RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES NUMÉRICAS. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE. CORRELACIÓN.

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1 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 8 RELACIÓN ENTRE DOS VARIABLES NUMÉRICAS. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE. CORRELACIÓN. Los métodos de regresó se usa para estudar la relacó etre dos varables umércas. Puede teresar por ejemplo estudar la relacó etre estatura y perímetro cefálco de ños varoes recé acdos, o la relacó etre la estatura del hjo y la estatura del padre (éste es u famoso ejemplo hstórco de Galto 880 que dó orge a la deomacó "modelo de regresó"). E químca aalítca se usa el modelo de regresó para calbrar u método de medcó. Ejemplo : Para calbrar u fluorímetro se ha examado 7 solucoes estádar de fluoresceía (de las que se cooce la cocetracó medda co mucha precsó) e el fluorímetro. Los sguetes datos so las "verdaderas" ("cas verdaderas") cocetracoes y la tesdad de fluoresceca observada e el fluorímetro: Cocetracó, pg/ml: Itesdad de fluoresceca:

2 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 9 E u problema de calbracó, queremos, a partr de medcoes hechas e muestras stadard, estudar la relacó etre las medcoes y el verdadero valor. Esta relacó permtrá e el futuro, medr ua muestra descoocda y coocer aproxmadamete su verdadero valor. Lo prmero que se hace para estudar la relacó etre dos varables umércas es u dagrama de dspersó (scatter plot), como el que se preseta a cotuacó.

3 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 0 Para ayudar a vsualzar la relacó, hemos agregado a los putos del gráfco de dspersó ua recta que se llama "recta de regresó" o "recta de cuadrados mímos". Para ello, basta marcar (e el Statstx) dode dce "Dsplay Regresso Le". Recta de cuadrados mímos. La recta represetada e el gráfco ateror es la recta de cuadrados mímos. La recta de cuadrados mímos es la que está "más cerca" de los putos, e el setdo sguete: hace míma la suma de los cuadrados de las dstacas de cada puto a la recta, mdedo las dstacas vertcalmete. O sea mmza: Σ ( y - (a b x ) ) (3)

4 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be UNWEIGHTED LEAST SQUARES LINEAR REGRESSION OF FLUORESCE PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P CONSTANT CONCENTRA R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE) ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION SOURCE DF SS MS F P REGRESSION RESIDUAL TOTAL CASES INCLUDED 7 MISSING CASES 0 Observado los "coefcetes" de la salda vemos que la recta de cuadrados mímos tee ordeada al orge.5786 y pedete S los putos (como e este ejemplo) está cerca de la recta, podemos decr que

5 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be o y X Fluoresceca Cocetracó Por ejemplo s la verdadera cocetracó de fluoresceía de ua muestra es 8, la ordeada de la recta es * Obvamete esto o quere decr que para la muestras que tega cocetracó8 la tesdad de la fluoresceca es 6.96 (ver gráfco, los putos está muy cerca de la recta, pero o está sobre la recta).

6 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 3 Modelo de regresó leal Para hace ferecas (aplcar test de hpótess y calcular tervalos de cofaza) se ecesta, como sempre, supoer u modelo, que se llama "modelo de regresó leal smple". La palabra "smple" es porque cosderamos ua sola varable depedete o predctora (X). Se geeralza e forma atural al caso e que hay varas varables depedetes y e ese caso se llama "modelo de regresó leal múltple". Las suposcoes del modelo de regresó leal smple (que es el que estudaremos e este curso) so las sguetes. MODELO: Se observa pares de valores (x, Y ) para,..., que cumple: dode e,e,...,e so varables aleatoras tales que Y α β x e (para,...,) (3) ) E(e ) 0 para todo ) Var(e ) σ (o sea es sempre la msma para todas las observacoes) 3) e, e,..., e so v. a. depedetes Para obteer alguos resultados alcaza las suposcoes ) a 3), pero para otros es ecesaro agregar: 4) e Normal

