PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA APLICADA

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1 UNIVERSIDAD ORT Uruguay Facultad de Igeería Berard Wad - Polak PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA APLICADA NOTAS DE CLASE DEL CURSO DE LA Lcecatura e Sstemas FASCÍCULO Prof. Orual Ada Cátedra de Matemátcas Año 0

2 FASCÍCULO UNIVERSIDAD ORT URUGUAY LICENCIATURA EN SISTEMAS ORUAL ANDINA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA APLICADA NOTAS DE CLASE

3 PREFACIO Esta publcacó ha sdo preparada para servr de apoyo al curso de Probabldad y Estadístca Aplcada, que se dcta e la Lcecatura e Sstemas de la Uversdad ORT Uruguay. Se trata de u curso breve, lmtado a cuatro horas docetes semaales durate u semestre lectvo. Por lo tato, ha sdo ecesaro codesar al máxmo la presetacó de los temas exgdos por el programa, tratado de lograr u adecuado balace etre el peso relatvo de los aspectos teórco coceptuales y el de las dspesables aplcacoes práctcas. Las otas correspodetes a todo el curso se preseta e dos fascículos. El prmero de ellos cotee ua troduccó a la estadístca descrptva, úmeros ídces y dstrbucoes de probabldad, metras que el segudo está dedcado a presetar los elemetos báscos del muestreo e fereca estadístca, prueba de hpótess y relacoes de asocacó o depedeca etre atrbutos y varables. La presetacó de cada tema se completa co u cojuto de ejerccos que permte aplcar los coocmetos que se va adquredo durate el desarrollo de las clases. Los datos de los ejemplos que se cluye, so e geeral de carácter fctco y tee ua faldad exclusvamete docete. E todos los casos se ha procurado smplfcar al máxmo los cálculos ecesaros, para poder dedcar la mayor parte de la atecó, a los propóstos esecales de la ejerctacó. Se debe aclarar que la lectura de estas otas, o exme de asstr a clases, obvar por completo la cosulta a la abudate y excelete bblografía dspoble sobre los temas que aquí se trata. Ua parte recomedada de dcha bblografía, se cta como aexo al fal del segudo fascículo. ORUAL ANDINA

4 NOTA DE CLASE Nº ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Datos estadístcos. Atrbutos y varables. Varable dscreta y varable cotua. Presetacó tabular y gráfca. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA La deomacó de Estadístca Descrptva se refere a la parte de la Estadístca que tee por faldad la reduccó de cojutos de datos empírcos, a u pequeño úmero de característcas que cocetra la formacó esecal sumstrada por los datos. E geeral, la estadístca descrptva se aplca a cojutos muy umerosos de datos, es decr cuado los procesos de resume resulta ser dspesables para ua cabal terpretacó de la formacó que cotee.. DATO ESTADÍSTICO La formacó umérca que se obtee cotado o mdedo ua característca de terés se deoma: dato estadístco. La forma de obteer meddas o recuetos, es decr, de recolectar los datos, es ua de las partes más mportates del procedmeto estadístco, pero o será cosderada aquí, admtédose e geeral, que la formacó ya se ecuetra dspoble para su procesameto. No obstate, cabe señalar que solo puede cosderarse como datos estadístcos a las medcoes o recuetos que se obtee medate procedmetos sstemátcos de observacó, ceñdos a rgurosas ormas de cotrol de caldad.. VARIABLES Y ATRIBUTOS Podemos dstgur dos clases de datos estadístcos: cuattatvos y cualtatvos. La deomacó clásca que recbe los prmeros es la de varables, metras que a los segudos usualmete se les deoma atrbutos. Ua varable es ua característca medble; por ejemplo, la altura, el peso, la edad, el salaro, el úmero de amales por establecmeto. U atrbuto es ua característca o medble, por ejemplo: el estado cvl, la acoaldad, la raza. 3. VARIABLE DISCRETA Y VARIABLE CONTINUA A cotuacó cetraremos uestro terés e el tratameto de los datos estadístcos cuattatvos o de varable, cuado exste ua sola varable de terés (cojutos udmesoales). S la varable solo puede tomar alguos valores aslados se deoma: varable dscreta. El úmero de persoas por vveda, es ua varable dscreta porque o puede tomar cualquer valor. La proporcó co que puede presetarse certa característca de terés e determado cojuto de observacoes, el úmero de hjos por hogar, so alguos ejemplos de varable dscreta. Hay valores que la varable o puede tomar. S e cambo, la varable puede tomar cualquer valor detro de certo tervalo de terés, se le deoma: varable cotua. El peso y la edad, so ejemplos de varable cotuas. Tee setdo pesar que, detro de certos tervalos, la varable pueda observar cualquer valor, al meos desde el puto de vsta teórco ya que desde el puto de vsta práctco todas las varables se comporta como dscretas, depededo la forma de expresó de los valores observados, del sstema y de las udades de medda que para el caso se haya defdo.

5 4. PRESENTACIÓN DE LOS DATOS Se cosdera como datos orgales a los datos tal cual se obtee de la fuete de formacó, s gú tratameto posteror. Para poder avazar e el proceso de resume, destado a poer e evdeca las característcas relevates del cojuto, es ecesaro proceder a su ordeameto y posteror presetacó tabular y gráfca. Ua vez que estos datos se procesa co dchos fes, pasa a deomarse: datos agrupados. El tratameto de los datos orgales dfere segú se trate de varable dscreta o be de varable cotua. 4. Varable dscreta Smbología: x : valores de la varable tal cual se recolecta (datos orgales) : úmero de observacoes cosderadas (tamaño del cojuto) X : valores tabulados de la varable (datos agrupados) m : úmero de clases, o de dsttos valores de la varable m : frecueca absolutas smples, o repetcoes de los dsttos valores de la varable h : frecueca relatvas smples. Se obtee medate el cocete: h = N : frecuecas absolutas acumuladas. Se obtee acumulado las frecuecas absolutas smples, segú los sucesvos valores de la varable H : frecuecas relatvas acumuladas. Se obtee acumulado las frecuecas relatvas smples, segú los sucesvos valores de la varable. Ejemplo : Como parte de ua vestgacó, se preguta a 0 formates seleccoados, el úmero de persoas que tegra sus hogares. Las respuestas so las sguetes: x = 3 x = 5 x 3 = 3 x 4 = 4 x 5 = 4 x 6 = x 7 = 3 x 8 = 5 x 9 = 4 x 0 = 3 Se pde orgazar estos datos e u cuadro de dstrbucó de frecuecas y presetarlos e forma gráfca. No hay duda que se trata de ua varable dscreta, ya que sólo podría haber tomado los valores,, 3, 4, 5 etc. El cuadro de la dstrbucó de frecuecas resultate es el sguete: E este caso, como e la mayoría de los ejemplos plateados, los procedmetos se lustra medate el tratameto de u pequeño úmero de observacoes, procurado evtar cálculos egorrosos y reducr al máxmo otras dfcultades de carácter práctco y operatvo.

