INSTITUTO TECNOLÓGICO AUTÓNOMO DE MÉXICO Economía III (Eco-11103) Elección ocio consumo y la oferta de trabajo

Transcripción

1 INSTITUTO TECNOÓGICO AUTÓNOMO DE MÉXICO Economía III (Eco-11103) Elección ocio consumo y la oferta de trabajo Ricard Torres Índice 1 Conjunto presupuestal 1 2 Función de utilidad u(l, c) = lc (Cobb-Douglas) 4 3 Función de utilidad u(l, c) = l + c 7 4 Función de utilidad u(l, c) = (1/ l) (1/c) 8 5 Conclusiones 10 Índice de Figuras 1 Restricción presupuestal con una riqueza inicial positiva Curva precio consumo con utilidad Cobb-Douglas Curva precio consumo con utilidad u(l, c) = (1/ l) (1/c) Conjunto presupuestal Un individuo tiene preferencias definidas sobre combinaciones (l, c), donde l indica el tiempo dedicado al ocio (la letra l se usa por su nombre inglés: leisure), y c indica la cantidad de un bien de consumo agregado. a variable l está comprendida entre 0 y un máximo de tiempo disponible (que podrían ser 24 horas, o bien el tiempo de vigilia del individuo). Dada una elección de tiempo de ocio, l, la diferencia l indica el tiempo que el individuo destina a trabajar, a cambio de 1

2 un salario w. Definimos la oferta de trabajo n del individuo como esta diferencia: n = l. Notemos que las variables l y n satisfacen las restricciones: 0 l, 0 n, l + n = Podemos interpretar como una dotación inicial de tiempo, que el individuo deberá repartir entre ocio y trabajo. Para simplificar, fijaremos el precio del bien de consumo agregado en 1. Esto equivale a dividir todas las cantidades monetarias (salario, riqueza) por el precio del bien de consumo, es decir, medirlo todo en unidades del bien de consumo. Dicho en otras palabras, estamos considerando el salario real en lugar del salario nominal. a riqueza inicial del individuo, que denotaremos como C, también estará medida en términos del bien de consumo. Si el individuo no tuviera riqueza inicial, entonces tendríamos C = 0. a riqueza inicial en este modelo estático puede ser interpretada como los ahorros acumulados en el pasado por el individuo (debido a su trabajo o a otras fuentes). En primer lugar, vamos a considerar el conjunto presupuestal del individuo. Una elección l de ocio, implica una oferta de trabajo n = l, y por tanto unos ingresos por rentas del trabajo iguales a w ( l). Teniendo en cuenta que el individuo tiene además una riqueza inicial igual a C, su restricción presupuestal es: c w ( l) + C Dicha restricción presupuestal puede ser reescrita como: w l + c w + C Esta última expresión resultará más familiar al lector que ha visto la teoría microeconómica del consumidor. Notemos que, aunque el ocio l no tiene un precio explícito, sí tiene un costo de oportunidad (cada hora que el individuo dedica al ocio deja de percibir w en concepto de salario), que se halla reflejado en la última forma en que hemos escrito la restricción presupuestal. Ahora bien, el conjunto de combinaciones (l, c) factibles para el individuo tiene una limitación adicional: el tiempo dedicado al ocio no puede exceder el tiempo total disponible. Es decir, el conjunto presupuestal viene definido por 2

3 las desigualdades: w l + c w + C 0 l 0 c Es sencillo comprobar que la combinación de consumo dada por l = y c = C está siempre sobre la recta presupuestal. En la figura 1 representamos un conjunto presupuestal con estas características. c C l w l l n Figura 1: Restricción presupuestal con una riqueza inicial positiva. En el gráfico podemos apreciar que, siempre que C > 0, la existencia de un tiempo máximo disponible causa que el conjunto presupuestal sea un trapecio, en lugar de un triángulo como es habitual en la teoría del consumidor. 3

4 Notemos también que la esquina que existe en este caso en el punto (, C) limita más el conjunto presupuestal cuanto mayor sea la riqueza inicial C. (Para entender bien este extremo, el lector debería dibujar los conjuntos presupuestales que aparecen cuando el salario real w se mantiene, pero la riqueza inicial es cada vez mayor.) Más adelante veremos que, con diversas funciones de utilidad convexas y monótonas, siempre sucede que, para niveles de riqueza suficientemente grandes, el consumidor acaba maximizando su utilidad en esa esquina, es decir, destina todo su tiempo al ocio y su oferta de trabajo es nula. Nuestro objetivo es mostrar que con funciones de utilidad sencillas se obtienen comportamientos distintos: en unos casos la oferta de trabajo es siempre creciente, en otros siempre decreciente y, finalmente, puede darse el caso que sea creciente para unos salarios y decreciente para salarios más elevados. 2 Función de utilidad u(l, c) = lc (Cobb-Douglas) Supongamos que las preferencias del consumidor son representables mediante la siguiente función de utilidad (Cobb-Douglas): u(l, c) = l c Antes hemos visto que la solución puede ser interior, en cuyo caso igualaremos la tasa marginal de substitución a la relación de precios, o bien hallarse en la esquina (, C). Supongamos en primer lugar que la solución es interior. Igualando la tasa marginal de substitución a la relación de precios (que en este caso es igual al salario real w) obtenemos: TMS = u/ l u/ c = c l = w Substituyendo en la recta presupuestal: c = w l 2 w l = w + C Aislando l obtenemos la función de demanda de ocio l(w) = w + C = 2w 2 + C 2w a función de demanda de consumo es c(w) = w l(w) = 1 (w + C) 2 4

