MATRICES. Calcula la matriz X, tal que X B + A = C siendo: Considera las matrices. matriz X que verifica que X A + B = I. Dada la matriz A =

Transcripción

1 MATRICES. Calcula la matri X, tal que X B + A = C siendo: A, B, 6 C Considera las matrices A B, Calcula la matri X que verifica que X A + B = I. Dada la matri 6 A, calcula, si eisten las siguientes matrices: a) Una matri X tal que A X. b) Una matri Y tal que Y A Dada la matri A, determina otra matri B, tal que: A + B = A B Dada la matri 7 8 A, Halla A -. Dada la matri A calcula la epresión: (A t A - ) A Dada la matri A =, calcular An. Si n =, hallar la inversa de B = A

2 Dada la matri A = b) Resuelve el sistema A / / = a) Calcular A + A, Dada la matri A calcula para que valor de, posee inversa para cuales no es inversible. Calcular A -. Dada la matri inversible A hallar: a) A t A, b) A A t, c) A A -, d) A - A, e) A t A -, f) A - A t. Dadas las matrices: b) A B ; c) B A, B Calcula: a) A B ; 8 Dadas las matrices A ; B Calcular a) A + B ; 6 b) A B ; c) A B ; d) A + B ; e) B ; f) A B Dadas las matrices A = a) Resuelve la ecuación X A + X = B b) Calcula la matri inversa de A. B =

3 Dadas las matrices A =, B =, C =, calcular a) A B, b) A B C t, c) Dado el sistema X Y = A X + Y = B, hallar las matrices X e Y, d) calcular A. Dadas las matrices A = a, B =, C = b, Calcular a) a b para que se verifique que A B = C b) Si a = b =, calcular A n por inducción. c) Calcular P = B C + B I 6 8 Dadas las matrices: A = a) A.B ; b) B ; c) Resolver el sistema, B = X + Y = A X Y = B calcular Dadas las matrices: A, B C A B C A B ; A B C AC B ; d) A B ; comprueba las siguientes igualdades: a) C b) A B C A B AC ; c) C e) A B AB Dadas las matrices: A, B Determinar a) la matri inversa de B. b) Determinar una matri X tal que A B X Dadas las matrices A = B =. Hallar una matri X = a b que verifique la ecuación matricial c d X. A + X =. B

4 Dadas las matrices A = B = Resolver a) la ecuación A X B X Y = A = A B ; b) El sistema X Y = B Dadas las matrices A = n, X = B =, a) Hallar los valores de n para los que la matri A tiene inversa. b) Resolver la ecuacion matricial A X = B para n =. (PAU Modelo 7-8) Determina la matri X que satisface la ecuación: X + I = A B A, siendo: A B e I la matri unidad de orden. Encontrar las matrices X tales que A X = X A siendo A =, b) Calcular la matri inversa de A. Encontrar todas las matrices X cuadradas que satisfacen la igualdad X A = A X, en cada uno de los dos casos siguientes: a) A = ; b) A = (PAU Modelo 6-7) Hallar la inversa de la matri (A - ) = (A ) A comprueba sí Hallar la matri inversa de I A siendo: A ; I Hallar las inversas de las matrices:

5 a) A ; b) B Hallar,, para que se verifique + = 8 Resolver el siguiente sistema matricial B A B A Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales: 6 7 Y X 7 6 Y X Resuelve los sistemas matriciales: a) Y X b) Y X Y X 8 X Y Resuelve la ecuación X A + X = B, siendo: A B

6 Resolver la ecuación matricial A X = B siendo: B A ; Resolver la ecuación matricial A.X + B = C siendo A =, B =, C = b) Dada la matri D = calcular D Resuelve la ecuación matricial X A + X = B, siendo A = B =. b) Calcula la matri inversa de A. Resolver la ecuación matricial A B X C X = C siendo A =, B = C = Resuelve la ecuación matricial A = A X + B, siendo: A B Resuelve la ecuación matricial, P X + I = Q, donde I es la matri identidad de orden P Q son las matrices: P ; Q