6 Cuadro X h N H 0, 0, 3 4 0,4 5 0, ,3 8 0,8 5 0, 0,0 0,0 De acuerdo co la smbología elegda, se observa que = 0 y m = 4. Debe destacarse las sguetes relacoes de terés, que se cumple e todo cuadro de dstrbucó de frecuecas: m = m = ; h = ; N = ; H = m m = ; N H = E cuato a la presetacó gráfca, se obtee los dagramas de frecuecas smples y acumuladas que se muestra e las fguras y. h 4 0,4 3 0,3 0, 0, X Fgura Gráfco de frecuecas smples de varable dscreta. h 3

7 0,0 8 0,8 5 0,5 0, X Fgura Gráfco de frecuecas acumuladas de varable dscreta. Los gráfcos tee característcas dscotuas como cabe esperar, dada la aturaleza de la varable. 4. Varable cotua Smbología: Se matee la msma smbología utlzada e el caso de varable dscreta, excepto: X : represeta ahora la marca de clase o cetro de los tervalos de clase. Además se defe: X - - X : tervalos de clase c : ampltud de los tervalos de clase Ejemplo : Se dspoe de 5 observacoes, relatvas a la suma de putajes obtedos por cada uo de los 5 postulates e ua prueba de admsó. Se pde orgazar los datos e u cuadro de dstrbucó de frecuecas y presetarlos gráfcamete. x = 9 x = 0 x 3 = 6 x 4 = x 5 = 34 x 6 = 94 x 7 = 05 x 8 = 0 x 9 = 6 x 0 = 33 x = 7 x = 8 x 3 = x 4 = 3 x 5 = 35 x 6 = 04 x 7 = 5 x 8 = 5 x 9 = 38 x 0 = 3 x = 4 x = 7 x 3 = 6 x 3 = 30 x 5 = Obsérvese que para smplfcar la presetacó, las cfras ha sdo redodeadas a valores eteros. S embargo, tee setdo pesar que los putajes pueda tomar cualquer valor detro de u certo tervalo. 4

8 Correspode etoces cosderarlos como ua varable de tpo cotuo. Recordemos que desde el puto de vsta práctco, todas las varables se comporta como dscretas. Para agrupar las observacoes e u cuadro de dstrbucó de frecueca, hay que preceder de la sguete forma: ) Determar u tervalo que cotega el recorrdo de la varable ) Dvdr este tervalo e tervalos de clase, a los efectos de agrupar la formacó orgal. La ampltud (c ) de los tervalos de clase puede ser costate o varable. No es ecesaro utlzar ormas preestablecdas fjas para la determacó del úmero de tervalos de clase, para determar la ampltud de los msmos. Como el agrupameto puede mplcar certa pérdda de formacó, es el propo usuaro de los datos que deberá decdrlo, e fucó del grado de detalle que e cada caso desea coservar. Se tomará la covecó de que estos tervalos so abertos por la zquerda (o cluye el extremo feror) y cerrados por la derecha (cluye el extremo superor). 3) De maera que e el ejemplo (procededo e forma completamete arbtrara) se comeza por determar u tervalo que cotega el recorrdo de la varable: ]90 ; 40]. Juto a la vetaja de trabajar co valores secllos, se asegura de esta forma que todos los datos tega cabda e el cuadro, cosa que o ocurrría s el msmo se ajustara exactamete al tervalo ] 9 ; 38], lmtado por los valores extremos de la dstrbucó (9 quedaría fuera). Luego, se determa el úmero de tervalos de clase (4) y su ampltud (0 para el prmero y 0 e los restates). Al tabular los datos, se observa que hay valores cuya ubcacó debe determarse e fucó de la covecó asumda, por ejemplo: 0. S los tervalos de clase so abertos por la zquerda y cerrados por la derecha, correspode ubcar esta observacó e el prmer tervalo. Esta es la covecó que utlzaremos e lo sucesvo, auque cosderar tervalos de clase cerrados por la zquerda y abertos por la derecha o ocasoaría dferecas aprecables. El cuadro de dstrbucó de frecuecas resultate del proceso de tabulacó, es el que se preseta a cotuacó: Cuadro X - - X X h N H / c h / c ,0 5 0,0 0,5 0, ,36 4 0,56 0,90 0, ,8 0,84 0,70 0, ,6 5,00 0,40 0,06 5,00 5

9 Ua vez que la formacó orgal ha sdo tabulada, se pasa a admtr que la dstrbucó de las observacoes detro de cada tervalo de clase es homogéea, prescdédose de la formacó sobre su verdadera ubcacó detro del msmo. La represetacó gráfca de las frecuecas se realza medate rectágulos cuyas bases correspode a los tervalos de clase utlzados. A los efectos que el área de cada rectágulo resulte umércamete gual a la frecueca que represeta, es ecesaro determar las alturas de los msmos medate el cocete etre la frecueca y la ampltud del tervalo correspodete, segú se observa e las dos últmas columas del cuadro presetado. Los gráfcos que se obtee (fguras 3 y 4) recbe respectvamete el ombre de hstogramas de frecuecas para las frecuecas smples, y polígoos de frecuecas, para las frecuecas acumuladas. /c h /c 0,90 0,036 0,70 0,08 0,40 0,06 0,5 0, X Fgura 3 Hstograma de frecuecas de varable cotua. N H 5,00 0,84 4 0,56 5 0, X Fgura 4 Polígoo de frecuecas acumuladas de varable cotua. 6

10 Resulta evdete que la tarea de ordear los datos y presetarlos adecuadamete e cuadros de dstrbucó de frecuecas y e gráfcos represetatvos, permte avazar e el proceso de resume, ya que alguas característcas relevates de la dstrbucó comeza a percbrse e forma drecta. 7

11 Laboratoro. Se dspoe de formacó umérca de las sguetes característcas: SEXO; ESTADO CIVIL; PULSACIONES POR MINUTO; NACIONALIDAD; PESO AL NACER; PROPORCION DE MUJERES EN UN CURSO; NÚMERO DE TELEVISORES POR HOGAR; ESTATURA; EDAD. Se pde clasfcar estos datos e: Atrbutos; Varables Dscretas y Varables Cotuas.. Propoga u ejemplo de cada categoría. 3. Vete vvedas preseta la sguete formacó relatva al úmero de ocupates: Agrupe estos datos e u cuadro de dstrbucó de frecuecas. 3. Costruya el gráfco de frecuecas absolutas smples y el gráfco de frecuecas absolutas acumuladas. 4 Los pesos e Kg de vete bultos depostados e ua bodega, so los sguetes: Adoptado la covecó de que los tervalos de clase so abertos por la zquerda, cerrados por la derecha, se pde: 4. Agrupar los datos e u cuadro de dstrbucó de frecuecas, utlzado los sguetes tervalos de clase: Costruya el hstograma de frecuecas absolutas y el gráfco de frecuecas absolutas acumuladas. 8