7 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 4 Obvamete las suposcoes ) a 4) se puede escrbr e forma más breve: ) a 4) e v. a...d. N(0, σ ) Cometaro: Hay dos modelos u poco dferetes: el modelo co x 's fjas y el modelo co x 's aleatoras. E el prmero los valores x 's o so varables aleatoras so que so úmeros fjados por el expermetador. E el segudo tato x como Y so observacoes de varables aleatoras. Los problemas de calbracó so ejemplo co x 's fjas. El problema de estudar la relacó etre estatura y perímetro cefálco de recé acdos es u ejemplo co x 's aleatoras. Justfcaremos los resultados (estmadores, IC, tests) sólo para el modelo co x 's fjas, que es más smple, pero cas todos los resultados (IC y tests) so los msmos para ambos modelos. Ua forma equvalete de escrbr el modelo de regresó leal smple (e el caso e que las x 's so úmeros fjos) es la sguete: *) E(Y ) α β x (para,...,) *) Var(Y ) σ (para,...,) 3*) Y, Y,..., Y so vs as depedetes 4*) Y Normal

8 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 5 Nuevamete, las suposcoes *) a 4*) se puede escrbr e forma más breve: *) a 4*) Y v. a...d. N(α β x,σ ) Cometaro: e el modelo co x 's aleatoras, o hay que hacer gua suposcó sobre la dstrbucó de las x 's. Puede ser ormal o o. Como de costumbre, o se espera que las suposcoes del modelo se cumpla exactamete e u problema real, pero al meos que sea aproxmadamete váldas. S está lejos de cumplrse, las coclusoes puede ser erróeas. Por ejemplo, la preseca de alguos valores de Y atípcos (alejados de la recta, lo que mplca que o se cumple la suposcó 4)) puede valdar las coclusoes. E efecto, la recta de cuadrados mímos, al gual que la meda, es sesble a uos pocos valores atípcos. Les preseto a cotuacó gráfcos de dspersó para cco ejemplos artfcales, geerados co u programa (geerado úmeros pseudoaleatoros). Alguos fuero geerados de modo que cumpla todas las suposcoes del modelo de regresó leal, otros o. Detecta usted e cuáles de estos ejemplos o se cumple algua de las suposcoes y cuál es la suposcó que o se cumple?

9 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 6 y y x Ejemplo artfcal x Ejemplo artfcal y y x Ejemplo artfcal x Ejemplo artfcal 4

10 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 7 y x Ejemplo artfcal 5

11 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 8 Estmadores de α y β por el método de cuadrados mímos Llamemos αˆ y βˆ a los valores de a y b que mmza (3) que se llama "estmadores de cuadrados mímmos" de α y β. Se puede demostrar (dervado (3) e gualado a cero, hacerlo) que: x x xy Y x x x Y Y x x ) ( ) ( ) ( ) )( ( ˆβ (33) x Y β α ˆ ˆ (34) Se puede demostrar que estos estmadores so óptmos s se cumple las suposcoes ) a 4).

12 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 9 Resduos: Se llama resduos las dferecas etre los valores observados y las respectvas ordeadas de la recta: ) ˆ ˆ ( ˆ x Y e β α Estmador de σ : σ es Var(e ). Los e so v. a. "o observables". Parece atural que el estmador de σ se base e los resduos ê. Se puede demostrar que el estmador )) ˆ ˆ ( ( ˆ x Y e s β α (35) es u estmador sesgado de σ

13 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 30 Varaza de αˆ y βˆ. Se puede demostrar fáclmete que: ( ˆ) β β E (36) y que Var( ˆ) β σ ( x x) (37) cov ( Y, ˆ β ) 0 (38) Usado (36) a (38), se puede demostrar que E( ˆ) α α ; Var( ˆ) α σ x ( x x) Los estmadores de Var(αˆ ) y Var( βˆ ) se obtee reemplazado σ por s.

14 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 3 Itervalo de cofaza para β Llamemos El tervalo ES( ˆ) β Var ˆ ( ˆ) β s ( x x) (39) ˆ β ± t ; α / ES( ˆ) β es u IC para β co vel -α. S la suposcó 4) (de ormaldad) o se cumple, este tervalo, bajo codcoes muy geerales, tee vel astótco -α.

