ELEMENTOS PRIMARIOS DEL TRIÁNGULO. también es el suplemento de α, por lo tanto,. α ' =β+γ

Transcripción

1 7.. TRIÁNGULOS ELEMENTOS PRIMARIOS DEL TRIÁNGULO VÉRTICES: son los puntos donde se intersectan dos de los Lados del triángulo. Se designan con letras mayúsculas, A, B, C... LADOS: son los trazos que forman el triángulo. Se designan con la misma letra que el Vértice opuesto, pero en minúscula, a, b, c... ÁNGULOS INTERNOS: generalmente se designan con letras griegas, α,β,γ... ÁNGULOS EXTERNOS: generalmente se designan con la misma letra griega que su ángulo adyacente, más el símbolo (prima), α,β,γ... Fig PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS 1. LOS ÁNGULOS INTERNOS SUMAN 180º.. CADA ÁNGULO EXTERNO ES IGUAL A LA SUMA DE LOS DOS ÁNGULOS INTERNOS OPUESTOS A ÉL. Por ejemplo, en la Fig. 1, β+γ es el suplemento de α, pues es lo que le falta a α para ser 180º y α' también es el suplemento de α, por lo tanto,. α ' =β+γ β ' =α+γ γ ' =α+β 3. LOS ÁNGULOS EXTERNOS SUMAN 360º. α+β+γ ' ' ' = 360º Demostración. En la figura 1 se aprecia que cada ángulo interno es suplementario a l ángulo externo adyacente, por lo tanto, α= 180º α '(1), β= 180º β '() y γ= 180º γ '(3) Se sabe que α+β+γ= 180º (4). Entonces, reemplazando (1), () y (3) en (4) se obtiene 180º α ' + 180º β ' + 180º γ ' = 180º Agrupando términos semejantes, se obtiene 540º α+β+γ ( ' ' ') = 180º Despejando α+β+γ ' ' ' = 360º ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO Los siguentes cinco elementos se encuentan de a 3 en cada triángulo. 1. ALTURA: Trazo que sale de un vértice y llega en forma perpendicular ( ) al lado opuesto. Fig. Se demuestra trazando una recta paralela a AB que pase por C. Los ángulos α, β y γ se pueden transponer sobre la recta, formando un ángulo extendido, es decir, de 180º. ORTOCENTRO Es el punto donde se intersectan las tres alturas (Fig. 3). α+β+γ= 180º Fig

2 . TRANSVERSAL DE GRAVEDAD Trazo que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. CENTRO DE GRAVEDAD Es el punto donde se intersectan las tres Transversales de Gravedad (Fig. 4). PROPIEDADES Fig SIMETRAL Trazo que sale perpendicularmente de un punto medio. No interesa el punto de llegada. CIRCUNCENTRO Es el punto donde se intersectan las simetrales. Coincide con el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (Fig. 7). En todo Triángulo Rectángulo, la Transversal de Gravedad correspondiente a la Hipotenusa mide la mitad de esta. AD= DB= CD Al trazar las tres Transversales de Gravedad se forman seis triángulos de igual área. 4. MEDIANA Trazo que une dos puntos medios. Es paralela al lado opuesto y además, el lado opuesto mide el doble que esa mediana. Fig. 7 AM= MC ; BN= NC y AB= MN Fig. 8 Fig. 5 Además divide al triángulo ABC en dos triángulos de igual área, porque tienen igual base y altura. Fig BISECTRIZ Trazo que dimidia un ángulo interior. INCENTRO Es el punto donde se intersectan las bisectrices. Coincide con el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (Fig. 9). Fig