12 NOTA DE CLASE Nº VALORES ESTADÍSTICOS DESCRIPTIVOS. Alguos valores estadístcos de poscó. Meda artmétca. Cuatles. Moda. Meda geométrca. Meda armóca. VALORES ESTADÍSTICOS DESCRIPTIVOS Las característcas prcpales de ua dstrbucó de datos estadístcos so: la poscó, la dspersó, la asmetría y el aputameto. E fucó de los objetvos del curso, e estas otas sólo se presetará alguos valores estadístcos de poscó y de dspersó. No obstate, cabe señalar que la asmetría y el aputameto també puede cuatfcarse medate valores estadístcos especalmete defdos co ese f. ALGUNOS VALORES ESTADÍSTICOS DE POSICIÓN Los valores estadístcos descrptvos que resume la formacó relatva a la poscó de u cojuto de datos co respecto a u orge, se deoma valores estadístcos de poscó o be, meddas de poscó. Por lo geeral señala cetros de la dstrbucó, por lo que també recbe la deomacó de meddas de la tedeca cetral. Teedo e cueta que todos los valores estadístcos descrptvos se puede calcular a partr de los datos orgales, o be a partr de los datos agrupados, se presetará expresoes de las defcoes correspodetes, adecuadas a cada ua de ambas stuacoes. També es posble, e el caso de que los datos se ecuetre agrupados, calcular los dsttos valores estadístcos a partr de las frecuecas absolutas, o be a partr de las frecuecas relatvas.. MEDIA ARITMÉTICA Se defe para: ) datos orgales: x = = x ) datos agrupados: m X = X = y recordado que h = m X= X h = E parte de la bblografía que se cta e el aexo, al fal del segudo volume, es posble ecotrar formacó sobre cómo se defe y utlza dversos coefcetes destados a medr la asmetría y el aputameto e u cojuto de datos estadístcos. 9

13 Como se observa, e el caso de datos agrupados, cada valor de la varable (s es dscreta) o marca de clase (s es cotua) se ecuetra poderado por la frecueca que preseta e la dstrbucó. De ahí la deomacó de meda artmétca poderada, que esta expresó recbe habtualmete. Ejemplo 3: Varable dscreta Cosderado el ejemplo, de la Nota de Clase Nº (Pág. ) se tee: L Para los datos orgales: x = = 3, 6 0 () + 3(4) + 4(3) + 5() Para los datos agrupados (Cuadro, Pag. 3): X = = 3, 6 0 Al agrupar los valores de ua varable dscreta e u cuadro de la dstrbucó de frecuecas o se perde formacó. Cosecuetemete, los resultados que se obtee a partr de los datos tabulados, o dfere de los que se basa e los valores orgalmete observados por la varable. Obsérvese que la meda artmétca como valor estadístco de resume, puede tomar cualquer valor cetral e la dstrbucó aú, como e este caso, u valor que la varable orgal o puede observar (3,6). Ejemplo 4: Varable cotua Cosderado el ejemplo, de la Nota de Clase Nº (pag. 4) se tee: L Para los datos orgales: x = = 8, (5) + 5(9) + 5(7) + 35(4) Para los datos agrupados (Cuadro, pag. 5): X = = 8 5 Se observa ua pequeña dfereca etre los resultados ecotrados para la meda artmétca e uo y otro caso. Ello o debe sorpreder, ya que e este caso al tabular los datos se perde parte de la formacó orgal, al admtr que detro de los tervalos de clase la dstrbucó es homogéea (lo que justfca tomar como represetatvas a las marcas de clase). També hay que cosderar que estamos trabajado co u muy reducdo úmero de observacoes. E cojutos umerosos de datos, las dferecas suele compesarse etre sí, restado toda sgfcacó a esta evetual dscrepaca.. Propedades A cotuacó se eucará alguas propedades mportates de la meda artmétca, segudas de breves demostracoes. Estas últmas se realza cosderado la defcó para datos orgales, dejádose como ejercco las correspodetes comprobacoes para el caso de datos agrupados. Dado que las sumatoras se extede a todo el recorrdo de la varable, se omtrá e lo sucesvo, regstrar e las expresoes los límtes de las msmas. 0

14 .. La suma de las desvacoes de las observacoes co respecto a la meda artmétca es gual a cero. E otras palabras, la meda artmétca cofgura el cetro de gravedad de u cojuto de datos. S las observacoes se susttuye por pesos y e la poscó de la meda artmétca se ubca el fel de ua balaza, el sstema queda e equlbro. x ( xi x) = x x = x x = x / 0 = /.. La suma de los cuadrados de las desvacoes de las observacoes co respecto a la meda artmétca, es meor que la suma de los cuadrados de las desvacoes co respecto a cualquer otro orge de trabajo. ( x) x O t x < ( ) Gráfco auxlar para la demostracó: k Demostracó: O t x x ( x O ) = ( x x) k 0 t + Elevado al cuadrado ambos membros y sumado a través de todo el recorrdo de la varable: ( x Ot) = ( x x) + k ( ) ( ) = x x + k x x + k ( ) ( ) = x x + k x x + k ( ) = x x + k = 0 Sedo todos estos valores postvos al estar elevados al cuadrado, es evdete que: ( x) x O t x < ( )

15 ..3 La meda artmétca de ua varable más ua costate, es la meda artmétca de la varable más la costate. q x y + = ( ) q x q x q x q x y + = + = + = + =..4 La meda artmétca de ua varable por ua costate, es gual a la meda artmétca de la varable por la costate. kx y = ( ) kx x k kx y = = = Las propedades 3 y 4 puede resumrse de la sguete forma: S q kx y + =, etoces q kx y + =..5 S dos subcojutos de datos tee medas: x x = = x x = = la meda artmétca del cojuto formado por ambos es: x x x + + = Dado que x x = = y x x = = la meda geeral será x x x x x + + = + + = = = La propedad se puede geeralzar para r subcojutos:

16 x = r = r = x..6 La meda artmétca de la suma de dos varables es gual a la suma de las medas artmétcas de las varables. z = x + y z ( x + y ) x + y x = = = + y = x + y La propedad se puede geeralzar para la meda artmétca de la suma de r varables...7 La meda artmétca es u valor muy sesble a los valores extremos, ulateralmete muy alejados del resto del recorrdo de la varable E el caso de dstrbucoes marcadamete asmétrcas, co preseca de valores extremos muy alejados ulateralmete, es ecesaro teer e cueta que la meda artmétca puede o ser u valor estadístco muy adecuado como medda de resume. Ejemplo 5: Los sguetes valores e $, correspode a doacoes recbdas de ses cotrbuyetes a certa colecta: 40; 40; 40; 40; 40;.000 La meda artmétca es 00, debdo a su sesbldad al valor.000. Decr que los cotrbuyetes aportaro e promedo $ 00 resulta ser u resume descrptvo poco adecuado. A cotuacó se presetará u cojuto de valores estadístcos de poscó, que se calcula co prescdeca de los valores extremos de la dstrbucó. Estos valores e geeral, recbe la deomacó de cuatles. CUANTILES El coocmeto de u valor aslado de ua varable adquere sgfcado, e la medda que resulte posble relacoarlo co la dstrbucó de la que provee. Por ejemplo, s solo se sabe que u putaje alcaza el valor 75, o es posble formular gú juco de valor respecto a la poscó que este putaje ocupa co relacó a los demás. Para teer formacó descrptva al respecto, se defe ua famla de valores estadístcos de poscó, que e geeral se deoma cuatles. El cuatl r de orde s ( P la r s r s ), es u valor estadístco que dvde ua dstrbucó ordeada, de tal forma que parte de la msma, so valores guales o meores que él, el resto so valores guales o mayores. 3