15 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 3 Ua medda de cuá buea es X para predecr Y: el coefcete de correlacó leal "r" de Pearso. Este coefcete puede terpretarse como ua medda de cuá cerca está los putos de ua recta. La defcó de r es la sguete: r ( Y Y ) ( Y ( ˆ α ˆ β x ( Y Y ) Puede observarse que r compara la dspersó de los valores de y co respecto a la recta de cuadrados mímos co la dspersó de los valores de y co respecto a su meda. r es la proporcó de la "varacó total" etre los valores de y que se puede explcar predcédolos por u recta e fucó de los valores de x. )) (40) Sempre es 0 r

16 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 33 Sgfcado del valor de r r sgfca que los putos está exactamete sobre ua recta (*) r cerca de los putos está cerca de ua recta r cerca de 0 sgfca que la recta de cuadrados mímos es práctcamete horzotal y por lo tato o hay relacó crecete decrecete. (*) E las aplcacoes práctcas es "cas mposble" que r valga exactamete gual a. El coefcete de correlacó r es la raz de r y se le poe sgo egatvo s la pedete de la recta de cuadrados mímos es egatva (recta decrecete). Otra expresó equvalete para calcular r es: r ( x x)( Y Y ) ( x x) ( Y Y ) Sempre es - r y r cerca de o - dcará que los putos está cerca de ua recta crecete o decrecete respectvamete. (4)

17 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 34 E el ejemplo de la fluoresceca, se ve e la salda del Statstx que R-SQUARED y, como la pedete es postva, es r raz(0.9978) Ambos muy cerca de, so ua medda de lo que vemos e el gráfco: los putos está muy cerca de ua recta E el caso e que las x s so aleatoras, el coefcete r es u estmador cosstete del coefcete de correlacó ρ(x,y).

18 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 35 Estmacó del valor esperado de Y para u valor fjado de x y su tervalo de cofaza. S fjamos u valor de la varable depedete, dgamos e x 0, cuál es el valor esperado de Y para ese valor de la varable depedete? Por el modelo supuesto, por la suposcó ) o *) el valor esperado de Y es E(Y) α β x 0 Su estmador es α ˆ βˆ x 0 Usado (37) y (38) se puede demostrar que la varaza de este estmador es: Var( α ˆ βˆ x 0 ) σ (x 0 (x x) x) (4)

19 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 36 y que el tervalo de extremos α β α β α α 0 / ; 0 0 / ; 0 x) (x x) (x s t x ˆ ˆ ; x) (x x) (x s t x ˆ ˆ (43) es u IC co vel -α para el valor esperado de Y, para x x 0.

20 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 37 Predccó de u uevo valor de Y coocdo el valor de x e tervalo de predccó. Los estmadores de los parámetros del modelo se basaro e ua muestra de observacoes (x, Y) (,...,). Supogamos ahora que hacemos ua ueva observacó, pero sólo coocemos su valor de x (llamémoslo x ), o coocemos su valor de Y, que llamaremos Y. Queremos e esta seccó dar u valor aproxmado para Y (se dce que queremos predecr Y ) y u tervalo que cotee a Y co ua probabldad 0.95 (o -α) (que se llama tervalo de predccó para Y ). Supodremos que el uevo dvduo observado cumple el msmo modelo que los aterores. Etoces: Y α β x e dode e es ua v.a. co esperaza cero y es depedete de e, e,..., e. Es tutvamete razoable que el mejor predctor de Y 0 sea: ˆ Ŷ α β x ˆ (44)

21 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 38 El error de predccó es: ) ˆ ˆ ( ) ( ˆ x e x Y Y β α β α Se puede demostrar que este error de predccó tee esperaza cero y varaza σ α β x) (x x) (x ) x ˆ (ˆ Var ) (e Var ) Ŷ (Y Var y que el tervalo de extremos α α / ; / ; x) (x x) (x s t Ŷ ; x) (x x) (x s t Ŷ (45) es u "tervalo de predccó" co vel -α para ua ueva observacó Y 0.

22 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 39 Aplcacó a u ejemplo: Volvamos al ejemplo de la fluoresceca. De la salda del programa mostrada aterormete obteemos: ˆ α.5786 ; ˆ β ; s ES ( ˆ) β Vˆ ar( ˆ) β No aparece drectamete e la salda el IC para β, pero es fácl obteerlo usado (39). S queremos u IC al 95%, ecestamos el valor de t co 7-5 gl, co p0.05 e las dos colas. E Statstx o e tablas obteemos: t 5; y, reemplazado e (39): o, redodeado ±.57* ± 0.05 IC para β co vel 95%: [.83;.04]

