Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017

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1 Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017 Grupo: Matrícula: Nombre: Tipo:-1 1. Suponga que V = R 2 y que se definen las operaciones: y Si Calcule: 1. (c 1 + c 2 ) a (x, y) (z, w) = (x + 3 z, 4 w + 2 y) 2. (c 1 a) (c 2 a) 3. (c 1 c 2 ) a 4. c 1 (c 2 a) t (x, y) = (t x, 4 t y) a = ( 1, 2), c 1 = 1, c 2 = 1 Reporte sólo la coordenada 1 de cada cálculo. 2. Asocie cada nombre de axioma de espacio vectorial: a) Distributividad de la suma de escalares sobre el producto por escalares b) Cerradura del producto por escalares c) Cerradura de la suma de vectores d) Distributividad del producto por escalares sobre la suma de vectores e) Existencia del inverso aditivo de cada vector Con su expresión lógica correspondiente en la lista: 1) x, y V : x y V 2) x, y V : x y = y x 3) x, y, z V : x (y z) = (x y) z 4) 0 V x V : 5) x V x V : 6) x V c R : c x V 7) x V c, k R : (c + k) x = (c x) (k x) 8) x, y V c R : c (x y) = (c x) (c y) 9) x V c, k R : c (k x) = (c k) x 10) x V : 3. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (x + z, y + w), r (x, y) = (r x, 0) 4. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (y + w, x + z), r (x, y) = (r x, r y)

2 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: El siguiente argumento prueba que para cada vector sólo hay un inverso aditivo. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Suponga que x y = 0 Entonces por la propiedad del inverso aditivo existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x) (x y) = ( x) 0 (( x) x) y = ( x) 0 0 y = ( x) 0 Finalmente, por la propiedad ( ) se tiene y = x. 1 Para cualquier x: 2 Propiedad asociativa de la suma 3 Propiedad conmutativa de la suma 4 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 5 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 6 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 7 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 6. El siguiente argumento prueba que el escalar cero multiplicado por cualquier vector es el vector cero. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Se tiene siempre que Así 0 x = 0 x (0 + 0) x = 0 x Entonces, por la propiedad ( ) (0 x) (0 x) = 0 x Siendo 0 x un vector debe existir su inverso aditivo que al sumar en ambos miembros da ( 0 x) ((0 x) (0 x)) = ( 0 x) (0 x) (( 0 x) (0 x)) (0 x) = ( 0 x) (0 x) Por la propiedad ( ): 0 (0 x) = 0 0 x = 0. 1 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 2 Propiedad conmutativa de la suma 3 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 4 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 5 Para cualquier x: 6 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 7 Propiedad asociativa de la suma 7. En V = R 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El conjunto formado sólo por el vector < 0, 0 >. b) El conjunto formado sólo por el vector < 4, 2 >. c) El conjunto formado los puntos de la recta y = 3 x d) El conjunto formado por la unión de el tercer y el cuarto cuadrante. e) El conjunto formado por la unión de el segundo y el cuarto cuadrante.

3 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: En V = R 3, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo vectores de la forma < a, 0, b > a + b 0. b) El formado por sólo vectores de la forma < a, 0, 3 > c) El formado por sólo vectores de la forma < a, b, 0 > a + 5 b = 0. d) El formado por sólo vectores de la forma < a, 0, b > a b 0. e) El formado por sólo vectores de la forma < 0, a, b > a b = En V = P, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b x + a x 2 donde a y b son números reales no negativos ambos. b) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b x + a x 2 a + b 0. c) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x a b 0. d) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b + a x 2 a + 4 b = 0. e) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x a b = En V = M 2 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo matrices de la forma [ ] a a 0 b donde a y b con reales que cumplen a + b 0. b) El formado por sólo matrices de la forma [ a ] a 4 a 0 donde a es un número real cualquiera. c) El formado por sólo matrices de la forma [ ] 0 a a a donde a es un número real cualquiera. d) El formado por sólo matrices de la forma [ ] 0 a donde a y b con reales que cumplen a b = 0. e) El formado por sólo matrices de la forma [ ] b 0 a a donde a es un número real cualquiera y b es un real positivo. b a

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5 Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017 Grupo: Matrícula: Nombre: Tipo:0 1. Suponga que V = R 2 y que se definen las operaciones: y Si Calcule: 1. (c 1 + c 2 ) a (x, y) (z, w) = (x + 4 z, 4 w + 3 y) 2. (c 1 a) (c 2 a) 3. (c 1 c 2 ) a 4. c 1 (c 2 a) t (x, y) = (t x, 4 t y) a = (0, 3), c 1 = 1, c 2 = 2 Reporte sólo la coordenada 2 de cada cálculo. 2. Asocie cada nombre de axioma de espacio vectorial: a) Conmutatividad de la suma de vectores b) Invarianza del escalamiento unitario c) Distributividad del producto por escalares sobre la suma de vectores d) Asociatividad de la suma de vectores e) Cerradura del producto por escalares Con su expresión lógica correspondiente en la lista: 1) x, y V : x y V 2) x, y V : x y = y x 3) x, y, z V : x (y z) = (x y) z 4) 0 V x V : 5) x V x V : 6) x V c R : c x V 7) x V c, k R : (c + k) x = (c x) (k x) 8) x, y V c R : c (x y) = (c x) (c y) 9) x V c, k R : c (k x) = (c k) x 10) x V : 3. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (y + w, x + z), r (x, y) = (r x, r y) 4. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (x + z, y + w), r (x, y) = (0, 0)