17 Lo usual es dvdr la dstrbucó e dos, e cuatro, e cco, e dez o e ce partes guales, orgádose respectvamete los cuatles deomados: medaa, cuartles, qutles, decles y cetles (també llamados percetles). La medaa es el cuatl de orde : ( P ) Los cuartles so: el cuatl de orde cuatro ( P 4 ) ; el cuatl de orde cuatro ( P 4 3 orde cuatro ( P 4 ). Los qutles so: el cuatl de orde cco ( P 5 ) ; el cuatl de orde cco ( P 5 3 cco ( P 5 ) y el cuatl 4 de orde cco ( 4 P 5 ). ) y el cuatl 3 de ) ; el cuatl 3 de orde De smlar forma se defe los decles y los cetles. Por ejemplo: el cuatl de orde 0 es el segudo decl ( P 0 ). El cuatl 75 de orde ce es el cetl (o percetl) 75 ( 75 P 00 ). E la práctca, es geeralmete aceptado cosderar que la deomacó de u cuatl e partcular, se trasfere a todos los valores que se ecuetra e el tervalo lmtado por éste y el cuatl ateror (s exste). Por ejemplo: Las observacoes que perteece al prmer cuartl, so e realdad las meores o guales a ese valor. Las que perteece al segudo cuartl, so e realdad las que se ecuetra compreddas etre el segudo y el prmer cuartl, etc. A cotuacó se presetará co certo detalle el caso específco de la medaa o cuatl de orde ( ), que puede ser fáclmete geeralzable a los demás cuatles. P. MEDIANA La medaa, o sea el cuatl de orde ( ordeada, de tal forma que la valores guales o mayores... Para datos orgales P ), es u valor estadístco que dvde ua dstrbucó parte de la msma, so valores guales o meores que él, el resto so mpar Cuado el úmero de observacoes es mpar, la medaa es el valor cetral de la dstrbucó. Me = + x Ejemplo 6: Sea la dstrbucó ; ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 5 4

18 Me = x 4 = 3 par Cuado el úmero de observacoes es par, hay dos valores cetrales e la dstrbucó. Para salvar la decsó, se acepta tomar como medaa a la meda artmétca de los dos valores cetrales. Me = x + x + Ejemplo 7: Sea la dstrbucó: ; 3 ; 5 ; 6 ; 6 ; 4 ( 3 4) 5 + Me = x + x = 6 = 5,5 Debe otarse que, e ambos casos, los valores extremos o fluye e absoluto para el cálculo de la medaa... Para datos agrupados Dado el sguete cuadro de dstrbucó de frecuecas: Cuadro 3 X h N H X h N H M M M M M N j- H j- Clase j- X j j h j N j H j Clase j M M M M M X m m h m N m H m Se defe clase j o clase medaa a la prmera clase cuya frecueca absoluta acumulada supere a /, o cuya frecueca relatva acumulada supere a ½. Varable dscreta ) Cuado N j < < N j, o be H j- < < H j, etoces: 5

19 Me = X j E el gráfco de frecuecas acumuladas de la fgura 5 se observa que el valor que cumple co la defcó de medaa es X j pues hasta él se acumula la mtad de las observacoes. Fgura 5 Valor de la medaa e u gráfco de frecuecas acumuladas para ua varable dscreta. Ejemplo 8: Sea el sguete cuadro de dstrbucó de frecuecas: Cuadro 4 X h N H 0 0,0 0 0,0 Clase j , ,70 Me = x = ,0 90 0, ,0 00,00 00,00 ) Cuado N j- = < N j H j- = < H j, o be, etoces los valores compreddos e el tervalo X j- ; X j cumple co la codcó de que hasta ellos se acumula la mtad del total de las observacoes, como se puede observar e el gráfco de la fgura 6. Para salvar la decsó, se acepta cosderar como medaa al puto medo de dcho tervalo. 6

20 Fgura 6 Valor de la medaa e u gráfco de frecuecas acumuladas para varable dscreta. Ejemplo 9: Sea el sguete cuadro de dstrbucó de frecuecas: Cuadro 5 X h N H , 40 0, ,3 00 0,5 CLASE j ,4 80 0, , 00,0 00,0 x + x Me = = = 4,5 Varable cotua 7

21 La defcó de clase j o clase medaa, es e todo smlar a la expresada para varable dscreta. Sólo es dferete el tpo de cuadro de dstrbucó de frecuecas, a partr del cual se efectúa el cálculo de la medaa. Cuadro 6 X - - X X h N H X 0 - X X h N H N j- H j- X j- - X j X j N j H j N j H j CLASE j X m- - X m X m N m H m N m H m ) Cuado N j- < < N j H j- < < H j, o be, etoces Segú se puede ver e el polígoo de frecuecas, el valor de la medaa está compreddo detro del tervalo de clase j. Más precsamete es el valor X' j + z. Fgura 7 Valor de la medaa e u gráfco de frecuecas acumuladas para varable cotua. 8

22 El valor de z se puede determar observado la relacó exstete etre los trágulos dcados e el gráfco de la fgura 7. Utlzado las frecuecas absolutas acumuladas tedremos: z c j = N - N -Nj- Despejado z : j j-, como N j N j = j z N j = c Por lo tato, el valor de la medaa es: j j Me = X' j + c j N j j Por razoes aálogas, utlzado las frecuecas relatvas: -Hj - Me = X + c j- j h j Ejemplo 0: Sea el sguete cuadro de dstrbucó de frecuecas: Cuadro 7 X - - X h N H ,0 0 0, , ,6 CLASE j , , ,0 00,0 00,00 Utlzado las frecuecas absolutas: 50 0 Me = = 40 47,5 Utlzado las frecuecas relatvas: 9

23 0,0 Me = = 0,40 47,5 ) Cuado N j = < N j H j = < H j, o be, etoces El cálculo de la medaa es mucho más smple. Segú se observa e el gráfco de la fgura 8, el valor hasta el que acumula la mtad de las observacoes, es X j-. Fgura 8 Valor de la medaa e u gráfco de frecuecas acumuladas para varable cotua. Ejemplo : Sea el sguete cuadro de dstrbucó de frecuecas: Cuadro 8 X - - X h N H , , , , ,8 CLASE j ,.000,0.000,0 Me = X = 0 0

24 ..3 Propedades de la medaa La medaa posee ua mportate propedad: la suma de los valores absolutos de las desvacoes tee u valor mímo, cuado se cosdera las desvacoes co respecto a la medaa. x Me x O t Cosderemos e prmer térmo la suma S de los valores absolutos de las desvacoes de las observacoes co respecto a la medaa. S elegmos u orge de trabajo (O t), stuado ua udad ates que el valor de la medaa y cosderamos las uevas desvacoes e valor absoluto, resulta evdete que las N j- observacoes meores que la medaa, estará ua udad más cerca del orge de trabajo que de la medaa, por lo que la suma de las uevas desvacoes dsmurá el valor de S e N j- udades. Por otra parte, las desvacoes de las observacoes guales o mayores que la medaa co respecto al orge de trabajo, aumetará el valor de S e ( - N j- ) udades, de maera que: x O = S N + N = S + N t j j j De acuerdo a la defcó de medaa, se sabe que: N j Por lo que se comprueba que: x O x Me t S e cambo, el orge de trabajo estuvera stuado ua udad después que la medaa, se tedría: ( ) x O = S + N N = S + N t j j j Y como N j, també se verfca que: x O x Me t Resulta evdete que s se cosdera u orge de trabajo más de ua udad dstate de la medaa, esta relacó se cumplrá co mayor razó. Ejemplo : A lo largo de ua msma carretera, exste cco caseríos. Los cuatro últmos está stuados a 6, 9,7 y 9 km de dstaca del prmero. E el prmer caserío vve u 5 por ceto de los ños y e los demás: 40, 30,0 y 5 por ceto, respectvamete. E cuál caserío debe stuarse ua escuela para que el esfuerzo de los escolares de los cco caseríos para cocurrr a ella, sea mímo.

