr en l rect rel: b) Qué número es el indicdo en el gráfico? 0 ) Clculr el resultdo simplificdo

Más detalles

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g).

Resolver inecuaciones como las siguientes. Expresar la solución en forma gráfica y algebraica. Comparar las soluciones de los ejercicios e), f) y g). 64 Tercer Año Medio Mtemátic Ministerio de Educción Actividd 3 Resuelven inecuciones y sistems de inecuciones con un incógnit; expresn ls soluciones en form gráfic y en notción de desigulddes; nlizn ls

Más detalles

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO)

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO) TIPOS DE ECUACIONES.- REPASO DE ECUACIONES ( ESO) Eisten diversos tipos de ecuciones, entre ells estudiremos: Polinómics: En ells, l incógnit prece solmente en epresiones polinómics. El grdo de un ecución

Más detalles

= a 11 a 22 a 12 a 21. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13

= a 11 a 22 a 12 a 21. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 Mtemátics Determntes Resumen DETERMINANTES (Resumen) Defición El determnte de un mtriz cudrd n x n es un número. Se otiene sumndo todos los posiles productos que se pueden formr tomndo n elementos de l

Más detalles

CURSO DE NIVELACIÓN 2012 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I

CURSO DE NIVELACIÓN 2012 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I CURSO DE NIVELACIÓN 0 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I 0 EJERCITARIO TEÓRICO DE MATEMÁTICA I. Con relción l potencición, se firm que es un operción: ) Conmuttiv. ) Distriutiv respecto l sum. 3) Distriutiv

Más detalles

Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos:

Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos: Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones Un prolem de ingenio frecuente es: Pensr un número. Sumrle 5. Multiplicr por el resultdo. A lo que se otiene, restrle 9. Dividirlo por. Restrle 8. ECUACIONES Si

Más detalles

2 Números racionales positivos

2 Números racionales positivos Progrm Inmersión, Verno 0 Nots escrits por Dr. M Nots del cursos. Bsds en los pronturios de MATE 00 y MATE 0 Clse #: miércoles, de junio de 0. Números rcionles positivos. Consceptos básicos del conjunto

Más detalles

Álgebra 1 de Secundaria: I Trimestre. yanapa.com. a n. a m = a n+m. (a. b) n = a n. b n. ;. (a n ) m = a n. m.

Álgebra 1 de Secundaria: I Trimestre. yanapa.com. a n. a m = a n+m. (a. b) n = a n. b n. ;. (a n ) m = a n. m. Álgebr 1 de Secundri: I Trimestre I: EXPRESIONES ALGEBRAICAS R Sen 1 Son epresiones lgebrics T 1 log R',, z 3 z A 1 TÉRMINO ALGEBRAICO TÉRMINOS SEMEJANTES ) 3z ; - 3z ; 6z Son términos semejntes b) b;

Más detalles

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción

Matemáticas Propedéutico para Bachillerato. Introducción Universidd Tec Milenio: Preprtori Mtemátics Propedéutico pr Bchillerto Mtemátics Propedéutico pr Bchillerto Actividd. Ley de exponentes (división). Introducción Y prendiste l multiplicción de expresiones

Más detalles

Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Es decir, se pueden expresar en forma de fracción.

Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Es decir, se pueden expresar en forma de fracción. MATEMÁTICAS ºACT TEMA. EL NÚMERO REAL. NÚMEROS RACIONALES. Números rcionles son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Es decir, se pueden expresr en form de frcción. Los números

Más detalles

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 4 n 4 n es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de un sucesión

Más detalles

Ecuación de la circunferencia de centro el origen C(0, 0) y de

Ecuación de la circunferencia de centro el origen C(0, 0) y de CÓNICAS EN EL PLANO. CIRCUNFERENCIA, ELIPSE, HIPÉRBOLA Y PARÁBOLA centrds en el origen CIRCUNFERENCIA Aunque segurmente se sep, recordmos que l circunferenci es el conjunto de puntos que distn un cntidd

Más detalles

INDICADORES DE DESEMPEÑO

INDICADORES DE DESEMPEÑO INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMATICAS ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: HUGO HERNAN BEDOYA TIPO DE GUIA: NIVELACION PERIODO GRADO FECHA DURACION 8º A/B Julio de 0 módulos

Más detalles

GUIA DE MATEMATICA. Coeficiente numérico. Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones aritméticas.