6 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: El siguiente argumento prueba que para cada vector sólo hay un inverso aditivo. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Suponga que x y = 0 Entonces por la propiedad del inverso aditivo existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x) (x y) = ( x) 0 (( x) x) y = ( x) 0 0 y = ( x) 0 Finalmente, por la propiedad ( ) se tiene y = x. 1 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 2 Propiedad conmutativa de la suma 3 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 4 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 5 Propiedad asociativa de la suma 6 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 7 Para cualquier x: 6. El siguiente argumento prueba que el escalar cero multiplicado por cualquier vector es el vector cero. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Se tiene siempre que Así 0 x = 0 x (0 + 0) x = 0 x Entonces, por la propiedad ( ) (0 x) (0 x) = 0 x Siendo 0 x un vector debe existir su inverso aditivo que al sumar en ambos miembros da ( 0 x) ((0 x) (0 x)) = ( 0 x) (0 x) (( 0 x) (0 x)) (0 x) = ( 0 x) (0 x) Por la propiedad ( ): 0 (0 x) = 0 0 x = 0. 1 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 2 Propiedad conmutativa de la suma 3 Para cualquier x: 4 Propiedad asociativa de la suma 5 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 6 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 7 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 7. En V = R 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El conjunto formado sólo por el vector < 0, 0 >. b) El conjunto formado por la unión de el primer y el tercer cuadrante. c) El conjunto formado los puntos de la recta y = 4 4 x d) El conjunto formado por los puntos del tercer cuadrante. e) El conjunto formado por la unión de el tercer y el cuarto cuadrante.

7 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: En V = R 3, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo vectores de la forma < b, 0, a > donde a y b son números reales tales que a + b = 6. b) El formado por sólo vectores de la forma < 0, b, a > a b = 0. c) El formado por sólo vectores de la forma < b, a, 0 > a b 0. d) El formado por sólo vectores de la forma < b, 0, a > a + b 0. e) El formado por sólo vectores de la forma < a, 0, 3 > 9. En V = P, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x a b = 0. b) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a x + b x 2 a + b 0. c) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x 2 a + 8 b = 0. d) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = 3 a x + a x 2 e) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + 2 x En V = M n n, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo matrices diagonales de V. Una matriz X es diagonal si fuera de la diagonal principal tiene ceros. b) El formado por sólo matrices triangulares superiores de V. c) El formado por sólo matrices escalonadas y reducidas de V. d) El formado por sólo matrices singulares de V. e) El formado por sólo matrices simétricas de V. Una matriz X es simétrica si X T = X.

8 Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017 Grupo: Matrícula: Nombre: Tipo:1 1. Suponga que V = R 2 y que se definen las operaciones: y Si Calcule: 1. (c 1 + c 2 ) a (x, y) (z, w) = (3 x + z, 5 w + 4 y) 2. (c 1 a) (c 2 a) 3. (c 1 c 2 ) a 4. c 1 (c 2 a) t (x, y) = (3 t x, 5 t y) a = (0, 2), c 1 = 4, c 2 = 1 Reporte sólo la coordenada 1 de cada cálculo. 2. Asocie cada nombre de axioma de espacio vectorial: a) Existencia del inverso aditivo de cada vector b) Cerradura del producto por escalares c) Asociatividad de la suma de vectores d) Existencia del neutro de la suma de vectores e) Distributividad de la suma de escalares sobre el producto por escalares Con su expresión lógica correspondiente en la lista: 1) x, y V : x y V 2) x, y V : x y = y x 3) x, y, z V : x (y z) = (x y) z 4) 0 V x V : 5) x V x V : 6) x V c R : c x V 7) x V c, k R : (c + k) x = (c x) (k x) 8) x, y V c R : c (x y) = (c x) (c y) 9) x V c, k R : c (k x) = (c k) x 10) x V : 3. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (x + z, y + w), r (x, y) = (r x, y) 4. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (y + w, x + z), r (x, y) = (r x, r y)

9 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: El siguiente argumento prueba que el escalar cero multiplicado por cualquier vector es el vector cero. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Se tiene siempre que Así 0 x = 0 x (0 + 0) x = 0 x Entonces, por la propiedad ( ) (0 x) (0 x) = 0 x Siendo 0 x un vector debe existir su inverso aditivo que al sumar en ambos miembros da ( 0 x) ((0 x) (0 x)) = ( 0 x) (0 x) (( 0 x) (0 x)) (0 x) = ( 0 x) (0 x) Por la propiedad ( ): 0 (0 x) = 0 0 x = 0. 1 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 2 Propiedad asociativa de la suma 3 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 6. El siguiente argumento prueba que para cada vector sólo hay un inverso aditivo. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Suponga que x y = 0 Entonces por la propiedad del inverso aditivo existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x) (x y) = ( x) 0 (( x) x) y = ( x) 0 0 y = ( x) 0 Finalmente, por la propiedad ( ) se tiene y = x. 1 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 2 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 3 Propiedad asociativa de la suma 4 Propiedad conmutativa de la suma 5 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 6 Para cualquier x: 7 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 4 Para cualquier x: 7. En V = R 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: 5 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 6 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 7 Propiedad conmutativa de la suma a) El conjunto formado por la unión de el primer y el segundo cuadrante. b) El conjunto formado los puntos de la recta y = 2 3 x c) El conjunto formado sólo por el vector < 4, 1 >. d) El conjunto formado por los puntos del cuarto cuadrante. e) El conjunto formado los puntos de la recta y = 4 x

