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1 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO 1º (Castilla y León, Junio, 99 Sea X una variable aleatoria cuya función de distribución de probabilidad es F ( x 0 x + 1 si x < si x 8 si x > 8 Halla a La función de densidad de probabilidad, f(x, de la variable aleatoria b Los valores de x 0 tales que F(x 0 0 Solución a La función de densidad es la función derivada de la función de distribución, es decir, f ( x si x < si x 8 si x > 8 b Si x <, es decir, (,, resulta que x F ( x 0 ( x 0 0 verifican que F Si x 8, es decir, x [, 8], resulta que F x + x + x + 0 ágina 1 or tanto todos los x + ( x0, ( x 0 0 x + 0 x 0 [ ] y resulta que x pertenece al intervalo en el que estamos, es decir, en,8 Si x > 8, es decir, si x ( 8, +, resulta que F ( x 1, que es distinto de cero para todo x ( 8,+ or tanto, los valores de x 0 tales que F(x 0 0, son los x 0 del intervalo (, ] º (Galicia, Junio, 98 a La recaudación diaria de una máquina tragaperras es normal con media 5000 pesetas y desviación típica de 000 pesetas Qué porcentaje de días recauda menos de 5000 pesetas? x x si 0 x b Dada la función f ( x, puede ser función de densidad para 0 en otro caso alguna variable aleatoria continua? Justifíquese la respuesta Solución a Nos dicen que la variable aleatoria X La recaudación diaria de una máquina tragaperras sigue una distribución normal de media μ 5000 ptas y de desviación típica σ 000 ptas Sabemos que esto se designa así X La recaudación diaria de una máquina tragaperras ~ N( 5000,000 iden hallar X < 5000 X 5000 X 000 X ( X < 5000 < ( Z < ( Z > ( Z ,977 0,08 se tiene que si ~ N( 5000,000 Z ~ N( 0, 1 El porcentaje de días que recauda menos de 5000 pesetas es del,8% b ara que una función sea función de densidad de una variable aleatoria continua se deben dar dos requisitos

2 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO 1º f ( x 0 x IR º Que el área de encerrada por la gráfica de la función y el eje OX sea 1, esto quiere decir que + f ( x dx 1 (En general, las integrales se verán en º de bachillerato Veamos si cumple la primera condición Si x (, 0 (, + f ( x 0 0 Luego en ese intervalo (, 0 (, + si se cumple Si x [ 0,] f ( x x x es una función polinómica de grado, cuya gráfica es una parábola Recuerda La gráfica de la función polinómica de grado f ( x ax + bx + c es una parábola, cuyas características son b b Vértice Es el punto, f a a Es convexa si a > 0, y cóncava si < 0 a Si x [ 0,] f ( x x x es una función polinómica de grado, cuya gráfica es una parábola Hallemos los elementos de esa parábola Vértice es el punto ( (, f ( 1, f ( 1 ( 1,1 1 ( 1,1 ( 1, a 1 > 0 ( 1, 1 será un mínimo relativo Como, la parábola es convexa or tanto, el vértice untos de corte con los ejes Con el eje X y x x y 0 x x 0 x ( x Luego los puntos de corte con el eje X son ( 0,0, (,0 y x Con el eje Y x 0 x y 0 Luego el punto de corte con el eje Y es ( 0,0 Luego la gráfica de la función de densidad es (en rojo x 0 0 x 0 x , f or ejemplo f(1-1<0 y para ser función de densidad un primer requisito es que f ( x 0 x IR, luego no puede ser la función de densidad de una variable aleatoria continua Luego la gráfica está por debajo del eje X para los x [ 0,], es decir, ( x 0 x [ 0,] 3º (Cataluña, Junio, 98 Según las informaciones médicas actuales, el nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal centrada en el valor 19 y con una ágina

