Lógica y Conteo. Elaborado por: Jeff Maynard Guillén. Eliminatoria III

Transcripción

1 Lógica y Conteo Elaborado por: Jeff Maynard Guillén Eliminatoria III Mayo, 2011

2 Lógica-Conteo Principio de Conteo: Si tenemos n opciones, y cada una de estas tiene a su vez m opciones, entonces la cantidad total de opciones es n m. Ejemplo: Hay cinco sobres sin estampillas y cuatro tipos de estampillas de un mismo valor. De cúantas maneras se puede seleccionar un sobre con estampilla para enviar una carta? En este caso fácilmente podemos ver que la solución es 5 4 = 20. Ejemplo: Cúantas placas distintas hay con dos letras a la izquierda y tres números a la derecha? (Asumiendo que hay 27 letras) En este caso tenemos que para la primera y segunda posición hay 27 opciones, mientrás que para la tercera, cuarta y quinta 10 opciones. Entonces la solución sería = es n! Proposición: El número de formas de tomar n objetos distintos, sin permitir repeticiones, eligiendo todos a la vez Esto dado que tendriamos n opciones para el primer elemento, n 1 para el segundo y recursivamente sólo una para el último objeto. De esa forma tenemos n (n 1) (n 2) 1 = n! Ejemplo: De cúantas formas se pueden sentar 5 personas en 5 sillas numeradas del 1 al 5? La primera persona se puede sentar en cualquier silla, la segunda persona tiene 4 opciones para sentarse, la tercera 3 y la última sólo tendrá un asiento disponible. Entonces la solución es = 5! = 120. Ejemplo: Cuantas palabras de tres letras podemos formar con las letras a, b, c, d, e si está permitido usar la misma letra dos veces. Para las tres posiciones tendremos cinco opciones. Entonces = 5 3. Ejemplo: Cuantas palabras de tres letras podemos formar con las letras a, b, c, d, e si no podemos usar la misma letra dos veces. Para la primera posición tenemos 5 opciones, para la segunda 4 y para la tercera 3. Entonces tenemos = 60. Notese que en estos dos casos el orden si importa, es decir aba aab baa 2

3 En general tendremos que cuando el orden si importa: Proposición: El número de formas, sin repeticiones, de elegir n objetos distintos, tomando m objetos a la vez es n! n (n 1) (n m + 1) = (n m)! Proposición: El número de formas, aceptando repeticiones, de elegir n objetos distintos, tomando m objetos a la vez es n m Ejercicio: 1 Se colocan palitos en una mesa de manera que se forme un rectángulo de 2 x 3 como lo muestra la figura: Debemos pintar cada palito de azul, rojo o negro de modo que cada uno de los cuadros de la figura quede limitado por exactamente dos palitos de un color y dos palitos de otro color. De cuántas formas podemos hacer esto? Solución: Hay 3 3 formas de pintar el renglón horizontal superior de palitos. El palito vertical más a la izquierda de la primera fila también se puede pintar de tres formas. Una vez definidos los colores de los palitos superiores y el palito izquierdo de un cuadrito, hay dos maneras de completar el segundo: si ambos palitos pintados tienen el mismo color, tenemos dos colores para pintar los dos palitos restantes; y si los dos tienen distinto color hay dos formas de pintar los do palitos restantes con esos colores. Luego, para completar la primera línea de cuadros hay un total de formas. De la misma manera, el color del palito vertical a la izquierda de la segunda fila puede escogerse de tres maneras y hay 2 3 formas de pintar los demás palitos de la segunda fila. Así, en total, habrá = formas de pintar los palitos del tablero. Ejemplo Cúantos números distintos de cuatro cifras y divisibles por 4 pueden formarse a partir de las cifras 1, 2, 3, 4, 5, si cada cifra puede emplearse en la escritura de un número varias veces? Solución Usando sólo esas cifras, tendremos que los únicos números divisibles por 4 serían aquellos que terminen 1 Ejercicio tomado del banco de ejercicios III Eliminatoria