10 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: En V = R 3, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo vectores de la forma < b, 0, a > donde a y b son números reales no negativos ambos. b) El formado por sólo vectores de la forma < a, 0, 2 > c) El formado por sólo vectores de la forma < b, a, 0 > a + b 0. d) El formado por sólo vectores de la forma < 0, a, b > donde a y b son números reales tales que a + b = 1. e) El formado por sólo vectores de la forma < a, 0, b > a b En V = P, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x a b = 0. b) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = 3 a x + a x 2 c) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b + a x 2 donde a y b son números reales no negativos ambos. d) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x 2 a b 0. e) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x 2 a + 6 b = En V = M 2 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo matrices de la forma [ ] 0 a a a donde a es un número real cualquiera. b) El formado por sólo matrices de la forma [ ] a 0 donde a y b con reales que cumplen a b 0. c) El formado por sólo matrices de la forma [ ] b a 0 a donde a y b con reales que cumplen a + b = 0. d) El formado por sólo matrices de la forma [ ] 0 a a b donde a es un número real cualquiera y b es un real positivo. e) El formado por sólo matrices de la forma [ 0 ] a 3 a a donde a es un número real cualquiera. b a

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12 Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017 Grupo: Matrícula: Nombre: Tipo:2 1. Suponga que V = R 2 y que se definen las operaciones: y Si Calcule: 1. (c 1 + c 2 ) a (x, y) (z, w) = (x + 3 z, 5 w + 5 y) 2. (c 1 a) (c 2 a) 3. (c 1 c 2 ) a 4. c 1 (c 2 a) t (x, y) = (t x, 5 t y) a = (0, 1), c 1 = 3, c 2 = 1 Reporte sólo la coordenada 2 de cada cálculo. 2. Asocie cada nombre de axioma de espacio vectorial: a) Existencia del inverso aditivo de cada vector b) Distributividad de la suma de escalares sobre el producto por escalares c) Distributividad del producto por escalares sobre la suma de vectores d) Invarianza del escalamiento unitario e) Existencia del neutro de la suma de vectores Con su expresión lógica correspondiente en la lista: 1) x, y V : x y V 2) x, y V : x y = y x 3) x, y, z V : x (y z) = (x y) z 4) 0 V x V : 5) x V x V : 6) x V c R : c x V 7) x V c, k R : (c + k) x = (c x) (k x) 8) x, y V c R : c (x y) = (c x) (c y) 9) x V c, k R : c (k x) = (c k) x 10) x V : 3. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (x + z, y + w), r (x, y) = (r x, 0) 4. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (x + z, y + w), r (x, y) = (y, r x)

13 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: El siguiente argumento prueba que para cada vector sólo hay un inverso aditivo. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Suponga que x y = 0 Entonces por la propiedad del inverso aditivo existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x) (x y) = ( x) 0 (( x) x) y = ( x) 0 0 y = ( x) 0 Finalmente, por la propiedad ( ) se tiene y = x. 1 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 2 Propiedad conmutativa de la suma 3 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 4 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 5 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 6 Para cualquier x: 7 Propiedad asociativa de la suma 6. El siguiente argumento prueba que el escalar 1 multiplicado por cualquier vector es el inverso aditivo de ese vector. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Se ha probado que 0 x = 0 Así (1 + ( 1)) x = 0 Entonces, por la propiedad ( ) (1 x) (( 1) x) = 0 x (( 1) x) = 0 sumando en cada miembro el inverso de x: ( x) (x (( 1) x)) = ( x) 0 (( x) x) (( 1) x) = ( x) 0 0 (( 1) x) = ( x) 0 ( 1) x = x. 1 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 2 Propiedad conmutativa de la suma 3 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 4 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 5 Propiedad asociativa de la suma 6 Para cualquier x: 7 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 7. En V = R 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El conjunto formado por la unión de el segundo y el cuarto cuadrante. b) El conjunto formado los puntos de la recta y = x c) El conjunto formado por la unión de el segundo y el tercer cuadrante. d) El conjunto formado los puntos de la recta y = 3 x e) El conjunto formado sólo por el vector < 2, 4 >.

14 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: En V = R 3, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo vectores de la forma < a, b, 0 > donde a y b son números reales no negativos ambos. b) El formado por sólo vectores de la forma < 0, 3 a, a > c) El formado por sólo vectores de la forma < b, a, 0 > a b 0. d) El formado por sólo vectores de la forma < b, 0, a > a + 4 b = 0. e) El formado por sólo vectores de la forma < b, a, 0 > a + b En V = P, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x 2 donde a y b son números reales no negativos ambos. b) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a 3 x 2 c) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x a + b 0. d) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b + a x 2 donde a y b son números reales tales que a + b = 2. e) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a x + 2 a x En V = M 2 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo matrices de la forma [ a a 0 b donde a y b con reales que cumplen a + b = 0. b) El formado por sólo matrices de la forma [ a a b 0 donde a y b con reales que cumplen a b = 0. c) El formado por sólo matrices de la forma ] ] [ b 0 ] a a donde a es un número real cualquiera y b es un real positivo. d) El formado por sólo matrices de la forma [ 0 a 3 a a donde a es un número real cualquiera. ]

15 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: 2 4 e) El formado por sólo matrices de la forma [ a ] a a 0 donde a es un número real cualquiera.

