Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales

Transcripción

1 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales Transformadas de Ecuaciones por descomposición en fracciones parciales Aquí mostramos como aplicar la transformada de cualquier función racional (una razón de polinomios) expresándola como una suma de fracciones más simples llamadas fracciones parciales. Para ver como funciona en general el método de las fracciones parciales consideremos una función racional Px ( ) f( x) = () Qx ( ) Donde P y Q son polinomios. Es posible expresar f como una suma de fracciones más simples siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q, tal función racional se llama función propia. Recuerde que si n Px ( ) = ax + a x ax+ a 0 donde a 0 () n n n n Entonces el grado del polinomio P es de grado n. Si f es impropia, es decir, que el grado de P sea mayor o igual al grado de Q, entonces debemos dividir Q entre P (mediante la división larga) hasta que se obtenga un residuo R( x) tal que grado de R sea menor al grado de Q Esta división se expresa como Px ( ) Rx ( ) f( x) = S( x) Qx ( ) = + Qx ( ) (3) Donde S y R son también polinomios. Explicaremos los cuatro diferentes casos en que aparecen las fracciones parciales con un ejemplo sencillo de Transformada de Laplace.

2 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 96 CASO I. El denominador Q( x ) es un producto de factores lineales distintos, esto implica que podemos escribir Qx ( ) = ( ax+ b)( ax+ b)...( ax+ b) () k k Donde ningún factor esta repetido. En este caso el teorema establece que existen constantes A, A, A3,..., Ak Tales que Rx ( ) A A Ak = Qx ( ) ax+ b ax+ b ax+ b k k (5) Para explicar cómo determinar esas constantes, lo realizaremos con un ejemplo. Ejemplo Determinar L + s s Factorizando el denominador obtenemos L = L s + s ( s )( s+ ) Descomponiéndolo en fracciones parciales A B L = L + s + s ( s ) ( s+ ) En donde A y B son constantes que debemos determinar. Multiplicando en ambos lados del igual por el denominador ( s )( s+ ) A B s s+ = + ( s )( s+ ) s + s ( s ) ( s+, obtenemos ) Obtenemos ( )( ) ( ) ( ) = A s+ + B s (6)

3 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 97 En cuya ecuación se puede sustituir cualquier valor para s, pero en este caso damos los valores de las raíces del denominado. Haciendo s = se obtiene A = 3 Haciendo s = obtenemos B = 3 Aquí observaremos la propiedad de linealidad. Sustituyendo las constantes, queda L 3 3 = s + s s s + Separando términos 3 3 L = L L s + s s s+ Extrayendo las constantes Mediante fórmulas directas = s + s s s L 3 L 3 L + t f () t = e e 3 3 t Ejemplo Evalúe L s + 6s+ 9 ( s )( s )( s+ ) Existen constantes reales únicas, ABC,, Podemos escribir s + 6s+ 9 A B C = + + ( s )( s )( s+ ) s s s+

4 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 98 s + 6s+ 9 A( s )( s+ ) + B( s )( s+ ) + C( s )( s ) = ( s )( s )( s+ ) ( s )( s )( s+ ) Como los denominadores son idénticos, los numeradores también deben serlo. O bien multiplicando ambos lados del igual por el denominador del lado izquierdo, resulta s s A s s B s s C s s = ( )( + ) + ( )( + ) + ( )( ) Desarrollando el lado derecho del igual En MathCad s + 6s + 9 A [ ( s ) ( s + ) ] + B [ ( s ) ( s + ) ] + C [ ( s ) ( s ) ] Como s ( ) ( s + ) s + s 8, ( s ) ( s + ) s + 3s y ( s ) ( s ) s 3s + Por lo que desarrollando obtenemos s + 6s + 9 As + A s 8A + Bs + 3B s B + Cs 3C s + Agrupando basándose en las potencias de s s + 6s + 9 ( A + B + C) s + ( A + 3B 3C ) s + ( 8 A + B + C ) Al comparar los coeficientes de las potencias de s, en ambos lados de la igualdad, se ve que la ecuación equivale a un sistema de tres ecuaciones con las incógnitas ABC,, Donde A + B + C :=, A + 3B 3C 6 8 A + B + C 9 Sin embargo, recordemos que hay una manera fácil de determinar esas incógnitas. Si igualamos s =, s =, s = en la ecuación C s s A s s B s s C s s = ( )( + ) + ( )( + ) + ( )( )