3 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO desviación típica de 1 unidades Cuál es la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol inferior a 18 unidades? Solución Nos dicen que la variable aleatoria X El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal de media μ 19 y de desviación típica σ 1 Sabemos que esto se designa así X El nivel de colesterol en una persona adulta sana ~ N ( 19, 1 iden hallar ( X < 18 X 19 se tiene que si X ~ N( 19,1 Z ~ N( 0, 1 1 X ( X < 18 < ( Z < 0,5 ( Z > 0,5 ( Z 0, ,915 0,3085 4º (Murcia, Junio, 98 La media de ventas diarias de un vendedor de unos grandes almacenes es de pesetas y la desviación típica es 0000 pesetas Suponiendo que la distribución de ventas es normal, cuál es la probabilidad de vender más de pesetas en un día? Solución Nos dicen que la variable aleatoria X Ventas diarias de un vendedor de unos grandes almacenes sigue una distribución normal de media μ ptas y de desviación típica σ 0000 ptas Sabemos que esto se designa así X Ventas diarias de un vendedor de unos grandes almacenes ~ N( 95000,0000 iden hallar X > X se tiene que si X ~ N( 95000,0000 Z ~ N( 0, X ( X > > ( Z > 1,5 ( Z 1, ,933 0,08 5º (CValenciana, Junio, 99 Celedoni es un estudiante de COU del centro Ximo Trinquet, al que va andando desde su casa El tiempo que tarda en recorrer ese trayecto es una variable normal con media 14 minutos y desviación típica,5 minutos a Cuál es la probabilidad de que tarde más de 0 minutos en ir desde su casa al centro? b Celedoni sale siempre de su casa a las 845 am Qué porcentaje de días llegará más tarde de las 900 am? Solución a Nos dicen que la variable aleatoria X El tiempo en minutos que tarda en recorrer el trayecto sigue una distribución normal de media μ 14 min y de desviación típica σ,5 min Sabemos que esto se designa así X El tiempo que tarda en recorrer el trayecto ~ N ( 14,5 a iden hallar X > 0 X 14 X 5 X ( X > 0 ( X 14 > 0 14 > Z > 5 5 ( Z >,4 ( Z,4 0,9918 0, 008 ( X > 15 X 14 X ~ N 14,5 Z ~ N 0, 5 X ( X > 15 ( X 14 > > Z > 5 5 Z > 0,4 Z 0,4 0,554 0, se tiene que si ~ N( 14,5 Z ~ N( 0, 1 b iden hallar se tiene que si ( ágina

4 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO El 34,4% de los días º (Murcia, Junio, 00 La longitud de cierto tipo de peces sigue una distribución normal de media 0 mm y varianza 81 mm Cuál es la probabilidad de que uno de esos peces mida entre 8 mm y 91 mm? Solución Nos dicen que la variable aleatoria X La longitud de cierto tipo de peces sigue una distribución normal de media μ 0 mm y de desviación típica σ 81 9 mm Sabemos que esto se designa así X La longitud de cierto tipo de peces ~ N ( 0,9 iden hallar ( 8 X 91 se tiene que si ~ N( 0,9 Z ~ N( 0, 1 ( 8 X 91 ( ( Z < 1 Z X 0 X X Z 1 1 Z Si X es una vacontinua entonces ( X < a ( X a ( ( Z 1 0,977 0,8413 0,1359 7º (Cantabria, Junio, 99 El peso medio de los estudiantes de un colegio es de 0 kg y la desviación típica es de kg Suponiendo que los pesos están normalmente distribuidos a Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese menos de 4 kg? b Cuál es la probabilidad de que un estudiante pese 57 kg o más? c Si los estudiantes son 00, cuántos cabe esperar que pesen más de 57 kg y menos de 4 kg? Solución Nos dicen que la variable aleatoria X El peso medio de los estudiantes de un colegio sigue una distribución normal de media μ 0 kg y de desviación típica σ kg Sabemos que esto se designa así X El peso medio de los estudiantes de un colegio ~ N ( 0, X < 4 a iden hallar Z X 0 X < Z < se tiene que si X ~ N( 0, Z ~ N( 0,1 ( X < 4 ( X 0 < 4 0 Re dondeando a las centésimas ( Z < 0, ( Z < 0,7 0, 748 b iden hallar X 57 X n 3 ( X 57 Z ( Z 0,5 ( Z 0,5 0, 915 c El número esperado es p, siendo p la probabilidad pedida Hallémosla ( 57 < X < 4 ( 57 0 < X 0 < < X < ( 0,5 < Z < 0,7 ( Z < 0,7 ( Z 0,5 ( Z < 0,7 ( Z 0,5 ( Z < 0,7 [ ( Z < 0,5 ] 0,748 [ 0,915] 0,748 0,3085 0,4401 or tanto, si los estudiantes son 00, el número de estudiantes que cabe esperar que pesen más de 57 kg y menos de 4 kg será 00 0, , 0, es decir, 88 estudiantes 8º (Asturias, Junio, 00 ara cierto modelo de lavadora se ha analizado el tiempo de funcionamiento que transcurre sin necesitar revisión técnica, llegando a la conclusión de que dicho tiempo es una variable normal de media 5040 horas de lavado con una desviación típica de 70 horas ágina 4