25 Cuadro 9 X h H 0 0,5 0,5 Clase j 6 0,40 0,55 Me = X = 6 9 0,30 0,85 7 0,0 0, La escuela deberá stuarse a 6 km del prmer caserío, es decr e el segudo caserío.. CUANTILES Dado que la medaa es u caso partcular de cuatl, se geeralzará los procedmetos que ha permtdo determar las expresoes de cálculo que ha sdo presetadas aterormete. Se recordará que: El cuatl r de orde s ( P la r s r s ), es u valor estadístco que dvde ua dstrbucó ordeada, de tal forma que parte de la msma, so valores guales o meores que él, el resto so valores guales o mayores. La clase j, o clase que cotee el valor del cuatl, se defe para el caso geeral como la prmera clase r cuya frecueca absoluta acumulada supera a s, o cuya frecueca relatva acumulada supera a r s. Varable dscreta ) r S N j- < < N j s r o H j- < < H j s r P s ) r S N j- = < N j r s X + X P s = r o H j- = < H j s j- j

26 Ejemplo 3: Dada la sguete dstrbucó de varable dscreta, se pde calcular el cuatl 3 de orde 0 ( 3 P 0 ), y el cuatl 75 de orde 00 ( 75 P 00 ) Cuadro 0 X h N H Clase j para P Clase j para P X + X = 60 P 0 = j- j = = 3, = P = X j = 5 00 Varable cotua r P s r r -N -H =X j- +c s s j =X j- +c j h j j- j- Ejemplo4: E la sguete tabla de frecueca, calcular el prmer cuartl ( P ) j 4 Cuadro X X X h N H Clase j

27 P = = = ,5 0,065 4 P = = 36 0,35 3. MODA Varable dscreta E el caso de varable dscreta la moda (o modo) es e geeral, el valor de la varable al que le correspode la mayor frecueca. S embargo, se tee u valor modal, cada vez que u valor de la varable se preseta co ua frecueca mayor que las que preseta los valores cotguos, es decr: Md = X j s se cumple que: j- < j > j+ h j- < h j > h j+ De acuerdo co esta defcó, e ua dstrbucó se puede presetar ua, dos o más modas. Esto hace que las dstrbucoes recba el ombre de umodales, o be multmodales (bmodales etc.). E dstrbucoes multmodales, al valor que preseta el mayor máxmo se le deoma moda absoluta. Ejemplo 5: Dado el sguete cuadro y el correspodete gráfco de frecuecas de la fgura 9: Cuadro X h 0 0,04 9 0,8 4 0, , , ,6 50,00 Fgura 9. Gráfco de frecuecas smples para los valores del Cuadro 9. Se observa que los valores y 4 so las modas de la dstrbucó. E efecto, sus frecuecas absolutas cumple: < 9 > 4 y 7 < 0 > 8. El valor 4 es la moda absoluta de la dstrbucó. 4

28 Varable cotua Cuado la formacó provee de ua varable de tpo cotuo agrupada e tervalos de clase de gual ampltud, s se preseta u tervalo cuya frecueca es mayor que las de los valores cotguos, éste será u tervalo modal. Por razoes práctcas y operatvas admtremos aquí que la moda será la marca de clase de de dcho tervalo. El valor de la moda puede precsarse mejor medate fórmulas de cálculo que se desarrolla e fucó de las frecuecas cotguas, pero e razó de las lmtacoes que tee el uso de la moda como medda de cetralzacó, o las tedremos e cueta e estas otas. Ejemplo 6: Sea el sguete cuadro y el correspodete hstograma de frecuecas de la fgura 0: Cuadro 3 X - X X c Fgura 0. Hstograma de frecuecas para los valores del Cuadro 0. Dada la smplfcacó acordada, la moda será la marca de clase del segudo tervalo: Md = 7 ya que: 0 < 40 > MEDIA GEOMÉTRICA Se defe para: ) datos orgales: = K = g = m x x x x ) datos agrupados: m m g = K m = = M X X X X A efectos de evtar dfcultades de cálculo, orgadas al trabajar co catdades de gra tamaño, se puede utlzar ua trasformacó algebraca de la formula presetada, que cosste e tomar logartmos de ambos membros de la gualdad: m logx logm h X m = g = = log = 5

29 Como se observa, el logartmo de la meda geométrca es la meda artmétca de los logartmos de los valores de la varable. Ejemplo 7: Ua varable represeta la poblacó de ua localdad e dos fechas. Se pde determar la poblacó meda e el período. Sea x = 6,5 y x = 8,0 estado ambas catdades expresadas e mles. La forma e que crece la poblacó es expoecal, ya que la tasas de crecmeto se aplca a catdades a su vez, crecetes. Por lo tato, o correspode e este caso estmar la poblacó meda a través de la meda artmétca, que resulta adecuada cuado el crecmeto es de tpo rectlíeo. La meda geométrca resulta ser: m g = 6,5 8,0 = 7, Como ocurre co geeraldad, el valor de la meda geométrca se ecuetra por debajo del valor de la meda artmétca que para el caso resulta ser 7,5. E el gráfco de la fgura puede aprecarse la dfereca. Fgura. Gráfco comparatvo de los valores meda artmétca y meda geométrca del Ejemplo 4. Ejemplo 8: Dada la sguete dstrbucó de frecuecas, se pde calcular la meda geométrca: Cuadro 4 X log X log X ,477, ,699 6, ,845 4, ,954,86 5 6,46 6, 46 log Mg = = 0,658 Mg = atlog 0, 658 = 4,55 5 6

30 Es ecesaro mecoar ua lmtacó mportate para el uso de la meda geométrca: es muy sesble a valores pequeños, auládose s al meos uo de los valores es cero. Adcoalmete, s la varable toma valores egatvos, o es posble utlzar logartmos. 5. MEDIA ARMÓNICA Se defe para: ) datos orgales: m h = = + + K + x x x x ) datos agrupados: M h = = m X = h X Como se observa, la meda armóca es el valor verso de la meda artmétca de los valores versos de la varable. Ejemplo 9: E tres períodos sucesvos se gastaro $300 por período e adqurr certo producto cuyo preco utaro fue de $5, $0 y $30 respectvamete. Se desea saber cuál fue el costo promedo del producto. Correspode calcular ua meda armóca smple etre los precos utaros, es decr: 3 m h = = Esto es así porque el costo promedo debe obteerse como cocete etre el costo total y la catdad total comprada = = S e cada período se gastara dsttas catdades de dero, por ejemplo $300, $ 500 y $900 respectvamete, habría que calcular ua meda armóca poderada: 700 M h = =,