5 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 99 Para s = tenemos que () + 6() + 9 = A( )( + ) + B( )( + ) + C( )( ) O bien 6 = A( )(5), por lo que 6 A = 5 Para s = tenemos que + + = () 6() 9 A( )( ) B( )( ) C( )( ) O bien 5 = B()(6) Para s = tenemos que + + = ( ) 6( ) 9 A( )( ) B( )( ) C( )( ) O bien Así que, = C( 5)( 6) 5 B = y 6 C = 30 Por consiguiente, la descomposición en fracciones parciales es 6 5 s + 6s+ 9 = ( s )( s )( s+ ) s s s+ Por lo que, aplicando las fórmulas de transformadas inversas s + 6s L = L + L + L ( s )( s )( s+ ) 5 s 6 s 30 s+ Tenemos que L s + 6s = e + e + e ( s )( s )( s+ ) t t t CASO II. Qx ( ) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales están repetidos.

6 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 300 Supongamos que el primer factor lineal ( ax+ b ) se repite veces; es decir, ( ax+ b) ocurre en la factorización de Q( x, ) entonces, en vez del simple termino ecuación del primer caso, usamos n A ( ax+ b) n en la A A A ax b ( ax b) ( ax b) r n (7) Como ilustración, veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo Evalúe s + 5 L ( s 3) La expresión contiene un factor lineal repetido con n = (donde n es el grado del polinomio, y en este caso del factor) por lo que la descomposición supuesta contiene dos fracciones parciales con numeradores constantes y denominadores cuyo grado se va decrementando. De tal manera que se escribe como (7) s+ 5 A B = + ( s 3) s 3 ( s 3) (8) En realidad no importa cual término se ponga primero, puede ir descendiendo el orden del denominador. Multiplicando ambos lados de (8), por el denominador del lado izquierdo obtenemos s+ s A s B s = + ( s 3) s 3 ( s 3) ( 5)( 3) ( 3) ( 3) (9) Simplificando s+ 5 = A( s 3) + B Desarrollando y agrupando en base a las potencias de s el lado derecho del igual s+ 5= As+ ( 3A+ B)

7 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 30 Asociando términos comunes tenemos dos ecuaciones A = y 3A+ B =5 (0) Resolviendo (0), por sustitución, resulta que B = En consecuencia la descomposición obtenida es s + 5 = + s 3 () ( s 3) ( s 3) Transformando inversamente (), L s + 5 = L + L ( s 3) s 3 ( s 3) Dando como resultado basado en las fórmulas de la tabla 3.. s + 5 3t L e t = + e ( s 3) 3t Podemos resolver el problema anterior por otro método, por ejemplo observando la traslación en s. Aplicando el teorema 3.6., de la sección 3.6 ecuación.6 { ( )} ( ) { } () L F s a = L F s = e at f t s s a A s + 5 L, tenemos ( s 3) s + 5 = + ( s ) L L L 3 s s s 3 s s s 3 Obtenemos f () t = e + te 3t 3t En MathCad s + 5 L t exp( 3 t) + exp( 3 t) = ( s 3)