5 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO a Calcula la probabilidad de que una lavadora de ese modelo no supere las 390 horas de lavado sin necesitar una revisión b Calcula la probabilidad de que supere las 480 horas sin necesitar revisión c Calcula la probabilidad de que funcione sin necesidad de revisión entre 570 y horas d Qué número de horas no supera sin necesitar revisión el 90% de este tipo de lavadoras? (Algunos valores de la función de distribución de la normal de media 0 y desviación típica 1 F(0 0,5, F(1 0,8413, F(1,5 0,933, F( 0,977, F(5040 1, F(1,9 0,90, F(0,90 0,8159 Solución Breve introducción al problema Los datos F(0 0,5, F(1 0,8413, F(1,5 0,933, F( 0,977, F(5040 1, F(1,9 0,90, F(0,90 0,8159, nos los proporcionan para no tener que darnos la tabla Esos datos quieren decir lo siguiente Que F sea la función de distribución de una variable aleatoria normal X quiere decir que F es la función F x X x Así si F es la función de distribución de la variable aleatoria normal de media 0 y desviación típica 1, ya sabe el ilustre lector que esta variable aleatoria se designa con la letra mayúscula Z, se tiene de los datos F F ( 0 ( Z 0 0,5; F( 1 ( Z 1 0,8413; F( 1,5 ( Z 1,5 0,933; F ( Z ( 5,04 ( Z 5,04 1; F( 1,9 ( Z 1,9 0,9; F( 0,9 ( Z 0,9 0, 8159 Estos datos lo puede comprobar el lector con dar un simple vistazo a la tabla Nos dicen que la variable aleatoria X El tiempo de funcionamiento que transcurre sin necesitar revisión técnica cierto modelo de lavadora sigue una distribución normal de media μ 5040 horas y de desviación típica σ 70 horas Sabemos que esto se designa así X El tiempo de funcionamiento que transcurre sin necesitar revisión técnica cierto modelo de lavadora ~ N( 5040,70 X 390 a iden hallar X 5040 se tiene que si X ~ N( 5040,70 Z ~ N( 0, 1 70 X ( X 390 ( Z 1,5 ( Z 1,5 ( Z < 1, ( Z 1,5 F( 1,5 0,933 0,08 b iden hallar ( X > 480 X 5040 se tiene que si X ~ N( 5040,70 Z ~ N( 0, 1 70 X ( X > 480 > ( Z > ( Z F 0,977 0,08 c iden hallar ( 570 X X 5040 se tiene que si X ~ N( 5040,70 Z ~ N( 0, X ( 570 X ( 1 Z 1, ( X < a ( X a ( Z 1,5 ( Z < 1 ( Z 1,5 ( Z 1 F( 1,5 F( 1 0,933 0,8413 0,0919 d iden hallar y para que ( X < y 0, 9 X 5040 X ~ N 5040,70 Z N 70 se tiene que si ~ ( 0, 1 0,977; ágina 5

6 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO X 5040 y 5040 y ,9 ( X < y < Z < Miro en la tabla de la N(0,1 y 5040 y ,8 y , y ,8 y 598,8 98, El 90% de las lavadoras no supera las 599 horas sin revisión 9º (Asturias, Sept,99 En un almacén de fruta la demanda total diaria de manzanas (en kilos sigue una distribución normal de media 00 y desviación típica 0 (a Calcular el porcentaje de días en que la demanda no supera los 00 kilos (b El almacén dispone diariamente de 0 kilos de manzanas Cuál es la probabilidad de que un día la demanda supere esa cantidad y no pueda ser atendida? (c Calcular el número de kilos de manzanas por debajo del cual se sitúan el 95% de las cantidades totales que se le demandan al almacén diariamente (Algunos valores de la función de distribución de la normal de media 0 y desviación típica 1 F(0 1, F(00 1, F( 0,977, F(1 0,8413, F(1,5 0,933, F( 1 0,1587, F(1,449 0,95, F(0,95 0,889 Solución a Nos dicen que la variable aleatoria X La demanda total diaria de manzanas (en kilos sigue una distribución normal de media μ 00 y de desviación típica σ 0 Sabemos que esto se designa así X La demanda total diaria de manzanas (en kilos ~ N( 00,0 X 00 a iden hallar X 00 X ~ N 00,0 Z N 0 X Z 0 0, 0 0 se tiene que si ~ ( 0, 1 ( X 5 Aunque no nos dan F(0, pero ya lo sabemos que es la mitad del área encerrada por la función de densidad, el eje X (eje de abscisas El 50% de los días b iden hallar X > 0 X ( X > 0 > ( Z > ( Z F( 0 0 0,977 0,08 c iden hallar y para que ( X < y 0, 95 X 00 y 00 y 00 0,95 ( X < y < Z < Miro en los datos F(1,449 0,95 y 00 y 00 14,49 y 00 1, y 00 14,49 y 114,49 Luego son 114,49 kilos º (Andalucía, Junio, 00 Una variable aleatoria X se distribuye según una ley normal con varianza 4 De esta variable aleatoria se sabe que (X 0,8051 a Calcula la media de la variable X b Halla (0,18 X,8 14, Solución ágina