31 La meda armóca també se aplca al cálculo de velocdades medas, cuado los datos so dferetes espacos recorrdos a dsttas velocdades. Ejemplo 0: U vehículo recorre los prmeros 50 Km. de su recorrdo a 60 Km./h, y los sguetes 50 Km. a 80 Km./h Cuál es la velocdad meda del vehículo? m h = = 68, y o 70 Km./h como podría supoerse al emplear erróeamete la meda artmétca. 8

32 Laboratoro. Se dspoe de la sguete formacó proveete de u cuadro de dstrbucó de frecuecas de varable dscreta: X h N H Complete la tabla y costruya el gráfco de frecuecas relatvas smples y el de frecuecas relatvas acumuladas.. Calcule la meda artmétca (4.0), la medaa (4), el prmer cuartl (3.5) el tercer cuartl (5), la moda (4) y la meda geométrca (4.0).. Ceto vete putajes se agrupa e ua tabla de dstrbucó de frecuecas co cuatro tervalos de gual ampltud, de la que se cooce los sguetes datos: X = 60 X 3 = 70 = 8 3 =60 N = 40. Complete la tabla y costruya el hstograma de frecuecas relatvas y el polígoo de frecuecas relatvas acumuladas.. Calcule la meda artmétca (67.67), el prmer qutl (60), la moda (70) y la meda geométrca (67.7)..3 Calcule el percetl 75 (73.33) y estme el úmero de putajes guales o superores a ese valor (30)..4 S se adcoa 5 putos a cada putaje, cuál sería el valor de la ueva meda (7.67)? Y s se aumeta u 0 por ceto (8.0)? 9

33 NOTA DE CLASE Nº 3 VALORES ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN. Recorrdo. Desvacó meda. Varaza. Desvacó estádar. Coefcete de varacó. ALGUNOS VALORES ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN La dea de dspersó se relacoa co la mayor o meor cocetracó de los datos alrededor de u valor cetral, geeralmete la meda artmétca. A cotuacó se preseta alguas meddas cuyo f es cuatfcar esta dspersó o varabldad.. RECORRIDO El recorrdo o rago es ua medda de dspersó que depede exclusvamete de los valores extremos observados por la varable. 3 L = x x Al o teer e cueta los valores termedos de la dstrbucó, resulta ser u valor estadístco de aplcacó muy restrgda.. DESVIACIÓN MEDIA Ua adecuada medda de la varabldad debe teer e cueta a todos los valores de la varable. S la dspersó se relacoa co la meda artmétca, cosderar u promedo de todas las desvacoes co respecto a ella parecería muy dcado. Pero e razó de ua de las propedades de la meda artmétca (.), sabemos que: ( x x) = 0, o que: ( X X) = 0 por lo que habrá que recurrr a u artfco para evtar que la suma de las desvacoes se haga cero. S se toma las desvacoes e valor absoluto se obtee la llamada desvacó meda: 4 d m x x = o be: X X Dm = = X X h 3 Para elmar la flueca de los valores extremos, a veces se utlza el recorrdo terdecl (dfereca etre el oveo y el prmer decl) y, más frecuetemete, el recorrdo tercuartl, que se defe como la dfereca etre el tercer y el prmer cuartl, la que comprede el 50% cetral de la dstrbucó. 3 4 = 4 4 L P P Del recorrdo tercuartílco se obtee el recorrdo sem tercuartílco, dvdédolo el prmero etre dos, o sea que resulta la mtad del tervalo que cotee el 50% cetral de la dstrbucó = 4 S para calcular las desvacoes, se usa la medaa e lugar de la meda artmétca, se obtee otra medda de dspersó que, como sabemos por la propedad demostrada e.3, resultará ua desvacó meda míma. Q P P 30

34 3. VARIANZA Otro artfco para evtar que la suma de las desvacoes de las observacoes co respecto a la meda artmétca sea sempre gual a cero, cosste e elevar al cuadrado estas desvacoes. Se obtee así la más mportate de las meddas de dspersó: la varaza. 5 ( ) ) Datos orgales: x x s =, o be ) Datos agrupados: ( ) X X ( ) S = = X X h Para la ejerctacó, la aplcacó drecta de esta defcó suele o resultar muy coveete. Por lo geeral, se prefere utlzar como fórmula de cálculo, ua seclla trasformacó algebraca de la msma. Para datos orgales esta trasformacó cosste e: s ( x ) ( x x x x + x ) = = = x x x = x x + = x + x = x = x Igualmete, para datos agrupados se obtee: X S X X h X = = 6 3. Propedades 3.. La varaza de ua varable más ua costate, es gual a la varaza de la varable. y = x + q s ( x + q) ( x q) [ x + q x q] ( x x) y = = = = sx 3.. La varaza de ua varable por ua costate, es gual al cuadrado de la costate por la varaza de la varable. y = k x s ( kx kx) k ( x x) k ( x x) y = = = = k sx 5 E razó de lo demostrado para la meda artmétca e., la varaza es u promedo de desvíos cuadrátcos mímos. 6 La demostracó se deja como ejercco. 3

35 4. DESVIACIÓN ESTÁNDAR La varaza se expresa e udades que so el cuadrado de las udades de la varable orgal. Para muchos fes resulta ecesaro defr ua medda de dspersó que se exprese e las msmas udades que las observacoes, como la desvacó estádar o desvacó típca, que se defe como la raíz cuadrada postva de la varaza: ) Datos orgales: ) Datos agrupados: x s = x X S = X = X h X Resulta obvo que las propedades eucadas para la varaza se cumple també para la desvacó estádar, aplcado raíz cuadrada a ambos membros de las gualdades propuestas. Ejemplo. estádar: E el sguete cuadro de dstrbucó de frecuecas se puede calcular la desvacó Cuadro 5 X X X S = = 7 0, S = 0,8 = 0, COEFICIENTE DE VARIACIÓN 3

36 Cuado las varables de dos o más dstrbucoes se expresa e udades de dstta deomacó (metros, toeladas, años, etc.), o es posble utlzar las meddas de dspersó presetadas hasta ahora, para comparar drectamete las meddas de varabldad que preseta, puesto que las msmas també se expresa e fucó de las udades orgales. Esta dfcultad puede superarse medate el cálculo del coefcete de varacó, que se defe como: CV = s x Debe mecoarse que el coefcete de varacó també tee utldad para comparar la varabldad de dstrbucoes de varables que se expresa e las msmas udades. Especalmete e el caso de las medas artmétcas se dferece e forma muy aprecable. Asmsmo debe teerse e cueta que dos varables puede presetar gual dspersó o varabldad e térmos absolutos, pero dferete varabldad relatva medda por el coefcete de varabldad. Ejemplo. La meda artmétca de las alturas de u grupo de estudates uverstaros es,68m, co ua desvacó estádar de 0,5m. Por otra parte, su peso medo es de 70 Kg. co ua desvacó estádar de 7 Kg. Qué medda preseta mayor varabldad: la altura o el peso? 0,5 CV h = = 0,5 Es decr: el 5 por ceto., 68 7 CV p = = 0,0 Es decr: el 0 por ceto. 70 E base a estos resultados, es posble afrmar que, e térmos relatvos, es mayor la varabldad de las alturas que la varabldad de los pesos. 33