8 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 30 Posiblemente sea más sencillo, por eso debemos observar siempre detenidamente el problema, para decir la mejor opción para su solución CASO III. Q( x ) contiene factores cuadráticos irreducibles, de los cuales ninguno se repite. Si Qx ( ) tiene el factor ax + bx + c, donde b ac < 0, es decir factores cuadráticos irreducibles, o en otras palabras con raíces imaginarias, entonces, lo que hacemos, en base al caso I, agregamos un término lineal al numerador y en el denominador dejamos ese R factor cuadrático irreducible, es decir la expresión para ( x ) tendría un término de la Qx ( ) forma Ax + B + + ax bx c () donde A y B son las constantes a determinar. Ejemplo Siendo Fs () = s ( s + s)( s + ), determinar f ( t ) s s Factorizando el denominador = ( s + s )( s + ) s ( s+ )( s + ), observamos el tercer factor del denominador, y vemos que es un factor cuadrático irreducible, es decir tiene raíces imaginarias. Descomponiendo en fracciones parciales s A B Cs+ D = + + s s s s+ s + ( + )( s + ) (3) Multiplicando ambos lados del igual por el denominador de lado izquierdo ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) s = A s+ s + + B s s + + Cs s s+ + D s s+ () Desarrollando s = As + As + As + A + Bs + Bs + Cs + Cs + Ds + Ds

9 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 303 Agrupando acorde a las potencias de s 3 ( ) ( ) ( ) s = A+ B+ C s + A+ C+ D s + A+ B+ D s+ A Asociando términos de la igualdad obtenemos las siguientes ecuaciones A =, A+ B + C = 0, A+ C + D = 0 y A+ B+ D = O bien sustituyendo ese valor de A en las 3 ecuaciones restantes, obtenemos C = B (5) C + D = (6) B+ D = 6 (7) De tal manera que sustituyendo, (5) en (6), obtenemos B + D = por lo que B+ D = 0 (8) y resolviéndola con (7), concluimos que D = 3, B = 3, A = y C = (9) Sustituyendo los valores de (9) en (3), y antitransformando cada término, resulta s f() t = L s L s+ L s + L s +, finalmente () () t f () t = + 3e + cos t + 3sen t Ejemplo Encontrar L 3 s + s Si factorizamos el denominador obtenemos L 3 = L s + s s( s + )

10 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 30 Descompuesto en fracciones parciales tal como L + = + 3 L A Bs C s + s s s + (0) Podemos observar en (0), que tenemos una suma de funciones para antitransformar, donde se aplica una de las propiedades de la linealidad. También se observa que es un caso I y III mezclados, trabajando con la ecuación (0), para determinar los valores de las constantes. ( + ) s s A Bs+ C = +, multiplicando por el denominador del lado izquierdo del igual s s + A( s ) ( Bs C) s s( s ) = , o bien ( ) ( ) = A s + + Bs + Cs () Podemos dar valores a s, y obtener ecuaciones y resolverlas por algún método conocido. Algunos valores pueden ser las raíces del denominador, como es, Si ( ) ( ( ) ( )) s = 0 al ser sustituida en la ecuación (), resulta = A ( 0 ) + + B 0 + C 0, obtenemos A = () Ahora tomamos s = obtenemos = A( + ) + ( B+ C), por lo que resulta A+ B+ C = (3) sustituyendo el valor de A = queda B+ C = () Si decidimos hacer s = obtenemos que = A( + ) ( B+ C) resultando

11 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 305 A+ B C = (5) Sustituyendo el valor de A = queda B C = (6) Y resolviendo () y (6), B+ C = B C = B =, obtenemos B = y C = 0 Por lo que sustituyendo en (0) obtenemos L = + 3 L s s + s s s + Aplicando la propiedad de linealidad, donde extraemos los coeficientes de la función y separamos los términos para antitransformar cada una de las fracciones s, aplicando fórmulas resultando s + s s s + L = 3 L L f () t = cost (7) CASO IV. Qx ( ) contiene un factor cuadrático irreducible repetido Si Qx ( ) tiene un factor ( ) n ax + bx + c, donde b ac < 0, entonces en vez de la simple fracción parcial del caso III, tenemos la suma Ax + B Ax + B Ax n + Bn ax + bx + c ( ax + bx + c) ( ax + bx + c) n (8) Ejemplo Determinar f ( t ), si Fs () = ( s + ) ( s ) Aquí observamos un caso IV en el denominador, un factor cuadrático irreducible, por lo que descomponemos en

