UNIDAD 2 HIDRAÚLICA. GENERALIDADES. Capítulo 2 PRESIONES EN LOS LÍQUIDOS : HIDROSTATICA SECCIÓN 2 : EMPUJES SOBRE SUPERFICIES PLANAS Y CURVAS

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1 UNDD HDRÚL. ENERLDDES apítulo PRESONES EN LOS LÍQUDOS : HDROSTT SEÓN : EPUJES SORE SUPERFES PLNS Y URVS ÁLULO DEL EPUJE EN SUPERFES PLNS Una suprfici plana sumrgida n un líquido con pso spcífico γ s ncuntra somtida a una furza o mpuj originado por la prsión qu actúa sobr lla. En cada lmnto difrncial d suprfici actúa una furza d prsión normal a lla, d valor df pds por tanto parallas ntr sí, su rsultant, cuo valor vamos a calcular constitu l mpuj F E total dl líquido sobr una suprfici plana d ára S, a su punto d aplicación sobr ésta suprfici l llamamos ntro d mpuj, qu calcularmos mdiant l momnto d cada una d las prsions lmntals qu dbrá sr igual al momnto d la rsultant. (Véas jmplos) En st studio vamos a considrar trs casos d progrsiva compljidad para dducir finalmnt l caso más gnral dl problma. a) onsidrmos una suprfici horizontal S situada a una profundidad d la suprfici libr. n st caso la prsión stá rpartida uniform su valor s: p γ l valor d la rsultant s E F p S γ S su punto d aplicación coincid con l ntro d gravdad d la suprfici. b) Supongamos ahora una suprfici vrtical d ára S (fig..1) En st caso la prsión no s uniform como antriormnt, varía sgún la profundidad tal como hmos studiado n la figura.

2 O X Y Y X ds X Y Fig..1 Para calcular l mpuj considrmos un lmnto ds d la suprfici situado a una profundidad. El mpuj E valdrá: s de pds γ ds E pds γds λ ds s s γ γs g La última intgral rprsnta n mcánica la prsión d un momnto stático, n st caso rspcto al j X, qu quival al producto d una suprfici considrada por la distancia a su ntro d gravdad S g. Sindo g la profundidad dl ntro d gravdad, por otra part l producto γ g s la prsión, p g n l ntro d gravdad, con lo qu podríamos prsar l rsultado antrior d la siguint forma: E p g. S Por tanto l mpuj al qu s ncuntra somtida una suprfici vrtical S sumrgida n un líquido d pso spcifico γ cuo ntro d gravdad s ncuntra rspcto d la SLL a una distancia g val c) Vamos l caso más gnral qu s cuando la suprfici sumrgida forma un cirto ángulo con la SLL

3 O α de h E SLL h Y' d E X Fig..1 Y rprsnta una suprfici plana cualquira sobr la qu actúa un fluido qu forma un ángulo α con la horizontal, tal como s obsrva n la figura fig.1. Tomamos un ára horizontal infinitsimal d forma qu todos sus puntos stán situados a la misma distancia dl punto o, por tanto a la misma profundidad h d la suprfici libr dl líquido, SLL. El mpuj (furza) qu actúa sobr sta ára lmntal ds s igual al producto d la prsión p por l ára ds,: de p ds γh ds Sumando todas las furzas lmntals considrando qu h sn α, dond γ α son constants, como: admás: dducimos, simplificando sn α γh ds γ ( sn α) ds ( γ sn α) ds ( γ sn α) S E ds S h sn α E γ h Para situar l mpuj E mdiant la coordnada, qu llamarmos ntro d mpuj (c.d..), tomamos momntos, rspcto dl j OX, prpndicular al papl por tanto intrscción dl plano qu contin la suprfici n studio con la SLL (n la figura s obsrva l alzado su abatiminto). Todas las distancias, stán rfridas a st j. La suma d los momntos d todos los mpujs lmntals rspcto dl j OX s igual al momnto dl mpuj E. S de E Pro de γh ds γ sn α ds E γ sn α S. Por llo, γ sn α ds ( γ sn α)( ds, s l momnto d inrcia dl ára plana rspcto dl j OX, simplificando obtnmos: S)

