Conservació i no conservació de l energia

Transcripción

1 Física de r de Batxillerat /3 Conseració de l energia Conseració i no conseració de l energia. Llançaments i xocs amb molles Quan una molla es comprimeix acumula una energia potencial que al: E P k x... on k és la constant recuperadora de la molla i x la compressió. Exercici. Una molla de k = 00 N/m es comprimeix 4 cm. Amb ella es dispara una bola de 50 g. Calcula la elocitat amb què sortirà llançada la bola. Exercici. Una bola de 80 g que es mou a 4 m/s xoca amb la molla anterior. Calcula quina longitud es comprimirà la molla. Exercici.3 Una molla de k = 00 N/m es col loca ertical. A sobre es posa una massa de 00 g, es comprimeix 0 cm i es deixa anar. Fins a quina alçada arribarà la massa? Considera que l energia elàstica es transforma tota en potencial graitatòria. (Sol.: 4,08 m) Exercici.4 Quan torni a caure la massa anterior, es trobarà la molla sense comprimir, és a dir, el seu extrem serà 0 cm més amunt. Amb quina elocitat xocarà la massa amb la molla? Exercici.5 Intenta calcular a quina elocitat surt disparada la massa del problema.3. Què has de tenir en compte per tal que et surti el mateix resultat que al problema.4?. Xoc elàstic en una dimensió En un xoc sempre es consera la quantitat de moiment; si, a més, és elàstic es conserarà, també, l energia cinètica. Anomenarem u i u a les elocitats inicials, i i a les elocitats finals. Es complirà: mu m u m m mu m u m m... sistema que pot simplificar-se multiplicant per la segona equació: mu mu m u m u m m m m (I) (II) Així no haurem d escriure, ni, el que és pitjor, ( ) o ( ), quan parlarem de les energies cinètiques

2 Física de r de Batxillerat /3 Conseració de l energia Si ens donen, per exemple, les masses m i m i les elocitats inicials, i ens demanen les elocitats finals, podem substituir les dades en el sistema i resoldre l. Com que és de segon grau, obtindrem dos alors per a a cadascun dels quals correspondrà un alor de. Un parell de alors [, ] correspon al resultat del xoc; l altre serà un resultat triial. El resultat triial és que = u i = u, com podreu comproar en l exercici exemple. Aquest resultat correspon a la situació en què no hi ha xoc, cas en què es conseren l energia i la quantitat de moiment, que eren les úniques condicions: (I) i (II) que haíem posat. Efectiament, en el sistema d equacions anterior no hi ha la condició que les elocitats han de caniar; per això, una de les solucions matemàtiques és que no caniïn. Exercici. Un cos de 4 kg que es mou a 8 m/s xoca amb un altre de kg que es mou en sentit contrari a 0 m/s. Calcula les elocitats després del rebot si el xoc és perfectament elàstic. Simplificació del sistema: Si agrupem els termes relatius a m separadament dels referits a m i després traiem factor comú: mu mu m m m I si ara diidim (II ) per (I ): u u m m u m u u u m m u m u u m u u u O, el que és el mateix: u + = u + (III) Podem ara simplificar el sistema matemàtic per a la resolució del xoc elàstic en una sola dimensió: Exercici. mu m u m u u Resol l exercici a partir del nou sistema. m (I) (III) (II') (I') Exercici.3 L exercici anterior només ha donat una solució per a i una per a. Aquestes solucions no són les triials, sinó que són les que corresponen a un cani de elocitat, és a dir, a un xoc. Sabries explicar perquè la solució que s ha perdut és l altra, la que no comporta cani de elocitat ni xoc? Casos particulars de xoc en una dimensió a) Xoc contra una massa infinita aturada. Quan una pilota elàstica xoca amb una paret, aquesta quasi ni es mou, mentre que la pilota surt rebotada amb la mateixa elocitat però en sentit contrari.