12 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 306 As + B Cs + D E = + + s ( s + ) ( s ) ( s + ) ( s + ) (9) Si multiplicamos ambos lados del igual por el denominador del lado izquierdo( s + ) ( s ) ( )( As B s )( s ) ( Cs D)( s ) E ( s ) = (30) Para determinar los coeficientes, seguimos el método tradicional. Desarrollamos los factores en MathCad ( As. B). s.( s ) As. As. As. 3 As. Bs. 3 Bs. Bs. B (3) ( Cs. D).( s ) Cs. Cs. Ds. D (3) E. s Es. E. s. E (33) ( As. B). s.( s ) ( Cs. D).( s ) E. s As. As. 3 As. As. Bs. 3 Bs. Bs. B Cs. Cs. Ds. D Es. E.. s E Agrupando en base a las potencias 3 = ( A+ E) s + ( A+ B) s + ( A B+ C + E) s + ( A+ B C+ D) s+ ( B D+ E) Obtenemos las siguientes ecuaciones, asociando los coeficientes de potencias iguales A+ E = 0 (35) A+ B = 0 (36) A B+ C + E = 0 (37) = (3)

13 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 307 A+ B C + D = 0 (38) B D+ E = (39) Utilizando los coeficientes y términos independientes, para obtener los valores de los coeficientes, por el método de eliminación de Gauss-Jordan. Realizando operaciones en los renglones del sistema (0), tales como R + R R R + R R R + R R R + R R (0) Seguimos manipulando los renglones, de tal manera que R R R 5 ( ) ( ) R + R R R + R R 5 R5 + R R5, R5 R () Finalmente hacemos la diagonal principal de unos (Gauss-Jordan)

14 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales R + R R R3 + R R R + R R R5 + R3 R Por lo que nuestros coeficientes serían A=, B =, C =, D =, E = () Sustituyendo esos coeficientes en(9) s s = + s ( s + ) ( s ) s + s + ( s + ) ( s + ) (3) Completando para poder utilizar fórmulas resulta ( ) s () s = + * ( ) * s s s s s ( s ) s ( ) ( ) Y antitransformando aplicando fórmulas de la tabla 3. y tabla 3. y() t = cos() t sen() t tsen() t sen() t t cos() t + e t () Simplificando (), resulta yt () = cos() t sen() t tsent () + tcos() t + e t (5)

15 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 309 Utilizando MathCad para la descomposición en fracciones parciales s.( s ) (.( s ) ). ( s ). ( s ) s s Y la transformada inversa en MathCad, la cual coincide con (5) L s.( s ) =. exp( t). cos( t). sin( t). t. cos ( t). t. sin( t) IV " Ejemplo Resuelva el problema y + y + y = te y (0) = 0, y (0) = 0, y (0) = 0 y y (0) = 0 t con condiciones iniciales Observemos primero que aplicando la transformada a ambos lados de la igualdad resulta ( ) (0) '(0) ''(0) '''(0) + ( ) (0) '(0) + ( ) = ( s ) 3 sy s sy s y sy y sy s sy y Y s (6) Sustituyendo condiciones iniciales en (6) y factorizando resulta Y s s + + = ( s ) ()( s ) (7) Despejando (7), necesitamos obtener la transformada inversa de Y() s = + + ), o bien de Y() s = ( s ) ( s + ) ( s ) ( s s Observemos que tenemos en el denominador un factor cuadrático irreducible y repetido, (caso IV), lo cual provoca que tengamos fracciones con el numerador siendo una función lineal, también tenemos un factor lineal repetido (caso II) Por lo que debemos descomponer en fracciones tales como A B Cs+ D Es+ F = s ( s ) ( s + ) ( s ) ( s + ) s + (8)