3 7..4. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS SEGÚN ÁNGULOS: - Acutángulo (3 ángulos agudos). - Rectángulo (1 ángulo recto). - Obtusángulo (1 ángulo obtuso) TEOREMAS DE TRIÁNGULOS I. TEOREMA DE PITÁGORAS: En un triángulo rectángulo (Cat1) + (Cat) = (Hip) SEGÚN LADOS: - Escaleno (3 lados distintos). - Isósceles ( lados iguales). - Equilátero (3 lados iguales). Tanto el punto 1 como el representan el área del cuadrado grande, por lo tanto: ( ) b+ c = a + bc b + bc+ c = a + bc Eliminando términos comunes b + bc+ c = a + bc /-bc b + bc bc+ c = a + bc bc b + 0+ c = a + 0 Por lo tanto, a = b + c Fig. 11 En la figura 1 sería: DEMOSTRACIÓN a + b = c Fig. 10 En la figura 11 se muestra un cuadrado de lado (b+c) y dentro de él, otro cuadrado, de lado a (si no crees que sea posible que la figura más oscura es un cuadrado, intenta demostrarlo, para lo cual solo debes mostrar que los ángulos de la figura son rectos, basándote en que la figura externa si es un cuadrado). En base a que el área de cualquier cuadrado es el lado del cuadrado es el lado a dos ( el lado al cuadrado ) y que el área de un triangulo es la base por la altura dividido, podemos plantear el área del cuadrado grande de dos maneras: b+ c, en otras palabras, el lado del cuadrado elevado a dos 1.- ( ) bc.- a + 4 = a + bc, que es sumar el área del cuadrado pequeño con la de los 4 triángulos rectángulos. Lo que puede expresarse como el famoso teorema de Pitágoras: En un triangulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la medida de la hipotenusa al cuadrado FAMILIA DE TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS Representa valores comunes de encontrar en los lados de triángulos rectángulos. II. TEOREMA DE EUCLIDES h = pq a = (p+ q) q= cq b = (p+ q) p= cp a b a b h = = c p + q Fig. 1 Fig

4 III. TEOREMA DE THALES Es un teorema de proporcionalidad entre rectas y entre triángulos Sea AB//CD III. TRIÁNGULO ISÓSCELES AB= CB OA OC = ; AB CD OA OB = ; OA = OB OC OD AC BD BD es altura, bisectriz y transversal de gravedad α es el ángulo basal CÁLCULO DE ÁREAS Y PERÍMETROS I. TRIÁNGULOS EN GENERAL Fig. 14 Fig. 17 IV. TRIÁNGULO EQUILÁTERO β es el ángulo del vértice. Perímetro= 3a Fig. 15 II. TRIÁNGULO RECTÁNGULO Perímetro= Suma de los lados= a + b+ c base altura ch Área = = Perímetro= a+ b+ c Cat1 Cat ab Área = = Fig CONGRUENCIA Dos triángulos son congruentes ( ) ah a Área= = 3 4 a Altura= h= 3 si al superponerlos, sus lados coinciden exactamente. Podemos decir que se trata de triángulos iguales, pero ubicados de manera distinta en el espacio. Fig. 16 Fig. 19 ABC DEF 147

5 EJERCICIOS DE TRIÁNGULOS 1 1. En la figura: L 1 // L y L 3 L 1. Cuánto miden α y β? a) α = 50º, β = 130º b) α = 100º, β = 80º c) α = 130º, β = 50º d) α = 95º, β = 85º e) α = 110º, β = 70º. Si L 1 // L, entonces cuánto mide el ángulo x? a) 80º b) 10º c) 140º d) 150º e) 160º 5. Si L 1 // L, entonces cuánto mide el ángulo x en función de α y β? a) α + β b) 180º β c) 180º α + β d) 180º α e) α + β 180º 6. Si L 1 // L // L 3, entonces cuánto mide el ángulo α si β = 70º? a) 100º b) 70º c) 90º d) 55º e) 0º 7. En la figura, cuánto vale x + y z? L 1 // L 3. En la figura L 1 // L ; RP bisectriz del ARS y SP bisectriz del BSR. Cuánto mide x? a) 100º b) 40º c) 50º d) 75º e) 90º 4. Si L 1 // L y L 3 // L 4. Cuánto mide x en función α? a) 60º α b) α 40º c) α + 40º d) α 60º e) α + 30º a) 105º b) 180º c) 60º d) 10º e) 45º 8. Los ángulos AEB y CED son opuestos por el vértice. Si AB // CD, entonces BAC + BDC = a) 65º b) 100º c) 115º d) 130º e) 150º El complemento de α, es : 90º - α 148

6 9. En la figura QPS = SPR; β = 30º y α = 60º. Cuánto mide el QPR? a) 10º b) 0º c) 30º d) 40º e) 60º 10. AC BC, α = β, AE y BD son bisectrices. Cuánto mide el ángulo β? a) 10º b) 15º c) 0º d),5º e) 30º 11. L 1 L y L 3 L 4. Si el ángulo β mide 40º, cuánto mide el ángulo α? a) 110º b) 10º c) 130º d) 140º e) 150º 1. En el MNP, RQ MP, MQ = QR y MPN = 70º, MNP = a) 65º b) 60º c) 55º d) 45º e) 35º 13. En un triángulo la suma las medidas de dos de sus ángulos exteriores es igual a 70º, entonces este triángulo no puede ser: I. Rectángulo II. Equilátero III. Obtusángulo a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo II y III e) Ninguna de las anteriores 14. CD es la altura del triángulo ABC. ACB = BCD y DBC = ACB. Con estos datos se puede afirmar que el ABC es: a) Escaleno b) Isósceles c) Rectángulo d) Acutángulo e) Equilátero 15. El BAD es ángulo exterior del ABC. Si AE es bisectriz del BAC, entonces AEC + ACE = a) 30º b) 50º c) 60º d) 10º e) 150º 16. Cuánto mide el ángulo x de la figura? a) 0º b) 30º c) 45º d) 60º e) No se puede determinar El suplemento de α, es : 180º - α 149