3 Física de r de Batxillerat 3/3 Exercici.4 Conseració de l energia Demostra l afirmació anterior amb el sistema simplificat (I) (III). b) Xoc entre dues masses iguals, una d elles aturada. Quan una bola està quieta i xoca amb ella una d igual que es mou a elocitat, la que arriba es queda aturada i la que estaa aturada surt amb la mateixa elocitat, direcció i sentit que la que l ha colpejada. Està clar que així es conseren tant la quantitat de moiment com l energia cinètica; només cania la bola que les porta. Exercici.5 Demostra l afirmació anterior amb el mateix sistema (I) (III). 3. Pèndol balístic L M m, h V M + m m (M m)v M m V m Exercici 3. (M m)v V g h M m m (M m)g h g L( cos) h L Lcos h L( cos) Dimensiona el problema per mesurar la elocitat d una bala de l AK-47 rus. Aquesta arma dispara bales de 8,0 g a 75 m/s. Proa de trobar els alors de L i M adequats per poder mesurar angles d uns 30 o 45 0, fàcilment mesurables. Exercici 3. Calcula l energia perduda pel sistema bala-bloc per a les següents dades: m = 8,0 g, = 75 m/s, M =,0 kg, L = 3 m, = Per fer-ho calcula l energia cinètica inicial de la bala i l energia potencial final del sistema bala-bloc. Exercici 3.3 Si la bala de l exercici anterior fa un forat de 4 cm de llargada en el bloc de fusta, quina és la força mitjana que oposa el bloc a la penetració de la bala?

4 PAU Física. Cinemàtica i Mecànica 008 a 03 /5 Mecànica. 08j S Q) Un bloc de massa 0 kg cau lliscant per un pla inclinat, salant un desniell de 5 m. Si parteix del repòs i assoleix una elocitat final de 5 m/s, determineu l energia perduda per fricció. Sol. 650 J. 08j S A Q3) En la gràfica següent es mostra com aria l acceleració d un cos de massa 0 kg que es mou en línia recta. Quin treball s ha efectuat sobre el cos per a moure l des de x = 0 fins a x = 8m? Sol. 800 J a/ms x/m 3. 08j S B P) Dues partícules puntuals es mouen sobre un pla horitzontal sense fregament. La elocitat inicial de la primera partícula, de massa kg, és i 3j. La elocitat inicial de la segona partícula, de massa 4 kg, és 3i 3j. Les partícules xoquen entre elles i després del xoc es mouen separadament. La elocitat de la primera partícula després del xoc és 3i j. Totes les elocitats es donen en coordenades cartesianes i en m/s; i i j són els ectors unitaris ortonormals. a) Calculeu el mòdul de la elocitat de la segona partícula després del xoc. Sol. 3,54 m/s b) Determineu si el xoc és elàstic. Sol. No l és. c) Calculeu la ariació d energia cinètica que experimenta cada partícula en el xoc. Sol. 0 i J j S5 P) Una molla horitzontal està unida per l extrem de l esquerra a la paret i per l extrem de la dreta a una partícula de massa kg. Separem la partícula una distància de 5 cm cap a la dreta de la sea posició d equilibri i la deixem anar. En aquest moment comencem a comptar el temps. La partícula descriu un moiment harmònic simple amb un període de 0,75 s. Quan la partícula es trobi a 0,0 m a la dreta del punt central de l oscil lació i s estigui moent cap a la dreta, determineu: a) L energia cinètica de la partícula. Sol. 3,7 J b) L energia mecànica del sistema. Sol. 4,4 J c) La força resultant que actua sobre la partícula. Doneu-ne el mòdul, la direcció i el sentit. Sol. 4,04 N 5. 08j S5 Q) Un agó de massa M es desplaça a una elocitat per una ia horitzontal sense fricció i xoca contra un altre agó idèntic aturat. Si després de l impacte ambdós agons queden units, quin percentatge de l energia inicial s ha perdut en el xoc? Sol. 50% 6. 08j S5 A Q4) Una plataforma circular gira, en un pla horitzontal, respecte d un eix ertical que passa pel seu centre, a una elocitat de 0/π rpm (reolucions per minut). Determineu el alor de la distància màxima respecte de l eix a què pot situar-se una massa sobre la plataforma de manera que giri solidàriament amb aquesta, sense lliscar, sabent que el coeficient de fregament estàtic al 0,5. Sol. 0,3 m