16 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 30 Si multiplicamos por el común denominador ( ) ( s s + ), ( s ) ( s + ) A( s ) ( s + ) B( s ) ( s + ) = + ( s ) ( s + ) ( s ) s ( Cs + D)( s ) ( s + ) ( Es + F)( s ) ( s + ) + + s + s + ( ) Simplificando obtenemos la ecuación As ( ) Bs ( )( s ) ( Cs D)( s ) ( Es F)( s ) ( s = ) (9) Mediante la sustitución s =, resulta = A(+ ) + B( )(+ ) + ( C+ D)( ) + ( E+ F)( ) ( + ) Simplificando, obtenemos = A, así que A = La ecuación (9), es una identidad que se cumple para todo valor de s. Para encontrar los coeficientes restantes, sustituimos sucesivamente los valores Si s = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = A B C 0 + D 0 + E 0 + F Simplificando B+ D+ F = 3 (50) Si s = 8B C + D 8E+ 8F = 0 (5) Si s = 5B+ C + D+ 0E+ 5F = (5) Si s = 75B 8C + 9D 90E+ 5F = (53)

17 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 3 Si s = 3 00B+ C + 5D+ 0E+ 0F = 96 (5) Un sistema de cinco ecuaciones lineales en B, C, D, E y F. ya sea por el método de ecuaciones simultáneas, por matrices o, como en este caso, valiéndonos de una calculadora capaz de resolver sistemas lineales encontramos que A =, B =, C =, D = 0, E = y F = (55) Sustituimos los coeficientes encontrados en el sistema y obtenemos así s s Y() s = ( s ) s + ( s + ) + s + + s + (56) Ahora bien, aplicando la antitransformada, o transformada inversa (56) s s L { Y() s } = L L + L + L + L ( s ) s ( s + ) s + s + Obtenemos t yt () = ( t ) e + ( t+ ) sent+ cost (57) Pero siguiendo otro método tradicional manual, puede asignar valores de s = () i, o bien s = i =, pues i = As ( ) Bs ( )( s ) ( Cs D)( s ) ( Es F)( s ) ( s = ), donde = A( + ) + B( i )( + ) + ( Ci+ D)( i ) + ( Ei+ F)( i ) ( + ) Simplificando = ( Ci + D)( i ), desarrollando = ( Ci + D)( i + ) = ( Ci + D)( i), = C Di (58)

18 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 3 Asignando, o bien s = i =, pues i = s = i ( ) As ( ) Bs ( )( s ) ( Cs D)( s ) ( Es F)( s ) ( s = ) Donde = A + + B i + + Ci+ D i + Ei+ F i + ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Simplificando = ( Ci + D)( i ), desarrollando = ( Ci + D)( i + ), = ( Ci + D)( i) = C Di (59) ( )( ) = Ci + D i, desarrollando ( Ci D)( i ) = + + +, o bien = C + Di (60) Resolviendo las dos ecuaciones (59) y (60) = C Di = C + Di, por lo que C = y D = 0 8= C Ahora contamos ya con tres valores, que al sustituirlo en As ( ) Bs ( )( s ) ( Cs D)( s ) ( Es F)( s ) ( s = ) Nos queda = ( s + ) + B( s )( s + ) + ( s)( s ) + ( Es+ F)( s ) ( s + ) Podemos darle valores a s en la igualdad y así obtendremos el resto de ecuaciones pero con menos incógnitas. Y los podremos resolver más fácilmente. Si hacemos s = 0, obtenemos 3 = B + F (6) Si hacemos s =, obtenemos