4 S S, s l momnto stático d la suprfici considrada rspcto a XX. Rcordando l Torma d Stinr: + S + S + S S S Nos indica qu la posición dl mpuj stá simpr por dbajo dl ntro d gravdad rspcto a SLL, lo qu s lo mismo, ( ) > 0, pusto qu s positivo. La coordnada dl ntro d mpuj con rspcto al j YY, la calculamos considrando l ára lmntal ds, cuo valor s (d d). Tomando momntos rspcto dl j YY llamando a la distancia dond s ncuntra situado l mpuj E, rpcto al j YY : ( γh S) ( γ sn α)( E S) de p(d d) γh (d d) ( γ sn α) (d d) omo h sn α, la intgral rprsnta l producto d inrcia dl ára plana rspcto d los js X Y, XY. Por tanto, ( + S S ) Si cualquira d los js fura un j d simtría d la suprfici plana,, sría nulo la coordnada dl ntro d mpuj,, staría sobr l j Y qu pasa por l ntro d gravdad, staríamos n l caso particular antrior. Téngas n cunta qu l producto d inrcia rspcto d un sistma d js qu pasa por l ntro d gravdad ( ), pud sr positivo o ngativo, ntro d prsión, podría situars a uno u otro lado dl j. Ejmplos.6 Un dpósito rctangular contin 5400 litros d agua la scción transvrsal dl mismo s 1, m. Dtrminar: a). La profundidad dl agua. b). El mpuj n l fondo. c). Los mpujs n las pards latrals l c.d..

5 a).dl volumn d la suprfici dadas, obtnmos la altura: V S h ; 5,4 1, h ; h 1,5 m b).empuj n l fondo: c).empuj n una pard d 1,5 : Empuj n la otra pard d 1,5 1,: E fondo γ h S 10 1,5 1, 5400 Kp E ,75 1,5 75 Kp E 10 0,75 1,5 1, 150 Kp h 1,5 1 m.7 alcular l mpuj E l c.d.. dbido a la acción dl agua sobr la suprfici plana rctangular d 6 m d altura m d ancho, situada a una profundidad d 4 m. O1 SLL 4 m m 6 m E γh S 1000 (4 + ) (6 ) Kp 16,1 kn El mpuj actúa sobr l ntro d mpuj, qu stá a una distancia dl j O 1 s igual a: S ,4 m d O 1 Otra forma d obtnr : 6 1 O1 S ,4 m d O 1.8 alcular l c.d.. d un triángulo isósls, sumrgido vrticalmnt n un líquido, con bas horizontal coincidnt con la suprfici libr.

6 b ' h h/ D E d h ; 6 plicando l Torma d Stinr obtnmos a partir d : ' ; h h h alcular l c.d.. ( ) d un triángulo D como l d la figura, conocido su. SLL ' c h D b omnto d inrcia rspcto al c.d.g.: ; distancia d a (/)h + c 6 omnto d inrcia stático rspcto a XX

7 + 6 h + c ntro d mpuj h + c h 4c + h c + c + h.10 alcular l c.d.. ( ) d un círculo d radio r, sumrgido vrticalmnt n un líquido, conocido su. ' r ' Utilizando la cuación gnral para calcular + S Sd omnto d inrcia rspcto al c.d.g. momnto stático rspcto a XX ntro d mpuj : π r 4 4 r 4 πr + πr r 4 π r 5 r 4 πr r π r.11 Dtrminar l mpuj l c.d.. n una ataguía construida para cimntación, n los siguints supustos: a). S inunda una cara hasta 4,80 m. b). S inunda una cara hasta 4,80 m la otra a,80 m. (S considra una longitud d 1 m).