23 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 40 El IC al 95% para α se obtee e forma aáloga:.5786 ±.57* redodeado:.5 ± 0.76 Predccó: Vamos a calcular ahora el predctor de la medcó de fluoresceca y u tervalo de predccó para ua ueva muestra stadard cuya cocetracó de fluoresceía.es 8 pc/ml. El predctor es fácl de calcular: Ŷ αβ ˆ ˆ x * Para obteer el tervalo de predccó para Y hay que usar la expresó (45). Pero Statstx calcula automátcamete dcho tervalo. Para ello, medatamete después de obteer la salda de la regresó, marcamos "Results", "Predcto", poemos e la vetaa "Predctor Values" el úmero 8 y obteemos:

24 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 4 PREDICTED/FITTED VALUES OF FLUORESCE LOWER PREDICTED BOUND LOWER FITTED BOUND 6.49 PREDICTED VALUE 6.96 FITTED VALUE 6.96 UPPER PREDICTED BOUND 8.69 UPPER FITTED BOUND 7.43 SE (PREDICTED VALUE) SE (FITTED VALUE) 0.89 UNUSUALNESS (LEVERAGE) PERCENT COVERAGE 95.0 CORRESPONDING T.57 PREDICTOR VALUES: CONCENTRA Vemos que el predctor es 6.96 y el tervalo de predccó al 95% es [5.753 ; 8.69]. També se muestra e esta salda el IC al 95% para el valor esperado de la medcó de fluoresceca para muestras co cocetracó de fluoresceía8. Observar este tervalo y ver que tee meor logtud. Es tutvamete razoable que el IC para el valor esperado tega meor logtud?

25 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 4 Co Statstx també podemos represetar gráfcamete los tervalos de predcco y los IC para el valor esperado de Y, para dferetes valores de x. Para ello, sempre a partr de la salda de la regresó leal, vamos a "Results", "Plots", "Smple Regresso Plot" y obteemos: Cometaro: auque o se ota mucho e este gráfco el IC para el valor esperado de Y el tervalo de predccó tee logtud costate, para que valores de x 0 o x es meor la logtud?

26 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 43 Predccó versa: predccó de de u uevo valor de x coocdo el valor de y cálculo de u tervalo de cofaza. Los estmadores de los parámetros del modelo se basaro e ua muestra de observacoes (x, Y ) (,...,). Supogamos ahora que hacemos ua ueva observacó, pero sólo coocemos su valor de Y, o coocemos su valor x. Queremos e esta seccó calcular u estmador de x y u tervalo que cotee a x co ua probabldad -α. Hemos dcho que hay dos modelos de regresó leal smple: uo co x's fjas y otro co x's aleatoras. Pero e ambos modelos Y es aleatora. E el caso e el que la varable x també es aleatora, s queremos predecr X coocdo Y ua solucó es cambar el modelo: tercambar e (3) el papel de las varables Y y X y luego aplcar "predccó" (o sea (44) y (45)). Pero s la varable x es fja (fjada por el expermetador), como suele ocurrr e los expermetos de calbracó, o se la puede cosderar como varable "Y" e (3) ya que o se cumplría las suposcoes del modelo de regresó.

27 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 44 Cosderemos etoces el caso x fja. Supodremos que el uevo dvduo observado cumple el msmo modelo que los aterores, luego Y α β x e dode e es ua v.a. co esperaza cero y es depedete de e, e,..., e. Despejado x x Y α e β Como o teemos formacó gua sobre e y, además, de α y β sólo coocemos los estmadores, es tutvamete razoable estmar x co: xˆ Y βˆ αˆ (46)

28 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 45 Como xˆ es u cocete de varables aleatoras, o es fácl calcular su varaza, pero se puede ecotrar ua expresó aproxmada. El estmador de esta aproxmacó de la varaza es Vˆ ar ( xˆ ) s βˆ βˆ (Y Y ) ( x x ) (47) Llamado ES (xˆ) Vˆ ar(xˆ) (48) el tervalo xˆ ± t ; α / ES(xˆ ) (49) es u tervalo de cofaza co vel aproxmado -α para x.

29 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 46 Supogamos ahora que, para obteer mayor precsó, u químco hace "m" medcoes para la msma muestra. La muestra tee u valor x descoocdo y llamamos Ym al promedo de las m observacoes Y's hechas e esa muestra. Etoces (46) y (47) se modfca así: xˆ Y m αˆ βˆ (46*) Vˆ ar (xˆ ) s βˆ m βˆ (Y m (x Y ) x) (47*) Quedado (48) y (49) s cambos.