19 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 33 = (+ ) + B( )(+ ) + ( )( ) + ( E+ F)( ) (+ ) Obteniendo = + B( )() + ( )() + ( E+ F)(8), finalmente = B E+ F (6) Si hacemos s =, obtenemos Obteniendo = 5 + 5B + + 5( Es + F), finalmente = ( ) B( )( ) ()( ) ( E F)( ) 5= 5B + E+ F (63) Teniendo(6), (6) y (63) para resolverlas 3 = B + F, = B E+ F, 5= 5B + E+ F (6) Resolviendo (6)y (6)obtenemos que 3 = B = B E+ F = E F, de lo cual E =, Resolviendo (6) y (63) obtenemos que 5= 5B E F = B E + F 6 = 6B 3E, de lo cual B =, Y así ya obtuvimos el resto de incógnitas. Siendo los valores A =, B =, C =, D = 0, E = y F =, que son los valores indicados anteriormente. Ejemplo En el Ejemplo observamos un circuito en serie, donde i( t ) es la corriente y LRyC, son constantes, en un circuito como el de la figura está gobernado por la ecuación integro-diferencial di t L + Ri() t + i( ) d E() dt C τ τ= t (65) 0

20 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 3 Figura Circuito RLC Determinar la corriente i( t ) en el circuito LRC en serie, cuando L = 0.h, R = Ω y C = 0. f, i (0) = 0 y el voltaje aplicado es Et ( ) = 0t 0 ut ( ) Sustituyendo valores en (65) di t ( ) ( ) (66) i i d t u t dt + + τ τ= 0 Transformando ambos lados de la igualdad de (66), y multiplicando todo por 0 Is () s si( s) + 0 I( s) + 00 = 00 e e s s s s Multiplicando el lado izquierdo del igual por s () sis ( ) + 0 sis ( ) + 00 si s (67) s Factorizando ( ) Is () s I s, ( s + 0s+ 00) s Is () s ( s + 0s+ 00) = 00 e e s s s s s (68) Multiplicamos (68) por, usando s + 0s+ 00 = s+ 0 s ( )

21 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 35 I( s) = 00 e s s s s s s ( + 0) ( + 0) ( + 0) Descomponemos en fracciones parciales s( s+0) s e (69) y sabiendo que s s s e e e = s( s 0) ( s 0) s( s 0) ( s+ 0) Utilizando MathCad, para encontrar las fracciones parciales, tenemos que = s ( s + 0) 00 s 0 ( s + 0) 00 ( s + 0) = s ( s + 0) ( s + 0) 00 s 9 0 ( s + 0) + 00 ( s + 0) Por lo que I( s) = 00 e + e + e e s s+ 0 ( s+ 0) s s+ 0 ( s+ 0) ( s+ 0) s s s s (70) Transformando inversamente (70) y aplicando el teorema de traslación de t obtenemos ( ) ( t ) t ( ) ( ) i t = u t e e u t te t e u t ( t ) ( ) 0t ( ) Ejemplo Del ejemplo 3.9., el circuito RLC que se muestra en la figura Donde R = 0Ω, L = h, C = 0.00f, i(0) = t < Et () = 0 t Expresamos el voltaje en términos de la función escalón, por lo que Et ( ) = ut ( )

22 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales 36 Figura Circuito RLC La ecuación que se genera es una ecuación integro-diferencial tal como di L + Ri() t + i( τ) dτ= E() dt C Sustituyendo valores en (7) di t t (7) 0 ( ) t 0 it ( ) 000 i d 90( ut ( ) dt + + τ τ= 0 { d 0 } t Dado que i( ) I() s τ τ = s Is () 90 s s s L si( s) + 0 I( s) = ( e ) I( s) s+ 0 + = e s s s ( ) s + 0s s s s I() s = ( e ) Despejando I( s ), 90 I() s = ( )( ) ( s e ) s+ 0 s+ 00 (7) Trabajando con la fracción de (7) resulta

23 3.6. Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales ( )( ) A B = s+ 0 s+ 00 s+ 0 s+ 00 (73) Sustituyéndola en (7) ( ) I s por lo que () S = e s+ 0 s+ 00 s+ 0 s+ 00 = + s 0 s s+ 0 s+ 00 S S i t L L L e L e Aplicando fórmulas y teorema de traslación en t ( ) ( t ) ( t ) it () = e e u t e e 0t 00t 0 00