7 7 Sea A una matri mn. a) Eiste una matri B tal que B A sea una matri fila?. b) Se puede encontrar una matri B tal que A B sea una matri fila?. Si eiste, que dimensión tiene?. c) Busca una matri B tal que A B siendo A Sea la ecuación A X = B con : A B Hallar A - X. Sea la matri A Calcular A a partir de la A n (PAU MODELO 8-9) Sea la matri a A : a) Para cada numero natural n, hallar A n. b) Calcular A A + A. Sea la matri A a) Comprueba que A - = A t ; b) Utiliando el apartado anterior, calcula (A t A) 998. Sea la matri A Se pide: a) Comprobar que A - A =. b) Hallar A n. (PAU MODELO -). Sea la matri A sea n un numero natural. Encontrar el valor de A n para cada n hallar A A.

8 Sean las matrices: que X A X B. 8 9 A, B 6 7. Hallar una matri X tal Sean las matrices: A = B =, Hallar la matri X que verifique A.B X = A + B, b) Calcular A B Sean las matrices A B: A, que verifica la igualdad: X A B = A. B Hallar la matri X Sean las matrices A = B = a) Hallar la matri X que verifique X A B = I ; b) A 86 ; c) Calcular A - Se consideran las matrices A B calcula (A + B), A + AB + B A + B, Por qué no coinciden sus resultados?. Cuál seria la formula correcta para el cuadrado de una suma de matrices?. X = Se consideran las matrices A = ; O = a a a a + a +. a) Calcúlense los valores de a para los cuales no eiste la matri inversa A -. b) Para a = -, calcúlese la matri inversa A -. c) Para a =, calcúlense todas las soluciones del sistema lineal A X = O (PAU Septiembre especifica 9-). ;

9 Se dice que una matri cuadrada A es ortogonal si A A t = I. a) Estudiar si la siguiente matri A = ortogonal. b) Siendo A la matri del apartado anterior, resolver el sistema A =. (PAU modelo -) es Una matri X es idempotente si solo si X = X. Cuáles de las siguientes matrices son idempotentes? A ; B ; C 9

10 PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO DE SISTEMAS DE ECUACIONES. Dos hermanos, tienen entre ambos 9 años uno de ellos le dice al otro: Dentro de 8 años, mi edad será el doble que la tua. Cuantos años tienen cada uno en la actualidad?. El testamento de un padre con hijos contiene las siguientes disposiciones: La parte de mi hijo maor será la mitad de la parte de los otros dos, mas ; la parte del más joven será la media de los otros dos, menos. Si ha que repartir 9, a cuánto toca cada hijo?. El tío Evaristo tiene litros de mecla de agua vino. Al probarla, observa que está mu aguada, por lo que decide añadirle una cierta cantidad de vino entonces la cantidad de agua es del % del total. Como sigue estando aguada, le añade de nuevo la misma cantidad de vino que antes entonces la cantidad de agua es del % del total. Cuantos litros de vino se añaden en cada ocasión cuantas ha de agua?. En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas, en rollos o aceros especiales. Estos productos requieren chatarra, carbón aleaciones en las cantidades que se indican en la tabla, por unidad de producto fabricado: Acero Acero Aceros Laminas rollos especiales Chatarra Carbón 6 6 Aleaciones a) Si se desea fabricar 6 unidades de acero en láminas, unidades de aceros en rollos unidades de aceros especiales, obtén una matri que indique las cantidades de chatarra, carbón aleaciones que serán necesarias. b) Si se dispone de unidades de chatarra, 8 de carbón 9 aleaciones, cuantas unidades de cada tipo de acero se podrán fabricar con estos materiales?.

