Tema 7: Determinantes, Matriz Inversa y Rango

Transcripción

1 Te 7: Deeries, Mriz Ivers y Rgo El eerie e l riz ur e ore se sioliz or o esriieo los eleeos e ere os res veriles Cálulo e Deeries e Ore U eerie e seguo ore es igul l rouo e los eleeos e l igol riil eos el rouo e los eleeos e l igol seuri. Ejelo: 7..- Cálulo e Deeries e Ore Pr lulr el eerie e u riz e ore, uilizos l regl e Srrus: Ejelo: Proiees e los eeries: Ls ás iores, ue oviee esr so ls siguiees:.- U eerie ue iee oos los eleeos e u líe fil o olu igules, es igul ero. Ejelos: Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. 89

2 U eerie ue iee os líes rlels igules es ulo. Ejelo: Porue l líe y l so igules..- U eerie e el ue los eleeos e u líe so úliles e los eleeos e u rlel ell es ulo. Ejelo: Porue l líe es l líe ulili or..- U eerie e el ue los eleeos e u líe so oiió liel e los e ors líes rlels ell es ulo. Ejelo: 9 Porue l olu es l su e l y l El eerie e u riz ur es igul l e su rsues. Ejelos:.- Si se ieri ere si os fils o os olus, el eerie i e sigo. e f e f g h i g h i e f f e g h i g i h 7.- Si se ulili oos los eleeos e u líe fil o olu or u iso úero α, el vlor el eerie ue ulilio or iho úero. Ejelo: El eerie e u riz rigulr, es igul l rouo e los eleeos e l igol riil. Ejelo: 9.- El vlor e u eerie o vri, si u líe le suos or líe rlel ulili or u úero λ, y los e or rlel ulili or β, e.. Ejelo: 7 8 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. 9

3 Se y ries e ore, el eerie el rouo, es el rouo e los eeries..- Se u riz e ore, y se u úero url, eoes: Defiiió: U riz se ll regulr si su eerie es o ulo.. E so orrio se ll sigulr. Mriz Regulr Cur eerie o ulo 7..- Meor oleerio y juo e u eleeo D u riz ur e ore, se ll eor oleerio el eleeo ij l eerie e ore -, ue se oiee l suriir l fil i, y l olu j o l fil y l olu ue se ruz e ij. Lo reresereos or α ij Ejelo: Clulr los eores oleerios e los eleeos, y e l siguiee riz. α, α, α 9 Se ll juo e u eleeo ij e u riz, l vlor el eor oleerio reeio el sigo ás o eos segú se r o ir l su e los suíies ij. Se rereserá or ij y se suele esriir oo: i j α ij ij Los suesivos juos e los eleeos e u riz iee sigos lerivee o or fils oo olus osiivos y egivos eezo or el riero ue es siere osiivo, eso es:..- Resoluió e u eerie e uluier ore Méoo e los juos: Es u éoo r resolver eeries e uluier ore. Pr ello usos l líe ue ás eros eg. Y si o los iee, rouros herlos. Eoes el eerie es igul l su e los rouos e los eleeos e u líe or sus reseivos juos, eso es:... i i i i i i Uilizo el éoo e los juos y lio lgus e ls roiees e los eeries, oeos overir el álulo e eeries olios, e oros eeries uho ás seillos. Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. 9

4 Ejelo 7.: Clulr el eerie: Ese eerie es e ore, lio ireee el éoo e los juos or l fil, oeeos: Teríos ue lulr eeries e ore, e los ue es uy fáil oeer lgú error. Pero si ieos usr eros oio fils o olus, oeos her ue el eerie se e uy fáil resoluió. ' ' ' ' ' ' ' Heos overio u eerie e ore e uo e ore ue se resuelve e er uho ás seill Ivers e u riz: D u riz ur. Se ll ivers e y se rerese or - l riz ue ulili or l riz oo resulo l riz iei, es eir: I L riz erá ivers si y solo sí es ur y su eerie es isio e ero, o lo ue es lo iso si es u riz regulr. E l rái, r hllr l riz ivers e l riz, se sigue los siguiees sos: Se hll el eerie e. Si, eios ue o eise l riz ivers,. Sí oiuos. Clulos l riz rsues e.. Clulos l riz ju e y se ivie or. L ivers e u riz, viee or l eresió: j Ejelo 7.: Clulr l ivers e l riz Lo riero es lulr su eerie:, oo es isio e ero, lulos l riz Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. 9