16 Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017 Grupo: Matrícula: Nombre: Tipo:3 1. Suponga que V = R 2 y que se definen las operaciones: y Si Calcule: 1. (c 1 + c 2 ) a 2. (c 1 a) (c 2 a) 3. (c 1 c 2 ) a 4. c 1 (c 2 a) (x, y) (z, w) = (3 x + z, 2 w) t (x, y) = (3 t x, 2 t y) a = (1, 2), c 1 = 2, c 2 = 1 Reporte sólo la coordenada 2 de cada cálculo. 2. Asocie cada nombre de axioma de espacio vectorial: a) Existencia del neutro de la suma de vectores b) Distributividad del producto por escalares sobre la suma de vectores c) Invarianza del escalamiento unitario d) Existencia del inverso aditivo de cada vector e) Distributividad de la suma de escalares sobre el producto por escalares Con su expresión lógica correspondiente en la lista: 1) x, y V : x y V 2) x, y V : x y = y x 3) x, y, z V : x (y z) = (x y) z 4) 0 V x V : 5) x V x V : 6) x V c R : c x V 7) x V c, k R : (c + k) x = (c x) (k x) 8) x, y V c R : c (x y) = (c x) (c y) 9) x V c, k R : c (k x) = (c k) x 10) x V : 3. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (x + z, y + w), r (x, y) = (r x, y) 4. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (x + z, y + w), r (x, y) = (0, 0)

17 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: El siguiente argumento prueba que para cada vector sólo hay un inverso aditivo. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Suponga que x y = 0 Entonces por la propiedad del inverso aditivo existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x) (x y) = ( x) 0 (( x) x) y = ( x) 0 0 y = ( x) 0 Finalmente, por la propiedad ( ) se tiene y = x. 1 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 2 Propiedad asociativa de la suma 3 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 4 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 5 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 6 Para cualquier x: 7 Propiedad conmutativa de la suma 6. El siguiente argumento prueba que el escalar cero multiplicado por cualquier vector es el vector cero. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Se tiene siempre que Así 0 x = 0 x (0 + 0) x = 0 x Entonces, por la propiedad ( ) (0 x) (0 x) = 0 x Siendo 0 x un vector debe existir su inverso aditivo que al sumar en ambos miembros da ( 0 x) ((0 x) (0 x)) = ( 0 x) (0 x) (( 0 x) (0 x)) (0 x) = ( 0 x) (0 x) Por la propiedad ( ): 0 (0 x) = 0 0 x = 0. 1 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 2 Propiedad asociativa de la suma 3 Para cualquier x: 4 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 5 Propiedad conmutativa de la suma 6 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 7 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 7. En V = R 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El conjunto formado los puntos de la recta y = 4 x b) El conjunto formado por los puntos del primer cuadrante. c) El conjunto formado por la unión de el primer y el tercer cuadrante. d) El conjunto formado por la unión de el primer y el segundo cuadrante. e) El conjunto formado sólo por el vector < 0, 0 >.

18 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: En V = R 3, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo vectores de la forma < a, 3 a, 0 > b) El formado por sólo vectores de la forma < b, 0, a > a + 7 b = 0. c) El formado por sólo vectores de la forma < a, 0, b > donde a y b son números reales tales que a + b = 7. d) El formado por sólo vectores de la forma < b, a, 0 > a + b 0. e) El formado por sólo vectores de la forma < b, 0, a > a + b En V = P, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b + a x a + b 0. b) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a 2 x 2 c) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b + a x 2 donde a y b son números reales tales que a + b = 4. d) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b + a x 2 a b 0. e) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a x + 3 a x En V = M n n, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo matrices triangulares tanto inferiores como superiores de V. b) El formado por sólo matrices simétricas de V. Una matriz X es simétrica si X T = X. c) El formado por sólo matrices triangulares inferiores de V. d) El formado por sólo matrices triangulares superiores de V. e) El formado por sólo matrices invertibles de V.

19 Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017 Grupo: Matrícula: Nombre: Tipo:4 1. Suponga que V = R 2 y que se definen las operaciones: y Si Calcule: 1. (c 1 + c 2 ) a (x, y) (z, w) = (5 x + z, 3 w + 2 y) 2. (c 1 a) (c 2 a) 3. (c 1 c 2 ) a 4. c 1 (c 2 a) t (x, y) = (5 t x, 3 t y) a = ( 3, 0), c 1 = 4, c 2 = 3 Reporte sólo la coordenada 2 de cada cálculo. 2. Asocie cada nombre de axioma de espacio vectorial: a) Invarianza del escalamiento unitario b) Existencia del inverso aditivo de cada vector c) Cerradura de la suma de vectores d) Distributividad de la suma de escalares sobre el producto por escalares e) Cerradura del producto por escalares Con su expresión lógica correspondiente en la lista: 1) x, y V : x y V 2) x, y V : x y = y x 3) x, y, z V : x (y z) = (x y) z 4) 0 V x V : 5) x V x V : 6) x V c R : c x V 7) x V c, k R : (c + k) x = (c x) (k x) 8) x, y V c R : c (x y) = (c x) (c y) 9) x V c, k R : c (k x) = (c k) x 10) x V : 3. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (x + z, y + w), r (x, y) = (r x, 0) 4. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (x + z, y + w), r (x, y) = (y, r x)