11 En una autonomía eisten tres hospitales dedicados a urgencias. Se sabe que en el primer hospital se han atendido en doble de casos que en el segundo que en el tercero se han atendido solo la mitad que en el segundo, Si el total de urgencias ha sido de, cuántas prestaciones ha realiado cada hospital? Plantear el sistema resolverlo. En una confitería envasan los bombones en cajas de g, g Kg. Cierto día se envasaron 6 cajas en total, habiendo cajas más de tamaño pequeño que de tamaño mediano. Sabiendo que el precio del kg de bombones es de euros que el importe total de los bombones envasados es de euros: a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar cuántas cajas se han envasado. b) Resuelve el sistema. Juan le dice a Pedro: Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando o tenía la edad que tú tienes. La suma del triple de la edad que tu tienes con la que o tendré cuando tu tengas la edad que o tengo es de 8. Cuáles son las edades actuales de Juan Pedro?. La suma de las edades en el momento actual, de un padre sus dos hijos es de 7 años. Dentro de años, la edad del padre será el doble de la edad del hijo menor. Hace años, la edad del hijo maor era el doble de la edad de su hermano. Hallar la edad actual de cada uno. La suma de las tres cifras de un número es 7. La cifra de las centenas es igual a la suma de la cifra de las decenas más el doble de la cifra de las unidades. Si se in-vierte el orden de las cifras, el nuevo número ha disminuido en 97 unidades. Calcular el número. Los gastos diarios de tres estudiantes, Marta, Raúl Pedro, suman,. Si a lo que gasta Marta se le suma el triple de la diferencia entre los gastos de Raúl Pedro obtendremos lo que gasta Pedro. Además, ocho veces la diferencia entre el gasto de Raúl el de Marta es igual al gasto de Marta. Averigua cuál es la cantidad que gasta cada uno.

12 Por 9 entradas de Butaca de Patio (BP), 6 de Anfiteatro I (AI) 9 de Anfiteatro II (AII) una persona ha pagado 8 euros. A otra persona le han cobrado euros por de AI 6 de AII, una tercera persona paga 6 euros por de BP, de AI de AII. a) Determina, solo con estos datos, el precio de las Butacas de Patio. b) Puede hallarse el precio de las entradas de Anfiteatro I II?. c) Si el precio de las entradas de anfiteatro I es el doble que el de las de Anfiteatro II, pueden saberse los respectivos precios?. Hállalos. Resuelve el sistema que se obtenga del siguiente enunciado: Cuantos litros de leche con % de grasa han de meclarse con leche del % de grasa, para obtener litros de leche con el % de grasa?. Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos A,B C. El A tiene cal por cada gr de alimento, el B tiene cal por cada gr el C cal por cada gr. A) Si la dieta consta de gr de alimentos por día, dicha dieta está restringida a 8 cal eactas la cantidad de alimento A ingerido debe de ser doble en peso que la cantidad de alimento de C. Hallar las cantidades que debe de ingerir de cada uno de los alimentos. Se desea meclar vino de, céntimos el litro con otro de, céntimos el litro, de modo que la mecla resulte a, céntimos el litro. Cuántos litros de cada clase deben de meclarse para obtener litros de mecla. Si a un numero de dos cifras se le suma 8, se obtiene un numero con las cifras intercambiadas. Sabiendo que la suma de las cifras del número es 6, encuentra dicho numero. Si la altura de Carlos aumentase el triple de la diferencia entre las alturas de Toni de Juan, Carlos seria igual de alto que Juan. Las alturas de los tres suman cm. Ocho veces la altura de Toni es lo mismo que nueve veces la altura de Carlos. Hallar las tres alturas.

13 Si la suma de las dos cifras de un número es al invertir el orden de las cifras, el nuevo número aumenta en 7 unidades. Calcular el número. Si se meclan 6 litros de vino blanco con litros de vino tinto, se obtiene un vino del % de alcohol. Si, por el contrario se meclan litros de vino blanco con 6 litros de tinto, se obtiene un vino de % de alcohol. Qué graduación tendrá una mecla de litros de vino blanco litros de tinto?. (Llamar a la graduación del vino blanco, a la graduación del vino tinto, a la graduación de la mecla) Sumando los años de antigüedad de tres empleados A, B C, se obtienen años. Además, el doble de las antigüedades de B de C es igual al triple de la antigüedad de A, la diferencia de antigüedad entre B C es igual al % de la antigüedad de A. Determina los años de antigüedad de cada empleado. Tres personas A, B C van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 euros. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B C juntos, por cada euros que paga B, C paga euros. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada uno de ellos. b) Resuelve el sistema planteado por el método de Gauss. Un ama de casa adquirió en el mercado ciertas cantidades de patatas, mananas naranjas a un precio de,,, euros por kg respectivamente. El importe total de la compra fue de,6 euros. Si el peso total de la misma es de 9 kg, además, compró kg más de naranjas que de mananas: a) Plantea un sistema de ecuaciones para determinar la cantidad adquirida de cada producto, b) resuelve el sistema.

