Leyes de conservación

Transcripción

1 Cpítulo 5 Leyes de conservción 5.1 Introducción 5.2 Conservción de l cntidd de movimiento Y hemos estudido est ley de conservción en el cpítulo nterior. sistem de N prtículs definimos el impulso totl como Pr un N P = p i Derivndo respecto l tiempo obtenemos dp dt = N dp N i dt = F i donde F i es l resultnte de tods ls fuerzs plicds sobre l i-ésim prtícul. A diferenci del cso de un prtícul, quí debemos distinguir entre ls fuerzs producids por gentes externos l sistem, y ls fuerzs de cción y rección entre ls misms prtículs del sistem. De est mner tenemos pr l prtícul i que F i = F ext i + N F ij j=1 donde, nturlmente, F ii = 0. Reemplzndo en l ecución nterior obtenemos dp dt = i F ext i + i,j F ij Ls fuerzs interns se equilibrn de pres (Ley de cción y rección). Por lo tnto obtenemos 1

2 2 Cpítulo 5. Leyes de conservción dp dt = F ext donde F ext = i F ext i es l resultnte de tods ls fuerzs externs plicds sobre el sistem. Vemos entonces que si F ext = 0, P = constnte, es decir Pr un sistem de prtículs en únic y exclusiv intercción mutu, l cntidd de movimiento totl se conserv. 5.3 Centro de ms Si ls mss m i de ls prtículs individules no vrín, P = d N m i r i dt = dr cm dt donde = N m i es l ms totl del sistem y r cm = 1 N m i r i señl un punto del espcio que llmremos centro de ms del sistem. Vemos que l cntidd de movimiento totl de un sistem de prtículs es igul l producto de l ms totl del sistem por l velocidd de su centro de ms. O se que el centro de ms se mueve como si tod l ms del sistem estuvier concentrd en él y tods ls fuerzs externs se plicrn en ese punto. Si no ctun fuerzs externs, l velocidd del centro de ms es constnte y se lo puede utilizr como bse de un sistem de referenci inercil. 5.4 Problem equivlente de un cuerpo L nterior definición del centro de ms no es simplemente necdótic, sino que permite logrr un muy importnte simplificción del problem de vris prtículs. Pr un sistem de N prtículs islds en intercción mútu, ls ecuciones de Newton dp N i dt = F ij j=1

3 5.4. Problem equivlente de un cuerpo 3 con F ii = 0, representn un sistem de 3N ecuciones diferenciles ordinris de segundo orden. Ls 6N constntes que definen su solución están dds por ls componentes de ls posiciones y velociddes iniciles de tods ls prtículs. Siendo que el sistem está isldo, el movimiento rectilineo y uniforme de su centro de ms r cm está completmente determindo por l condición inicil. Esto hce que ls 3 relciones entre ls 3N coordends del sistem, dds por l definición del centro de ms r cm = N (m i /) r i, permit reducir 3N 3 el número de vribles independientes del sistem. Así, el cso de un sol prtícul isld es trivil, y el cso de dos prtículs puede -tl como veremos en un momento- reducirse un problem equivlente de un cuerpo. En efecto, consideremos un sistem de 2 prtículs islds en intercción mutu por un fuerz que, en principio, sólo puede ser función de l posición reltiv entre mbs prtículs r = r 1 r 2, de sus derivds y, eventulmente, el tiempo, F 12 = F(r, ṙ,..., t). Ls posición reltiv r y l del centro de ms r cm permiten describir completmente el estdo del sistem. r 1 = m 2 r + r cm r 2 = m 1 r + r cm Puesto que r cm es conocido, sólo necesitmos encontrr r = r(t). Pr ello escribimos l segund ley de Newton pr un de ls prtículs, digmos l prtícul 1, F = m 1 d 2 r 1 dt 2 Ahor reemplzmos l expresión nterior pr r 1 F = m 1m 2 d 2 r dt + m d 2 r cm 2 1 dt 2 Finlmente, como d 2 r cm /dt 2 = 0, obtenemos F(r, ṙ,..., t) = µ d2 r dt 2 donde hemos definido l ms reducid µ = m 1m 2 Trbjndo sobre l segund ley de Newton pr l prtícul 2 rribrímos exctmente l mism ecución.