4 en 12, 24, 32, 44 y 52. Luego, la cantidad total buscada es: }{{} }{{} = 125 números Luego cuando el orden no importa: Ejemplo: Cuantas palabras de tres letras podemos formar con las letras a, b, c, d, e si no podemos usar la misma letra dos veces. En este caso tenemos en total, como ya vimos en un ejemplo anterior, es 60. Sin embargo estamos contando algunos casos varias veces, pero cuantas veces? La respuesta es 3! ya que es el número de formas de elegir tres letras. Entonces la respuesta sería 60 3! = 60 = Proposición: El número de formas, sin repeticiones, de elegir n( objetos ) distintos tomando m objetos a la vez es n! n a esto se le llama coeficiente binomial y se denota por. Esto se puede ver también como (n m)! m! m Ejemplo: De un grupo de 10 niños y 15 niñas se quiere formar una colección de 5 jóvenes que tenga exactamente 2 niñas. Cúantas colecciones distintas se pueden formar? ( Solución ) Veamos que en este caso el orden no va a importar, entonces la elección de las 2 niñas se puede hacer 15 15! de = = = 105 formas. Como deben ser 5 en total y debe haber 2 niñas exactamente, 2 (15 2)!2! 2 ( ) entonces los niños serán 3; éstos se pueden escoger de = = 120 formas. Por tanto el resultado es 3 (10 7)!3! = Ejercicio: 2 De cuántas maneras se pueden colocar un rey blanco y uno negro en un tablero de ajedréz de manera que se ataquen mutuamente. Solución Se colocará el rey blanco primero. Si se coloca en alguna de las esquinas hay 12 maneras de colocar al rey negro. Si se coloca en una orilla que no sea la esquina hay 24 5 = 120 maneras de colocar al rey negro. Finalmente, si al rey blanco se coloca en una casilla interior hay 49 8 = 392 maneras de colocar la rey negro. En total, si se considera que las posiciones de cada rey se pueden intercambiar hay ( ) 2 = 1048 maneras. Ejercicio: 3 Una ficha es colocada en cada extremo de una cuadrícula Dos jugadores, por turno, mueven su ficha 1 o 2 campos en dirección del otro jugador. No se puede brincar fichas y pierde el primer jugador que no pueda mover su ficha. Qué jugador tiene una manera de jugar que le garantice que siempre puede ganar? 2 Ejercicio tomado del banco de ejercicios III Eliminatoria Ejercicio tomado del banco de ejercicios III Eliminatoria

5 Solución Si el jugador uno mueve un cuadro, el jugador dos mueve dos cuadros, y si el jugador uno mueve dos cuadros el jugador dos mueve un cuadro, en ese caso en cada turno completo el número de cuadros decrece en 3. Como inicialmente hay 2007 = cuadros y en cada jugada se disminuye en 3 después de 669 jugadas no quedan espacios y el jugador 1 pierde. Ejercicio: 4 Con 29 palitos de fósforo, se forma la siguiente fígura Solución Es claro que si se moviera un único palito, éste no podría ser el lado de ningún cuadrado, pues para serlo, debería unir los extremos de otros dos palitos y esto no es posible en la figura anterior. Ahora bien, es fácil ver que al mover convenientemente dos palitos se pueden obtener las siguientes figuras Observe que en la primera de ellas hay exactamente 10 cuadrados (1 1) y dos cuadrados (2 2), por lo que en total hay 12 cuadrados. Además, cada palito de fósforo, es el lado de al menos uno de los cuadrados (1 1). Por otro lado, en la segunda figura hay exactamente 10 cuadrados (1 1) y tres cuadrados (2 2), por lo que en total 4 Ejercicio tomado del exanen Día 2 III Eliminatoria