37 Laboratoro 3. De ua dstrbucó de varable cotua, co cco tervalos de clase de gual ampltud, se sabe que: = 5 y = 4 es decr que es SIMÉTRICA X = 5 = 0 3 = 0 = 0 El extremo feror del prmer tervalo de clase es,5 Se pde:. Completar la tabla.. Calcular la moda (0 y 30), la varaza (50) y el coefcete de varacó (0.8).. E ua dstrbucó smétrca, de varable cotua, co cco tervalos de gual ampltud, se cooce los sguetes datos: X = X 5 = 9 = = N 4=6 Se pde:. Recostrur la tabla.. Calcular la desvacó estádar (.76)..3 Cuál sería el valor de la desvacó estádar s a cada valor de la varable se le adcoara udades (.76)? Y s se aumetara u por ceto (.8)? 3. Los datos proveetes de ua varable de tpo cotuo, se agrupa e la sguete tabla: X - - X S se sabe que la meda artmétca es gual a 9.4, se pde calcular la varaza (88.64) y estmar el prmer qutl (0) y el percetl 95 (45.833). 4. Ccueta observacoes proveetes de ua varable cotua, se agrupa e u cuadro de dstrbucó de frecuecas co cuatro tervalos de clase de gual ampltud. Se pde recostrur la tabla sabedo que: _ X = 50 = 4 N = 0 3 = 5 X = Calcule la meda geométrca (60.3) y la varaza (38.4). 4. Determe los valores de la varable etre los que se ecuetra el 50 por ceto cetral de la dstrbucó (50.65 y 74.00). h 34

38 Laboratoro 4. Las alturas de 98 persoas (e metros), se agrupa e el sguete cuadro de dstrbucó de frecuecas: X --X X ,45,55,50 74,55,65,60 99,65,75, Co posterordad, se cooce la exsteca de alturas que o ha sdo tabuladas:,55 y,65. Se pde clur esas observacoes e el cuadro, teedo e cueta que los tervalos de clase so abertos por la zquerda y cerrados por la derecha. Ua vez completado el cuadro:. Calcule la meda artmétca y la varaza (.575m; m ).. S el strumeto de medda utlzado era mperfecto, regstrado cm de meos e cada medcó: corrja los valores de la meda artmétca y de la varaza, utlzado las propedades de ambos valores estadístcos (.595m; m )..3 Determe etre qué valores de la varable está compreddas las 0 alturas cetrales de la dstrbucó (.5033m;.6350m)..4 Costruya el hstograma de frecuecas relatvas.. La sguete formacó se refere al úmero años de duracó del matrmoo de 04 persoas. Número de años de matrmoo Frecuecas absolutas A efectos de asgar categorías teedo e cueta la duracó de los matrmoos, se decde cosderar: Matrmoo corto : meor que el prmer cuartl Matrmoo medo: del prmer al tercer cuartl Matrmoo largo : mayor que el tercer cuartel Se pde:. Calcular los cuartles mecoados (5.5769; 7.500).. Estmar el úmero de matrmoos que cotedrá cada categoría (6; 5; 6). 35

39 .3 Costrur el hstograma de frecuecas absolutas..4 Calcular la meda geométrca y la varaza (9.379; ). 3. Los pesos e Kg. de u lote de artículos, se agrupa e u cuadro de dstrbucó de frecuecas co 7 tervalos de gual ampltud. Se sabe que la dstrbucó es smétrca y que además, el extremo feror del quto tervalo de clase es 73. Los demás datos coocdos so: X =0 = N 4=70 =5 7 4 h = = 5 3. Recostruya todas las columas del cuadro. 3. Estme etre qué valores de la varable se ecuetra ubcado el 80 por ceto cetral de la dstrbucó (3; 97). 3.3 Calcule el coefcete de varacó (0.366). 3.4 S se descubre que la balaza utlzada teía u desperfecto que agregó 0.5 Kg e cada pesaje, corrja el coefcete de varacó calculado e 3.3, aplcado propedades (0.369). NOTA DE CLASE Nº 4 36

40 NÚMEROS INDICE. La costruccó de úmeros ídce, proporcoa ua respuesta geeralmete aceptada para el problema de resumr, co dversos fes, u cojuto de datos estadístcos relatvos a ua varable de terés y descrbr su evolucó a través del tempo. Al teer e cueta el orde temporal e que se produce las observacoes, el tema de los úmeros ídce se scrbe ítegramete detro de las deomadas seres croológcas, o hstórcas, o de tempo. La realdad se ecuetra llea de ejemplos secllos que muestra la utldad de los úmeros ídce para comparar varacoes de precos de catdades, de valores globales, etc. producdas e certo lapso e u artículo o e u cojuto lmtado de ellos. E otras oportudades s embargo, hay que resumr ua gra catdad de datos proveetes de fuetes de formacó sumamete complejas, como los precos de los artículos del cosumo, los salaros, el volume físco de la produccó global, etc. La sola mecó de estos últmos ejemplos resultaría razoes sufcetes como para compreder que os ecotramos frete a u problema delcado, co profudas mplcacas e los ámbtos polítcos, socales y ecoómcos y que debe ecararse co gra cudado metodológco y operatvo. No obstate, hay que adelatar que o se trata de u tema co grades requermetos teórcos. La compresó de sus fudametos, así como la de sus lmtacoes, so fáclmete accesbles para aquellos que se ecuetra famlarzados co los coceptos de la Estadístca Descrptva y co la utlzacó de la msma de acuerdo a sus faldades práctcas.. SELECCION DEL PERIODO BASE Todos los ídces requere la seleccó de u período base como puto de refereca. Por razoes que más adelate será aclaradas, o es coveete elegr como base u período caracterzado por marcadas rregulardades que se ecuetre demasado alejado e el tempo. Ambas codcoes represeta mportates lmtacoes a la hora de tomar decsoes, ya que o es fácl determar cuádo u período es sufcetemete regular como para costtur la base de u ídce y ofrece muchas dudas defr el período a partr del cual la base se cosderaría demasado alejada.. INDICES SIMPLES O RELATIVOS U ídce smple es la relacó expresada como porcetaje etre el valor de ua característca e el período de terés co respecto al valor de la msma característca e el período base. E los cometaros sguetes dedcaremos especal atecó a los precos, catdades y valores globales como característcas relevates del campo ecoómco, s embargo los msmos puede geeralzarse s esfuerzos a otras áreas de terés partcular. o Precos De acuerdo a la defcó precedetemete aotada, s el preco de u artículo, e el período t, se smbolza por p t, y e el período base por p o, tedremos que el ídce de precos del artículo del período t co respecto al período base será: t p = 0 p p t 0 Resulta evdete que, por tratarse del resultado de u cocete etre catdades expresadas e las msmas udades, todo ídce es u úmero s udades, es decr u relatvo. Como los ídces sempre se expresa como tato por ceto es frecuete omtr la multplcacó por ce e las fórmulas para el cálculo. Resulta obvo que e la base el ídce sempre vale 00 por tratarse del resultado de u cocete etre détcas catdades, multplcado por