7 17. El MNP es rectángulo en P. QR // MP y MNP = 35º. Cuánto mide el ángulo x? a) 35º b) 45º c) 55º d) 65º e) 15º 1. ABC es un triángulo equilátero. Si BCD = ACD, cuánto mide el BDC? a) 0º b) 40º c) 60º d) 80º e) 100º 18. ABC es un triángulo donde BD es bisectriz del ABC, DE AB y ACB = BAC. Cuánto mide el ángulo BDE? a) 40º b) 50º c) 60º d) 65º e) 80º 19. En la figura P, Q y R son puntos colineales. α + β = a) 180º (δ + ε) b) 90º γ c) 180º (γ + ε) d) δ + γ e) δ + ε 0. En la figura α = 30º. Si β = α, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I. AF= FC II. BD AC III. γ = α a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III. En el ABC, CD es bisectriz del ACB. Si AC = AB y DCB = BAC, cuál(es) de las proposiciones siguientes es(son) verdadera(s)? I. AD = DC II. DBC es escaleno III. ADC = 3 ACD a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III 3. En el ABC, AC BC y CD AB, x = a) 16º b) 3º c) 45º d) 58º e) 64º 4. El ABC de la figura es escaleno y rectángulo en C. Si CD es altura, cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) falsas? I. BAC = BCD II. ABC = ACD III. BAC + ACD = ACB a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I, II y III e) Ninguna El suplemento de α, es : 180º - α 150

8 5. Si en un triángulo uno de sus ángulos interiores mide el triple de lo que mide el ángulo exterior adyacente a él, entonces a cuánto es igual la suma de las medidas de los otros dos ángulos interiores? a) 45º b) 15º c) 135º d) 145º e) 5º 6. En el ABC, AD = BD. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I. AC = BC II. CD AB III. ACD = DCB a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I, II y III e) Ninguna 9. Cuál de las siguientes relaciones es verdadera con respecto al PQR si se sabe que PS = RS = QS y α = 45º? a) α = γ β b) α > γ β c) γ > α + β d) γ < α + β e) Ninguna de las anteriores 30. En el ABC, AC = BC, ACB = x y ABC = 3x + 10º. Cuál es la medida de x? a) 80º b) 70º c) 60º d) 40º e) 0º 7. El ABC es escaleno. Si DF // AB, DE // BC, AC BC y EDF = α, entonces BAC = a) 90º α b) α c) α d) 180º α e) 180º α 8. En la figura MR QR, MQ RP y PQ = QR. Si 1 = 50º, entonces + 3 = a) 70º b) 80º c) 90º d) 100º e) 130º 31. El ABC es equilátero. El ABD es rectángulo si: (1) AD es bisectriz () AD es altura a) (1) por sí sola b) () por sí sola c) Ambas juntas, (1) y () d) Cada una por sí sola, (1) o () e) Se requiere información adicional 3. El ABC es equilátero si: (1) AC = BC () BAC = BCA a) (1) por sí sola b) () por sí sola c) Ambas juntas, (1) y () d) Cada una por sí sola, (1) o () e) Se requiere información adicional La suma de los ángulos internos cualquier triangulo es 180º 151