5 a oferta de trabajo la hallamos haciendo n(w) = l(w) = w C 2w = 2 C 2w c w > C < w C C w > w /2 w w l Figura 2: Curva precio consumo con utilidad Cobb-Douglas Notemos en primer lugar que, cuando el individuo no tiene riqueza inicial (C = 0), la oferta de trabajo en el caso Cobb-Douglas es completamente inelástica: n(w) = /2, para todo nivel de w. Esto es específico del caso Cobb-Douglas, y veremos que no sucede para funciones de utilidad distintas. Notemos también que, cuando no hay riqueza inicial, el conjunto presupuestario forma un triángulo como es habitual, y no es necesario que nos preocupemos por la posible existencia de soluciones de esquina. Así pues, bajo el supuesto que C > 0, consideremos ahora en qué circunstancias habrá solución de esquina en (, C). a limitación física en el tiempo total 5

6 de ocio implica: l(w) < 2 + C 2w < C < w Por tanto, podemos afirmar que la solución será interior siempre que C < w. Cuando C w, entonces la solución que maximiza la utilidad será l(w) =, n(w) = 0, c(w) = C. Según nuestra teoría, un individuo suficientemente rico dedica todo su tiempo al ocio, y su única fuente de ingresos es su riqueza acumulada. Cuando la riqueza inicial es positiva y la solución es interior, es decir 0 < C < w, la oferta de trabajo del individuo es creciente en relación al salario real dn dw = C > 0, si 0 < C < w. 2w2 En la figura 2 está representada la curva precio consumo para esta función de utilidad. Como la oferta de trabajo se mide desde hacia el origen de coordenadas, el hecho que la curva decrezca en l implica que la oferta de trabajo es creciente. Problema 2.1 Muestren que con la función de utilidad u(l, c) = log(l) + log(c) se obtienen las mismas demandas de ocio y consumo y oferta de trabajo que en el caso que acabamos de ver. Por qué sucede esto? Problema 2.2 Hallen las funciones de demanda de ocio y consumo, y de oferta de trabajo, cuando la función de utilidad es u(l, c) = l α c β, donde α > 0, β > 0 y α + β = 1. En particular, determinen si la oferta de trabajo será también inelástica cuando C = 0. 3 Función de utilidad u(l, c) = l + c Consideren ahora unas preferencias representables mediante la función de utilidad u(l, c) = l + c Estas preferencias satisfacen convexidad y monotonicidad estrictas, y por tanto son perfectamente regulares. Al igual que antes, empezaremos suponiendo que la 6

7 solución es interior, y a continuación comprobaremos en qué casos se obtiene la solución de esquina (, C). Obtendremos la solución interior igualando la tasa marginal de substitución a la relación de precios w: TMS = u/ l u/ c = 1/2 l c 1/2 c = l = w Substituyendo en la restricción presupuestal, tenemos c = w 2 l w 2 l + w l = w + C w l (1 + w) = w + C a demanda de ocio será Y la demanda de consumo a oferta de trabajo es ahora c(w) = w 2 l(w) = l(w) = w + C w(1 + w) w (w + C) 1 + w n(w) = l(w) = w2 C w(1 + w) a solución será interior siempre que no se alcance el límite físico : l(w) < w + C w(1 + w) < C < w2 Cuando C w 2, entonces la solución estará en la esquina (, C). En este caso, cuando la solución es interior la oferta de trabajo es siempre creciente, sea o no positiva la riqueza inicial dn dw = w2 + (1 + 2w) C > 0, para todo C 0. w 2 (1 + w) 2 4 Función de utilidad u(l, c) = (1/l) (1/c) Supongamos que las preferencias son representables mediante la función de utilidad u(l, c) = (1/l) (1/c) = l 1 c 1 7