7 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO a iden hallar μ, sabiendo que X ~ N( μ, 4 N( μ, y que (X 0,8051 se tiene que si X ~ N( μ, Z ~ N( 0,1 X μ X - μ - μ - μ 0,8051 ( X ( X - μ - μ Z Miramos en la tabla, que k hace que el área encerrada por la función de densidad de una variable aleatoria N(0,1 y el eje X en el intervalo (, k] sea ese área de 0,8051 (toda esta literatura es lo mismo que decir, miramos en la tabla que k hace que si Z ~ N( 0,1, se tenga que ( Z k La respuesta es 0,8 (Si, mira en la tabla y verás que el área rayada, es decir, el área encerrada por la función de densidad de una normal de media 0 y desviación típica 1, y el eje X desde hasta 0,8 es 0,8051 or tanto - μ - μ 0,8 - μ 0,8051 Z 0,8 1,7 - μ 1,7 + μ μ 1,7 μ 0,8 b Hallada la media μ 0, 8, tipificando se tiene que si X 0,8 X ~ N( 08, Z ~ N( 0, 1 ( 0,18 X,8 ( 0,18 0,8 X 0,8,8 0,8 0,18 0,8 X 0,8,8 0,8 X 0,8 0,05 1 ( 0,05 Z 1 ( Z 1 ( Z < 0,05 ( Z 1 ( Z > 0,05 ( Z 1 [ ( Z 0,05 ] 0,8413 [ 0,5199] 0,8413 0,4801 0,31 11º (Madrid, Junio, 99 La media de una variable aleatoria X con distribución normal es 5 veces la desviación típica Además se verifica (X 0,8413 Calcular la media y la desviación típica de la variable aleatoria X Solución iden hallar μ y σ de una variable aleatoria X con distribución normal tal que μ 5σ, sabiendo que (X 0,8413 ~ N 5σ,, tipificando se tiene que si X ~ N( 5σ, σ Z ~ N( 0,1 Si X ( σ luego 0,841 Miro en la tabla de la N(0,1 ( X ( X 5σ 5σ 5σ σ σ σ 1 μ X 5σ σ, X 5σ 5σ 5σ Z σ σ σ 5σ 5σ σ 5σ σ 1 σ σ σ σ σ σ σ 1º (Castilla la Mancha, Junio, 99 Las alturas expresadas en centímetros, de un colectivo de 300 estudiantes se distribuye según la distribución Normal con una media de 10 y una desviación típica de 0 a Calcular cuántos estudiantes del grupo miden menos de 170 b Qué porcentaje de alumnos mide más de 140? Solución a Nos dicen que la variable aleatoria X Las alturas expresadas en centímetros, de un colectivo de 300 estudiantes sigue una distribución normal de media μ 10 cm y de desviación típica σ 0 cm Sabemos que esto se designa así ágina 7

8 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO X Las alturas expresadas en centímetros, de un colectivo de 300 estudiantes ~ N( 10,0 a Hallemos ( X < 170 X 10 se tiene que si X ~ N( 10,0 Z ~ N( 0,1 0 ( X < 170 ( X 10 < ( Z < 0,5 0, 915 X < Z < 0 0 or tanto, si los estudiantes son 300, el número de estudiantes del grupo que miden menos de 170 serán 300 0,915 07,45, es decir, redondeando a las unidades, 07 estudiantes b iden hallar X > 140 se tiene que si X ~ N( 10,0 Z ~ N( 0,1 ( X > 140 ( X 10 > ( Z > 1 ( Z < 1 ( Z 1 0, 8413 ágina 8 0 X 10 0 X > Z > El 84,13% de los alumnos medirá más de 140 cm 13º (Castilla la Mancha, Sept, 99 Las puntuaciones de un grupo de 500 alumnos en una prueba de razonamiento numérico (X se distribuyen normalmente con una media de 5 y una desviación típica de a Qué porcentaje de alumnos obtiene una nota inferior a 9? Cuántos alumnos son esos? b Cuántos alumnos tiene una puntuación mayor de 3? Solución a Nos dicen que la variable aleatoria X Las puntuaciones de un grupo de 500 alumnos en una prueba de razonamiento numérico sigue una distribución normal de media μ 5 y de desviación típica σ Sabemos que esto se designa así X Las puntuaciones de un grupo de 500 alumnos en una prueba de razonamiento numérico ~ N( 5, X < 9 a iden hallar X 5 X ~ N 5, Z N X X 5 < 9 5 < Z < se tiene que si ~ ( 0, 1 ( X < 9 ( Z < 0, 977 El 97,7% de los alumnos obtiene una nota inferior a 9 En total 0, , Lo redondeamos a las unidades y son 489 alumnos b Hallemos X > 3 X 5 X ~ N 5, Z N X ( X > 3 ( X 5 > 3 5 > Z > Z > 1 Z < 1 Z 1 0, se tiene que si ~ ( 0, En total 0, ,5, lo redondeamos a las unidades, y 41 alumnos tendrán una puntuación mayor que 3 14º (Galicia, Junio, 01 Supóngase que en cierta población pediátrica, la presión sistólica de la sangre en reposo, se distribuye normalmente con media 115 mm Hg y desviación típica 15 a Hallar la probabilidad de que un niño elegido al azar en esta población tenga presión sistólica superior a 145 mm Hg