6 hay 13 cuadrados. Nuevamente, cada palito de fósforo, es el lado de al menos uno de los cuadrados (1 1). Es claro entonces que n = m = 2 Para la segunda parte, basta ver que la condición de que cada palito sea el lado de uno de los cuadrados, implica que el menor número de éstos que se forman con 29 fósforos, debe ser mayor que 7. Lo anterior por cuanto se debe buscar que la mayor cantidad de fósforos sea el lado de un único cuadrado. Al observar la siguiente figura podemos concluir que 8 es la menor cantidad de cuadrados que podrían ser formados usando los 29 fósforos, de forma que cada uno de los palitos sea el lado de al menos un cuadrado. Ejercicio: 5 Dentro de unos días se celebra el festival de Eurovisión, concurso al que una cadena de televisión por cada país europeo presenta una canción. La primera parte del concurso es la interpretación de las canciones: en la segunda, los países participantes votan por turno, distribuyendo puntos según (en teoría) la calidad de las distintas canciones interpretadas. En cada turno, se calcula una clasificación provisional. Supongamos que están participando únicamente España, Inglaterra, Francia, Alemania e Italia. Cada país debe votar por los restantes, no a sí mismo, repartiendo sus puntos en la forma 5, 3, 2, 1. Así España que empieza la ronda de votaciones, asigna 5 votos a Alemania, 3 a Italia, 2 a Inglaterra y 1 a Francia. Después votan los demás países, en el orden Francia, Inglaterra, Italia, Alemania. En los dos primeros turnos de votación (votos de España y Francia), Alemania va a la cabeza. Pero en cada uno de los tres siguientes hay cambio de líder de la clasificación provisional, pasando a la cabeza de la tabla un país que antes no había ocupado este lugar. Por cierto, en ninguno de los turnos se da en la clasificación un empate a puntos entre países. Se pide determinar el reparto de puntos en cada ronda. Solución Podemos construir la siguiente tabla: 5 Ejercicio tomado del exanen Día 1 III Eliminatoria

7 ASIGNACIÓN DE VOTOS PAÍS VOTANTE España Inglaterra Francia Alemania Italia España Francia Inglaterra Italia Alemania TOTAL Así, por ejemplo, las posiciones en la segunda ronda son: Alemania con 7, Italia con 6, España con 5, Inglaterra con 3 y Francia con 1. Ejercicio: 6 Se seleccionan al azar tres dígitos diferentes de cero. Se pega uno de esos tres dígitos en la frente de Ana, otro de los dígitos en la frente de Bety y el último dígito en la frente de Carolina, de tal modo que ninguna de las niñas puede ver el dígito que ella misma tiene en su frente. Además las niñas están en cubículos con vidrios especiales de tal modo que Ana puede ver a Bety y a Carolina, mientras que Bety sólo puede ver a Carolina y Carolina sólo a Bety. El objetivo para cada niña es deducir cuál es el dígito que lleva en su frente. El juez les informa que el número formado por los dígitos que tienen Ana, Bety y Carolina en ese orden, es un cuadrado perfecto. Después de esto, Ana dice: No puedo saber cuál es mi dígito. En seguida Bety dice: No puedo saber cuál es mi dígito. Finalmente, Carolina dice: Yo si sé cuál es mi dígito. Cuál es el dígito que Carolina tiene en la frente?. Explicar. Solución Sean A, B y C los números que Ana, Bety y Carolina tienen en sus respectivas frentes. Como Ana inicialmente no puede saber cuál es su dígito y Ana puede ver a B y a C entonces el cuadrado ABC no se puede determinar de manera única conociendo B y C. Esto significa que debe existir por lo menos dos cuadrados perfectos cuyas últimas cifras sean B y C. Ahora, la última cifra de cualquier cuadrado perfecto debe ser 0,1,4,5,6 o 9. Como C 0 entonces tenemos cinco casos que consideramos a continuación: C = 1. Todos los cuadrados perfectos de tres cifras terminados en 1 son 121, 361, 441, 841 y 961. Notemos que 361 y 961 tienen sus dos últimas cifras iguales al igual que los números 441 y 841. Si Ana observa que B = 6 y C = 1 o b = 4 y C = 1 entonces no puede determinar cuál es el valor de A. Si Bety observa que C = 1 tampoco puede determinar cuál es el valor de B. Para terminar este caso necesitamos considerar otros casos por lo tanto volveremos más adelante a este caso. 6 Ejercicio tomado del exanen Día 1 III Eliminatoria