5 PAU Física. Cinemàtica i Mecànica 008 a 03 / j S5 B P) Dues masses, M = 00 g i M = 400 g, pengen de dos fils inextensibles d m de longitud cada un. Inicialment els dos fils formen un angle de 60, tal com es mostra en la figura següent: En un moment determinat deixem anar la massa M, de manera que es produeix un xoc perfectament elàstic contra la massa M. Calculeu: L 60 0 a) La elocitat de cada massa justament després del xoc. Sol.,04 i,09 m/s b) El alor de la ariació de la quantitat de moiment que experimenta la massa M en el xoc. Sol. 0,83 kg m/s c) L altura que assolirà la massa M després del xoc. Sol. 0, m M L M 8. 08j S5 B Q3) Llancem cap amunt, amb una certa elocitat inicial, un cos de massa kg per un pendent de 37 de manera que recorre 0 m fins a aturar-se i posteriorment torna al punt de partida. El coeficient de fricció entre el cos i el pla inclinat al 0,.. El treball que fa el pes sobre la massa... a) és positiu a la pujada. b) al 59,0 J a la baixada. c) des que surt fins que torna al punt de partida (pujada i baixada) és nul.. El treball que fa la força de fricció sobre la massa... a) al 9,80 J a la pujada. b) al 7,83 J a la baixada. c) des que surt fins que torna al punt de partida (pujada i baixada) és nul. Sols. c, b 9. 08s S4 P) Deixem anar un cos d kg de massa des del punt A, situat sobre una pista constituïda per un quadrant de circumferència A de radi 30 0 R =,5 m i en la qual es considera negligible el fregament, tal com es eu a la figura de sota. Quan el cos arriba a la part B C inferior del quadrant (punt C), llisca sobre una superfície horitzontal fins que queda aturat a una distància de,7 m del punt C. Trobeu: a) La elocitat del cos en el punt C. Sol. 5,4 m/s b) El coeficient de fregament cinètic entre la pista i el cos a la part horitzontal. Sol. 0,56 c) La força que fa el cos sobre la pista quan passa pel punt B. Sol.,5 N 0. 08s S4 A Q3) En una experiència de laboratori, mesurem la longitud d una molla ertical fixa- da per l extrem superior quan hi pengem diferents masses de l extrem inferior. A la taula següent hi ha els resultats obtinguts, on ΔL representa l allargament de la molla quan li pengem de l extrem inferior una massa m. m (g) ΔL (cm) 3,7 49,0 65,3 8,7 98,0 4,3 a) Representeu gràficament l allargament (ordenada) en funció de la força que actua sobre la molla (abscissa). Doneu l equació de la funció que ajusta els alors experimentals. b) Determineu la constant elàstica de la molla. Expresseu el resultat en les unitats del sistema internacional (SI). Sol. 5, N/m DADES: g = 9,8 m/s.

6 PAU Física. Cinemàtica i Mecànica 008 a 03 3/5. 09j S4 P) Una atracció de fira consisteix en una agoneta que, a partir del repòs, és impulsada una distància de 00 cm per un ressort horitzontal inicialment comprimit. La agoneta puja fins a una altura de 0 m i a partir d aquí baixa per un pla inclinat 45 en què una força de fricció constant fa que s aturi just quan arriba a l altura zero. La agoneta té una massa total de 000 kg, la constant elàstica del ressort és, N/m i suposem que sobre la agoneta no hi actuen forces de fricció ni mentre és impulsada ni mentre puja. Calculeu: a) La elocitat de la agoneta just després que la molla la impulsi. Sol. 5,8 m/s b) La elocitat amb què arribarà al punt més alt de l atracció. Sol. 7,3 m/s c) El mòdul de la força de fricció que fa que la agoneta s aturi. Sol. 8,8.0 3 N. 09j S4 B Q3) Fem oscil lar un objecte lligat a una corda de 40 cm de longitud, com si fos un pèndol, de manera que quan l objecte es troba en el punt més alt de la trajectòria la corda forma un angle de 37 amb la ertical.. L objecte passarà pel punt més baix del recorregut a una elocitat de a),50 m/s. b),80 m/s. c),6 m/s.. La tensió de la corda a) és màxima en el punt més alt del recorregut. b) és màxima en el punt més baix del recorregut. c) fa un treball positiu sobre l objecte quan passa del punt més alt al més baix de la trajectòria. Sols. c, b 3. 09j S3 P) En unes muntanyes russes, una agoneta de massa M = 500 kg arrenca del A repòs en el punt A i recorre una pista com la C representada a la figura. Després de recórrer el trajecte, xoca amb un altra agoneta de massa M = 3500 kg, que estaa aturada en el punt D, de manera que després de la col lisió queden totes dues unides. El fregament és negligible en tot el recorregut. El punt A és a B D una altura de 5 m respecte de l horitzontal que passa pels punts B i D, i el punt C és a una altura de 0 m. a) Calculeu la elocitat que tindrà el conjunt de les dues agonetes després del xoc. Sol. 9, m/s b) Dibuixeu l esquema de les forces que actuen sobre la agoneta de massa M quan passa pel punt B. Calculeu el alor de cada una d aquestes forces. Sabem que el punt B és el punt més baix d un arc de circumferència de 0 m de radi. Sol. N = 8, N c) Calculeu el mínim radi de curatura que ha de tenir la pista en el punt C perquè la agoneta no perdi el contacte amb les ies. Sol. 0 m 4. 09j S3 Q3) Una molla, situada sobre una taula horitzontal sense fregament, està fixada per un dels extrems a una paret i a l altre extrem hi ha lligat un cos de 0,5 kg de massa. La molla no està deformada inicialment. Desplacem el cos una distància de 50 cm de la sea posició d equilibri i el deixem moure lliurement, amb la qual cosa descriu un moiment ibratori harmònic simple. L energia potencial del sistema en funció del desplaçament es representa