14 Un automóvil sube las cuestas a km/h, las baja a 9 km/h en llano marcha a 8 km/h. Para ir de la ciudad A a la B tarda horas minutos para volver de B a A, horas 8 minutos. Cuál es la longitud del camino llano entre A B si se sabe que A B distan entre sí 9 km?. Un estudiante hio un eamen que constaba de tres preguntas obtuvo un 8 de calificación. En la segunda pregunta saco puntos más que en la primera en la tercera obtuvo punto más que en la segúnda. Plantea el sistema de ecuaciones resuélvelo por el método de Gauss. Un número de tres cifras verifica que: a) La suma de sus cifras es. b) La diferencia entre las cifras de las centenas las decenas es. c) Si se intercambian las cifras de las unidades las centenas, el número disminue en 98 unidades. Encuentra dicho número. Un pastelero desea vender cajas que contengan al menos unidades, con dulces de dos clases a un precio menor de. Si el precio de coste de cada una de las clases de dulces es de céntimos la unidad: a) encuentra de forma gráfica el conjunto de soluciones. b) Si la caja no puede estar vacía ni contener una sola clase de dulce, halla todas las posibles combinaciones de las cajas que satisfacen las condiciones impuestas por el pastelero. Un viñatero posee tres tipos de vino con precios por litro de, 7 euros, respectivamente. Cómo debería meclarlos para obtener un litro de vino cuo precio fuese euros el litro, teniendo en cuenta que debe emplear doble cantidad del vino de euros por litro que del vino que solo cuesta euros el litro?. Una madre sus dos hijos tienen en total 6 años. El hijo maor tiene veces la edad del menor la madre tiene el doble de edad que la suma de las edades de sus hijos. Plantear el sistema de ecuaciones con incógnitas resolverlo por Gauss. Una marca comercial utilia tres ingredientes A, B C en la elaboración de tres pias P, P P. P se elabora con unidad de A, de B

15 de C; P con unidades d A, de B de C, P, con unidades de A, de B de C. El precio de venta al público es de para P,, para P, para P. Sabiendo que el margen comercial (beneficio) es de en cada una de ellas, qué le cuesta a dicha marca comercial cada unidad de A, B C?. Justifica la respuesta. Una multinacional de seguros, tiene delegaciones en Madrid, Barcelona Valencia. El número total de ejecutivos de las tres delegaciones asciende a. Para que el número de ejecutivos de la delegación de Barcelona fuese igual al de Madrid, tendrían que trasladarse tres de ellos de Madrid a Barcelona. Además, el número de los ejecutivos de Madrid ecede en uno a la suma de los destinados en las otras dos ciudades. Cuántos ejecutivos están destinados en cada ciudad?. Una refinería compra petróleo a dos países A B. Comprando barriles al país A barriles al país B, resulta un precio medio de 9 87 dólares el barril. Comprando barriles al país A al país B, el precio medio es de 8 dólares el barril. Cuánto cuesta el barril de crudo de cada país?.

16 Una empresa instala casas prefabricadas de tres tipos A, B C. Cada casa de tipo A necesita horas de albañilería, horas de fontanería de electricista. Cada casa de tipo B necesita horas de albañilería, horas de fontanería de electricista. Cada casa de tipo C necesita horas de albañilería, 6 horas de fontanería de electricista. La empresa emplea eactamente 7 horas de trabajo al mes en albañileria, 68 de fontanería 8 de electricista. Cuántas casas de cada tipo instala la empresa en un mes?. (PAU Septiembre 7-8)

17 7 SISTEMAS DE ECUACIONES Averigua si es posible escribir un sistema lineal homogéneo (sus términos independientes son nulos) de dos ecuaciones con dos incógnitas que sea: a) compatible determinado; b) compatible e indeterminado; c) incompatible. Raona la respuesta en cada caso pon un ejemplo cuando la respuesta sea afirmativa. Clasifica resuelve el siguiente sistema: 6 6 t t t t Considera la matri m siendo m un parámetro real. Se pide: a) Calcula el rango de A según los valores del parámetro m, b) Considera el sistema de ecuaciones lineales A Discute si eiste solución según los valores del parámetro m. En caso afirmativo resuelve el sistema. c) Para m = 7, considera el sistema de ecuaciones lineales A discute si eiste solución. Dado el sistema: 6 a) Obtén su matri de coeficientes. b) Calcula su inversa. c) Sin resolverlo, raona si tendrá una única solución. Dado el sistema de ecuaciones lineales : a) Eprésalo en la forma matricial AX = B calcula la A -. b) Resuélvelo.