30 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 47 Ejemplo: Lametablemete Statstx o calcula la predccó versa, que es el objetvo prcpal de u expermeto de calbracó. Podemos hacer las cuetas "a mao". Cotuamos co el ejemplo de la fluoresceca. Ahora medmos ua muestra de la que o coocemos la cocetracó de fluoresceía. La medcó de fluoresceca es 3.5. Cuál es la verdadera cocetracó de fluoresceía de la muestra? Llamemos x a esta verdadera cocetracó descoocda. Su estmador se calcula co (46): xˆ Y αˆ βˆ El estmador de la cocetracó es 6. pg/ml. Ua medda de la precsó de esta estmacó la da su Error Stadar y també el IC al 95%. Necestamos prmero calcular (47). Vemos que todo lo que se ecesta para calcular (47) puede ecotrarse e la salda de la regresó leal, salvo Y y ( x x). E este expermeto e que hay 7 pares de datos, se podría hacer las cuetas co ua calculadora. Otra forma puede ser calcular e Summary Statstcs, Descrptve Statstcs:

31 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 48 DESCRIPTIVE STATISTICS VARIABLE N MEAN SD VARIANCE CONCENTRA FLUORESCE Luego Y 3.0 ( x) ( x o lo teemos drectamete, pero teemos la varaza que es gual a x x ) /( ). Por lo tato multplcado la varaza por (-) obteemos x 8.667*6.0 ( x) Reemplazamos ahora e (47): Vˆ ar (xˆ ) ( ) *

32 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 49 Luego ES (xˆ ) Aplcado (49) obteemos que 6. ±.57* ± 0.6 so los límtes de cofaza al 95% para la cocetracó de fluoresceía e la ueva muestra observada. Como se debería tomar las muestras stadard e el expermeto de calbracó para dsmur la logtud de los tervalos de cofaza para x?

33 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 50 Dagóstco del modelo de regresó. Ejemplo : E la clase de estadístca descrptva comezamos a aalzar los datos de u expermeto de calbracó. Djmos e esa clase: Cuado el plutoo está presete e pequeñas catdades mezclado co otros materales es dfícl detectarlo. Ua forma de detectarlo es medr las partículas alfa que emte. E ua vestgacó para estudar la relacó etre la catdad de plutoo y la emsó de partículas alfa, se mdero varas veces cuatro materales stadards para los que se sabe que la actvdad de plutoo (0, 5, 0 y 0 pcocures por gramo (pc/g). Los resultados de estas medcoes está e el archvo plutoo.xls.

34 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 5 Observemos el dagrama de putos ("Statstcs","Summary Statstcs", "Scatter Plot"): Ya al ver este dagrama se observa que los datos o sgue el modelo de regresó leal: hay u claro dato atípco y o parece cumplrse la suposcó de varaza costate. Otra forma que a veces ayuda a detectar fallas e el modelo, es estmar los parámetros del modelo y luego hacer gráfcos para el dagóstco del modelo. Para ello vamos a "Statstcs", "Lear Models", "Lear Regresso" y obteemos:

35 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 5 UNWEIGHTED LEAST SQUARES LINEAR REGRESSION OF PARTALFA PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P CONSTANT PLUTONIO E R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE) 5.63E-04 ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION SOURCE DF SS MS F P REGRESSION RESIDUAL E-04 TOTAL CASES INCLUDED 4 MISSING CASES 0

36 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 53 Co esta salda a la vsta, se marca "Results", "Plots", "Normal Probablty Plot", el programa hace el sguete gráfco para estudar la ormaldad de los resduos: E el gráfco se observa la preseca de u valor atípco y el test de Shapro Wlk rechaza la hpótess de ormaldad (P<0.000).

37 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 54 S excluímos el dato atípco y volvemos a estmar los parámetros de la regresó y hacer gráfcos co los resduos. UNWEIGHTED LEAST SQUARES LINEAR REGRESSION OF PARTALFA PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P CONSTANT PLUTONIO E R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE).580E-04 ADJUSTED R-SQUARED 0.90 STANDARD DEVIATION SOURCE DF SS MS F P REGRESSION RESIDUAL E-04 TOTAL CASES INCLUDED 3 MISSING CASES 0

38 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 55 Marcamos ahora Results, Plots y represetamos los grafcos que os ofrece el programa: grafco de probabldad ormal y grafco de resduos y valores ajustados. Estos so:

39 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 56

40 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 57 Esto dca que o es correcto coveete usar para estos datos el método de cuadrados mímos. No hay ua solucó automátca para datos que o cumple las suposcoes del modelo de regresó leal. E este caso e que la dspersó aumeta co el valor esperado, se ha propuesto dos tpos de solucoes. Ua es la de aplcar cuadrados mímos poderados, la otra es la de aplcar trasformacoes a los datos.