9 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO b or debajo de qué valor de presión sistólica estará el 75% de los niños? Solución a Nos dicen que la variable aleatoria X La presión sistólica de la sangre en reposo, en cierta población pediátrica, sigue una distribución normal de media μ 115 mm Hg y de desviación típica σ 15 mm Hg Sabemos que esto se designa así X La presión sistólica de la sangre en reposo, en cierta población pediátrica ~ N( 115,15 a iden hallar X > 145 X 115 se tiene que si X ~ N( 115,15 Z ~ N( 0, 1 15 X ( X > 145 ( X 115 > > Z > ( Z > ( Z 0,977 0,08 b iden hallar y para que ( X < y 0, 75 X 115 se tiene que si X ~ N( 115,15 Z ~ N( 0, 1 15 X 115 y 115 y 115 0,75 ( X < y ( X 115 < y 115 < Z < Miro en la tabla de la N(0,1 y 115 y 115,15 y 115,15 0, y 115,15 y 15,15 Redondeando a las unidades se tiene que el 75% de los niños tendrá una presión sistólica inferior a 15 mm Hg 15º (Galicia, Sept, 00 En una población de 5000 individuos adultos, su perímetro torácico se distribuye normalmente con media 90 y desviación típica 4 a Cuántos individuos tienen un perímetro torácico inferior a 8,4? b Cuántos individuos tienen un perímetro torácico entre 8,4 y 93,? c Qué perímetro torácico ha de tener un individuo de esa población para que el 3% lo tenga inferior a él? Solución a Nos dicen que la variable aleatoria X En una población de 5000 individuos adultos, el perímetro torácico sigue una distribución normal de media μ 90 y de desviación típica σ 4 Sabemos que esto se designa así X En una población de 5000 individuos adultos, el perímetro torácico ~ N( 90,4 X < 84 a iden hallar X 90 se tiene que si X ~ N( 90,4 Z ~ N( 0, 1 4 X 90 8,4 90 ( X < 8,4 < ( Z < 0,9 ( Z > 0,9 ( Z 0, ,8159 0,1841 En total 0, ,5, lo redondeamos a las unidades, y 403 individuos tienen un perímetro torácico inferior a 8,4 b iden hallar 8,4 X 93, X 90 X ~ N 90,4 Z N 4 se tiene que si ~ ( 0, 1 ágina 9

10 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO 8,4 90 X 90 93, 90 ( 8,4 X 93, ( 0,9 Z ( Z 09 ( Z < 09 ( Z 09 ( Z > 09 ( Z 09 ( ( Z 09 0,8159 ( 0,8159 0,8159 0,1841 0,318 En total 0, individuos tienen un perímetro torácico entre 8,4 y 93, c iden hallar y para que ( X < y 0, 3 X 90 se tiene que si X ~ N( 90,4 Z ~ N( 0, 1 4 X 90 y 90 y 90 0,3 ( X < y ( X 90 < y 90 < Z < Miro en la tabla de la N(0,1 y 90 y 90 -,94 y 90 -,94 0, y 90,94 y 87,0 Nota Este problema, a diferencia del siguiente, sólo se puede hacer dando la tabla para valores de x negativos 1º (Madrid, Junio, 01 Se sabe que los resultados de un cierto examen de Filosofía se distribuyen según una distribución normal con una media de 7 y una varianza de 4 Se pide a robabilidad de que un estudiante que se presenta al examen obtenga una calificación mayor de 8 b La calificación mínima para aprobar si se desea que solamente superen la prueba el 33 por ciento de los estudiantes Solución a Nos dicen que la variable aleatoria X Los resultados de un cierto examen de Filosofía sigue una distribución normal de media μ 7 y de desviación típica σ + 4 Sabemos que esto se designa así X Los resultados de un cierto examen de Filosofía ~ N ( 7, a iden hallar X > 8 X 7 se tiene que si X ~ N( 7, Z ~ N( 0, 1 X X > 8 > Z > 0,5 Z 0,5 0,915 b iden hallar y (calificación mínima para que ( X y 0, 33 X viene en las tablas, por lo del, ya que en todas las tablas viene < ó ( X y 0, 33 con < ó 0,33 ( X y 1 ( X < y ( X < y 1 0,33 ( X < y 0, 7 En definitiva, piden hallar y para que ( X < y 0, 7 0,3085 0,7 ( X < y ( X 7 < y 7 Miro en la tabla de la N(0,1 y 7 0,44 y 7 0,88 y 7,88, pero cómo y no, hay que transformarlo X 7 y 7 < y 7 0,88 y 7 ágina y 7 Z < 0,88 17º (Madrid, Sept, 00 Una empresa fabrica 000 sacos de plástico diarios El peso de cada saco sigue una distribución normal de media 00 gramos y desviación típica 5 gramos Determinar en la producción diaria a El número de sacos que pesan más de 15 gramos b El número de sacos que pesan entre 190 y 00 gramos