41 Ejemplo 3: Supogamos que se compara el preco utaro de certo artículo, que es de $.500 e el período t, co el del período base que era de $ 500. El ídce smple de preco es: t $.500 p = = 3, o sea 300% 0 $ 500 o Catdades Aálogamete, s la catdad de u artículo e el período t se smbolza por q t, y e el período base por q o, el ídce smple de catdades o relatvo de catdades del período t co respecto al período base será: t q = 0 q q t 0 Ejemplo 4: E el período t se produce udades del msmo producto, metras que e el período base la produccó fue de El ídce smple de catdades es: t q = = 0,75, o sea 75% o Valor Global Del msmo modo, s el valor global de certa produccó (preco utaro por catdad producda) e el período t se smbolza por pt q t, y e el período base por p0 q 0, el ídce smple de valor global o relatvo de valor global del período t co relacó al período base será: p q t t t v = 0 p 0 q 0 Ejemplo 5: Co los datos aterormete cosderados, el ídce smple de valor global del período t co respecto al período base es: v t = =,5, o sea 5% PROPIEDADES DE LOS ÍNDICES SIMPLES O RELATIVOS.. Reversbldad temporal Dados los valores de ua característca e los períodos t co relacó a t, así como del período t co relacó a t ; la propedad establece que: t t I I =. t t o sea que: I t t = y = t t t t t t I I I Es decr que cuado los períodos se tercamba, sus correspodetes relatvos so recíprocos etre sí. E el ejemplo que se veía cosderado: p = 500 y p =.500 Los relatvos so: o t 38

42 Resulta evdete que: t p0 = y p t = t p0. p t = = Reversbldad de factores Cosderado que p es el preco de u artículo e certo período t y que q es la catdad (producda, cosumda etc.) e el msmo período. El producto p. q es lo que llamamos valor global. La propedad establece que s cosderamos u relatvo de precos producto de ambos es gual al relatvo de valores globales: p t t q t p t q v t = = p q p q t t t t t p p t t y otro de catdades q q t t, el..3 Crcular Dados tres períodos, t, t y t 3, la propedad establece que: I I I t t3 t t t t3 = Es decr que s el preco de u artículo fuera e los tres períodos de p, p y p 3 pt pt p 3 p p p t t t t3 = lo que resulta evdete...4 Cíclca S para dos períodos: t y t 3, los ídces smples so guales co respecto a otro período t, es decr que: t I = t I t3 t El valor de la característca de terés es gual e t y e t CAMBIO PORCENTUAL Co relatva frecueca se expresa la varacó de u ídce e térmos absolutos. Por ejemplo s u ídce pasa de 00 a 00 se dce que aumetó 00 putos. Obsérvese que s e el período sguete el msmo ídce pasa de 00 a 300 també expermeta u aumeto de 00 putos pero la tedeca ahora es muy 39

43 dferete. E el prmer caso se verfca u aumeto del 00%, metras que e el segudo el msmo es del 50%. Para que la formacó sobre la varacó adquera u mayor sgfcado, es coveete expresarla sempre como tato por ceto e relacó al valor que se desea utlzar como refereca. Para ello se deberá aplcar la sguete fórmula, deomada de cambo porcetual (cuado multplcado por ce). t 0 Δ = I - t-x 0 I Esta expresó surge del secllo razoameto de cosderar que, para modfcar ua catdad e certo porcetaje de sí msmo (Δ), hay que realzar la sguete operacó: I I I t-x t-x t +Δ = t-x sedo I u factor comú, teemos: 0 t-x t +Δ = I ( ) I 0 0 O sea que, para modfcar ua catdad e u certo porcetaje Δ, hay que multplcarla por ( + Δ), sedo Δ u úmero postvo o egatvo. Despejado: porcetual". I I I I t t 0 0 +Δ = Δ = - t-x t-x 0 0, co lo que llegamos a la fórmula del "cambo Volvedo al ejemplo cosderado teemos: t 0 t I 0 = 00 I 0 = 00 I 0 = 300 t 0 t t t 00 Δ = = 00, que expresado como porcetaje es 00 % 300 Δ = = 0,5, o sea 50 % 00 Resulta teresate destacar que la varacó total expermetada por el ídce etre t 0 y t o puede obteerse por adcó de las varacoes parcales, lo que llevaría a coclur que es de 50%. E realdad esa varacó es de: 300 Δ T = = 00, o sea 00 % Represetacó gráfca Sempre apoyádoos e el msmo ejemplo, veamos prmeramete ua forma de represetacó que es frecuete ecotrar pero que, como veremos, resulta adecuada. 40

44 Fgura Obsérvese que el gráfco muestra que el ídce tee ua tedeca al alza co détca pedete e ambos períodos cosderados. S embargo ya hemos calculado que e el segudo período se produjo ua mportate desaceleracó e el rtmo de crecmeto, pasado del 00 % al 50 %. La escala atural utlzada o permte represetar adecuadamete las varacoes realmete expermetadas. E cambo, s utlzamos u gráfco semlogarítmco, represetado e el eje de las ordeadas los logartmos de los ídces, tedremos: Fgura 3 Esta represetacó, que supoe ua evolucó de tpo expoecal para el ídce, resulta perfectamete apropada para descrbr la stuacó plateada. Obsérvese que la pedete de la recta etre t y t muestra claramete que se eletece el crecmeto del ídce, e cocordaca co los cálculos efectuados. Cosecuetemete, sempre es preferble represetar a los úmeros ídce medate gráfcos de tpo semlogarítmco. 4

45 4. LA TASA PROMEDIO DE VARIACION Vamos a supoer que dspoemos de valores de u ídce separados e el tempo (-r) udades de período (años, meses, etc.) y que deseamos estmar la tasa promedo de varacó por udad de período (). I t t r r t r 0 0 ( ) I0 ( ) t r 0 + = + = I I Aplcado logartmos tedríamos : I I I I t t + = 0 = 0 r r tr tr 0 0 I t tr log log 0 0 = atlog r I Ejemplo 6: E dcembre de 00 el ídce de los precos de certo artículo alcazó a 34,9. E dcembre de 00, el msmo ídce fue 64,8. Supogamos que deseamos calcular la tasa promedo de varacó mesual para el período. 34,9 ( + ) = 64,8 64,8 64,8 ( + ) = ( + ) = =,068 34,9 34,9 0,068 o sea,68% També utlzado logarítmos: log ( + ) = 64,8 log 34,9 log ( + ) = 0,00745 ( + ) =,068 0,068 o sea,68% 5. BASE FIJA, BASE VARIABLE Como se ha vsto, el valor que se toma como deomador para el cálculo de u úmero ídce, se deoma base. Supogamos que dspoemos del preco de u be e los sguetes períodos: t :500 t :.000 t 3 :.050 t 4 :.50 Tomado como base el preco e el período t tedríamos los sguetes ídces smples para los períodos cosderados: p p = 00 = 00 p = 00 = = 00 = 0 p = 00 = t t t t t3 t4 t t 4