20 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: El siguiente argumento prueba que el vector cero es único. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Suponga que x y = x Entonces por la propiedad del inverso aditivo existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x) (x y) = ( x) x (( x) x) y = ( x) x 0 y = 0 Finalmente, por la propiedad ( ) se tiene y = 0. 1 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 2 Para cualquier x: 3 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 4 Propiedad conmutativa de la suma 5 Propiedad asociativa de la suma 6 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 7 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 6. El siguiente argumento prueba que el escalar 1 multiplicado por cualquier vector es el inverso aditivo de ese vector. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Se ha probado que 0 x = 0 Así (1 + ( 1)) x = 0 Entonces, por la propiedad ( ) (1 x) (( 1) x) = 0 x (( 1) x) = 0 sumando en cada miembro el inverso de x: ( x) (x (( 1) x)) = ( x) 0 (( x) x) (( 1) x) = ( x) 0 0 (( 1) x) = ( x) 0 ( 1) x = x. 1 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 2 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 3 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 4 Propiedad asociativa de la suma 5 Para cualquier x: 6 Propiedad conmutativa de la suma 7 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 7. En V = R 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El conjunto formado por la unión de el tercer y el cuarto cuadrante. b) El conjunto formado sólo por el vector < 0, 0 >. c) El conjunto formado por la unión de el segundo y el cuarto cuadrante. d) El conjunto formado sólo por el vector < 1, 1 >. e) El conjunto formado los puntos de la recta y = 1 3 x

21 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: En V = R 3, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo vectores de la forma < a, b, 0 > a + 9 b = 0. b) El formado por sólo vectores de la forma < a, 0, b > a + b 0. c) El formado por sólo vectores de la forma < a, b, 0 > a b 0. d) El formado por sólo vectores de la forma < a, 0, 2 > e) El formado por sólo vectores de la forma < b, a, 0 > a b = En V = P, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + 2 a x 2 b) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b + a x a b 0. c) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x donde a y b son números reales no negativos ambos. d) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a x + b x 2 a + b 0. e) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b + a x donde a y b son números reales tales que a + b = En V = M n n, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo matrices singulares de V. b) El formado por sólo matrices diagonales de V. Una matriz X es diagonal si fuera de la diagonal principal tiene ceros. c) El formado por sólo matrices escalares de V. Una matriz es escalar si es de la forma c I para algún escalar c. d) El formado por sólo matrices simétricas de V. Una matriz X es simétrica si X T = X. e) El formado por sólo matrices triangulares tanto inferiores como superiores de V.

22 Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017 Grupo: Matrícula: Nombre: Tipo:5 1. Suponga que V = R 2 y que se definen las operaciones: y Si Calcule: 1. (c 1 + c 2 ) a (x, y) (z, w) = (5 x + 3 z, 5 w + y) 2. (c 1 a) (c 2 a) 3. (c 1 c 2 ) a 4. c 1 (c 2 a) t (x, y) = (5 t x, 5 t y) a = (2, 3), c 1 = 2, c 2 = 4 Reporte sólo la coordenada 1 de cada cálculo. 2. Asocie cada nombre de axioma de espacio vectorial: a) Existencia del inverso aditivo de cada vector b) Distributividad de la suma de escalares sobre el producto por escalares c) Existencia del neutro de la suma de vectores d) Asociatividad de la suma de vectores e) Distributividad del producto por escalares sobre la suma de vectores Con su expresión lógica correspondiente en la lista: 1) x, y V : x y V 2) x, y V : x y = y x 3) x, y, z V : x (y z) = (x y) z 4) 0 V x V : 5) x V x V : 6) x V c R : c x V 7) x V c, k R : (c + k) x = (c x) (k x) 8) x, y V c R : c (x y) = (c x) (c y) 9) x V c, k R : c (k x) = (c k) x 10) x V : 3. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (y + w, x + z), r (x, y) = (r x, r y) 4. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (x + z, y + w), r (x, y) = (r x, 0)

23 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: El siguiente argumento prueba que para cada vector sólo hay un inverso aditivo. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Suponga que x y = 0 Entonces por la propiedad del inverso aditivo existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x) (x y) = ( x) 0 (( x) x) y = ( x) 0 0 y = ( x) 0 Finalmente, por la propiedad ( ) se tiene y = x. 1 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 2 Propiedad conmutativa de la suma 3 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 4 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 5 Propiedad asociativa de la suma 6 Para cualquier x: 7 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 6. El siguiente argumento prueba que el escalar 1 multiplicado por cualquier vector es el inverso aditivo de ese vector. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Se ha probado que 0 x = 0 Así (1 + ( 1)) x = 0 Entonces, por la propiedad ( ) (1 x) (( 1) x) = 0 x (( 1) x) = 0 sumando en cada miembro el inverso de x: ( x) (x (( 1) x)) = ( x) 0 (( x) x) (( 1) x) = ( x) 0 0 (( 1) x) = ( x) 0 ( 1) x = x. 1 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 2 Para cualquier x: 3 Propiedad asociativa de la suma 4 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 5 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 6 Propiedad conmutativa de la suma 7 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 7. En V = R 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El conjunto formado por la unión de el segundo y el cuarto cuadrante. b) El conjunto formado por los puntos del cuarto cuadrante. c) El conjunto formado por la unión de el primer y el segundo cuadrante. d) El conjunto formado los puntos de la recta y = 2 x e) El conjunto formado los puntos de la recta y = 1 2 x

24 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: En V = R 3, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo vectores de la forma < 0, b, a > a + b 0. b) El formado por sólo vectores de la forma < 3 a, a, 0 > c) El formado por sólo vectores de la forma < b, a, 0 > a + 5 b = 0. d) El formado por sólo vectores de la forma < 0, a, b > a b 0. e) El formado por sólo vectores de la forma < a, b, 0 > a b = En V = P, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b + a x donde a y b son números reales tales que a + b = 4. b) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b + a x 2 a + 6 b = 0. c) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = 3 a x + a x 2 d) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a x + b x 2 a b 0. e) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x 2 a + b En V = M 2 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo matrices de la forma [ a 0 ] a b donde a es un número real cualquiera y b es un real positivo. b) El formado por sólo matrices de la forma [ a b a 0 donde a y b con reales que cumplen a b 0. c) El formado por sólo matrices de la forma [ a b a 0 donde a y b con reales que cumplen a b = 0. d) El formado por sólo matrices de la forma ] ] [ 0 b ] a a donde a y b con reales que cumplen a + b 0.