11 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO c En intervalo de pesos que contiene a los 981 sacos más ligeros Solución a Nos dicen que la variable aleatoria X El peso de cada saco de plástico sigue una distribución normal de media μ 00 gr y de desviación típica σ 5 gr Sabemos que esto se designa así X El peso de cada saco de plástico ~ N ( 00,5 a iden hallar ( X > 15 X 00 5 se tiene que si X ~ N( 00,5 Z ~ N( 0,1 X ( X > 15 > ( Z > 3 ( Z 3 0,9987 0,0013 En total 0, sacos b iden hallar 190 X 15 X X X 00 Z 0 Z Z 0 Z > Z 0 Z 0,5 0,977 0,5 0,08 se tiene que si X ~ N( 00,5 Z ~ N( 0,1 ( [ ] [ ] 0,477 En total 0, sacos < X < p X 00 0,981 < < 5 5 c iden hallar p para que 0, 981 ( 0 < X < p ( Z 40 0 p < Z < 5 p 00 5 p 00 p 00 p 00 Z < ( Z 40 Z < 0 Z < Ver nota del ejercicio15 p 00 p 00 Z < 0,981 0,53 p 00,5 p 5 5 or tanto, el intervalo pedido es (0, 197,35 18º (Andalucía, Junio, 99 La cantidad de litros de lluvia que cae en una localidad durante el otoño, es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media μ 0 l y varianza σ 5 l a Halle la probabilidad de que la cantidad de litros de lluvia esté en el siguiente intervalo ( μ σ, μ + σ b Halle el primer cuartil de esta variable Solución Nos dicen que la variable aleatoria X La cantidad de litros de lluvia que cae en una ~ N 0, 5 N 0,5 localidad durante el otoño a El intervalo ( μ σ, μ + σ es el intervalo abierto ( 0 5,0 + 5 ( 90,1 iden hallar ( 90 < X < 1 se tiene que si ~ ( 0, ,5 X 0 X ~ N 0,5 Z N X ( 90 < X < 1 < < ( < Z < ( Z < ( Z ( Z < ( Z ( Z < ( Z < 0,977 0,977 0,977 0,08 F y X y 0, [ ] [ ] 0,9544 b iden hallar y para que 5 Z < 197,35 ágina 11

12 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO Ver nota y 0 0,5 ( X y Z 5 y 0 3,375 y 0 3,375 9,5 del final del ejercicio15 Miro en dicha tabla ágina 1 y 0 0,75 5 Luego el primer cuartil de esta variable es 9,5 19º (Galicia, Junio, 00 Dos componentes A y B de un sistema funcionan independientemente, distribuyéndose el rendimiento de A según una normal de media y desviación típica 1,5 y el rendimiento de B según una normal de media 43 y desviación típica 3,5 El sistema funciona si el rendimiento de A está entre 3 y 7,5 y el rendimiento de B entre 37,4 y 48, Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? Solución Nos dicen que la variable aleatoria X El rendimiento del componente A sigue una distribución normal de media μ y de desviación típica σ 1,5 Sabemos que esto se designa así X El rendimiento del componente A ~ N (,15 También nos dicen que la variable aleatoria Y El rendimiento del componente B sigue una distribución normal de media μ 43 y de desviación típica σ 3,5 Sabemos que esto se designa así Y El rendimiento del componente A ~ N ( 43,35 se tiene que si X X ~ N N 15 X 43 Y ~ N 43,35 Z ~ N 35 (,15 Z ~ ( 0,1 ( 0,1 ara que el sistema funcione el rendimiento de A está entre 3 y 7,5 y el rendimiento de B entre 37,4 y 48,, es decir, ( 3 < X < 7,5 y ( 37,4 < Y < 48, Como X e Y dicen que son independientes ( "el sistema funcione " "el rendimiento de A está entre 3 y 7,5 y el rendimiento de B entre 37,4 y 48," ( 3 < X < 7,5 ( 37,4 < Y < 48, Tipifico en cada variable aleatoria 3 X 7,5 37,4 43 Y 43 48, 43 < < < < ( < Z < 1 ( 1, < Z < 1, 1,5 1,5 1,5 3,5 3,5 3,5 [ ( Z < 1 ( Z ] [ ( Z < 1, ( Z 1, ] [ ( Z < 1 ( Z ] [ ( Z < 1, ( Z 1, ] [ ( Z < 1 ( ( Z < ] [ ( Z < 1, ( ( Z < 1, ] 0,8413 ( 0,977 0,945 [ ] [ ( 0,945 ] [ 0,8413 0,08] [ 0,945 0,0548] 0,8185 0,8904 0,78794 AROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL OR LA NORMAL 0º (Castilla y León, Junio, 98 Se ha realizado una encuesta sobre una población de escasa cultura, sólo un 15% de la población ha leído más de tres libros Elegida al azar una muestra de 50 personas, calcula a La probabilidad de que haya más de cinco personas que hayan leído más de tres libros b La probabilidad de que como máximo haya seis personas que han leído más de tres libros Solución Sea X la variable aleatoria discreta Número de personas que han leído más de tres libros de las 50 Resulta que X ~ B( 50,0 15 Como n p 50 0,15 7,5 5 y n ( p 50 0,85 4,5 5 podemos hacer aproximar la variable aleatoria X ~ B 50,015 Y ~ N n p, n p 1 p N , N 75,5 (