8 a SLL SLL 4,8 m D, m E 4,8 m 1,95 m D b'' b ER d ' E' SLL' 0,9 m,8 m D' 4,8 m 4,8 m b',8 m a). El c.d.. s: h 4,8, m rspcto d SLL (punto ). E γh S 10,40 4, ,5 10 Kp S pud llgar al mismo rsultado gráficamnt: Llvamos D 4,8 m. La suprfici rprsntativa dl mpuj E sobr la ataguía, s l ára dl triángulo rctángulo D, cuo valor s: E 1 4,8 4, ,5 10 qu actúa n, por 1 m d longitud. El punto d aplicación d E s, qu s l barintro dl triángulo / / 4,8, m. b). Empuj E cara izquirda: E 11,5 10 Kp; c.d.., m Empuj E cara drcha: E 10 1,40,80,9 10 Kp ',8 1,87 m Kp ráficamnt: Empuj rsultant, E R : 1 E',8,8 10,9 10 Kp ; ',8 1,87 m, rspcto a SLL. E R E E 11,5 10 -,9 10 7,6 10 Kp La situación d E R, '' la calculamos tomando momntos rspcto al punto d la solra: 11,5 1,60,9 0,9 7,6 '' '' 14,786 1,945 m 1,95 m 7,6

9 LULO DEL EPUJE SORE SUPERFES URVS En una suprfici curva, l sistma d furzas lmntals d prsión no pud rducirs a un vctor único, sino una rsultant qu srá l mpuj. El cálculo dl mpuj o rsultant n suprficis curvas s rducirá al cálculo d una componnt horizontal E h una componnt vrtical E v, l mpuj total srá la rsultant d ambos vctors. En ingniría s manjan suprficis d rvolución con plano d simtría, dstacan por su intrés las cilíndricas con gnratris horizontals o vrticals, n otro tipo d curvas no simétricas l problma srá más complicado. Empuj sobr una suprfici curva, con l diagrama d prsions Fig..14 En la suprfici curva d la fig..14 como n cualquir otra, istirá un mpuj horizontal E h cuo cálculo s actamnt igual qu si fus una suprfici plana n posición vrtical. E h ½ γ h un mpuj n dircción vrtical E v qu srá la rsultant por una part dl pso dl líquido qu gravita sobr la suprfici cilíndrica O, qu dnominamos E O por otra part l mpuj vrtical hacia arriba qu primnta la suprfici O, qu calculamo por rquímds qu dnominamos E O. E v E O - E O En l caso d suprficis smicilíndricas o smicirculars, la suprfici O no istiría, con lo qu solamnt istiría l mpuj E v qu obtndrmos por l principio d rquímds, como vamos a vr n l jmplo. El mpuj total valdrá: E E h + E v Ha qu tnr n cunta, qu hmos considrado cilindros o suprficis d longitud unidad, n caso contrario ha qu multiplicar los mpujs por L, largo d la suprfici.

10 .1 alcular situar, por mtro d longitud, l mpuj E sus componnts E E dbido a la acción dl agua sobr la compurta d sctor. 6 m X E X E Y El mpuj E actúa normalmnt a la suprfici, por tanto, podmos dscomponr E n una componnt horizontal E una vrtical E. Empuj actuant sobr la procción vrtical, E : qu actúa a: 6 E γhs 10 (6 1) 6 4 m d X Kp Empuj actuant sobr la procción horizontal, E : Pso dl volumn d agua dsalojado por la compurta d sctor : E π ,7 10 Kp situado n l ntro d gravdad dl volumn d líquido. El ntro d gravdad dl cuadrant d un círculo val: 4 r π Por tanto: 4 6,55 π m El mpuj E valdrá: E EH + E (18 10 ) + (8,7 10 ),51 10 Kp Obsrvación: omo los mpujs lmntals de, actúan n dircción normal a la curva, su lína d acción pasa por l j. La furza rsultant E, también pasará por. Para comprobarlo, basta con tomar momntos rspcto d, para obtnr: (18 4) + (8,7,55) 0 Lugo l punto s ncuntra n quilibrio. Esto implica qu la compurta no gira por los mpujs considrados.

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