25 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: 5 4 e) El formado por sólo matrices de la forma [ ] 4 a a 0 a donde a es un número real cualquiera.

26 Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017 Grupo: Matrícula: Nombre: Tipo:6 1. Suponga que V = R 2 y que se definen las operaciones: y Si Calcule: 1. (c 1 + c 2 ) a 2. (c 1 a) (c 2 a) 3. (c 1 c 2 ) a 4. c 1 (c 2 a) (x, y) (z, w) = (z, w + 2 y) t (x, y) = (0, t y) a = (0, 2), c 1 = 3, c 2 = 4 Reporte sólo la coordenada 2 de cada cálculo. 2. Asocie cada nombre de axioma de espacio vectorial: a) Existencia del inverso aditivo de cada vector b) Distributividad de la suma de escalares sobre el producto por escalares c) Asociatividad de la suma de vectores d) Existencia del neutro de la suma de vectores e) Asociatividad del producto por escalares Con su expresión lógica correspondiente en la lista: 1) x, y V : x y V 2) x, y V : x y = y x 3) x, y, z V : x (y z) = (x y) z 4) 0 V x V : 5) x V x V : 6) x V c R : c x V 7) x V c, k R : (c + k) x = (c x) (k x) 8) x, y V c R : c (x y) = (c x) (c y) 9) x V c, k R : c (k x) = (c k) x 10) x V : 3. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (x + z, y + w), r (x, y) = (r x, y) 4. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (y + w, x + z), r (x, y) = (r x, r y)

27 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: El siguiente argumento prueba que el escalar cero multiplicado por cualquier vector es el vector cero. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Se tiene siempre que Así 0 x = 0 x (0 + 0) x = 0 x Entonces, por la propiedad ( ) (0 x) (0 x) = 0 x Siendo 0 x un vector debe existir su inverso aditivo que al sumar en ambos miembros da ( 0 x) ((0 x) (0 x)) = ( 0 x) (0 x) (( 0 x) (0 x)) (0 x) = ( 0 x) (0 x) Por la propiedad ( ): 0 (0 x) = 0 0 x = 0. 1 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 2 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 6. El siguiente argumento prueba que el escalar 1 multiplicado por cualquier vector es el inverso aditivo de ese vector. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Se ha probado que 0 x = 0 Así (1 + ( 1)) x = 0 Entonces, por la propiedad ( ) (1 x) (( 1) x) = 0 x (( 1) x) = 0 sumando en cada miembro el inverso de x: ( x) (x (( 1) x)) = ( x) 0 (( x) x) (( 1) x) = ( x) 0 0 (( 1) x) = ( x) 0 ( 1) x = x. 1 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 2 Propiedad asociativa de la suma 3 Propiedad conmutativa de la suma 4 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 5 Para cualquier x: 3 Para cualquier x: 6 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 4 Propiedad conmutativa de la suma 5 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 6 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 7 Propiedad asociativa de la suma 7 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 7. En V = R 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El conjunto formado sólo por el vector < 1, 1 >. b) El conjunto formado los puntos de la recta y = 4 4 x

28 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: 6 3 c) El conjunto formado por la unión de el tercer y el cuarto cuadrante. d) El conjunto formado por los puntos del tercer cuadrante. e) El conjunto formado los puntos de la recta y = 4 x 8. En V = R 3, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo vectores de la forma < 0, b, a > a + b 0. b) El formado por sólo vectores de la forma < a, b, 0 > a + 4 b = 0. c) El formado por sólo vectores de la forma < 2 a, a, 0 > d) El formado por sólo vectores de la forma < b, a, 0 > a + b 0. e) El formado por sólo vectores de la forma < a, 0, 3 > 9. En V = P, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x 2 a + b 0. b) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a 3 x 2 c) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a x + b x 2 a b 0. d) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = 3 a x + a x 2 e) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b x + a x 2 donde a y b son números reales no negativos ambos. 10. En V = M 2 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo matrices de la forma [ ] 0 a donde a y b con reales que cumplen a b 0. b) El formado por sólo matrices de la forma [ ] 0 a donde a y b con reales que cumplen a b = 0. c) El formado por sólo matrices de la forma [ ] 3 a 0 a d) El formado por sólo matrices de la forma [ ] a a 0 2 a donde a es un número real cualquiera. a b b a

29 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: 6 4 e) El formado por sólo matrices de la forma [ ] a a 0 a donde a es un número real cualquiera.

30 Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017 Grupo: Matrícula: Nombre: Tipo:7 1. Suponga que V = R 2 y que se definen las operaciones: y Si Calcule: 1. (c 1 + c 2 ) a 2. (c 1 a) (c 2 a) 3. (c 1 c 2 ) a 4. c 1 (c 2 a) (x, y) (z, w) = (5 z, 3 w + 4 y) t (x, y) = (0, 3 t y) a = (2, 2), c 1 = 1, c 2 = 1 Reporte sólo la coordenada 2 de cada cálculo. 2. Asocie cada nombre de axioma de espacio vectorial: a) Conmutatividad de la suma de vectores b) Existencia del neutro de la suma de vectores c) Cerradura del producto por escalares d) Asociatividad de la suma de vectores e) Distributividad de la suma de escalares sobre el producto por escalares Con su expresión lógica correspondiente en la lista: 1) x, y V : x y V 2) x, y V : x y = y x 3) x, y, z V : x (y z) = (x y) z 4) 0 V x V : 5) x V x V : 6) x V c R : c x V 7) x V c, k R : (c + k) x = (c x) (k x) 8) x, y V c R : c (x y) = (c x) (c y) 9) x V c, k R : c (k x) = (c k) x 10) x V : 3. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (x + z, y + w), r (x, y) = (r x, y) 4. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (y + w, x + z), r (x, y) = (r x, r y)