5 rsues., y hor l ju l rsues: j. Y or úlio, iviios or su eerie: j Euioes Mriiles: L riz ivers fili l resoluió e ls euioes riiles el io: C, uo es u riz es Regulr. C De oe C Y ulilio or l izuier or e os los e l igul eeos: Oero: C C De oe: I C Ejelo 7.: Resolver l euió riil C, sieo:,, C Desejo e l euió, eeos: C Mulilio e os los e l igul or l ereh or : C De oe: C Y oero: C Veos hor si ie ivers: Por o eise l ivers e. L ivers e es, y l soluió e l euió es: C Rgo e u riz Llos eor e ore e u riz l eerie ue resul e eliir iers fils y olus hs uer u riz ur e ore. Es eir, l Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. 9

6 eerie e uluier suriz ur e suriz oei suriieo lgu fil o olu e l riz. E u riz uluier uee her vrios eores e u iero ore o. Defiiió º RNGO e u riz es el ore el yor e los eores isios e ero. Por o, el rgo o uee ser yor l úero e fils o e olus. Defiiió º RNGO e u riz es el úero e líes e es riz fils o olus ue so lielee ieeiees. U líe es lielee eeiee e or u ors uo se uee esleer u oiió liel ere ells. P. Ej., si f f - f, eoes eios ue f es lielee eeiee e f y f. U líe es lielee ieeiee e or u ors uo o se uee esleer u oiió liel ere ells. El rgo o rerísi e u riz se sioliz el siguiee oo : rg o r OPERCIONES ELEMENTLES QUE PUEDEN RELIZRSE CON UN MTRIZ PR CLCULR SU RNGO SIN QUE ÉSTE VRÍE. Ierir os líes ere sí.. Suriir u líe ue eg oos sus eleeos ulos.. Suriir u líe ue se rooriol or.. Suriir u líe ue se oiió liel e or/s. Mulilir o iviir u líe or u úero isio e ero.. Susiuir u líe i e ese oo : L i L i L j 7. Susiuir u líe i e ese oo : L i L i L j Ls roiees eriores NO uee ser lis e el álulo e eeries, ues lerrí el vlor e los isos, eeo e el so 7. Si ergo, os ells uee uilizrse r verigur el rgo e u riz si ue se oifiue el vlor e ése. Coo íio, el rgo e u riz siere será, slvo r l riz ul, uyo rgo es ero. Pr oer lulr el rgo e u riz és o iee or ue ser eesriee ur. U riz ur e ore "", oo áio su rgo es. U riz ur e ore "" es iversile regulr si el rgo es. Es eir, uo ls fils olus so lielee ieeiees. Direos ue os ries y so euivlees ~ si iee el iso rgo. Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. 9

7 Cálulo el rgo e u riz º Méoo :so e el álulo e eores. Coezo or el ore, se reliz el roeso siguiee r u e uluier Se us u eor α e ore, eoes el rgo será Se ñe iho eor u fil i, y u e ls olus ue e él o figur, oeiéose sí eores e ore. Si oos esos eores so ulos, sigifi ue l fil i es oiió liel e ls fils el eor erior, or lo ue oeos eliir es fil. Seguios roo o ls reses fils, si oos los eores sí foros so ulos, eoes l riz iee sólo fils lielee ieeiees, ue so ls ue ree e el eor, y or o su rgo es. Si lguo e los eores es isio e ero, el rgo es y reeios el roeso r oro ore suerior. Ejelo 7.: Clulr el rgo e l riz Elegios u eor e ore, or ejelo α Rg Elegios oro eor e ore, α 8 8 Rg Elegios uo e ore : α Rgo Si l elegir u eor e ore os, elegios oro, y sí suesivee hs elegir oos, si oos so, el rgo es. De l is for, uo elegios eores e ore. º Méoo : Cooio oo "Méoo e Guss" Se uiliz o freuei e l resoluió e sises e euioes lieles. Vos esriir el éoo or fils e igul for serí or olus. ásiee osise e her ulos los eleeos ue hy ejo e los ii o i,,,..., - ; y el rgo fil será el úero e fils isis e ero. El éoo os e - es, sieo el úero e fils. Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. 9

