TRIGONOMETRIA. π radianes <> 180º

Transcripción

1 TRIGONOMETRIA La trigonometría estudia las relaciones existentes entre los ángulos y los lados de un triángulo. La base de su estudio es el ángulo. Angulo es la porción del plano limitada por dos semirrectas que tienen un origen común. Según el tido del giro decimos que: Un ángulo es positivo si el giro para describirlo es de tido contrario al de las agujas del reloj. Un ángulo es negativo si el giro para describirlo es del mismo tido que el giro de las agujas del reloj. Unidades. Para medir ángulos se emplean como medidas principales: - El giro o ángulo completo. - El ángulo llano. - El cuadrante o ángulo recto. Para unidades secundarias se emplean tres sistemas: - Sistema sexagesimal. Un grado sexagesimal es /60 parte del ángulo completo. El grado a su vez se divide en 60 minutos, y cada minuto en 60 segundos. - Sistema centesimal. Un grado centesimal es /00 parte del ángulo completo. Cada grado centesimal se divide a su vez en 00 minutos centesimales y este a su vez en 00segundos centesimales. - Radianes. Radian es el ángulo central cuyo arco tiene la misma longitud que el radio de la circunferencia. π radianes <> 80º Razones trigonométricas de un ángulo. Seno de un ángulo es la razón constante entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Coo de un ángulo es la razón constante entre el cateto contiguo ó adyacente al ángulo y la hipotenusa. Tangente de un ángulo es la razón constante entre el cateto opuesto y el cateto contiguo ó adyacente. Líneas trigonométricas. Las razones trigonométricas se pueden asociar a las longitudes de los segmentos que genera el radiovector que forma el ángulo en la circunferencia gnométrica(radio).

2 Signo de las rezones trigonométricas Relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo. ²α + ²α tg α + tg²α sec²α + cotg²α ec²α Estas relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo nos permite que, conocida una razón trigonométrica y el cuadrante al que pertenece el ángulo, poder calcular las restantes razones. Es un ejercicio muy básico dentro de la trigonometría y lo único que requiere es conocer las relaciones entre ellas y el signo que toman en cada cuadrante. El siguiente cuadro recoge todas las relaciones que se pueden utilizar en este tipo de ejercicio. + ec α ± α : ± sec α tag α + sec α cotag α + ec α Ejemplo. Calcular todas las razones trigonométricas en los siguientes casos: a. : α < 0º b. π : < α < π c. tag α : 80º < α < 70º d. ec α : 70º < α < 60º e. π sec α : π < α < f. cotag α : 70º < α < 60º α α tag α α cotag α tag α Solución. α ; ec α > 0 a. Sí α < 0º α º Cuadrante: ; sec α > 0 tagα ; cotag α > 0 Conocido el valor del o se calcula el coo mediante la ecuación fundamental. + α

3 α ± α + 8 Conocido el o y el coo se calcula la tangente por su definición. tag α α Conocidas las razones directas (o, coo y tangente) se calculan la inversas (ecante, secante y cotangente) mediante su definición. ec α sec α α cotag α tag α α ; ec α > 0 π b. : Sí < α < π α º Cuadrante: ; sec α < 0 tagα ; cotag α < 0 Conocido el valor del coo se calcula el o mediante la ecuación fundamental. + α 6 ± + Conocido el o y el coo se calcula la tangente por su definición. tag α α Conocidas las razones directas (o, coo y tangente) se calculan la inversas (ecante, secante y cotangente) mediante su definición. ec α sec α cotag α tag α c. tag α : Sí 80º < α < 70º α º Cuadrante: ; sec α < 0 tagα ; cotag α > 0 Conocido el valor de la tangente se obtienen la cotangente y la secante. cotag α tag α tag α + sec α : sec α ± tag α + + Con la secante se obtiene el coo sec α : sec α Conocidas la tangente y el coo se obtiene el o mediante la definición de tangente.

4 tag α : tag α Por último del o se obtiene la ecante. ec α d. ec α : Sí 70º < α < 60º α º Cuadrante: ; sec α > 0 tagα ; cotag α < 0 De la definición de ecante se obtienen el o y la cotangente. ec α : ec α Conocido el valor del o se calcula el coo mediante la ecuación fundamental. ± + α + α Conocido el o y el coo se calcula la tangente por su definición. tag α α Conocidas las razones directas (coo y tangente) se calculan la inversas (secante y cotangente) mediante su definición. sec α cotag α tag α π e. sec α : Sí π < α < α º Cuadrante: ; sec α < 0 tagα ; cotag α > 0 Conocida la secante se calcula el coo y la tangente. sec α : sec α tag α + sec α : tag α ± sec α + ( ) Conocidas la tangente y el coo se obtiene el o mediante la definición de tangente. tag α : tag α Conocidas las razones directas (o y tangente) se calculan la inversas (ecante y cotangente) mediante su definición. ec α : cotag α tag α

5 f. cotag α : Sí 70º < α < 60º α º Cuadrante: ; sec α > 0 tagα ; cotag α < 0 Conocida la cotangente se calcula la tangente y la ecante. cotag α tag α tag α cotag α cotag α + ec α ec α ± cotag α + ( ) + Conocida la ecante se calcula el o ec α ec α Con el o y la tangente se calcula el coo con la definición de tangente. tag α tagα Conocido el coo se calcula la secante. sec α

6 Ángulos asociados Se definen como ángulos asociados aquellos que tienen sus razones trigonométricas relacionadas. Este tipo de relaciones permite conocer las razones trigonométricas de cualquier ángulo de la circunferencia con las de un ángulo del primer cuadrante. Más que aprenderlas de memoria conviene aprender a repretarlas y de esta forma poder establecer la relación entre ellas. Observar que en todas ellas siempre se trabaja con triángulos semejantes, y es cuestión de localizar las posibles igualdades. 6

7 Razones trigonométricas de adición ( α + β) α β + α β ( α + β) α β β tg ( α + β) tgα + tgβ tgα tgβ ( α β) α β α β ( α β) α β + β tg ( α β) tgα tgβ + tgα tgβ Razones trigonométricas del ángulo doble ( α) α ( α) tg ( α) tg α tg² α Razones trigonométricas del ángulo mitad α ; α + ; α tg + Transformaciones de sumas en productos A + B A B A + B A B ( A + B) tg A + tg B A B ( A B) tg A tg B A B 7