31 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: El siguiente argumento prueba que el escalar cero multiplicado por cualquier vector es el vector cero. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Se tiene siempre que Así 0 x = 0 x (0 + 0) x = 0 x Entonces, por la propiedad ( ) (0 x) (0 x) = 0 x Siendo 0 x un vector debe existir su inverso aditivo que al sumar en ambos miembros da ( 0 x) ((0 x) (0 x)) = ( 0 x) (0 x) (( 0 x) (0 x)) (0 x) = ( 0 x) (0 x) Por la propiedad ( ): 0 (0 x) = 0 0 x = 0. 1 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 2 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 3 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 4 Propiedad asociativa de la suma 5 Propiedad conmutativa de la suma 6 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 7 Para cualquier x: 6. El siguiente argumento prueba que el escalar 1 multiplicado por cualquier vector es el inverso aditivo de ese vector. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Se ha probado que 0 x = 0 Así (1 + ( 1)) x = 0 Entonces, por la propiedad ( ) (1 x) (( 1) x) = 0 x (( 1) x) = 0 sumando en cada miembro el inverso de x: ( x) (x (( 1) x)) = ( x) 0 (( x) x) (( 1) x) = ( x) 0 0 (( 1) x) = ( x) 0 ( 1) x = x. 1 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 2 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 3 Para cualquier x: 4 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 5 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 6 Propiedad conmutativa de la suma 7 Propiedad asociativa de la suma 7. En V = R 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El conjunto formado por la unión de el primer y el tercer cuadrante. b) El conjunto formado sólo por el vector < 4, 4 >.

32 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: 7 3 c) El conjunto formado los puntos de la recta y = 2 x d) El conjunto formado por los puntos del segundo cuadrante. e) El conjunto formado los puntos de la recta y = 1 4 x 8. En V = R 3, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo vectores de la forma < b, 0, a > a + 4 b = 0. b) El formado por sólo vectores de la forma < b, 0, a > a + b 0. c) El formado por sólo vectores de la forma < 0, b, a > donde a y b son números reales no negativos ambos. d) El formado por sólo vectores de la forma < a, b, 0 > a + b 0. e) El formado por sólo vectores de la forma < a, 0, 2 a > 9. En V = P, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b x + a x 2 a b 0. b) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a x + b x 2 donde a y b son números reales no negativos ambos. c) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b + a x a + b 0. d) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = 2 a + a x e) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x 2 a b = En V = M n n, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo matrices triangulares tanto inferiores como superiores de V. b) El formado por sólo matrices triangulares superiores de V. c) El formado por sólo matrices escalares de V. Una matriz es escalar si es de la forma c I para algún escalar c. d) El formado por sólo matrices simétricas de V. Una matriz X es simétrica si X T = X. e) El formado por sólo matrices singulares de V.

33 Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017 Grupo: Matrícula: Nombre: Tipo:8 1. Suponga que V = R 2 y que se definen las operaciones: y Si Calcule: 1. (c 1 + c 2 ) a (x, y) (z, w) = (4 x + 4 z, 4 w + y) 2. (c 1 a) (c 2 a) 3. (c 1 c 2 ) a 4. c 1 (c 2 a) t (x, y) = (4 t x, 4 t y) a = ( 2, 3), c 1 = 1, c 2 = 2 Reporte sólo la coordenada 2 de cada cálculo. 2. Asocie cada nombre de axioma de espacio vectorial: a) Distributividad de la suma de escalares sobre el producto por escalares b) Conmutatividad de la suma de vectores c) Distributividad del producto por escalares sobre la suma de vectores d) Cerradura del producto por escalares e) Existencia del inverso aditivo de cada vector Con su expresión lógica correspondiente en la lista: 1) x, y V : x y V 2) x, y V : x y = y x 3) x, y, z V : x (y z) = (x y) z 4) 0 V x V : 5) x V x V : 6) x V c R : c x V 7) x V c, k R : (c + k) x = (c x) (k x) 8) x, y V c R : c (x y) = (c x) (c y) 9) x V c, k R : c (k x) = (c k) x 10) x V : 3. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (x + z, y + w), r (x, y) = (r x, y) 4. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (x + z, y + w), r (x, y) = (r y, r x)

34 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: El siguiente argumento prueba que el vector cero es único. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Suponga que x y = x Entonces por la propiedad del inverso aditivo existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x) (x y) = ( x) x (( x) x) y = ( x) x 0 y = 0 Finalmente, por la propiedad ( ) se tiene y = 0. 1 Propiedad conmutativa de la suma 2 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 3 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 4 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 5 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 6 Propiedad asociativa de la suma 7 Para cualquier x: 6. El siguiente argumento prueba que para cada vector sólo hay un inverso aditivo. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Suponga que x y = 0 Entonces por la propiedad del inverso aditivo existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x) (x y) = ( x) 0 (( x) x) y = ( x) 0 0 y = ( x) 0 Finalmente, por la propiedad ( ) se tiene y = x. 1 Propiedad conmutativa de la suma 2 Propiedad asociativa de la suma 3 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 4 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 5 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 6 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 7 Para cualquier x: 7. En V = R 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El conjunto formado por la unión de el tercer y el cuarto cuadrante. b) El conjunto formado los puntos de la recta y = x c) El conjunto formado sólo por el vector < 0, 0 >. d) El conjunto formado por los puntos del segundo cuadrante. e) El conjunto formado los puntos de la recta y = 3 x