7 PAU Física. Cinemàtica i Mecànica 008 a 03 4/5 amb la paràbola de la gràfica següent. Determineu el alor de la constant recuperadora de la molla i el alor de la elocitat del cos quan té una elongació de 0 cm. Sols. 400 N/m; 3 m/s E p /J 50 x/cm j S3 Q4) Una atracció d una fira consisteix en uns cotxes petits que giren a una elocitat de mòdul constant de 3,0 m/s i que descriuen una circumferència de 8,0 m de radi en un pla horitzontal. a) Calculeu les components intrínseques de l acceleració d un dels cotxes. b) Si el mòdul de la elocitat dels cotxes, quan finalitza el temps de l atracció, es redueix de manera uniforme des de 3,0 m/s fins a,0 m/s en 0 s, calculeu-ne l acceleració angular i l acceleració tangencial en aquest interal de temps. Sols. a tg = 0; a n =,5 m/s ; 0,05 rad/s ; 0,00 m/s 6. 09s S A P) El tambor d una assecadora de roba és un cilindre horitzontal d acer inoxidable de radi 0 cm. En posar l assecadora en funcionament, la elocitat del tambor augmenta regularment de 0 a 900 rpm en 0 s. a) Escriiu les equacions de les magnituds angulars ω(t) i α(t) en els primers 0 s del moiment. Sol. = 9,45 t; = 9,45 rad/s b) Determineu l acceleració tangencial i l acceleració centrípeta d un punt del tambor al cap de 5 s de l inici del moiment. Sol.,885 i 444 m/s c) Calculeu la força màxima que exerceix el tambor sobre un jersei mullat, de 0,5 kg de massa, quan gira a 900 rpm. Suposeu que, quan el tambor de l assecadora gira, el jersei està sempre en contacte amb la paret del cilindre. Sol. N = 893, N (a baix) Expresseu tots els resultats en unitats del sistema internacional (SI) s S B Q4) El punt més alt d una pista d esquí (que podem aproximar a un pla inclinat sense fregament, tram AB), es troba a una altura h respecte del final. Fora de la pista, tram BC, no queda neu i per tant hi ha fregament (coeficient de fregament, μ, no nul). Si un esquiador surt del començament de la pista (punt A) a una elocitat nul la: A h = 0 B = 0 C. Quina serà la sea elocitat al final de la pista (punt B)? a) gh b) gh / c) Depèn de la massa de l esquiador. Sols. a; c. Quina distància horitzontal (BC) recorrerà l esquiador abans d aturar-se? a) h b) h μ c) h/μ

8 PAU Física. Cinemàtica i Mecànica 008 a 03 5/5 8. j S - P) Disposem d una molla de constant de recuperació k = 4,00 Nm i de longitud natural l = 0,0 cm, amb la qual olem fer una balança. Per fer-la, pengem la molla erticalment per un dels extrems i, a l altre, col loquem una plataforma de massa m = 0,0 g amb un dial, de manera que aquest indiqui el alor de la mesura sobre una escala graduada, tal com es mostra a la figura. a) Determineu la lectura que marca el dial en col locar la plataforma i deixar que el sistema s aturi. Considereu que el zero del dial coincideix amb l extrem superior del regle de la figura. b) Afegim un objecte de massa M = 300 g damunt de la plataforma. A continuació, desplacem el conjunt una distància de 0,0 cm respecte a la noa posició d equilibri i el deixem anar, de manera que el sistema comença a oscil lar lliurement. Amb quina elocitat tornarà a passar per la posició d equilibri? DADA: g = 9,8ms Sols. 4,9 cm; 35,4 cm/s