9 33. Cierto triángulo ABC es rectángulo. Es isósceles este triángulo? (1) Uno de sus ángulos duplica a otro () Uno de sus ángulos exteriores mide 135º a) (1) por sí sola b) () por sí sola c) Ambas juntas, (1) y () d) Cada una por sí sola, (1) o () e) Se requiere información adicional 34. El ABC es isósceles de base AC. AD es bisectriz del BAC si: (1) AD = BD y ACB = ABC () BCA = DAC a) (1) por sí sola b) () por sí sola c) Ambas juntas, (1) y () d) Cada una por sí sola, (1) o () e) Se requiere información adicional 35. Cuánto mide el DFE en la figura? (1) CD es altura y BE es bisectriz () AC BC y BAC = ABC a) (1) por sí sola b) () por sí sola c) Ambas juntas, (1) y () d) Cada una por sí sola, (1) o () e) Se requiere información adicional PAUTA TRIÁNGULOS EJERCICIOS DE TRIÁNGULOS 1I. PROPORCIONALIDAD 1. Si L 1 // L ; OB= BD= 5cm y ED= 6cm, determinar el área del OBC. A) 6 cm B) 8 cm C) 1 cm D) 4, 5 cm E) 9 cm. En la figura L 1 L. Si 1 = = 3 y L 1 // L 3 // L 4 // L 5, entonces x + y + z = A) 170 B) 15 C) 130 D) 10 E) El ABC es rectángulo en C. AC // DE y BF es bisectriz del ABC. Cuánto mide el α? A) 60 B) 75 C) 30 D) 105 E) En la figura AB= 3cm, EF = cm, DE= 8cm. Cuánto mide BC si L 1 // L // L 3? A) 6 cm B) 7 cm C) 9 cm D) 1 cm E) 15 cm En triangulos semejantes, correspondientes a un mismo ángulo son proporcionales. REPASA PROPORCIONALIDAD DE TRIANGULOS 15

10 5. En la figura, ABC es equilátero de lado x; BD es bisectriz, entonces el perímetro del BCD es: 5 A) x x 3 B) x C) ( 3 ) + x D) (3 3) + E) Ninguna de las anteriores 6. Si en la figura AC AD ; AC//DE ; CAE = EAB; ABC = 40 y AB= BC, entonces AED = A) 45 B) 35 C) 40 D) 55 E) El área de un triángulo equilátero es perímetro? A) 96 cm B) 1 cm C) 64 cm D) 3 cm E) 4 cm 16 3cm. Cuánto mide su 8. En la figura, ABC es rectángulo en C; h = 3 y BC = 10 ; entonces el valor de AC es: A) 310 B) 1 C) 10 D) 7 E) 9 9. En la figura, AC//BD, OA = 5cm, CA = cm y BD= 6cm y BD = 6 cm. Determinar AB. A) cm. B) 5 cm. C) 10 cm. D) 15 cm. E) 0 cm. 10. Cuánto debe medir x para que DE sea paralela a AB? A) 6 B) 9 C) 3 D) 1 E) Ninguna de las anteriores. 11. Si en el ABC de la figura, CD AB ; AC= BC ; AB= 8cm y CD= 3cm, entonces, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) ACD = 45 II) AC= 5cm III) AB= BC+ CD A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III 1. En el ABC, 3AD= BC= 15 cm ; AB= 14 cm y AC= 13cm. Cuánto mide el perímetro del DBC? A) 30 cm B) 36 cm C) 38 cm D) 40 cm E) 43 cm El área de un triángulo es: (Base) (Altura) 153

11 13. El ABC de la figura es rectángulo en C. Si x = 4 cm y AB mide 1 cm más que BC, entonces AC = A) 1 cm B) 5 cm C) 5 5 cm D) 5 cm E) 313 cm 14. En la figura, si PR = a y RQ= a, entonces PQ = A) 3a B) 9a C) 5ª D) 5a E) a El ABC de la figura es rectángulo en C. Si AC= 8cm y BC= 15cm, entonces AB = A) 3 cm B) 17 cm C) 61 cm D) 15 cm E) 8 cm AB BC 16. En la figura = = CD = 4cm y AG = BF = CE= 3cm Cuál 3 3 es el perímetro total de la figura? A) 4 cm B) 44 cm C) 51 cm D) 57 cm E) 7 cm 17. En el ABC de la figura, CD= 8cm, es altura; AD= 15 cm y BC= 10. Cuál es el perímetro del triángulo ABC? A) 48 cm B) 56 cm C) 64 cm D) 76 cm E) Otro valor 18. En el ABC de la figura, AC BC ; CD AB. Si BAC = ABC y AC= x, entonces CD se expresa: x A) x B) 4 C) x D) E) x x El triángulo rectángulo de la figura es isósceles. Si CD es altura, entonces Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s)? I) AB= CD II) BC+ CD= AD+ AC III) AC> BD A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III No debes olvidas que, en un triangulo rectángulo: ( Hipotenusa) = ( Cateto 1) + ( Cateto ) 154