41 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 58 Cuadrados mímos poderados. Recordemos que e el modelo leal clásco co el que hemos trabajado asummos que: Se observa pares de valores (x, Y ) para,..., que cumple: dode e,e,...,e so varables aleatoras tales que Y α β x e (para,...,) (3) ) E(e ) 0 para todo ) Var(e ) σ (o sea es sempre la msma para todas las observacoes) 3) e, e,..., e so v. a. depedetes E alguos problemas, se sabe de atemao o se observa e los datos que o se cumple la suposcó de que los errores tee gual varaza ( supuesto )), so que la varaza camba co x, dgamos e geeral que es de la forma: dode e prcpo la fucó es descoocda. Var(e ) f (x ) (50)

42 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 59 E problemas e los que e es el error de medcó puede ser coocda de atemao la relacó etre la varaca del error y lo que se quere medr (x ). S teemos la suerte de coocer de atemao algo sobre la relacó que hay etre la varaza y el valor de x, o propoemos esta relacó observado los datos, la solucó es smple. Las relacoes más usadas so que la varaza o la desvaco stadard so proporcoales a x, o sea a) Var(e ) cte. x b) DS (e ) cte. X (5) Tato a) como b) puede escrbrse como: Var(e ) θ v dode θ es ua costate coocda o más frecuetemete u parámetro a estmar y v so costates coocdas. Supogamos ahora que se cumple el modelo Y α β x e (para,...,) co las suposcoes ) y 3), pero cambado ) por Var(e ) θ v. Etoces s dvdmos por v ambos membros de (3) y llamamos

43 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 60 obteemos Y * * * Y. ; x ; e v Y * α v x v β x * * e (para,...,) (5) e v dode ahora e * cumple las suposcoes ) a 3) del modelo leal clásco. Luego para estmar los parámetros α y β se aplca cuadrados mímos e (5), que equvale a mmzar Σ (/v ) ( y - (a b x ) ) (53) por lo que el método de estmacó se llama cuadrados mímos pesados (o poderados). El peso de cada observacó es versamete proporcoal a su varaza, lo que es tutvamete razoable. Statstx permte calcular los estmadores de cuadrados mímos pesados.

44 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 6 Cuado para cada valor de x se hace varas observacoes de y, se puede estmar las varazas de los errores por las varazas muestrales e lugar de hacer suposcoes como e (5). Luego se emplea estas varazas estmadas e el método de cuadrados mímos poderados. Veremos a cotuacó u ejemplo e el que aplcaremos este método. Este método o es recomedable s hay pocas observacoes para cada x. Ejemplo 3: E el lbro de Mller se preseta el sguete problema. E u expermeto de calbracó se aalzaro solucoes stadard co cocetracó coocda. Cada solucó fue medda 0 veces. Se muestra las medas y las DS de las absorbacas observadas: Cocetracó Absorbaca Promedo DS Los datos de cocetracó y promedo de absorbaca se grafca a cotuacó:

45 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 6 Se observa e el gráfco que la relacó es leal. Pero e la tabla (esto o se ve e el gráfco, porque o teemos los datos orgales del expermeto, verdad?) se ve que a medda que la verdadera cocetracó aumeta, crece la DS. As que es sosteble la suposcó ) del modelo de regresó e este ejemplo y es evdete que Var(e ) f(x ) v dode la fucó es crecete. S o teemos dea preva de la forma de esta fucó, se suele smplemete estmar cada v co el cuadrados de la DS correspodete. Por ejemplo para x 0

46 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 63 estmamos v co el cuadrado de 0.00, etc. El estmador de mímos cuadrados poderados usa como pesos las versas de estos v estmados. El Statstx permte calcular cuadrados mímos poderados. Igresamos los datos, calculamos los pesos y obteemos la sguete salda: WEIGHTED LEAST SQUARES LINEAR REGRESSION OF MEDIAABSO WEIGHTING VARIABLE: PESOS PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P CONSTANT CONCENTRA R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE).503 ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION S, por error hubésemos calculado la recta de cuadrados mímos s poderacoes, hubésemos obtedo:

47 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 64 UNWEIGHTED LEAST SQUARES LINEAR REGRESSION OF MEDIAABSO PREDICTOR VARIABLES COEFFICIENT STD ERROR STUDENT'S T P CONSTANT CONCENTRA R-SQUARED RESID. MEAN SQUARE (MSE).8E-04 ADJUSTED R-SQUARED STANDARD DEVIATION Auque e este ejemplo los estmadores de α y β so parecdos, debdo a que los putos está muy cerca de ua recta, e otros ejemplo podría haber dferecas mportates, s embargo camba la sgfcacó de la ordeada al orge.