18 Dado el sistema lineal de ecuaciones, dependiente del pa rametro real a: + a + = + a = + + = a) Discutir el sistema para los distintos valores de a. b) Resolver el sistema para a = a =. (PAU Junio 6-7) Discute el sistema en función de los distintos valores de n, resuélvelo cuando sea posible. n Discute los sistemas resuelve donde proceda: a) 9 7 b) 6 Discute resuelve el siguiente sistema según los distintos valores del parámetro a: a a 6 Estudia según los valores del parámetro, es sistema de ecuaciones lineales: Resuélvelo en el caso de que sea compatible indeterminado. Halla el valor del parámetro k para que las tres rectas del plano, definidas por las siguientes ecuaciones, sean concurrentes en un punto. k

19 9 Obten los valores,, que verifican la siguiente ecuación matricial: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: Resuelve el sistema: 9 6 Resuelve por el método de Gauss: a) 6 b) 7 c) d) 6 7 e) 7 6 f) g) 8 h) Resuelve, por el método de Gauss, este sistema: Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real a: + a = 7a. a) Discútase el sistema para los diferentes valores del parámetro a. b) Resuélvase el sistema para el valor de a para el cual el sistema tiene infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para a =. (PAU Septiembre común 9-)

20 Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del + k + = parámetro k: + k = a) Discútase el sistema para los diferentes valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso de que tenga + + = infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = (PAU modelo 9-). m Sea el siguiente sistema de ecuaciones, en función del parámetro m: m a) Eprésalo en forma matricial, siendo los elementos de una de las matrices que intervienen las variables e. b) Discútelo según los valores del parámetro m. c) Determina su solución para m = Sea el sistema de ecuaciones lineales: a) Escríbelo en forma matricial. b) Justifica sin resolverlo que no tiene solución única. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente k + 7 = 8 del parámetro k: + k = a) Discútase el sistema para los + + = diferentes valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = (PAU Junio Específica 9-). Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente + + = del parámetro k: + k + = a) Discútase el sistema para los k = 6 diferentes valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = (PAU Septiembre 8-9).

21 Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente + + k = del parámetro k: + = a) Discútase el sistema para los + = diferentes valores de k. b) Resuélvase el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones. c) Resuélvase el sistema para k = (PAU Junio 8-9).

22 PROGRAMACIÓN LINEAL Dibuja la región definida por las siguientes desigualdades determina en ella el punto en el que la función f(,) = 6 + toma el valor máimo: 7 9 Doscientas personas quieren organiar una ecursión con una empresa que dispone de autobuses de plaas cada uno autobuses de plaas cada uno. El alquiler de un autobús grande es de 8, el alquiler de uno pequeño es de. Qué combinación de autobuses minimia el costo de la ecursión si la empresa dispone de conductores?. Los alumnos alumnas de primero de Bachillerato, con el objetivo de recaudar fondos para el viaje fin de curso, deciden vender paquetes de dulces navideños. Disponen de kg de polvorenes 8 kg de mantecados. Acuerdan hacer dos tipos de paquetes: uno, a un precio de, formado por gr de polvorones gr de mantecados, otro, a un precio de, que contiene gr de polvorenes gr de mantecados. Cuántos paquetes de cada tipo les interesa vender?. Me ofrecen la posibilidad de vender hasta un máimo de toneladas de dos productos A B, dándome una comisión de por tonelada vendida de A por tonelada vendida de B. Averigua cuantas toneladas debo vender de A de B para maimiar la ganancia. Representar la región del plano definida por el siguiente sistema de + 6 inecuaciones + +. Maimiar la funcion f, = en la región obtenida. Minimiar la funcion g, = (PAU modelo 7-8)