8 C = 4. Todos los cuadrados perfectos de tres cifras terminados en 4 son 144, 324, 484 y 784. Entre estos números tan sólo 484 y 784 tienen sus dos últimas cifras iguales. En este caso Ana no puede determinar cuál es el valor de A, sin embargo si Bety observa que C = 4 puede determinar que B = 8 lo cual implica que este caso no es posible. C = 5. Entonces ABC = 225 o 625. Pero al igual que en el caso anterior si Bety observa que C = 5 después de escuchar que Ana no puede saber cuánto es A entonces Bety puede deducir que B = 2. Entonces este caso tampoco es posible. C = 6. Tenemos que ABC puede ser 196, 256, 576 o 676. Los números que tienen sus dos últimas cifras iguales en este caso son 576 y 676, pero razonando igual que en los casos anteriores se deduce que Bety puede encontrar B; por lo tanto tampoco es posible este caso. C = 9. Entonces ABC puede ser 169, 289, 529 o 729. Los cuadrados con sus dos últimas cifras iguales son 529 y 729. Igual que los casos anteriores, este caso tampoco es posible. Finalmente, volviendo al primer caso, después de considerar todos los casos anteriores, concluimos que Carolina escucha que ni Ana ni Bety saben cuáles son sus respectivos dígitos y observa que B = 4 o B = 6, Carolina puede concluir que C = 1. Ejercicio: 7 Las familias Álvarez, Barboza, Carrillo y Gómez, viven en Atenas, Bagaces, Cahuita y Golfito (no necesariamente en ese orden). Las cuatro familias poseen un único automóvil. El color de esos autos es amarillo, blanco, celeste y gris (no necesariamente en ese orden. Indique cuál es el lugar de residencia de cada familia y el color de su respectivo auto, sabiendo que: a) En cada caso, las iniciales del apellido de la familia, de su lugar de residencia y del color de su auto, son todas diferentes. b) El auto de la familia Álvarez no es de color blanco. c) El auto de color gris no pertenece a la familia que vive en Cahuita. d) La familia Gómez no vive en Bagaces. e) El auto celeste no es de la familia Barboza. f) El auto de la familia que vive en Golfito no es de color amarillo g) La familia Carrillo no vive en Atenas. h) El auto blanco no es de la familia Gómez. i) El auto celeste pertenece a la familia que vive en Atenas. 7 Ejercicio tomado del examen día 1 III Eliminatoria

9 Solución Resolveremos este problema utilizando la siguiente tabla, en la que se ha considerado como punto de partida la condición 1 que se da en el enunciado. Familia Lugar de Residencia Color de Auto Condición Álvarez Bagaces Celeste FALSO (Condición i) Gris Cahuita Blanco FALSO (Condición b) Gris FALSO(Condición c) Golfito Blanco FALSO (Condición b) Celeste FALSO (Condición i) Barboza Atenas Celeste FALSO (Condición e) Gris Cahuita Amarillo FALSO (Condición c) Gris Golfito Amarillo FALSO (Condición f) Celeste FALSO(condición e) Carrillo Atenas Blanco FALSO (Condición g) Gris FALSO (Condición g) Bagaces Amarillo Gris Golfito Amarillo FALSO (Condición f) Blanco Gómez Atenas Blanco FALSO (Condición h) Celeste Bagaces Amarillo FALSO (Condición d) Celeste FALSO(condición d) Cahuita Amarillo FALSO (Condición h) Blanco Ahora bien, como el auto celeste pertenece a la familia que vive en Atenas (condición i), la única posibilidad que se tiene es que pertenezca a la familia Gómez. Con esto, nuestra tabla se ha reducido a la siguiente. Familia Lugar de Residencia Color de Auto Álvarez Bagaces Gris Barboza Cahuita Amarillo Carrillo Bagaces Amarillo Gris Golfito Blanco 9

10 De donde es claro que la familia Álvarez vive en Bagaces y su auto es de color gris, mientras que la familia Barboza vive en Cahuita y su auto es de color amarillo. Luego la familia Carrillo debe vivir en Golfito y su auto debe ser de color blanco. 10