8 E u e i uluier se ej fij l fil i, y oo oo referei el eleeo ii, or eio e oerioes eleeles ors erioree se he ero oos los eleeos e su olu ue esé or ejo e él. Si el eleeo ii es igul ero, es reiso ierir reviee es fil or lgu or fil e ejo, y si o es osile orue ié se ero o lgu olu e l ereh, hs oseguir ue ii se isio e ero es oveiee, r evir álulos eiosos ue se. Ejelo 7. : Clulr el rgo e l riz r r r r 7 7 f f f; f f f f f f f 7f Por o Rg 7 7 Ejelo 7. : Clulr el rgo e l riz Rg 8 8 Rg Rg 9 9 f f f ; f' f f ; f' f f f' f f El álulo el rgo será fuel r l resoluió e sises e euioes lieles or el Teore e Rouhé-Fröeius ue vereos e el e siguiee. Ejelo 7.7: Pr ué vlores e l riz o ie ivers?. L riz o iee ivers si, or o lulos su eerie y lo igulos ero:, Ejeriios.- Deuesr ue si, verifi ue I, oe es el Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. 9

9 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. 97 eerie e, I y..- Si esrrollrlo, eosrr ue el eerie es ulo..- Clulr: y.- Oeer e fuió e,, el vlor el eerie.- Coesr rzoee si es osile resolver ls euioes: 7.- Si, lulr el vlor e los siguiees eeries: e f 7.- Defiir el oeo e riz ivers. Dr u rierio r eresr ue u riz es iversile. D l riz, eerir r ue vlores e eise -. Pr -, resolver I, sieo I l riz I. 8.- Ds ls ries y, eorr u riz siéri P o sigulr l ue P - P. 9.- Se l riz.deosrr ue l ivers e es.- E el suueso ue eis, lulr l riz l ue, e los siguiees sos:

10 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. 98 y y.- Ls ries e Y so ls soluioes el sise e euioes riiles: Y Y Hllr e Y. Clulr si iee seio l ivers e s..- D l iei riil Cuáles so ls iesioes e e u riz soluió e l iei erior? Clulr su soluió: Es úi l soluió?. Rzor l resues..- Oé rzoee u riz ue verifiue l siguiee igul..- Se ie ue u riz es orogol si su ivers oiie o su rsues, eso es, si. Coror ue l riz es orogol. se se os os.- Hllr los vlores e r los ules l riz o iee ivers..- Hllr el rgo e l riz 7.- Esuir el rgo e r los iferees vlores e. 8.- Deeri el rgo e l siguiee riz segú los vlores e. 9.- Deeri l relió ue ee ulir los ráeros e,, r ue ls ries eg s rgo.

11 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. 99 -,.- Cosier l siguiee riz:, oe es o ulo. Clulr Clulr - Clul rzoee Clul rzoee 9.- Se ls ries: ; Corue ue Hllr u riz ue verifiue:.- Hllr u riz ue ul l oiió, sieo.- Clul os ls ries igoles e ore ue oiie o su ivers. Si es u e ess ries, lul..- Deoos or M l riz rsues e u riz M. Sieo ue y ue Clul los siguiees eeries: y Se I l riz iei e ore y se u riz ur l ue I. Clul.- Ds ls ries Hllr Hllr l riz ivers e. E el so riulr, Hllr.- Deosrr ue:

12 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. y 7.- Coror or l regl e Srrus y or el éoo e los juos los eeries: Clulr el rgo e ls siguiees Mries: Sol:,,, 9.- Qué oiió ee ulir los érios e,, r ue el rgo e y r z se? Sol: Que lguo e ellos se ulo..- Se, Desooer e u su e u riz siéri S y or isiéri H Soluioes.- Deuesr ue si, verifi ue I, oe es el eerie e, I y. I