12 0. Si los catetos de un triángulo rectángulo isósceles aumentan al doble, entonces su hipotenusa: A) Queda igual B) Se cuadruplica C) Se duplica D) Disminuye a la mitad E) Ninguna de las anteriores 1. En la figura, L // L 3, AE = 6 cm, AB = 4 cm y AC = CB. Cuánto mide el perímetro del BDE? A) cm B) 4 cm C) cm D) cm E) ( + ) cm. En el ABC de la figura AC= 0,75 BC y BC = 0,8 AB. Si el perímetro del triángulo mide 4 cm, entonces AC = A) 4 cm B) 6 cm C) 8 cm D) 10 cm E) 1 cm 3. En la figura los triángulos ABC y DCE son congruentes. Si BC = a y AC = a, entonces el perímetro de la figura es: A) a B) a + a 5 C) a ( + a 5) D) 3a + a 5 E) 3a ( + a 5) 4. En la figura, ABC es equilátero de lado a y EBD es rectángulo. Si AC // ED y EA = EB, entonces el perímetro del EBD es: A) a 3 B) a C) a + a 3 D) a + a 3 E) 3a + a 3 5. En un triángulo rectángulo de catetos a = 6 y b = 8, el cuadrado de la hipotenusa está representado por: I. (a + b) II. a + b III. a + 11b A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 6. En la figura los triángulos ABC y CDE son rectángulos en C y E respectivamente, CDE =45 ; EA = EF= cm y BG= 4 cm. Cuál es la suma de los perímetros de los triángulos BCG y FDG? A) ( 1+ 6 ) cm B) ( ) cm C) ( 1+ 1 ) cm D) ( 0+ 1 ) cm E) ( ) cm Repasa las propiedades de los triángulos equilátero e isósceles 155

13 7. En la figura ABC es rectángulo en A, ED es una mediana que mide 6 cm y BC= 0cm. Cuál es la diferencia entre los perímetros de los triángulos ABC y DBE? A) 48 cm B) 36 cm C) 4 cm D) 1 cm E) 6 cm 8. En la figura, los triángulos ABC y CED son congruentes. Cuánto mide la superficie de la figura? A) 6 cm B) 8 cm C) 1 cm D) 0 cm E) 4 cm 30. MS es la altura del MNT. Si MTN = 45 ; MN= 10 cm y MS= 6cm, entonces cuánto mide NT? A) 16 cm B) 14 cm C) 1 cm D) 10 cm E) 8 cm 31. En la figura OF OC ; OA = AB= BC= 4cm y OD= DE= EF= 3cm, luego AD+ BE+ CF = A) 15 cm B) 30 cm C) 36 cm D) 4 cm E) 45 cm 9. El PQR de la figura es rectángulo en R. Si TU, TS y SU son medianas, QR= 9cm y RP = 1cm, entonces el perímetro del SUT es: A) 18 cm B) 4 cm C) 30 cm D) 36 cm E) 54 cm 3. El ABC de la figura es equilátero. El ABD es rectángulo si: (1) BAD = DAC () BD= DC A) (1) por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, (1) y () D) Cada una por sí sola, (1) o () E) Se requiere información adicional 33. En la figura AC = CB y CD AB, cuánto mide el perímetro del ABC? (1) AC = 10 cm; AB = 1 cm () CD = 8 cm; AD = DB = 6 cm A) (1) por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, (1) y () D) Cada una por sí sola, (1) o () E) Se requiere información adicional Es distinto congruencia que semejanza. Figuras semejantes son proporcionales, figuras congruentes son iguales 156

14 34. El PQR de la figura es rectángulo en R si: (1) RS PQ y PR = 8 cm () QS = SP A) (1) por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, (1) y () D) Cada una por sí sola, (1) o () E) Se requiere información adicional 35. Se puede determinar el perímetro del MNP si se conoce que: (1) MQ = 3 cm, QP = 4 cm () NP = 5 cm y PQ es altura A) (1) por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, (1) y () D) Cada una por sí sola, (1) o () E) Se requiere información adicional DESAFIO En la figura 0, el triangulo ABC es recto en C. Encuentra los ángulos equivalentes a α y a β. Busca el par de lados del triángulo ACD que estén en la misma proporción que AC AB Con la proporción directa resultante del punto anterior, obtén el valor de (AC), te recuerda a alguna fórmula? Busca los pares de lados del triángulo BCD que estén en la misma proporción que BC AB Con la proporción directa resultante del punto anterior, obtén el valor de (CB), te recuerda a alguna otra fórmula? Encuentra la proporción entre lados del triangulo ACD y CBD que te permitan calcular (CD) PAUTA TRIÁNGULOS 1I. PROPORCIONALIDAD