8 Esta función de utilidad puede parecer rara, pero de hecho corresponde a preferencias que satisfacen convexidad y monotonicidad estrictas. De nuevo, comenzaremos suponiendo que la solución es interior. Igualamos la tasa marginal de substitución a la relación de precios: TMS = u/ l ( c ) 2 u/ c = 1/l2 1/c = = w 2 l Substituyendo en la recta presupuestal c = w l w l (1 + w) = w + C De donde hallamos la demanda de ocio a demanda de consumo será l(w) = w + C w(1 + w) c(w) = w l(w) = w + C 1 + w a oferta de trabajo la obtenemos restando la demanda de ocio del tiempo total w C n(w) = l(w) = w(1 + w) Procedamos a hallar en qué casos será la solución interior: l(w) < w + C w(1 + w) < C < w Es decir, cuando C w la solución será la esquina (, C). Analicemos ahora lo que sucede cuando la solución es interior (C < w ). Notemos de entrada que, si no hay riqueza inicial (C = 0), entonces la oferta de trabajo se simplifica a n(w) = 1 + w, si C = 0 Ahora bien, esta función es estrictamente decreciente en el salario real: dn dw = 2 w (1 + < 0, si C = 0 w) 2 8

9 c w > w 2 w 1 < w < w 2 w < w 1 C w 2 w l Figura 3: Curva precio consumo con utilidad u(l, c) = (1/ l) (1/c) Por tanto, si el individuo no tiene riqueza inicial, su oferta de trabajo es decreciente en el salario. Analicemos ahora el caso 0 < C < w (solución interior, pero riqueza inicial positiva). a derivada puede ser expresada como dn dw = (1 + 2 w) C w 2 w 3/2 (1 +, si 0 < C < w w) 2 Notemos que, si w es suficientemente grande, entonces se cumplirá que ( 1 > w + 2 ) C w > (1 + 2 w) C w Es decir, el numerador de la derivada será negativo, y por tanto la función de oferta de trabajo será estrictamente decreciente. 9

10 De hecho, si definimos ) 2 ( C w 1 = ( C + C C + w 2 = Se puede comprobar después de unas cuantas operaciones algebraicas que la oferta de trabajo es cero si w w 1, es estrictamente creciente si w 1 < w < w 2, y es estrictamente decreciente cuando w 2 < w. Es decir, la oferta de trabajo se curva sobre sí misma, tal como hemos representado en la figura 3. ) 2 5 Conclusiones En el modelo que hemos presentado, una variación en el salario real w conlleva dos efectos: un efecto riqueza y un efecto substitución. El efecto substitución puro, que puede ser interpretado como un movimiento a lo largo de la misma curva de indiferencia, conduciría siempre a un aumento en la oferta de trabajo cuando el salario real aumenta. (Dicho en otras palabras, un aumento en el salario real representa un aumento en el costo de oportunidad del ocio, y por tanto el efecto substitución implica una disminución en la demanda de ocio.) El hecho de que la oferta de trabajo sea decreciente con respecto al salario real es, por tanto, atribuíble al efecto riqueza: si el consumidor valora suficientemente el ocio en relación al consumo, un aumento en la riqueza conllevará un aumento en la demanda de ocio, que podría llegar a contrarrestar la disminución debida al efecto substitución. En el modelo, un efecto riqueza puro viene representado por un aumento en la riqueza inicial C, manteniendo el salario real inalterado. Para las funciones de utilidad que hemos considerado, donde ambos bienes son normales, si la riqueza aumenta la oferta de trabajo siempre disminuye. De hecho, si el aumento en la riqueza es suficientemente grande, se acabará llegando a a una solución de esquina, en que el individuo desearía un nivel de ocio superior al límite físico. 10

11 Problema 5.1 Consideren el caso en que no hay riqueza inicial: C = 0. El resultado de igualar la tasa marginal de substitución a la relación de precios (salario real) en los tres casos, ha dado lugar, respectivamente, a c = w l; c = w 2 l; c = w l A partir de estas relaciones, expliquen intuitivamente las diferencias en las funciones de oferta de trabajo en los tres casos. Noten como en un caso la oferta de trabajo es siempre creciente, en otro siempre decreciente, y el caso Cobb-Douglas está justo en la frontera entre ambos casos, y por tanto la oferta de trabajo es constante. Problema 5.2 Supongan que el individuo tiene una función de utilidad donde el ocio y el consumo son complementos perfectos { l u(l, c) = min a, c }, b donde a > 0 y b > 0. Muestren que, cuando la solución es interior, la oferta de trabajo es decreciente, y justifiquen intuitivamente este resultado. Hallen aquellos valores de C y w para los cuales habrá solución de esquina. Muestren que la solución de esquina no será, en general, única. Hagan una representación gráfica. Problema 5.3 Supongan ahora que ocio y consumo son subsitutos perfectos u(l, c) = a l + b c, donde a > 0 y b > 0. Muestren que, en general, el individuo dedicará todo el tiempo al ocio o bien dedicará todo el tiempo al trabajo. En qué circunstancias podrá el individuo repartir su tiempo entre ambas actividades? 11