13 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M..- Si esrrollrlo, eosrr ue el eerie es ulo..- Clulr: D Porue l rier fil or es igul l erer. D Heos suo os ls fils l rier..- Oeer e fuió e,, el vlor el eerie Doe heos uso el éoo el juo, uso l olu ª orue es l e s eros iee..- Coesr rzoee si es osile resolver ls euioes: 7 Si es osile: De oe, Y-

14 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. No se uee lulr, orue es e lulr el eerie eeos ue sur ls ries, y r oer sur os ries, s iee ue ser e l is iesió..- Si, lulr el vlor e los siguiees eeries: 9 e f Porue se reie os fils. 7.- Defiir el oeo e riz ivers. Dr u rierio r eresr ue u riz es iversile. L riz ivers es l riz or l ue hy ue ulilir or r oeer l riz iei. Se l riz, eoes l ivers e es l riz -, e for ue - -I. Pr ue u riz se iversile h e eer su eerie o ulo. D l riz, eerir r ue vlores e eise -. Pr ue eis su ivers, su eerie h e ser isio e ero. Por o el eerie es isio e ero r oo vlor e. Eoes es iverile R.

15 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. Pr -, resolver I, sieo I l riz I. j [ ] 8.- Ds ls ries y, eorr u riz siéri P o sigulr l ue P - P. Coo P iee ue ser siéri y o sigulr regulr ogeos P. Si e l euió P - P ulilio os los e l igul or P. osérvese ue he e ulilir or P or el iso siio izuier e s res PPP - P PIP PP Por o: Dos ries so igules, si oos sus eleeos so igules, or o: Resolvieo el sise eeos: P. Coo os ie ue P es o sigulr, C o uee vler. Si oos, eoes P ue e l for: P Vos ororlo. Tiee ue ourrir ue: P P Lo riero es lulr P -. P, or o eise P -. jp P P

16 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. P P 9.- Se l riz.deosrr ue l ivers e es Lo riero es lulr. ; ; Por o, ree ue. Vos eosrrlo No olvir Suogos ue, eoes or iuió iee ue ourrir ue. Coo: Por o se ule ue. Pr ver si es iverile, iee ue ourrir ue su eerie se o ulo., or o es isio e ero. Pues eoes j....- E el suueso ue eis, lulr l riz l ue, e los siguiees sos: y sile vis, oo, iee ue ourrir ue I I y eoes, si ulilios or - os los e l igul y or l izuier, eeos:

17 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. I Coo o es iverile, eoes o eise l riz us..- Ls ries e Y so ls soluioes el sise e euioes riiles: Y Y Hllr e Y. Clulr si iee seio l ivers e s. Si ulilio l ª euió or y ls suo: Y Y e oe: Si esejos l riz Y e l ª euió: Y L ivers e o eise ueso ue su eerie es ulo. L ivers e Y es: jy Y Y.- D l iei riil Cuáles so ls iesioes e e u riz soluió e l iei erior? L riz iee ue eer u iesió e. Clulr su soluió: Se y, eoes:, r lulr, ulilio e os los e l igul y or l ereh or Pues vos lulr l riz ivers e. Lo riero es ver si su eerie es o ulo. Por o l riz es iverile. si o es iverile, o eise l riz j j Y or o :

18 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. 7 9 Vos ororlo: 7 9, Por o es orre. Es úi l soluió?. Rzor l resues. Si. Es úi orue l riz ivers es úi..- Oé rzoee u riz ue verifiue l siguiee igul. Se, Y y Z, l euió riil ue e l for: YZ Coo lo ue uiero es lulr : YZ- Y -YY - Z- Y - Z- Clulos l ivers e Y: / / / / j Y j Y Y 9 9 / / / / / / / / Z Y Por o:.- Hllr los vlores e r los ules l riz o iee ivers.

