TEORÍA ELEMENTAL DE MUESTREO

Transcripción

1 TEORÍA ELEMENTAL DE MUETREO La teoría de muestreo se refiere al estudio de las relacioes que existe etre u colectivo o oblació y las muestras que se extrae de las mismas. El estudio de las muestras ermite hacer estimacioes de características descoocidas de la oblació (tales como media, desviació tíica, roorcioes, etc). Estas estimacioes se hace a artir del coocimieto de las características de las muestras (media, desviació tíica, roorció, etc). Las características o medidas obteidas de ua muestra se llama estadísticos; y las medidas corresodietes a la oblació arámetros. Cuado ua medida muestral o estadístico es utilizada como reresetate de ua característica oblacioal o arámetro se deomia estimador. Vetajas de la utilizació de las muestras ) El costo es meor y se uede obteer u mejor redimieto del diero ivertido. ) e obtiee ua dismiució otable del tiemo ecesario ara alcazar la iformació Cuado ua muestra osee 30 o más datos se deomia grades muestras y si la muestra tiee meos de 30 observacioes se deomia equeñas muestras. Al rocedimieto utilizado ara elegir ua muestra se deomia Muestreo. Necesidad del Muestreo.. Població Ifiita. Població uiforme 3. Proceso de ivestigació destructiva 4. Ecoomía de costos 5. Calidad Muestreo co o si reemlazamieto: Co reemlazamieto cuado u elemeto de la oblació uede ser escogido varias veces ara formar arte de la muestra

2 i reemlazamieto cuado u elemeto de la oblació solo uede ser seleccioado ua sola vez ara formar arte de la muestra. Població: es ua colecció de todos los elemetos que estamos estudiado y acerca de los cuales se iteta extraer coclusioes. Puede ser ifiita o fiita. Muestra: Ua arte de la oblació o u subcojuto del cojuto de uidades obteidas co el objeto de ivestigar las roiedades de la oblació. Muestreo estadístico: Es u efoque sistemático ara seleccioar uos cuatos elemetos (ua muestra) de u gruo de datos (oblació) a fi de hacer alguas iferecias sobre el gruo total. Desde el uto de vista matemático, odemos describir las muestras y las oblacioes mediate medidas como la media, la moda, la desviació estádar, etc. No es mas que el rocedimieto a través del cual se obtiee las muestras. Tios de muestreo Muestreo de juicio o o robabilístico. (oiático). e basa e el coocimieto de la oblació or arte de alguie, quie hace a la muestra reresetativa, deediedo de su iteció, or lo tato es subjetiva. Probabilístico(Errático): Todos los elemetos de la oblació tiee la osibilidad de erteecer a la muestra. Muestreo Aleatorio:. Muestreo aleatorio simle. Muestreo istemático. 3. Muestreo Estratificado 4. Muestreo or Coglomerado Muestreo de juicio: A través del coocimieto y la oiió ersoal, basada e la exeriecia del ivestigador, se idetifica los elemetos de la oblació que va a formar arte de la muestra. Ua muestra seleccioada or muestreo de juicio se basa e el coocimieto de la oblació or arte de alguie. Por ejemlo, u guardabosques tomará ua muestra de juicio si decide co atelació que arte de ua gra zoa reforestada deberá recorrer ara estimar el total de metros de madera que uede cortarse. E ocasioes el muestreo de juicio sirve de muestra iloto ara decidir cómo seleccioar desués ua muestra aleatoria.