23 Se considera la región del primer cuadrante determinada por las inecuaciones: 8 6 a) Dibuja la región determina sus vértices, b) Dada la función objetivo f(,) = +, halla donde alcana dicha función su valor mínimo calcúlalo. Se considera la región factible dada por el siguiente conjunto de inecuaciones: 9. Representa la región factible que determina el sistema de inecuaciones halla la solución mínima máima para que cada una de las siguientes funciones: a) f(,) = + ; b) f(,) = - Se necesita una dieta que proporcione a un animal calorías 8 unidades de proteínas diarias. En el mercado ha dos alimentos básicos que pueden usarse para preparar la dieta. El alimento A cuesta céntimos/kg, contiene 6 calorías unidades de proteínas. Y el alimento B cuesta céntimos/kg, contiene calorías 8 unidades de proteínas. Determina la combinación de alimento más económica que satisfaga las necesidades de la dieta. Se va a organiar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas mecánicos; por necesidades del mercado, es necesario que haa maor o igual numero de mecánicos que de electricistas, que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total, ha disponibles electricistas mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de por electricista de por mecánico. Cuántos trabajadores de cada clase deben de elegirse para obtener el máimo beneficio?.

24 Un grupo inversor dispone de un máimo de 9 millones de euros para invertir en dos tipos de fondos de inversión, A B. El fondo de inversión tipo A tiene una rentabilidad del % anual una limitación legal de millones de euros de inversión máima. El fondo de inversión del tipo B tiene una rentabilidad del % anual, deben de invertirse al menos millones de euros no ha límite superior de inversión. El grupo inversor desea invertir en el fondo del tipo B, como máimo, el doble de lo invertido en el fondo del tipo A. Qué cantidad debe invertir el grupo en cada tipo de fondo para obtener el máimo beneficio anual?. Calcúlese dicho beneficio máimo. (PAU Septiembre especifico 9-) Un pastelero tiene kg de harina, kg de aúcar 7, kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles, P P. Para elaborar una docena de pasteles de tipo P necesita kg de harina, kg de aúcar kg de mantequilla, para hacer una docena de tipo P necesita 6 kg de harina,, kg de aúcar kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena del tipo P es por una docena de tipo P es. Halla él numero de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máimo. Un pintor necesita pintura par pintar como mínimo una superficie de 8 m. Puede comprar la pintura a dos proveedores, A B. El proveedor A le ofrece una pintura con un rendimiento de 6 m por kg. un precio de por kg. La pintura del proveedor B tiene un precio de, por kg un rendimiento de 8 m por kg. Ningún proveedor le puede proporcionar más de 7 kg de pintura el presupuesto máimo del pintor es de. Calcúlese la cantidad de pintura que el pintor tiene que comprar a cada proveedor para obtener el mínimo coste. Calcúlese dicho coste mínimo. (PAU Septiembre común 9-).

25 Una compañía naviera dispone de dos barcos A B para realiar un determinado crucero. El barco A debe hacer tantos viajes o más que el barco B, pero no puede sobrepasar viajes. Entre los dos barcos deben de hacer no menos de 6 viajes no más de. La naviera obtiene un beneficio de 8 por cada viaje del barco A por cada viaje del B,. Se desea que las ganancias sean máimas. a) Epresar la función objetivo. b) Describir mediante inecuaciones las restricciones del problema representar gráficamente el recinto definido. c) Hallar el numero de viajes que debe efectuar cada barco para obtener el máimo beneficio. Calcular dicho beneficio máimo. (PAU Modelo -) Una empresa constructora dispone de un total de 9 m de terreno urbaniable. Decide construir dos tipos de viviendas unifamiliares: unas, en parcelas de m, que albergaran a familias de una media de miembros, cuo precio de venta será de ; otras, en parcelas de m, en donde vivirán familias de una media de miembros, costaran. Las autoridades del municipio le imponen dos condiciones: () él número de casas no puede superar las 7; () el número de habitantes esperado no puede ser superior a personas. Cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para maimiar los ingresos por ventas?. Una fábrica de adornos produce broches sencillos broches de fiesta. Sé obtiene un beneficio de por cada broche sencillo de 6 por cada broche de fiesta. En un día no se pueden fabricar más de broches sencillos ni más de de fiesta, tampoco pueden producirse más de broches en total. Suponiendo que se logra vender toda la producción de un día, cuál es él numero de broches de cada clase que conviene fabricar para obtener el máimo beneficio?. Calcula la producción necesaria para conseguir el máimo beneficio si se obtiene 6 para cada broche sencillo, para cada broche de fiesta.