13 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO Recuérdese que al aproximar una variable aleatoria discreta X por una variable aleatoria X a a 0,5 Y a + 0,5 normal Y, hay que realizar la corrección de Yates Y 7,5 se tiene que si Y ~ N( 75,5 Z ~ N( 0,1 a iden hallar ( X > 5 Realizando la corrección de Yates ( X > 5 ( X + ( X ( X 50 ( X ( Y 5,5 b iden hallar,5 Y 7,5 5,5 7,5 5,5 7,5 Z,5,5,5 ( X ( Y,5 ( Z 039 ( Y 7,5,5 ( Z < 0,39 0,517 0,3483,5 7,5,5 ágina 13 ( Z 0,79 ( Z 0,79 0, 785 Z 0,39 1º (Canarias, Junio, 99 Se estima que uno de cada cuatro individuos de una zona tiene determinada enfermedad Si se toma una muestra de al azar de individuos, hallar a El número esperado de individuos enfermos b La probabilidad de que existan más de 5 individuos enfermos c robabilidad de que el número de individuos enfermos sea, como máximo, igual a 4 Solución Sea X la variable aleatoria discreta Número de personas con determinada enfermedad de los individuos Resulta que X ~ B(,05 Como n p 0, y n ( 1 p 0, podemos hacer aproximar la variable aleatoria X ~ B(,05 Y ~ N n p, n p ( 1 p N 05, N 30,474 Recuérdese que al aproximar una variable aleatoria discreta X por una variable aleatoria X a a 0,5 Y a + 0,5 normal Y, hay que realizar la corrección de Yates Y 30 se tiene que si Y ~ N( 30,474 Z ~ N( 0,1 474 a El número esperado será la media de la variable aleatoria binomial n p 0,5 30 individuos b iden hallar X > 5 Realizandola corrección de Yates ( X > 5 ( X 53 ( Y 5,5 Y 30 5,5 30 4,74 4,74 X 4 c iden hallar ( Z 4,74 ( Z 4, Realizando la corrección de Yates Y 30 4,5 30 4,74 4,74 º (Cataluña, Junio, 00 Tenemos un bombo de lotería con diez bolas idénticas numeradas del 0 al 9 a Hacemos seis extracciones consecutivas de una bola que se devuelve al bombo después de cada extracción Calcula la probabilidad de que el número 4 salga, como máximo, una vez en estas extracciones b Si hacemos 150 extracciones como en el apartado anterior, cuál es la probabilidad de que el número 5 salga como máximo 1 veces? Solución a Sea X la variable aleatoria discreta Número de cuatros de las extracciones ( X 4 ( Y 4,5 ( Z 3,48 0, Resulta que X ~ B, B(,0,1

14 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO iden hallar ( X ( X 1 ( X 0 + ( X 1 ( 0,1 ( 0,9 + ( 0,1 ( 0, , , , , , b Sea X la variable aleatoria discreta Número de cincos de las 150 extracciones Resulta que X ~ B( 150,0 1 Como n p 150 0, y n ( 1 p 150 0, podemos hacer aproximar la variable aleatoria X ~ B 150,01 Y ~ N n p, n p 1 p N , N 15,37 Recuérdese que al aproximar una variable aleatoria discreta X por una variable aleatoria X a a 0,5 Y a + 0,5 normal Y, hay que realizar la corrección de Yates Y 15 se tiene que si Y ~ N( 15,37 Z ~ N( 0,1 37 iden hallar ( X 1 Realizandola correcciónde Yates ( X 1 ( Y 1,5 15 1,5 15 Redondeando a las centésimas Y ( Z 0,41 0, 591 3,7 3,7 3º (Baleares, Junio, 99 Se lanza un dado 70 veces Calcula la probabilidad aproximada de que salgan, al menos, 1 seises Solución Sea X la variable aleatoria discreta Número de seises de las 70 veces que se lanza un dado Resulta que X ~ B 70, Como n p 70 5 y n ( p podemos hacer aproximar la variable aleatoria X ~ B 70, Y ~ N n p, n p ( p N 70, 70 N, uérdese que al aproximar una variable aleatoria discreta X por una variable aleatoria normal Y, X a a 0,5 Y a + 0,5 hay que realizar la corrección de Yates Y se tiene que si Y ~ N(, Z ~ N( 0,1 iden hallar ( X 1 Realizandola corrección de Yates ( X 1 ( Y 9,5 Y 9,5 ( Z 1,05 ( Z 1,05 0, º (Baleares, Junio, 98 Se lanza una moneda 900 veces Calcular la probabilidad aproximada de que salgan menos de 440 caras Solución Sea X la variable aleatoria discreta Número de caras de las 900 veces que se lanza una moneda Resulta que X ~ B 900, Como p n y Rec ágina 14