3 Muestreo aleatorio: Cuado se cooce la robabilidad de que u elemeto de la oblació figure o o e la muestra, uede ser: Muestreo Aleatorio imle (Irrestrictamete Aleatorio): U muestreo es aleatorio cuado cada elemeto de la oblació tiee la misma robabilidad de ser escogido ara formar arte de la muestra. Este tio de muestreo evita que la muestra sea sesgada evitado or lo tato que se realice ua mala iferecia estadística. Por ejemlo, suógase que u ivestigador quiera estimar el módulo de rutura romedio de u material determiado formado or ua oblació de tamaño N 500; or ser esayos destructivos este quiere seleccioar ua muestra de tamaño 0 que le ermita realizar la iferecia, ahora bie el criterio que usó el ivestigador ara seleccioar dicha muestra fue el de tomar 0 materiales que estaba más róximos a él; evidetemete esta muestra o es reresetativa de la oblació, se dice que esta sesgada, or lo que la iferecia estadística que se realice será erróea. Por lo tato, ua muestra se dice que esta sesgada cuado los elemetos seleccioados teía mayor robabilidad de erteecer a la misma. Cómo hacer el muestreo aleatorio La forma más fácil de realizarlo es usado úmeros aleatorios, ara esto se uede recurrir a ua tabla o a u geerador de úmeros aleatorios. Actualmete, se recurre a comutadora. Muestreo istemático o ecuecial. Los elemetos se seleccioa de la oblació co u itervalo uiforme e el tiemo, e el orde o e el esacio. Por ejemlo, suogamos que se quiere estudiar ua determiada característica de u roducto fabricado e serie y se decide seleccioar a cada veite roducto hasta formar la muestra, ara esto se escoge u uto aleatorio de arraque e los rimeros veite roductos y luego se escoge cada vigésimo roducto hasta comletar la muestra. Ua de las vetajas de este muestreo es cuado los elemetos reseta u atró secuecial, tal vez requiera meos tiemo y alguas veces cuesta meos que el método de muestreo aleatorio.

4 Muestreo Estratificado. Para alicar el muestreo estratificado, se divide la oblació e gruos homogéeos, llamados estratos, los cuales so heterógeeos etre si. Desués se recurre a uo de dos métodos osibles: a) e seleccioa al azar e cada estrato u úmero esecificado de elemetos corresodietes a la roorció del estrato de la oblació total b) e extrae al azar u úmero igual de elemetos de cada estrato y damos u eso a los resultados de acuerdo a la roorció del estrato e la oblació total El muestreo estratificado es adecuado cuado la oblació ya está dividida e gruos de diferetes tamaños y queremos recoocer este hecho. La vetaja de las muestras estratificadas, es que cuado se diseña bie, refleja más exactamete las características de la oblació de dode se extrajero que otras clases de muestreo. Muestreo or Coglomerado. E el muestreo or coglomerados, se divide la oblació e gruos o coglomerados de elemetos heterogéeos, ero homogéeos co resecto a los gruos etre si. U rocedimieto bie diseñado, de muestreo or coglomerados, uede roducir ua muestra más recisa a u costo mucho meor que el de u simle muestreo aleatorio. e usa el muestreo estratificado cuado cada gruo reseta ua equeña variació e su iterior, ero existe ua amlia variació etre ellos. e usa el muestreo or coglomerado e el caso cotrario, cuado hay cosiderable variació detro de cada gruo ero los gruos so esecialmete semejates etre sí.

5 DITRIBUCIONE MUETRALE DITRIBUCIÓN MUETRAL DE MEDIA DITRIBUCIÓN MUETRAL PARA DIFERENCIA DE MEDIA 3 DITRIBUCIÓN MUETRAL DE PROPORCIONE Y DIFERENCIA 4 DITRIBUCIÓN MUETRAL DE VARIANZA e defie la distribució muestral de u estadístico (distribució de muestreo) e ua oblació, como la distribució de robabilidad de todos los osibles valores que u estadístico uede asumir ara cierto tamaño de la muestra. Esecíficamete, se trabajará co las distribucioes muestrales ara: medias, roorcioes y variazas. Ua distribució muestral es ua distribució de robabilidad de u estadístico muestral calculado a artir de todas las muestras osibles de tamaño, elegidas al azar e ua oblació determiada. i la oblació es ifiita, teemos que cocebir la distribució muestral como ua distribució muestral teórica, ya que es imosible sacar todas las muestras aleatorias osibles de tamaño de ua oblació ifiita. i la oblació es fiita y moderada se uede costruir ua distribució muestral exerimetal, sacado todas las muestras osibles de u tamaño dado, calculado ara cada muestra el valor del estadístico que os iteresa. Ejemlo, suogamos que se tiee ua oblació de tamaño N 0 y queremos extraer co reemlazamieto todas las muestras osibles de tamaño 5, ara esto se utiliza la relació N, es decir, muestras de tamaño 5. E cambio, si el muestreo es si reemlazamieto, el úmero de muestras de tamaño N 5 viee dado or la combiatoria: N N! 0! ! 5muestras.!( N )! 5!(0 5) 5!

6 Por lo que cosiderado este caso, la distribució muestral ara u estadístico determiado, or ejemlo, la media v viee dado or: muestra muestra M muestra 5 5 Esto es,,, 3, K, 5 o sea, la distibució muestral de medias. e uede hacer ua aroximació exerimetal de distribucioes muestrales basadas e oblacioes ifiitas o fiitas grades, sacado u úmero de muestras aleatorias y siguiedo el mismo rocedimieto aterior. ) DITRIBUCIÓN MUETRAL DE MEDIA: Es la distribució de robabilidad de todas las medias osibles de las muestras, ara u tamaño determiado. Ver ejemlo, aterior. Esta robabilidad tiee asociados (arámetros) tales como la media estádar distribució de µ y desviació. Para calcular, estos arámetros de la distribució muestral de medias se utiliza las siguietes relacioes: µ µ N N ara oblacioe s fiitas ara oblacioe s ifiitas La exresió es la desviació estádar de la distribució muestral de medias, se le llama error tíico o estádar de la media y os idica la diferecia romedio etre los diversos valores de y µ. Como se observa, a medida que el tamaño de la muestra aumeta este error dismuuye, las diversas medias muestrales se hace más uiforme e su valor, y e cosecuecia, cualquier media muestral es ua buea estimació de la media oblacioal µ.

7 Distribucioes Muestrales Costrucció De ua oblació discreta, fiita, de tamaño N, extraer todas las muestras osibles de tamaño Calcular el valor del estadístico de iterés de cada muestra Hacer ua tabla co dos columas: e la rimera los osibles valores diferetes del estadístico y e la seguda, la frecuecia de ocurrecia. Distribució Muestral de la Media Ua oblació cosiste de 0 vededores de ua comañía. La variable de iterés,, es la atigüedad. {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,0} Podemos calcular los siguietes Distribució Muestral de la Media xi 55 µ 5,5 N 0 ( ) xi µ 8,5 N. Extraemos todas las osibles muestras. uogamos (00 muestras).. Calculamos la media ara cada ua de esas muestra x 3. Listar los valores diferetes del estadístico y sus frecuecias.

8 Calculamos la media de la distribució muestral co reemlazamieto 550 xi µ x 5,5 N 00 Calcular la media muestral si reemlazamieto? Calculado la variaza de la distribució muestral: ( xi µ x ) 4,5 x 4,5 N 00 8,5 x 4,5 Error estádar de la media: ε

9 Distribucioes Muestrales Cuado el muestreo se extrae de ua oblació distribuida ormalmete, la distribució muestral de la media muestral tiee las siguietes roiedades:. La distribució de la media es ormal, ideedietemete del tamaño de la muestra.. La Media de la distribució de las medias es igual a la media de la oblació. 3. La variaza de la distribució de las medias es igual a la variaza de la oblació, dividida etre. Teorema del Límite Cetral Dada ua oblació co media µ y variaza fiita, co cualquier distribució, la distribució muestral de la media, calculada de muestras aleatorias de tamaño, está distribuida ormalmete co media µ y variaza fiita /, cuado es grade. La regla de oro dice que 30. Ejemlo La vida romedia de cierta herramieta es de 4.5 horas, co ua desviació estádar de.5 horas. Cuál es la robabilidad de que ua muestra aleatoria de tamaño 50 extraída de esta oblació tega ua media etre 40.5 y 4 horas? P ( 40,5 x 4) P(,86 z,43) P(0 z,86) P(0 z,43) 0,95 DITRIBUCIÓN MUETRAL PARA LA DIFERENCIA DE MEDIA ( ).- A veces iteresa hacer iferecias sobre la diferecia oblacioal de medias µ - µ, o saber si es razoable cocluir que dos medias oblacioales o so iguales, cosiderado que se tiee sedas muestras ara las oblacioes y, resectivamete, dode: tamaño media variaza tamaño media variaza Etoces, la diferecia de las medias muestrales, estima a µ - µ. La forma fucioal de la distribució muestral de deede de la forma fucioal de las oblacioes dode se extrae las muestras tomado e cueta: - i ambas oblacioes so ormales la distribució muestral de la diferecia de medias es ormal. de la muestra de la muestra de la oblació de le muestra de la muestra de la oblació de la oblació - i ua o ambas de las oblacioes o es ormal, la distribució muestral de las diferecias de medias es ormal si >30 (grades muestras), este resultado se deduce del teorema del límite cetral de la oblació

10 E estos casos, los arámetros que defie esta distribució muestral de las diferecias de medias viee dados or: µ µ µ El cual se alica ara dos casos esecíficos deediedo de la muestra: a) Para grades muestras, cuado v - > 30, se trabaja co la distribució ormal. E estos casos, estadarizado la diferecia de medias muestrales, se tiee: ) ( ) ( Z µ µ b) Para equeñas muestras, Cuado v < 30, se trabaja co la Distribució t de tudet. Por lo tato, el valor viee dado or: ) ( ) ( t µ µ dode: ) ( ) (

11 Ejemlo Dos comañías fabrica lubricates de alta temeratura, ara el mismo mercado. La comañía A aucia que e romedio, su lubricate deja de ser efectivo a 505 F, co ua desv. est. de 0 F. La comañía B aucia que su roducto tiee ua media de 475 F, co ua desv. est. de 7 F. uoga que ua muestra de tamaño 0 ara la rimera comañía y otra ideediete de tamaño 5 ara la seguda so extraídas aleatoriamete. Cuál es la robabilidad de que la diferecia e temeratura romedio de falla ara las dos muestras esté etre 5 y 35 F? DITRIBUCIÓN DE UNA PROPORCION MUETRAL ( P ) ).- e defie ua roorció muestral como el cociete: úmero de casos favorables total de casos Por ejemlo: si de ua oblació de N 50, emleados de ua emresa, 5 de ellos o cumle co su horario de trabajo, la roorció de emleados que o cumle horario co relació al total, viee dado: P 5/50 0,3; es decir, el 30 % de los emleados o cumle su horario. La roorció muestral ( ˆ ), se defie como: úmero de casos favorables ˆ tamaño de la muestra Ejemlo: i se toma ua muestra aleatoria de tamaño 000 y 45 ersoas satisface u eveto, etoces 45 / 000 0,45. Esto sigifica que el 4,5 % de las ersoas satisface dicho eveto.

12 La distribució de ua roorció muestral, se defie de ua maera aáloga a a la distribució de media, o sea: Muestra ---- ˆ Muestra ---- ˆ Muestra ˆ 3 Muestra ˆ 5 De esta forma: ˆ, ˆ, ˆ 3,..., ˆ 5 corresode a la distribució de ua roorció muestral. De acuerdo a lo exuesto, la distribució muestral de roorcioes corresode a ua distribució de robabilidad de todas las roorcioes osibles de las muestras, ara u tamaño determiado. Los arámetros que defie esta distribució viee dados or: µ µ P ˆ. q N N ara oblacioe s fiitas. q ara oblacioe s ifiitas Para el cálculo de robabilidades relativa a roorcioes, se trabaja de maera aáloga al caso de la distribució muestral de medias. Ejemlo: U ecuestador sabe que e cierta área el 0 % está a favor de las emisioes e boos. Cosiderado ua muestra de 64 ersoas, hallar la robabilidad de que la roorció muestral difiera de la roorció real a lo sumo e u 0,06. olució: 0.0 roorció de ersoas de la oblació que está a favor de la emisió ˆ roorció de ersoas de la muestra que está a favor de la emisió etoces os está idiedo la siguiete robabilidad: 0,06 ˆ 0,06 ( ˆ 0,06) P P P( 0,7 Z 0,7) 0,04 0,.0,8. q 0,.0,

13 ETIMACION DE PARAMETRO a) ETIMACIÓN PUNTUAL Para estimar u arámetro θ de ua oblació se toma ua muestra reresetativa de la misma y se calcula el estadístico θˆ, el valor del estadístico se cooce como la estimació utual del arámetro θ. Por ejemlo, Parámetro θ µ θ θ Estimació utual ˆ θ (media muestral) ˆ θ (variaza muestral) ˆ θ ˆ (roorció muestral) θ µ µ (diferecia muestral de medias) b) ETIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA E la secció aterior se habló sobre la estimació utual, ua de sus desvetajas es el hecho de o saber que ta róxima está del arámetro, es decir, cuado se obtiee ua estimació ˆ θ, a artir de ua muestra aleatoria de tamaño, se descooce que ta cerca (or defecto o exceso) está del arámetro a estimar θ. Por eso se utiliza frecuetemete otro tio de estimació, la estimació or itervalos, la cual os ermite de acuerdo a u ivel de cofiaza esecificado obteer ua iformació más recisa sobre el arámetro a estimar.. Itervalo de cofiaza ara medias co 30 (grades muestras): x, x z µ z α / α/ es ua estimació or itervalo de la media de la oblació ara u ivel de cofiaza del (-α)%; or ejemlo, si se defie u ivel de cofiaza del 95 %, esto sigifica que or cada 00 muestras de tamaño 30 e 95 de ellas la media de la oblació cae detro de este itervalo.

14 Itervalo de cofiaza ara medias co < 30 (equeñas muestras): e utiliza la t de tudet ara estos casos y cuado se descooce la desviació de la oblació, utilizado la siguiete exresió: t x, / / t x α α µ Es ua estimació or itervalo de la media de la oblació ara u ivel de cofiaza del (-α)%. Itervalo de cofiaza ara diferecias de medias (µ - µ ): a) si >30 (grades muestras) se usa la distribució ormal: (µ - µ ). ) (,. ) ( Z Z α α b) si < 30 (equeñas muestras) se usa la t de tudet: (µ - µ ) g.l. y v )% (- de cofiaza del ara u ivel. ) (,. ) ( t t α α α dode ) ( ) ( Itervalo de cofiaza ara roorcioes ( ˆ ): a) grades muestras:.q. ˆ,.q. ˆ α Z α Z

15 b) equeñas muestras: ˆ t..q, ˆ α t α..q Itervalo de cofiaza ara variazas: Ejemlos: ( ) ( -), χ α χ α -. U fabricate de moitores rueba dos diseños de microcircuitos ara determiar si roduce u flujo de corriete equivalete: Diseño Diseño Hallar u itervalo de cofiaza co u ivel de cofiaza del 98 % ara: a) el flujo medio del diseño y diseño. b) La diferecia media del flujo etre los dos diseños. c) La variabilidad del diseño y diseño. olució: a) ara u ivel de cofiaza del 98 % se tiee que α 0,98 0,0 y α/ 0,0. - diseño, como 8 < 30, etoces ara v 7 grados de libertad se tiee que t α t. 567 y se emlea la fórmula µ x t α ,6 /, x tα/ , ( 0.38, 6.) Esto sigifica, que or cada 00 muestras de tamaño 8 e 98 de ellas la media oblacioal µ cae detro de este itervalo.

16 - diseño, como 0 < 30, ara v 9 g.l. se tiee que t α t. 539 or lo tato µ x t α ,47 /, x tα/ , (.66, 6.739) b) ara la diferecia de flujo medio (µ - µ ), como > 30, se tiee que Z α.33 y se utiliza la fórmula (µ - µ ) ( )., ( ). Z α Z α ( ).33., ( ) ( , ) (.6, 3.) e cocluye que or cada 00 muestras de tamaño 8 y 0 e 98 de ellas la diferecia de medias oblacioales (µ - µ ) está detro de este itervalo. c) diseño, co v 7 g.l. se tiee χ χ 33,4 y χ χ 6, 4 α 0.0 α usado la relació: ( ) ( -) ,, χ α χ α 33,4 6,4 - ( 5.09, 6.5) Por cada 00 itervalos de tamaño 8 e 98 de ellos la variaza oblacioal cae detro de este itervalo.

17 PRUEBA DE HIPÓTEI Para robar ua hiótesis relativa a u arámetro θ se debe roceder de la siguiete maera: Defiir la hiótesis ula H 0 : (se cosidera la aseveració del fabricate) H 0 : θ θ 0. Establecer la hiótesis alterativa: H a : θ θ 0 (rueba de dos colas o bilaterales) H a : θ > θ 0 (rueba de cola derecha o uilateral) H a : θ < θ 0 (rueba de cola izquierda o uilateral) Nota: La hiótesis alterativa se escoge de acuerdo a cada roblema e articular. Por ejemlo: suogamos que u fabricate de bombillos asegura que su roducto tiee ua duració romedio de 000 horas. Por lo que el dueño de ua ferretería quiere cotrastar esta aseveració. Para esto se debe defiir la hiótesis ula y alterativa: H 0 : θ µ h H a : θ < µ (rueba de cola izquierda) e seleccioa esta hiótesis alterativa ya que si la duració romedio es mayor que 000 h, etoces esta hiótesis o es atagóica co H 0, es decir, es mejor ara el dueño de la ferretería. 3. Defiir el ivel de sigificació: Para realizar ua rueba de hiótesis relativa a u arámetro, se debe fijar el ivel de cofiaza (-α) %, de aquí defiimos el ivel de sigificació como el valor de α. i el ivel de cofiaza es del 95 %, -α 0,95 de dode α 0,05.

18 Calcular el Estadístico de Prueba: HIPOTEI NULA H 0 : µ µ 0 (ara medias) ETADITICO DE PRUEBA Grades muestras Pequeñas muestras z x µ t x µ H 0 : µ - µ 0 (diferecia de medias) Grades muestras z ( x x) ( µ µ ) Pequeñas muestras ( x t x ) ( µ µ ) H 0 : 0 H 0 : (ara variazas) (igualdad de variazas) M m χ ( ) ( M F ( m ) ) M m : variaza mayor : variaza meor H 0 : P P 0 (ara roorcioes) z ˆ µ ˆ ˆ µ ˆ Pˆ. q H 0 : P P 0 (diferecia de roorcioes)

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20 ya que el área de las colas está muy cercaa a cero (0, ) etoces los valores de α < 0, ermite acetar la hiótesis ula; or lo que el valor α > 0, ermite rechazar H 0. Por lo tato, es evidete que ara iveles de sigificació del % (α 0,0), 5% (α0,05),0% (α0,) se rechaza H 0. E coclusió se rechaza la hiótesis ula de que la coductividad térmica del ladrillo es igual a 0,36; es decir, se aceta la alterativa de que es diferete.

21 . e aaliza dos catalizadores ara determiar la forma e que se afecta el redimieto medio de u roceso químico. De maera esecífica el catalizador es el que se está emleado e este mometo, ero el catalizador es más ecoómico. Los datos de redimieto de u catalizador se muestra a cotiuació: Catalizador Catalizador Existe algua diferecia etre los redimietos medios. Hallar el valor. Exlique sus coclusioes. olució: - formulació de hiótesis H 0 : µ - µ 0 H a : µ - µ 0 - cálculo del estadístico de rueba rimero se calcula los estadísticos ara la oblació y xˆ resectivamete: xˆ 9,55 9,735,39,98 7.,39 7.,98 luego,69, etoces se tiee que: 4 ( x t x ) ( µ µ ) - 0,775,69 8,69 8 0,675

22 El valor os defie los α ara el cual se rechaza H 0. Cosiderado v 4 g.l. y el estadístico -0,67 como valor crítico, se tiee que el área a la izquierda de 0,67 y a la derecha de 0,67 es igual a 0,55. Por lo que, el valor α > 0,55, e cosecuecia, la hiótesis ula se rechaza ara α > 0,55. De maera articular, se tiee que ara los valores usuales de α 0,0, α0,05 y α 0,. La hiótesis ula H 0 o se rechaza (se aceta). Por tato, se cocluye que ara estos iveles de sigificació la diferecia del redimieto medio o es estadísticamete sigificativa. Tamaño de la Muestra. La clave del roblema estriba e escoger ua muestra cuyo selecció garatice la reresetatividad de la oblació objeto de estudio. E los estudios socio-ecoómicos, ua muestra de u 30% de la oblació, tiee u elevado ivel de reresetatividad (Ramírez 995); si embargo, esta reresetatividad deede mayormete, del tio de muestreo. Obviamete, que el trabajar co muestras, or muy cofiables que sea, o se obtiee el 00% de exactitud, si embargo, ese equeño error que acomaña siemre a los estudios or muestreo, es comesado co el tiemo y costo ahorrado al trabajar co gruos equeños e vez de toda la oblació. Determiació del Tamaño de la Muestra e ua oblació, cuado se utiliza roorcioes: Dode: : Tamaño de la muestra Zα.. q

23 Z α/ : Valor teórico e fució del ivel de cofiaza, ara 99 %, Z α/,56 y ara el 95%, Z α/,96 ε: error de muestreo P: Número de veces que se roduce u eveto e % Q: Es el orcetaje comlemetario de P Ejemlo: Oiió de los electores sobre gestió de gobiero. e realizó u estudio iloto de 50 electores dode 60 oia favorablemete. A cuatas ersoas es ecesario ecuestar si se desea u ivel de cofiabilidad de 99 % y u error de muestreo /-.5%. Etoces se tiee: Zα.. q El valor de P viee dado or: P 60 / %, or lo tato Q %.,56 De esta forma se tiee:.0,4.0, Es ecesario 0,05 ecuestar a 6.99 ersoas ara alcazar cierta cofiabilidad e los resultados. E el caso de ua Població Ifiita co 95 % de Cofiabilidad. Utilizado el ejemlo aterior, se tiee:,96.0,4.0, ,05 Al bajar el coeficiete o el ivel de cofiabilidad, tambié baja el tamaño de la muestra.

24 E el caso de que o exista u Estudio Piloto. A los valores de P y Q se les asiga el valor de 50% a cada uo y es lo que se deomia Codicioes desfavorables de muestreo. E el caso del ejemlo citado el tamaño de la muestra viee determiado de la siguiete maera:,96. 0,5. 0, ,05 Esto quiere decir que habrá que ecuestar a 4.68 ersoas. E el caso de oblacioes fiitas, el modelo matemático difiere co el de las oblacioes ifiitas: Zα /.. q. N ( ) Z.. q α / Dode: N es el tamaño de la oblació y el tamaño de la muestra. e uede alicar e el siguiete caso: Coocer la oiió de los miembros de u sidicato, ate u uevo cotrato colectivo. Comuesto or 3.57 obreros. Cuátas obreros se debe etrevistar ara obteer u ivel de cofiaza de 99 % y u error de muestreo de /- 3%, e codicioes desfavorables?,56. 0,5. 0, ,03 (357 ),56.0,5.0,5 e requiere ecuestar a.68 obreros, ara lograr cierto grado de Cofiaza.

25 Determiació del Tamaño de la Muestra e ua oblació ara medias. E este caso se utiliza la relació: Z α. Ejemlo: e quiere estudiar la vida útil media de ua marca de eumáticos. i sabe or estudios ateriores que la desviació estádar es de 800 Km. Determiar el tamaño de la muestra requerido ara u ivel de cofiaza del 95 %, fijado u error de 40. ustituyedo los valores se tiee, , eumáticos E coclusió, la validez e la ivestigacioes de egocios, está muy relacioada co la cofiabilidad del muestreo y ua muestra cofiable está e fució del tio de oblació a estudiar ( fiitas o ifiitas); asi mismo, e cuato al ivel de cofiabilidad, ésta será mayor si la muestra es mayor y e relació al error de muestreo, éste será meor cuado la muestra es mayor. Para determiar el tamaño de la muestra de ua forma mas ráida y ráctica, se ha diseñado las Tablas de Harvard, las cuales ermite calcular, raidamate el tamaño de la muestra a tomar, e fució del error de muestreo, iveles de cofiabilidad y osibles valores de P y Q. Para rofudizar e este asecto de muestreo, se recomieda cosultar los textos esecializados e estas áreas. Pues ua vez determiado el tamaño de la muestra el aso siguiete que se latea es lo relacioado al tio de muestreo que se va a utilizar ara escoger los elemetos que itegra a la muestra y ésto es u amlio e iteresate tema a tratar.

26 AJUTE DE CURVA. Cuado se quiere estudiar la relació etre variables se uede recurrir a dos tios de modelos: a) modelo determiístico, la relació viee defiida a través de ua fórmula. Por ejemlo, sea y x, etoces se dice que y está e fució de x, dode y se cooce como variable deediete y x variable ideediete. La característica fudametal de este modelo es que ara u valor articular de x siemre obteemos el mismo resultado e y, esto sigifica que la relació etre las variables es erfecta. Ver gráfica. b) modelo robabilistico, la relació etre las variables o es erfecta, ya que debido a ua erturbació aleatoría (ruido) a veces ara u mismo valor de la variable ideediete x se obtiee valores diferetes ara y. E este caso, o se obtiee ua curva sio u diagrama de disersió. Cosiderado el ejemlo aterior, y x ε dode ε es u ruido. Ver gráfica. Por tato, los modelos robabilísticos so útiles cuado se realiza ivestigacioes del tio exerimetal dode a esar de mateer fijo los valores de la variable ideediete ocurre fluctuacioes debido fudametalmete a errores de medició, de los equios, etc. E el resete trabajo estamos iteresados e este tio de modelos. A cotiuació mecioamos los modelos de ajustes más usados:

27 Regresió simle: e defie como la curva que otimiza (miimiza), mediate el método de los míimos cuadrados, los saltos o fluctuacioes de los datos. Es decir, es la curva que mejor ajusta los valores del diagrama de disersió covirtiedo el modelo robabilístico e u modelo determiístico co la fialidad de realizar rediccioes. De igual forma, la curva de regresió ermite modelar la tedecia de los valores. Los modelos de regresió simle viee defiidos or y f(x)ε. A cotiuació veamos los distitos modelos co su resectivo ajuste o curva de regresió: Modelos Probabilísticos Curva de Regresió

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