GUIA DE MATEMATICA. Coeficiente numérico. Es toda combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones aritméticas. www.colegiosntcruzrioueno.cl Deprtmento de Mtemátic GUIA DE MATEMATICA Unidd: Álger en R Contenidos: - Conceptos lgericos ásicos - Operciones con epresiones lgerics - Vlorción de epresiones lgerics - Notción

Más detalles

Efectuando la división (2x 2 = 1x y 6 2=3) se tiene III. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN UTILIZANDO ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA.

Efectuando la división (2x 2 = 1x y 6 2=3) se tiene III. PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN UTILIZANDO ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA. TEORIA GENERAL DE LAS ECAUCIONES I. IGUALDADES Y ECUACIONES Ls igulddes son epresiones en donde precen el símolo = Ejemplos:. 5 + = 15-7. + 6 = 5 Alguns propieddes de ls igulddes que utilizremos son: Si

Más detalles

Problemas resueltos. Parte teórica. Y esto es justamente el resultado obtenido en primer lugar pero de manera algebraica. Atención a lo siguiente!

Problemas resueltos. Parte teórica. Y esto es justamente el resultado obtenido en primer lugar pero de manera algebraica. Atención a lo siguiente! Productos Notles I Atención lo siguiente! Si nos piden multiplicr: ( + )( + ) otendremos: ( + )( + ) = + + + o se: ( + ) = + + Lo nterior, es un resultdo otenido lgericmente l multiplicr dos inomios. Sin

Más detalles

c Ejemplo: 25 9x 2 = 0 x

c Ejemplo: 25 9x 2 = 0 x 1.- ECUACIONES POLINÓMICAS Ecuciones de º grdo Son ecuciones donde l incógnit está elevd. Ecuciones de º grdo complets Son del tipo x + bx + c = 0, con b, c 0. Pr resolverls usmos l fórmul b b 4c x L expresión

Más detalles

Clase 11 Tema: Multiplicación entre polinomios

Clase 11 Tema: Multiplicación entre polinomios Bimestre: II Número de clse: Mtemátics 8 Clse Tem: Multiplicción entre polinomios Actividd 38 Hlle el volumen de cd cj. 2 8y 2 + 2 5 3y 2 5 9 3 y 4 2 y + 0 2y 2 y,8 3 y 4 + Actividd 39 Un fáric de empques

Más detalles

En general, si. son números racionales, la suma es un número racional.

En general, si. son números racionales, la suma es un número racional. ... SUMA DE FRACCIONES. Al relizr sums con números rcionles encontrmos csos muy específicos, como son los siguientes: Sum de números rcionles con el mismo denomindor. Pr resolver este tipo de ejercicios

Más detalles

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS ACTIVIDAD ACADEMICA: LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA UNIDAD

Más detalles

Clase 2: Expresiones algebraicas

Clase 2: Expresiones algebraicas Clse 2: Expresiones lgebrics Operr expresiones lgebrics usndo ls propieddes lgebrics de ls operciones sum y producto, propieddes de ls potencis, regls de signos y préntesis. Evlur expresiones lgebrics

Más detalles

DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR

DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR ECUACIÓN DE PRIMER GRADO Se llmn ecuciones igulddes en ls que precen número y letrs (incógnits) relciondos medinte operciones mtemátics. Por ejemplo: - y = + Son ecuciones con un incógnit cundo prece un

Más detalles

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función

Más detalles

LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Pontifici Universidd Ctólic de Chile Fcultd de Educción Nivelción de Estudios pr Adultos CREA Educción Mtemátic Nivel 2 Profesor Jun Núñez Fernández LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Como se mencionó en l clse nterior,

Más detalles

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática 12345678901234567890 M te m átic Tutoril MT-m3 Mtemátic 2006 Tutoril Nivel Medio Función cudrátic Mtemátic 2006 Tutoril Función Cudrátic Mrco Teórico 1. Función cudrátic: Está representd por: y = x 2 +

Más detalles

NÚMEROS REALES, R. Es el conjunto de números que se obtiene al unir el conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales.