35 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: En V = R 3, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo vectores de la forma < a, 0, 2 > b) El formado por sólo vectores de la forma < b, 0, a > a + 3 b = 0. c) El formado por sólo vectores de la forma < 0, 2 a, a > d) El formado por sólo vectores de la forma < a, 0, b > donde a y b son números reales tales que a + b = 3. e) El formado por sólo vectores de la forma < 0, a, b > a + b En V = P, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x a + b 0. b) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x a + 7 b = 0. c) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a 2 a x 2 d) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x a + b 0. e) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a + b x 2 a b En V = M 2 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo matrices de la forma [ ] 0 a donde a y b con reales que cumplen a b 0. b) El formado por sólo matrices de la forma [ ] 0 a a b donde a es un número real cualquiera y b es un real positivo. c) El formado por sólo matrices de la forma [ ] b a a 0 donde a y b con reales que cumplen a + b = 0. d) El formado por sólo matrices de la forma [ a ] a 3 0 e) El formado por sólo matrices de la forma [ ] a 2 a 0 a donde a es un número real cualquiera. b a

36 Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017 Grupo: Matrícula: Nombre: Tipo:9 1. Suponga que V = R 2 y que se definen las operaciones: y Si Calcule: 1. (c 1 + c 2 ) a (x, y) (z, w) = (2 x + 4 z, 5 w + 5 y) 2. (c 1 a) (c 2 a) 3. (c 1 c 2 ) a 4. c 1 (c 2 a) t (x, y) = (2 t x, 5 t y) a = (2, 2), c 1 = 1, c 2 = 1 Reporte sólo la coordenada 2 de cada cálculo. 2. Asocie cada nombre de axioma de espacio vectorial: a) Distributividad de la suma de escalares sobre el producto por escalares b) Existencia del inverso aditivo de cada vector c) Cerradura de la suma de vectores d) Invarianza del escalamiento unitario e) Existencia del neutro de la suma de vectores Con su expresión lógica correspondiente en la lista: 1) x, y V : x y V 2) x, y V : x y = y x 3) x, y, z V : x (y z) = (x y) z 4) 0 V x V : 5) x V x V : 6) x V c R : c x V 7) x V c, k R : (c + k) x = (c x) (k x) 8) x, y V c R : c (x y) = (c x) (c y) 9) x V c, k R : c (k x) = (c k) x 10) x V : 3. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (x + z, y + w), r (x, y) = (r y, r x) 4. Si en R 2 se definen las operaciones: (x, y) (z, w) = (x + z, y + w), r (x, y) = (y, r x)

37 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: El siguiente argumento prueba que el vector cero es único. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Suponga que x y = x Entonces por la propiedad del inverso aditivo existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x) (x y) = ( x) x (( x) x) y = ( x) x 0 y = 0 Finalmente, por la propiedad ( ) se tiene y = 0. 1 Propiedad conmutativa de la suma 2 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 3 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 4 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 5 Propiedad asociativa de la suma 6 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 7 Para cualquier x: 6. El siguiente argumento prueba que para cada vector sólo hay un inverso aditivo. Indique en orden las opciones que contienen las propiedades que justifican los pasos que se indican. Suponga que x y = 0 Entonces por la propiedad del inverso aditivo existe ( x) que al sumarlo en ambos miembros da ( x) (x y) = ( x) 0 (( x) x) y = ( x) 0 0 y = ( x) 0 Finalmente, por la propiedad ( ) se tiene y = x. 1 Para cualquier x existe un elemento simbolizado por 2 Existe un elemento simbolizado por 0 que cumple 3 Propiedad distributiva de la suma de escalares respecto 4 Para cualquier x: 5 Propiedad conmutativa de la suma 6 Propiedad distributiva del producto por escalares respecto 7 Propiedad asociativa de la suma 7. En V = R 2, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El conjunto formado sólo por el vector < 3, 3 >. b) El conjunto formado por la unión de el segundo y el tercer cuadrante. c) El conjunto formado los puntos de la recta y = 2 2 x d) El conjunto formado por los puntos del tercer cuadrante. e) El conjunto formado sólo por el vector < 0, 0 >.

38 Ma1019, Tarea No 9: Espacios vectoriales, Tipo: En V = R 3, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo vectores de la forma < a, 2 a, 0 > b) El formado por sólo vectores de la forma < a, 0, b > a + b 0. c) El formado por sólo vectores de la forma < a, 0, 3 > d) El formado por sólo vectores de la forma < 0, a, b > donde a y b son números reales no negativos ambos. e) El formado por sólo vectores de la forma < b, a, 0 > a + 2 b = En V = P, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = a 2 x 2 b) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b + a x 2 donde a y b son números reales tales que a + b = 5. c) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b x + a x 2 a b 0. d) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b + a x 2 a + 10 b = 0. e) El formado por sólo polinomios de la forma p(x) = b x + a x 2 donde a y b son números reales no negativos ambos. 10. En V = M n n, indique cómo se clasifican los siguientes conjuntos: a) El formado por sólo matrices triangulares inferiores de V. b) El formado por sólo matrices escalonadas de V. c) El formado por sólo matrices antisimétricas de V. Una matriz X es antisimétrica si X T = X. d) El formado por sólo matrices triangulares superiores de V. e) El formado por sólo matrices invertibles de V.