48 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 65 Trasformacoes: Otra forma de solucoar la falla e la suposcó ) que suele ser al msmo tempo útl para lograr que los resduos tega ua dstrbucó más próxma a la ormal es aplcar trasformacoes a los datos. Se suele probar co la trasformacó logarítmca. Esta es la trasformacó más usada e químca expermetal. E el Curso de Itroduccó al coocmeto cetífco expermetal de la Dra. Cela Croto, cap 7 ( se explca: E la ceca expermetal se aplca los logartmos e dsttas stuacoes, ua de ellas es cuado se aalza los resultados de u expermeto e el que se trabaja co dlucoes seradas. Las más comues so las dlucoes e base 0, pero e serología, por ejemplo, se usa las dlucoes e base. Cuado ua sustaca se dluye e forma serada de modo de obteer dlucoes de la msma de /0; /00; /000; /0.000 y /00.000, so las potecas de 0. S fuera dlucoes e base dos, tedríamos /; /4, /8, /6, /3, /64 y así utlzado las potecas de. També se suele usar la trasformacó raíz cuadrada o elegr ua trasformacó e ua famla de trasformacoes que cluye al logartmo, la raíz cuadrada y a otras (método de Box y Cox). Exste métodos para elegr ua trasformacó, detro de ua famla. No trataremos estos métodos e este curso. Se puede ver por ejemplo e el capítulo 3 del lbro de Neter y otros.

49 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 66 Referecas:. Mller y Mller. Estadístca para Químca Aalítca. Addso Wesley.. Neter, Kuter, Nachtshem y Wasserma. Appled Ler Statstcal Models. Mc Graw Hll.

50 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 67 Metodo Gráfco: QQ-Plot (o Plor Normal) E u par de ejes coordeados se represeta los percetles teórcos de la dstrbucó Normal y e el otro eje los percetles de la muestra. S la muestra realmete provee de ua poblacó Normal, el gráfco debería estar, salvo fluctuacoes aleatoras, sobre ua recta (yx). Las dsttas curvaturas que puede oresetar estos gráfcos, os sugere que tpo de dstrbucó puede teer la poblacó de orge. El SX realza estos gráfcos y además os provee el valor del estadístco de Shapro-Wlk, W, que mde la asocacó etre los percetles poblacoales y muestrales. Este test es recomedado por muchos autores para muestras de tamaño medo. S teemos ua muestra aleatora u,... u, tales que u ~ F, la hpótess ula del test es que los datos provee de ua muestra co dstrbucó ormal, es decr H o : F~ Normal La dstrbucó teórca de W també está tabulada, así que podemos comparar el valor obtedo co los de la tabla correspodete.

51 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 68 SX os devuelve el valor del estadístco W y u valor P(W) que os dca s el W observado es grade o pequeño. Veamos u ejemplo: Los sguetes datos correspode a la reduccó e la FVC e pacetes co fbross quístca después de 5 semaas de tratameto cuado fuero tratados co la droga amlorde y co placebo: Placebo Amlorde

52 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 69 Normal Probablty Plot of PLACEBO Normal Probablty Plot of AMILORIDE Ordered Data Ordered Data Rakts Shapro-Wlk W P(W) cases Rakts Shapro-Wlk W P(W) cases

53 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 70 Los valores de W y de P(W) obtedos so: W P(W) Amlorde Placebo Por lo tato o es razoable que las dferecas de FVC de los placebos sea ormales, metras que este supuesto o parece cotradecrse e el caso de los tratados co Amlorde.

54 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 7

55 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 7

56 FCEyN - Estadístca para Químca Marta García Be 73 Asmetrca a zquerda Colas Lvaas Normal Colas Pesadas Asmetrca a derecha RojoMedaa, NegroMeda