26 Una fábrica tetil elabora prendas de punto de calidades A B. Las prendas de calidad A se fabrican con unidad de lana unidades de fibra sintética, las de calidad B con unidades de lana de fibra sintética. Los beneficios obtenidos en la venta de las prendas son de para las de calidad A para las de calidad B. Sabiendo que solo se dispone de 8 unidades de lana de fibra sintética, se pide: a) Determina cuantas prendas de cada tipo deben de elaborarse para obtener un beneficio máimo si la producción no puede ser superior a prendas. b) A cuanto ascenderá dicho beneficio?. Una granja de aves cría pollos patos con un coste por cada uno de de respectivamente, los vende a,8 el pollo a, el pato. Sabiendo que la capacidad máima de la granja es de animales que solo se dispone de para invertir en pollos patos, se pide: a) Determina él numero de pollos patos que se pueden criar para obtener un beneficio máimo. b) Cuál será dicho beneficio máimo?. Un club de futbol dispone de un máimo de millones de euros para fichajes de futbolistas españoles etranjeros. Se estima que el importe total de las camisetas vendidas por el club con el nombre de futbolistas españoles es igual al % de la cantidad total invertida por el club en fichajes españoles, mientras que el importe total de las camisetas vendidas por el club con el nombre de futbolistas etranjeros es igual al % de la cantidad total invertida por el club en fichajes de etranjeros. Los estatutos del club limitan a un máimo de 8. la inversión total en fichajes etranjeros eigen que la cantidad total invertida en fichajes de futbolistas españoles sea como mínimo de.. Además, la cantidad total invertida en fichajes españoles ha de ser maor o igual que la invertida en fichajes etranjeros. Qué cantidad ha de invertir el club en cada tipo de fichajes para que el importe de las camisetas vendidas sea máimo?. Calcúlese dicho importe máimo justifíquese. (PAU Junio especifica 9-).

27 Una carpintería vende paneles de contrachapado de dos tipos A B. Cada m de panel de tipo A requiere, horas de trabajo para su fabricación, horas para su barniado, proporcionando su venta un beneficio de. Cada m de panel B requiere, horas de trabajo para su fabricación, horas para su barniado, proporcionando su venta un beneficio de. Sabiendo que en una semana se trabaja un máimo de horas en el taller de fabricación de horas en el taller de barniado, calcular los m de cada tipo de panel que debe vender semanalmente la carpintería para obtener el beneficio máimo. Calcular dicho beneficio máimo. (PAU Septiembre 8-9). Una refinería utilia dos tipos de petróleo, A B, que compra a un precio de por tonelada respectivamente. Por cada tonelada de petróleo de tipo A que refina, obtiene, T de gasolina, T de fuel-oil. Por cada tonelada de petróleo de tipo B que refina, obtiene, T de gasolina, T de fuel-oil. Para cubrir sus necesidades, necesita obtener al menos T de gasolina al menos T de gas-oil. Por cuestiones de capacidad, no puede comprar más de T de cada tipo de petróleo. Cuántas toneladas de petróleo de cada tipo debe de comprar la refinería para cubrir sus necesidades al mínimo coste?. Determinar dicho coste mínimo. (PAU Junio 8-9). Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que, distribuidos entre acciones del tipo A del tipo B. Las acciones de tipo A garantian una ganancia del % anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mínimo de un máimo de 8. Las acciones de tipo B garantian una ganancia del % anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mínimo de. La cantidad de acciones invertidas de tipo B no puede superar al triple de la cantidad invertida en acciones de tipo A. Cuál debe de ser la distribución de la inversión para maimiar la ganancia anual?. Determínese dicha ganancia máima. (PAU Septiembre 8-9). 7