19 L fuió si < y l fuió si > si si < - > - Por o, e l efiiió e vlor soluo: oe es u úero Rel. Teeos ue r ue l riz o se iversile, su eerie iee ue ser ulo. Por o: e oe: y resolvieo oeeos Vos Coror: Pr -, eeos: y r /, eeos: Por o es orreo..- Se ie ue u riz es orogol si su ivers oiie o su rsues, eso es, si. Coror ue l riz es orogol. se os os se, se os os se Vos lulr l ivers, y r ello, lulos riero su eerie. se os se os os se se os j os se se os y j os se Por o es orogol..- Hllr el rgo e l riz Coo el rgo es el ore el yor eor o ulo, eeos ue lulr los eeries e oos los eores y ver ul e ellos es isio e ero, y iee yor ore. Vos lulr los eeries e ore ue se uee erer e es riz. Cuo uo e ellos se isio e ero, eoes ireos ue su rgo es oo íio. Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. 7

20 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. 8 Por o, l riz iee e rgo, oo íio, el. r hor lulos oos los eeries e ore ue se ue erer e ell, e igul ue e el so erior, uo uo e ellos se isio e ero, ireos ue el rgo e es oo íio. orue l ª fil l ª fil ª fil Si oservos l riz, l ª fil l ª fil ª fil, eoes uluier eerie e ore ue oegos e ih riz v ser ulo. Por o el Rg 7.- Esuir el rgo e r los iferees vlores e. Vos lulr el eerie e Si igulos ero, eeos ue, ue y ue /. Por o si, y / el rgo e es. Si / / / / / / y Rg Si / / / / / / / y 7 / / / Rg Si y Rg 8.- Deeri el rgo e l siguiee riz segú los vlores e. Si lulos el eerie e es riz, eeos ue Por o si igulos ero, eeos ue si, - eoes rgo e l riz es.

21 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. 9 Si Rg Si ± ± ± ± ± ± ± Rg 9.- Deeri l relió ue ee ulir los ráeros e,, r ue ls ries eg s rgo. -, Resolveos os eeries y los igulos ero. Pr ue se e rgo, iee ue ourrir ue: -. Pr ue se e rgo, iee ue ourrir ue: -- Pr ue s se e rgo, se h e ulir el siguiee sise:,,.- Cosier l siguiee riz:, oe es o ulo. Clulr Clulr - Clul rzoee Clul rzoee 9 Lo riero es lulr el eerie:, l rsues l ju: j Por o l ivers es Clulos y luego y veos ue I

22 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. Coo: I I I De l roie e los eeries, eeos ue: Se ls ries: ; Corue ue, e uí or o se verifi l igul. e Hllr u riz ue verifiue: ; ; De oe.- Hllr u riz ue ul l oiió, sieo Teeos ue ; eoes I ; ulilio e s res l ereh or -, eeos: I, e oe esejo : I Pr lulr l ivers e, lo riero es her si eerie. Desués heos su rsues, y luego su ju, y or fi esriios su ivers:

23 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. j Elevos l uro: Y hor lulos : I.- Clul os ls ries igoles e ore ue oiie o su ivers. U riz uluier igol e ore os, es or ejelo:, ues, r ue oii o su ivers, lulos l ivers e igulos s: Igulos s Y resolveos: ± ± Eoes ls ries so:,,, Si es u e ess ries, lul. Pr u e ells, su uro es l riz iei I. Si ± y ±.- Deoos or M l riz rsues e u riz M. Sieo ue y ue Clul los siguiees eeries: 9 y

24 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. Se I l riz iei e ore y se u riz ur l ue I. Clul I e Se C u riz Cur l ue C C. Puee ser C? Rzor l resues. Si I C C I C C C C C C ero si C C C C y oo C C C C ; si C 9, os ue es iosile. Por o o uee ser C.- Ds ls ries Hllr Lo riero es oo siere, esués: Hllr l riz ivers e. j j j E el so riulr, Hllr

25 Meáis Vero 8 Curso iesivo Prof. Rul G.M. Suogos ue, eoes or iuió, h e ourrir ue. Clulos Eoes. Y e uí:.- Deosrr ue: