MATRICES Y DETERMINANTES

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1 Mtrices Tem MATRICES Y DETERMINANTES. DEFINICIÓN Y DESCRIPCIÓN DE MATRICES Un mtriz es un ordención rectngulr de elementos dispuestos en fils y columns encerrdos entre préntesis, por ejemplo A 3 4 Ls mtrices se nombrn con letrs myúsculs A, B, C,... y sus elementos con minúsculs con dos subíndices ij, que indicn respectivmente l fil y l column en l que se sitú el elemento Columns A { ij } ª ª...m-ésim... m ª... m ª fils n n... nm n ésim Un mtriz de n fils y m columns se dice que es un mtriz de orden n m y se represent por A n m siendo n el nº de fils y m el nº de columns. Definimos dimensión de un mtriz como el número n m de elementos que tiene; bien clro que, no será igul un mtriz n m que un mtriz m n, unque tengn igul dimensión: 4 A A Orden 3, dimensión 6 Orden 3, dimensión 6 Atendiendo l orden de un mtriz, podemos definir: i) Mtriz cudrd, mtriz que verific n m, en este cso se escribe A n o A n n y se dice que es un mtriz de orden n A A

2 Mtrices Tem ii) Mtriz rectngulr, mtriz en l que n m A 3 A Csos notbles: ii - ) Mtriz fil: es un mtriz de orden ( m): (... m )..ii -b ) Mtriz column: es un mtriz de orden (n ):... n Atendiendo sus elementos: iii) iii_ ) Mtriz rel, sus elementos son números reles ij R iii_ b ) Mtriz complej, sus elementos son números complejos ij C iii_ c ) Mtriz nul, sus elementos son todos nulos O, O, O, O. OPERACIONES CON MATRICES Se M n m el conjunto de ls mtrices de orden n m con elementos reles.- Iguldd de mtrices Decimos que dos mtrices del mismo orden A { ij }, B {b ij } son igules si ij b ij i,j N Es decir, tienen todos los elementos igules y en el mismo orden..- Sum y diferenci de mtrices Dds ls mtrices A { ij }, B {b ij } se define A ± B como l mtriz C {c ij } tl que c ij ij ± b ij Pr relizr ests operciones, ls mtrices deben ser del mismo orden y el resultdo es un mtriz de ese mismo orden.

3 3 Mtrices Tem Ejemplo - Propieddes de l sum: 3 A B 4 4 A + B A B 6 i) Asocitiv: A, B, C M n m : ii) Conmuttiv iii) Elemento neutro: iv)elemento opuesto: A, B M n m : A + (B + C) (A + B) + C A + B B + A A M n m, O M n m / A + O O + A A A M n m -A M n m / A + (-A) O A l mtriz A se denomin mtriz opuest de A y result de considerr l mtriz cuyos elementos son los opuestos de los elementos de A..-3 Producto de un esclr por un mtriz Ddo un esclr α y un mtriz A M n m, se define el producto α A A α como otr mtriz del mismo orden, que result de multiplicr α por cd elemento de A:... m... m α A α n n... nm α α... α α α... α α α... α m m n n nm Ejemplo ( ) A α Propieddes del producto de un esclr por un mtriz: i) Asocitiv respecto del producto por esclres: α, β R y A M n m (α β ) A α ( β A) ii) Conmuttiv: α R y A M n m α. A A.α iii) Distributiv respecto de l sum de mtrices: α R y A, B M n m α (A + B) α A + α B

4 4 Mtrices Tem iv) Distributiv respecto de l sum de esclres: α, β R y A M n m.-4 Producto de mtrices A.(α + β ) A.α + A. β Dds dos mtrices culesquier A n m y B m p comptibles pr el producto, es decir, tles que el número de columns de A coincide con el número de fils de B, se define el producto de A B como otr mtriz C que tiene tnts fils como A y columns como B, siendo su elemento c ij el resultdo de sumr los productos de los elementos de l fil i de A por los de l column j de B: C A B {c ij } / c ij ik bkj i, j El lgoritmo puede entenderse fácilmente observndo el siguiente esquem:.. Column j k... Fil i c ij i b j... im b + + jn Ejemplo -3 n m m p n p i) Multiplicr ls siguientes mtrices ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ii) Multiplicr ls siguientes mtrices A, B ( 3 ), C A B ( 3)

5 5 Mtrices Tem 3 B A( 3) ( ) ( 4) 3 3 Los demás productos A C, C A, B C, C B no son comptibles y no se pueden relizr. Propieddes del producto de mtrices: i) Asocitiv: A, B, C M n m A (B C) (A B) C ii) Distributiv respecto l sum de mtrices: A, B, C M n m A (B + C) A B + A C (B + C) A B A + C A iii) El producto de mtrices no siempre es conmuttivo: A, B M n m A B B A - Cundo dos mtrices verificn que A B B A se dicen conmuttivs Es condición obligd unque no suficiente que ls mtrices sen cudrds pr que conmuten. - Cundo dos mtrices verificn A B - B A se dicen nticonmuttivs. Ejemplo -4 iv) El producto de mtrices tiene divisores de cero: A, B M n m Si A B O no necesrimente A O o B O Dds ls mtrices A O y B 3 3 O 3 A B O 3 v) El producto de mtrices no verific l propiedd de simplificción: A, B, C M n m Ejemplo -5 Si A B A C no necesrimente B C A B A C B C B C 3

6 6 Mtrices Tem.3 MATRICES CUADRADAS Definimos un mtriz cudrd como quell que tiene igul número de fils que de columns..3- Definiciones en ls mtrices cudrds: En un mtriz cudrd n n se llm digonl principl l líne formd por los elementos cuyos subíndices de fil y column coinciden:,, 33,... nn. Se llm triángulo superior l formdo por los elementos ij situdos por encim de l digonl principl. Se llm triángulo inferior l formdo por los elementos ij situdos por debjo de l digonl principl. A { ij } Triángulo sup erior digonl principl Triángulo inf erior Se llm trz en un mtriz cudrd, l sum de los elementos de l digonl principl: Tr(A) n i.3- Tipos de mtrices cudrds: Mtiz tringulr: mtriz cudrd que tiene un triángulo superior (mtriz tringulr inferior) o inferior (mtriz tringulr superior) nulo Minf erior Msuperior es nul Mtiz estrictmente tringulr: es un mtriz tringulr cuy digonl principl M estric. inf erior ii M estric. superior Mtriz digonl: es quell mtriz cudrd que es tringulr superior e inferior l vez. M digonl 4 3 Mtriz esclr: es un mtriz digonl cuyos elementos son todos igules.

7 7 Mtrices Tem M esclr L más usul de ests mtrices esclres es l mtriz identidd (unidd), cuy digonl está formd por unos. I, I 3, I 4...etc en Mtriz invers: Dd un mtriz cudrd A decimos que tiene invers B si: A B B A I A l invers de A se le denot por A - B y entonces l definición se convierte A A - A - A I Hy mtrices que tienen invers, se les llm regulres o invertibles y otrs que no tienen invers, se dice singulres. Propieddes: A - es únic (A - ) - A (A B) - B - A - ( λ A) - λ A- λ R Mtriz simétric: Se dice que un mtriz cudrd es simétric, cundo sus elementos son simétricos respecto l digonl principl Mtriz ntisimétric: Se dice que un mtriz cudrd es ntisimétric, cundo sus elementos simétricos respecto l digonl principl son igules pero opuestos y los elementos de l digonl nulos Propieddes de ls mtrices cudrds: i ) El producto de dos mtrices tringulres, mbs superiores o inferiores, es otr mtriz superior o inferior.

8 8 Mtrices Tem Ejemplo ii)el producto de dos mtrices digonles, es otr mtriz digonl. Ejemplo iii) Ls mtrices digonles conmutn entre sí. Ejemplo iv) Pr l mtriz identidd se verificn ls relciones siguientes: A n m I m A n m Ejemplo -9 I n A n m A n m A 3 I 3 A I A 3 A TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ Dd un mtriz A n m se llm trnspuest de A y se escribe A t, l mtriz que result de cmbir ordendmente ls fils por ls columns. A A n m trnsposición A m n A t... m... n... m A... n A t n n... nm m m... nm

9 9 Mtrices Tem Ejemplo - Propieddes: i) (A t ) t A ii) ( λ A) t λ A t iii) (A ± B) t A t ± B t iv) (A B) t B t A t 4 A trnspuest A t 4 5 B 3 trnspuest ( 3 -) B t R v) Si A es simétric A (A) t vi) Si A es ntisimétric - A (A) t.4- Teorems reltivos mtrices simétrics: Teorem.- Dd un mtriz cudrd A, A + A t es un mtriz simétric En efecto, se S A + A t comprobemos que S es simétric: S t (A + A t ) t A t + A t t A t + A A + A t S Ejemplo - Hllr un mtriz simétric prtir de A 3 S A + A t Teorem.- Dd un mtriz cudrd A n, A A t es un mtriz ntisimétric En efecto, se T A A t comprobemos que T es ntisimétric: T t (A A t ) t A t A t t A t A (A A t ) T Ejemplo - Hllr un mtriz ntisimétric prtir de A 3 T A-A t 3 3 Teorem 3.- Tod mtriz cudrd A se puede expresr como sum de un mtriz simétric y otr ntisimétric: A S + T t En efecto:

10 Mtrices Tem t t S (A A es tmbién simétric + ) S A + A simétric Sen t T A A ntisimétric t T (A A ) es tmbién ntisimétric Sumndo ess ecuciones: S + T (A A t + ) + (A A t ) A Ejemplo -3 Expresr l mtriz como sum de un mtriz simétric y otr 3 5 ntisimétric. 3 4 t S (A + A ) t 3 4 T (A A ) A Teorem 4.- Dd un mtriz culquier A A n m, S A A t y R A t A son mtrices simétrics. Se S A A t pr ver que es simétric S t (A A t ) t (A t ) t A t A A t S Ejemplo -4 R A t A simétric R t (A t A) t A t (A t ) t A t A R 3 Hllr un mtriz simétric prtir de A S A A t R A t 4 A 3 4

11 Mtrices Tem.5 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA.3- Definición: A tod mtiz cudrd A n le socimos un número llmdo determinnte, A, simbolizdo de l form: A... n... n n n nn Dicho número es un resultdo que se puede obtener de diferentes mners. Según el orden y tipos de determinntes estudiremos ciertos métodos pr hllr el determinnte..5- Cálculo de un determinnte: I) Método de Srrus Cundo el determinnte es de orden dos o tres se us l regl de Srrus, que consiste en sumr todos los productos que se obtienen l multiplicr dos o tres elementos de l mtriz de tods ls forms posibles, con l condición de que en cd producto exist un elemento de cd fil y uno de cd column, con sus signos correspondientes y pr ello se utiliz el esquem que sigue: Pr un determinnte de orden : Pr un determinnte de orden 3: ( + + ) L regl nos recuerd el desrrollo: Con signo positivo, con signo negtivo Ejemplo -5 Clculr los determinntes 3, 3

12 Mtrices Tem 3 ( 3) ( ) ( ) ( ) [ ( ) + ( ) + ( ) 3] ( + + ) II) Cálculo del determinnte de orden n, por los djuntos: Cundo el orden de los determinntes es superior 3 l regl de Srrus no es fácilmente plicble y entonces utilizmos el método de los djuntos, que reduce el orden en un unidd cd vez que le utilizmos. Pr ello vmos definir dos nuevos conceptos: Menor complementrio: Dd un mtriz A n se llm menor complementrio de un elemento ij l determinnte de l mtriz, que result de suprimir l fil i y l column j en l mtriz A n : se llm m ij. Adjunto de un elemento: Al producto de (-) i+j m ij de ij se llm djunto de un elemento ij y se escribe A ij. por el menor complementrio A ij (-) i+j m ij A prtir de ests definiciones obtenemos otr form de clculr un determinnte: el vlor de un determinnte de orden n es igul l sum de los productos de los elementos de un fil o column por sus respectivos djuntos. n A ij Aij i A i + i A i + i3 A i in A in i o j Ejemplo -6 j Aj + j A j + 3j A 3j nj A nj Clculr el vlor del determinnte Elegimos l primer fil y que tiene dos elementos nulos y eso v simplificr el cálculo:

13 3 Mtrices Tem A + A + A + A ( ) 4 + m + ( ) + m cundo llegmos un determinnte de orden tres, podemos plicr Srrus: [ ( 6) + ( 3) [( 4) + 6] ] + [ ( ) + + ( 6) [3+ + 4] ] 5 III) Método del pivote o de Chio Si los elementos de un fil o column se sumn los correspondientes de otrs prlels multiplicdos por un número, el vlor del determinnte no vrí. (Sum de un combinción linel de otrs fils o columns) Bsándonos en est propiedd, podemos obtener un determinnte igul, pero con un fil o column todos nulos slvo uno, que l plicr el método nterior, se reduce su cálculo un solo determinnte de orden menor. Ejemplo -7 Clculr por el método del pivote el determinnte 3ª fil ª fil 5 F F

14 4 Mtrices Tem desrrollmos el determinnte por l ª column: + A ( ) repito el proceso desrrollndo el determinnte por l ª column: (-) A + + ( ) ( ) F F y por último si plico el proceso por l 3ª fil: 3+ (-) A 3 ( ) Antes de desrrollr el método siguiente, vmos comentr ls propieddes más singulres de los determinntes, pr su cálculo: Propieddes: ) Si los elementos de un fil o column son nulos el vlor del determinnte es nulo. b) Un determinnte con dos fils o columns prlels igules es nulo c)si un determinnte tiene dos fils o columns proporcionles su vlor es nulo. d)si cmbimos dos fils o columns el determinnte cmbi de signo. e)pr multiplicr un número por un determinnte se multiplic el número por los elementos de un fil o column culquier.(en un determinnte se puede scr fctor común, siempre que exist un número que multiplique todos los elementos de un fil o column) f) A t A λ A n λ A A B A B A A

15 5 Mtrices Tem IV) Método tringulriznte Cundo clculmos el determinnte de mtrices tringulres o digonles observmos que se verific que el resultdo coincide con el producto de los elementos de l digonl principl. Con ls propieddes nteriores podemos llegr obtener un determinnte que se tringulr y plicr seguidmente el contenido expresdo rrib: Ejemplo -8 Clculr el determinnte F F F F 3 5 cmbimos ls fils ª y 3ª (cmbi el signo) F F F F cmbimos 4ª y 5ª fil pr dejrle tringulr(el determinnte cmbi de signo): F 45 ( ) ( ) ( ) ( )

16 6 Mtrices Tem.6 CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA DE UNA DADA t Dd un mtriz cudrd A n se llm mtriz djunt, Adj ( A ) l mtriz que result de sustituir cd uno de los elementos de l mtriz respectivos. Ejemplo -9 Hllr l mtriz djunt de A 3 3 t n n A por sus djuntos Adj( A ) t n Resultdo: A t - Adj(A ) A Un mtriz tiene invers si y solo si A Ejemplo - A 4 A t Clculr l mtriz invers de Adj(A t ) A - 4 t Adj(A ) A

17 7 Mtrices Tem.7. OPERACIONES ELEMENTALES Definición : Sobre un mtriz A n m decimos que efectumos un operción elementl sobre un fil o column, cundo relizmos culquier de ests trnsformciones: i) Cmbir entre sí dos fils o columns : F ij ii) Multiplicr un fil o column por un número rel k : k. F i iii) Sumr l fil o column i, l fil o column j multiplicd por un número rel k : F i +k.f j.7. Operciones elementles inverss Se llm operción elementl invers quell operción que nos nul l cción de cd operción elementl: Ests operciones se llmn operciones inverss de ls hechs en primer término. Resumiendo: OPERACIÓN ELEMENTAL Cmbir l fil i por l j OPERACIÓN INVERSA Cmbir l fil j por l i Multiplicr un fil por k Multiplicr un fil por k k Sumr l fil i, l j por k Sumr l fil i, l j por k.7. Mtrices equivlentes por fils Si prtiendo de un mtriz A podemos llegr otr B efectundo un número finito de operciones elementles sobre ls fils y, de l mism mner, podemos volver A desde B, relizndo ls operciones inverss y en orden inverso, se dice que A y B son equivlentes por fils. Ejemplo - Demostrr que ls mtrices A y B son equivlentes por fils. 3 A 3 y B A 3 F, F 3 -.F B

18 8 Mtrices Tem.7.3 Cálculo de l mtriz invers por mtrices elementles Si A es equivlente por fils l mtriz I n entonces A tiene invers Ls operciones elementles que nos sirven pr convertir A en l mtriz unidd, efectuds sobre l mtriz unidd nos d l mtriz invers de A. Ejemplo - Hllr l mtriz invers de A F F 3 -.F F F3 3-.F F +.F 3 F +.F luego A.8 FORMAS ESCALONADA Y REDUCIDA DE UNA MATRIZ.8. Form esclond Se llm form esclond por fils de un mtriz A n m quell mtriz que se obtiene prtir de A medinte operciones elementles y que verific:

19 9 Mtrices Tem i)si tiene fils cuyos elementos son todos nulos, están en ls fils inferiores. ii)el primer elemento distinto de cero de un fil (empezndo por l izquierd), se llm elemento pivote y su column, column pivotl. iii)dds dos fils sucesivs, el elemento pivote de l ª fil está más l derech que el elemento pivote de l ª fil. Ejemplo -3 Forms esclonds: ; 3 ; ; Forms no esclonds: ; ; ; Form reducid Se llm form reducid por fils de un mtriz A n m tod mtriz esclond con los pivotes unidd y los demás elementos de l column del pivote, nulos. Ejemplo ; ; Obtención de un form esclond El lgoritmo pr l obtención de un form esclond se llm eliminción de Guss o gussin y const de los siguientes psos: º Prtiendo de l izquierd, buscmos en l ª column un elemento distinto de cero que llevremos l ª fil, si no le hy en l ª fil, (medinte operciones elementles) y será el er pivote. Seguidmente con ls operciones elementles hremos ceros debjo del pivote. º Siguiendo l derech, buscmos en l ª column un elemento distinto de cero en l ª fil o siguientes fils. Se oper pr tener un ª pivote en l ª fil, si está en ls siguientes fils. Seguidmente con ls operciones elementles hremos ceros debjo del ª pivote. 3º Seguimos sucesivmente moviéndonos hci l derech hst no encontrr más pivotes.

20 Mtrices Tem Evidentemente, dependiendo de l mner de operr y el orden de ctución, obtendremos diferentes forms esclonds (hy infinits), mientrs que l form reducid solo hy un. Ejemplo Hllr l form esclond de l mtriz A F F F3 F F4 F F 4, F4 F Rngo de un mtriz Llmremos rngo de un mtriz el número de fils con lgún elemento distinto de cero que hy en culquier form esclond por fils o tmbién el número de columns pivotles que tiene. Ejemplo -36 rg ; rg ; rg 3

21 Mtrices Tem. 9 FACTORIZACIÓN L. U DE UNA MATRIZ A prtir del método de eliminción de Guss, vmos fctorizr un mtriz en producto de un tringulr inferior unitri L y otr tringulr superior U, L A L U y U Veremos tmbién su plicción l resolución de determinntes. Distinguimos tres csos:.9- Fctorizción A L U de un mtriz regulr Veámoslo con un ejemplo: Se l mtriz A b e c f h d g i j Pr hllr l mtriz tringulr superior U trnsformremos A en un mtriz esclond, tringulr superior, medinte operciones elementles: º pso F F F F + F + 3 F L mtriz tringulr inferior L se puede clculr medinte el siguiente lgoritmo: L 3 signo y colocdos en l primer column. º pso donde los multiplicdores{-,, 3 } se hn cmbido de 8 F + F 3 3 F4 + F

22 Mtrices Tem L donde los multiplicdores{, } se hn cmbido de signo y 3 colocdos en l segund column. 3º pso F F U L donde el multiplicdor{ 4 } se hn cmbido de signo y 3 4 colocdo en l tercer column. Luego y tenemos : A L U Fctorizción de form únic pr tod mtriz que cumpl los requisitos de slid, es decir pr mtrices regulres y sin intercmbios..9. Fctorizción P A L U de un mtriz regulr con intercmbios En el supuesto que l mtriz teng un cero en l posición desed pr lguno de los pivotes (recordemos que estos no pueden ser nulos), necesitremos hcer un permutción de fils pr evitr ese cero, de form que introduciremos un mtriz elementl E i,j P que result de hcer es operción elementl sobre I. El efecto sobre L es l permutción, simultánemente, de los multiplicdores. Veámoslo con un ejemplo: F + F A F,3(P) 5 F3 F U 4 5 3

23 3 Mtrices Tem L despues de l permutción P L Ejemplo.7 3 Fctorizr A A 4 F,(P ) 3 F3 3 F L despues del permutción P L F,3(P ) 7 8 U L F,3(P ) L 3 y P P P 3 P.P.A L.U En este cso, el resultdo de l fctorizción no es únic y que existen vris mtrices de permutción pr hcer l descomposición..9.3 Fctorizción de Cholesky: A C C t Es un cso prticulr pr mtrices simétrics y con pivotes positivos (mtrices definids positivs) resultndo entonces que l fctorizción es en un mtriz por su trspuest. Ejemplo.8 Fctorizr según Cholesky l mtriz: A Se bs en hllr U como un mtriz esclond pero reduciendo los pivotes en su ríz cudrd en cd eliminción gussin en ls columns. Usremos un lgoritmo que simplific su obtención: i) Dividimos l ª fil por l ríz del primer pivote y reducimos l ª column ceros menos el pivote:

24 4 Mtrices Tem A 8 44 F F -4 F F3-8 F ii) Dividimos l ª fil por l ríz del º pivote y reducimos por debjo del pivote ceros: F F 3-6 F iii) Dividimos l 3ª fil por l ríz del 3 er pivote: F C t ; C A C C t Ejemplo Clculr el vlor del determinnte de l mtriz A Como sbemos l mtriz A se puede fctorizr: pg. A L U Luego: A L U Por ser mtrices tringulres su determinnte es el producto de los elementos de l digonl.

25 5 Mtrices Tem Hoj nº º Hllr un mtriz simétric y otr ntisimétric prtir de A 3 º Expresr l mtriz como sum de un mtriz simétric y otr 3 5 ntisimétric. 3 3º Hllr dos mtrices simétrics distints prtir de A 4 4º Clculr el vlor del determinnte por los djuntos. 5º Clculr por el método del pivote y por el método tringulriznte el determinnte 6º Clculr l mtriz invers de 3 3 7º Demostrr que ls mtrices A y B son equivlentes por fils. 3 A 3 y B º Hllr l mtriz invers de A º Hllr l form esclond de l mtriz A

26 6 Mtrices Tem º Fctorizr ls mtrices A 3 C B º Fctorizr según Cholesky l mtriz: A º Clculr el vlor del determinnte de l mtriz A 3º Hllr l invers de 4º Fctorizr por Cholesky l mtriz A 5

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