NÚMEROS REALES, R. Es el conjunto de números que se obtiene al unir el conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales. NÚMEROS REALES, R CPR. JORGE JUAN Xuvi-Nrón Es el conjunto de números que se obtiene l unir el conjunto de los números rcionles con el conjunto de los números irrcionles. R= QI Los números reles poseen

Más detalles

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 + + + + 4 4 n n + es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de

Más detalles

EXPONENTES Y RADICALES

EXPONENTES Y RADICALES . UNIDAD EXPONENTES Y RADICALES Objetivo generl. Al terinr est Unidd resolverás ejercicios probles en los que pliques ls lees de los eponentes de los rdicles. Objetivos específicos:. Recordrás l notción

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo

Más detalles

Trigonometría. Prof. María Peiró

Trigonometría. Prof. María Peiró Trigonometrí Prof. Mrí Peiró Trigonometri Funciones Trigonométrics Ls funciones trigonométrics son rzones o cocientes entre dos ldos de un triángulo rectángulo. Hy seis funciones trigonométrics: Directs

Más detalles

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES

CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES FUNDAMENTOS DEL ÁLGEBRA CUADERNO DE TRABAJO PARA LA CLASE NÚMEROS REALES NOMBRE ID SECCIÓN SALÓN Prof. Evelyn Dávil Tbl de contenido TEMA A. CONJUNTOS NUMÉRICOS... REGLA PARA LA SUMA DE NÚMEROS REALES...

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

1 Agrupa aquellos monomios de los que siguen que sean semejantes, y halla su suma: , cuando:

1 Agrupa aquellos monomios de los que siguen que sean semejantes, y halla su suma: , cuando: Agrup quellos monomios de los que siguen que sen semejntes, y hll su sum: m, bn y, m, bm, b my, m, n by, mb Son semejntes el º, el º y el º, su sum es: Tmbién lo son el º y el º: bn y 0 Lo mismo ocurre

Más detalles

El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado de los que lo forman.

El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado de los que lo forman. Lección 7:POLINOMIOS 7.- POLINOMIOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO Son cd uno de los monomios que formn un polinomio. Se identificn con l epresión término en (l prte literl que lo form). -6 se llmn términos

Más detalles

Los números enteros y racionales

Los números enteros y racionales Los números enteros y rcionles Objetivos En est quincen prenderás : Representr y ordenr números enteros Operr con números enteros Aplicr los conceptos reltivos los números enteros en problems reles Reconocer

Más detalles

Taller de Álgebra. 0, 1, 2, 3, 4, 5, los llamamos enteros no negativos o números naturales 0.5, 0.333, 0.75, 0.875, 4.333

Taller de Álgebra. 0, 1, 2, 3, 4, 5, los llamamos enteros no negativos o números naturales 0.5, 0.333, 0.75, 0.875, 4.333 Tller de Álger. Dr. Blnc M. Prr UIA Tijun 0. Números reles rect numéric. Números reles son todos los números que representmos en l rect numéric. A cd punto de l rect corresponde un número rel pr cd número

Más detalles

UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS

UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Mtemátic Unidd - UNIDAD N : EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS ÍNDICE GENERAL DE LA UNIDAD Epresiones Algebrics Enters...... Polinomios..... Actividdes... 4 Vlor Numérico del polinomio........ 4 Concepto

Más detalles

A modo de repaso. Preliminares

A modo de repaso. Preliminares UNIDAD I A modo de repso. Preliminres Conjuntos numéricos. Operciones. Intervlos. Conjuntos numéricos Los números se clsificn de cuerdo con los siguientes conjuntos: Números nturles.- Son los elementos

Más detalles

Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS 3º ESO VERANO 2015

Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS 3º ESO VERANO 2015 Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús EJERCICIOS MATEMÁTICAS º ESO VERANO º. Amplific ls siguientes frcciones pr que tods tengn denomindor b c d º. Cuál de ls siguientes frcciones es un frcción mplificd

Más detalles

71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 5. APLICACIONES (EN UNA BASE ORTONORMAL) 6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS Vectores

Más detalles

NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS

NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS Frcción: es un pr ordendo de números nturles con l segund componente distint de cero. (, ) pr ordendo frcción es un frcción N N EQUIVALENCIA DE FRACCIONES * Frcciones diferentes,

Más detalles

GUIA Nº: 7 PRODUCTOS NOTABLES

GUIA Nº: 7 PRODUCTOS NOTABLES CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE INGENIERIAS Y CIENCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION GUIA Nº: 7 PRODUCTOS NOTABLES Productos

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

LÁMINA No. 1.1 LECTURA Y ESCRITURA DE UN NÚMERO

LÁMINA No. 1.1 LECTURA Y ESCRITURA DE UN NÚMERO 6 LÁMINA No. 1.1 REPRESENTACION GRÁFICA DE N N {0, 1,,, 4, 5,...} Propieddes de N: 1. Tiene primer elemento. 0 1 4 5... 1er elemento suc() último elemento. Todo número tiene sucesor. No existe último elemento

Más detalles