4 4 Cpítulo 5. Leyes de conservción Vemos que l ecución nterior coincide con l segund ley de Newton pr un sol prtícul un distnci r de un centro de fuerzs fijo y de ms µ. Por est reducción un problem equivlente de un prtícul, el problem de dos cuerpos es resoluble. En cmbio, pr N > 2, y slvo en csos muy prticulres, l solución del problem es imposible nlíticmente. ás delnte volveremos sobre este sunto. 5.5 Trbjo y energí En l práctic, el desplzmiento de los cuerpos se reliz bjo l cción de fuerzs. De ello surge l necesidd de crcterizr l cción de ls fuerzs relcionds con dichos movimientos. Volvmos entonces nuestro problem piloto de dos prtículs islds en intercción mutu. Est intercción está crcterizd por un fuerz F 12 = F. Como ntes, notmos con r l vector posición de l prtícul 1 respecto de l prtícul 2. Definimos el trbjo de l fuerz F entre un configurción inicil y otr finl b como l integrl de líne W = F.dr lo lrgo de l tryectori r = r(t). Aplicndo l tercer ley de Newton (F = F 12 = F 21 ) podemos reescribir est ecución como W b = = F 12.d(r 1 r 2 ) F 12.dr 1 + F 21.dr 2 Ahor plicmos l segund ley de Newton dv 1 W b = m 1 dt.dr dv m 2 dt.dr 2 dv b 1 = m 1 dt.v dv 2 1 dt + m 2 dt.v 2 dt = 2 m 1v1 2 1 ) ( b 2 m 1v m 2v2 2 1 ) b 2 m 2v2 2 = (T 1 + T 2 ) b (T 1 + T 2 ) donde hemos definido l energí cinétic T = 1 2 mv2. El resultdo nterior puede enuncirse como que el trbjo relizdo pr psr de un configurción otr b es igul l correspondiente vrición de l energí cinétic T 1 + T 2.

5 5.6. Fuerzs conservtivs Fuerzs conservtivs Supongmos que el trbjo relizdo por un fuerz en un circuito cerrdo culquier -donde volvemos l mism configurción iniciles nulo. Su cpcidd pr relizr trbjo se h conservdo. Decimos que dich fuerz es conservtiv. En virtud de los teorems fundmentles de ls integrles curvilines, podemos expresr est condición en un form más bstrct (y por ello más útil), indicndo que un fuerz F es conservtiv si y sólo si es grdiente de un ciert función esclr V, 1 F = V que llmremos energí potencil. El signo es convencionl. Vemos demás que V está definid menos de un constnte ditiv rbitrri. Volvmos entonces nuestro sistem de dos prtículs y supongmos que l fuerz de intercción entre mbs es conservtiv respecto de l posición reltiv, F = V (r). El trbjo relizdo por dich fuerz es W b = = F.dr V (r).dr = (V V b ) Reemplzndo W b por su expresión en términos de l energí cinétic, encontrmos finlmente que (T 1 + T 2 + V ) = (T 1 + T 2 + V ) b. Esto lo expresmos diciendo que l energí totl E = T 1 + T 2 + V se conserv. Todví nos flt un pso pr llegr l ley de conservción tl como l expresó Huygens l decir que L sum de los productos resultntes de multiplicr l ms de cd cuerpo duro por el cudrdo de su velocidd, es l mism ntes y después del choque. Dónde está el potencil en est ley?. Ocurre que mucho ntes y mucho después de un colisión, ls prtículs están infinitmente seprds un de otr. Por lo tnto V = 0 y l energí cinétic es l mism. 1 Tmbién se suele expresr en el sentido de que el rotor de l fuerz es nulo, F = 0.

6 6 Cpítulo 5. Leyes de conservción 5.7 De quién es l energí potencil? Un últim e importnte clrción: En generl muchos libros de texto hbln de l energí potencil de un prtícul, cundo -por lo que sbemos hst hor- l energí potencil socid un intercción es un propiedd del pr de prtículs sobre l cul ctú, y no de uno u otro cuerpo. Tmpoco tiene sentido signr prte de l energí potencil uno y prte otro. Por ejemplo, volvmos por enésim vez nuestro ejemplo de l intercción entre dos prtículs islds. Supongmos que decidimos definir l energí totl de l prtícul 1 como E 1 = T 1 + V. Vemos entonces que dich energí totl E 1 = E T 2 de l prtícul 1 no se conserv pesr de que sobre ell sólo ctú un fuerz conservtiv (!). Sin embrgo, es muy común trbjr con l energí de un prtícul y decir que ést se conserv, pero esto está conceptulmente equivocdo. Sólo puede justificrse con cierts reservs en dos csos prticulres: Energí cinétic del problem equivlente de un cuerpo Pr nlizr el primero de estos dos csos, clculmos l energí cinétic de un pr de prtículs en términos de ls velociddes del centro de ms v cm y de l coordend reltiv v = dr/dt. Tenemos que r 1 = m 2 v + v cm r 2 = m 1 v + v cm Remplzndo en ls expresión pr l energí cinétic, obtenemos, después de un poco de álgebr, T 1 = m 2 T 2 = m 1 2 µv2 ) 2 µv2 ) + m 1 + m 2 ( ) 1 2 v2 cm ( ) 1 2 v2 cm + µv.v cm µv.v cm donde = y µ = m 1 m 2 /( ) son ls mss totl y reducid del sistem. Sustituimos ests expresiones en l energí totl del sistem E = T 1 + T 2 + V = 1 2 v2 cm µv2 + V

7 5.7. De quién es l energí potencil? 7 Como l velocidd del centro de ms v cm es constnte, podemos eliminr el primer término en l energí (que está definid menos de un constnte rbitrri), escribiendo E = 1 2 µv2 + V (r) Vemos que est energí crcteriz un prtícul fictici de ms reducid µ moviéndose en un cmpo de energí potencil V (r). Esto permite justificr el uso de un terminologí donde se hbl de l energí totl de un prtícul y decir que est se conserv. Pero debemos recordr que esto es un bstrcción referid un prtícul fictici representtiv de un sistem de dos cuerpos en intercción mutu Energí de un sistem de dos cuerpos de mss muy distints Supongmos hor que l prtícul 2 tiene un ms mucho myor que l prtícul 1, m 2 m 1. L ley de conservción de l cntidd de movimiento muestr que en un intercción entre mbs prtículs v 2 = m 1 m 2 v 1 O se l prtícul más pesd prácticmente no modific su velocidd orden m 1 /m 2. Esto suen rzonble, si imginmos -por ejemplo- que l Tierr no deberí modificr su velocidd por su intercción grvittori con un objeto muy pequeño. Como el centro de ms coincide prácticmente con el cuerpo más pesdo r 1 = m 2 r + r cm r + r cm + o(m 1 /m 2 ) r 2 = m 1 r + r cm r cm + o(m 1 /m 2 ) l posición de éste define un sistem proximdmente inercil donde l energí reducid E = 1 2 µv2 + V (r) 1 2 m 1v 2 + V (r) + o(m 1 /m 2 ) puede interpretrse como crcterístic de l prtícul 1 de posición r y velocidd v. Este resultdo sólo puede interpretrse correctmente como un proximción del problem equivlente de un cuerpo. Como m 2 es mucho myor que m 1, su

8 8 Cpítulo 5. Leyes de conservción inerci es tn grnde que difícilmente recibe lgo de l energí cinétic. Prtiendo de ls ecuciones T 1 = m 2 T 2 = m 1 2 µv2 ) 2 µv2 ) + m 1 + m 2 ( ) 1 2 v2 cm ( ) 1 2 v2 cm + µv.v cm µv.v cm obtenemos que, en el sistem centro de ms (es decir, pr v cm = 0), T 1 = m 2 T T T 2 = m 1 T 0 y por lo tnto l prtícul más pesd pens recibe lgo de l energí cinétic. 5.8 Teorem del Viril Antes de terminr, quisier repsr l demostrción de un teorem que, hor les podrá precer lgo descolgdo, pero que dquirirá grn importnci en otros cursos, sobre todo en ecánic Estdístic. Volvmos, como siempre, nuestro problem de dos prtículs islds en intercción mutu. Trbjndo un poco sobre l energí cinétic, tenemos que T = 1 2 µ v2 = 1 2 µ v dr dt = d 1 dt 2 µ v r 1 2 µdv dt r = d 1 dt 2 µ v r 1 2 F r Promedindo durnte un lpso T, obtenemos < T >= 1 T 2 µv r t=t 1 2 µv r t=0 ) 1 2 < F r > Supongmos hor que mbs prtículs relizn un movimiento periódico de orbitción, de mner que después de un cierto tiempo T, que denominmos período, se vuelve repetir l configurción inicil. En dicho cso, obtenemos < T >= 1 2 < F r >

9 5.8. Teorem del Viril 9 Tomndo un tiempo T suficientemente grnde, se obtendrí el mismo resultdo, ún cundo el movimiento no se periódico, siempre que l distnci v y velocidd reltiv v se conserven finits, de mner que l cntidd µv r/2 se mnteng cotd. L ecución nterior se denomin teorem del viril, y el segundo miembro viril de Clusius. Aquí lo demostrmos pr un sistem de dos prtículs, pero puede generlizrse fácilmente pr un sistem con un número rbitrrio de prtículs < T >= 1 < F i r i > 2 i Volviendo nuestro problem de dos prtículs islds, suponemos que l fuerz F es conservtiv (o se derivble de un energí potencil F = V, y centrl, es decir que su dirección coincide con l del vector posición r. En este cso, podemos escribir < T >= 1 2 < V r r > Finlmente, si V es un función potencil de r de l form V = kr n, result < T >= n 2 < V > En el cso especilísimo un fuerz que, como l grvittori ó electrostátic, es inversmente proporcionl l cudrdo de l distnci, n es igul 1, y por lo tnto... < T >= 1 2 < V >