15 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO n ( p podemos hacer aproximar la variable aleatoria X ~ B 900, Y ~ N( n p, n p ( p N 900, 900 N( 450,15 Recuérdese que al aproximar una variable aleatoria discreta X por una variable aleatoria X a a 0,5 Y a + 0,5 normal Y, hay que realizar la corrección de Yates Y 450 se tiene que si Y ~ N( 450,15 Z ~ N( 0,1 15 iden hallar ( X < 440 Realizandola corrección de Yates ( X < 440 ( X 439 ( Y 439,5 Y , º (aís Vasco, Junio, 98 De una urna que contiene una bola blanca y bolas negras se hacen extracciones sucesivas y con reemplazamiento (una bola cada vez Llamamos X al número de bolas blancas extraídas a Si se hacen cinco extracciones, cuál es la distribución de probabilidad de X? Cuánto ( Z 0,7 ( Z 0,7 ( Z < 0,7 0,7580 0, 4 valen su media y su desviación típica? Cuál es el valor de (X? b Si se hacen 88 extracciones, cuál es la probabilidad de que salgan más de 90 bolas blancas? Solución a La variable aleatoria X Número de bolas blancas extraídas de las cinco extracciones seguirá una distribución binomial de parámetros 1 ~ B 5, 3 X n 1 La distribución de probabilidad de X es (X k k 3 3 La media y la desviación típica de la variable aleatoria X es 1 5 n p μ ; σ n p ( p ágina 15 k n 5, p n k 1 3, designándose así k { 0,1,,3,4,5 } ( X ( X + ( X 3 + ( X 4 + ( X 5 ( X 0 ( X b La variable aleatoria discreta X Número de bolas blancas extraídas de las extracciones Resulta que X ~ B 88, Como n p y n ( p podemos hacer aproximar la variable aleatoria X ~ B 88, Y ~ N( n p, n p ( p N 88, 88 N( 9,

16 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO Recuérdese que al aproximar una variable aleatoria discreta X por una variable aleatoria X a a 0,5 Y a + 0,5 normal Y, hay que realizar la corrección de Yates Y 9 se tiene que si Y ~ N( 9,8 Z ~ N( 0,1 8 iden hallar ( X > 90 Realizandola corrección de Yates ( X > 90 ( X 91 ( Y 90,5 9 90,5 9 Redondeando a las centésimas Y ( Z 0,9 ( Z 0,9 0, º (Murcia, Junio, 98 En un dado trucado, la probabilidad de sacar un es doble que la de cualquiera de los restantes valores Se lanza el dado 0 veces Cuál es la probabilidad de que salga más de 15 veces? Solución Sean los sucesos D i Sacar el número i al lanzar el dado ( i { 1,,3,4,5, } Nos dicen que Como D ( D ( D1 ( D ( D ( D ( D3 ( D ( D4 ( D ( D5 ( 1 + ( D + ( D3 + ( D4 + ( D5 + ( D ( D ( D ( D ( D ( D ( D 1 ( D La variable aleatoria discreta X Número de al lanzar un dado 0 veces Resulta que 40 X ~ B 0, Como n p 0 5,71 5 y n ( p 0 14,8 5 podemos hacer aproximar la variable aleatoria X ~ B 0, Y ~ N( n p, n p ( p N 0, 0 N( 571, Recuérdese que al aproximar una variable aleatoria discreta X por una variable aleatoria normal Y, hay que realizar la corrección de Yates ( X a ( a 0,5 Y a + 0,5 Y 5,71 se tiene que si Y ~ N( 571,0 Z ~ N( 0,1,0 iden hallar X > 15 Realizandola corrección de Yates ( X > 15 ( X 1 ( Y 15,5 ( D ( D 5,71 15,5 5,71 Redondeando a las centésimas Y ( Z 4,85 ( Z < 4,85 1 0,0,0 Debiéndose interpretar este resultado de 0 como probabilísticamente imposible, aunque en la práctica pueda darse 7 ágina 1

17 ROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS DIST NORMAL AROX DE LA DIST BINOMIAL ROFESOR ANTONIO IZARRO 7º (Murcia, Sept 00 Se sabe que el 0% de las personas que reservan plaza en un hotel no aparecen Se han aceptado 0 reservas en un hotel que dispone de 88 habitaciones Determine una aproximación de la probabilidad de que alguno de los clientes que han hecho reserva se quede sin habitación, usando la tabla normal Solución De las 0 reservas aparecen el 0% de 0, es decir, aparecen el 80% de los clientes La variable aleatoria discreta X Número de clientes que aparecen de los 0, resulta que X ~ B( 0,0 8 Como n p y n ( 1 p podemos hacer aproximar la variable aleatoria X ~ B( 0,08 Y ~ N n p, n p ( 1 p N 0 08, N 80,4 Recuérdese que al aproximar una variable aleatoria discreta X por una variable aleatoria X a a 0,5 Y a + 0,5 normal Y, hay que realizar la corrección de Yates Y 80 se tiene que si Y ~ N( 80,4 Z ~ N( 0,1 ara que al menos un cliente se quede sin habitación, resulta que el número de clientes que aparecen de los 0 debe ser mayor que las 88 habitaciones disponibles Luego piden hallar ( X > 88 ( X > 88 ( X 89 ( Y 88,5 Y 80 88, Realizandola corrección de Yates ( Z <, 13 0,9834 0,01 Redondeando a las centésimas 4 ( Z, 13 ( Z <, 13 ágina 17

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