Trigonometría y Análisis Vectorial

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2 Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial Prof. Ronn J. ltuve

3 Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial 1. Teorema de Pitágoras: establece que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de maor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Consideremos el siguiente triángulo C: En el triángulo se tiene que: α c b β a C α β: Ángulos La Hipotenusa es Los catetos son C C El Cateto C se designa con la letra b (minúscula) porque al vértice opuesto se le designa con la letra (maúscula). De la misma forma el cateto C se le designa con la letra a por ser opuesto al vértice. La hipotenusa se le designa con la letra c por ser opuesto al vértice C. sí mismo el Teorema de Pitágoras establece que: c b También debe tomarse en cuenta que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180, por lo que se tiene que: α + β + 90 = 180 De donde: α + β = 90.1 Trigonometría de los triángulos rectángulos: a) Seno de ángulo: En general, en un triángulo rectángulo, la relación entre la medida del cateto opuesto a un ángulo la medida de la hipotenusa Prof. Ronn J. ltuve 3

4 Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial es siempre un valor constante. esta relación se le conoce como el seno de un ángulo, teniéndose que: sen cateto opuesto hipotenusa b) Coseno de un ángulo: En un triángulo rectángulo, la relación entre la medida del cateto adacente a un ángulo la medida de la hipotenusa es siempre un valor constante. esta relación se le conoce como el seno de un ángulo, teniéndose que: cos cateto adacente hipotenusa c) Tangente de un ángulo: En un triángulo rectángulo, la relación entre la medida del cateto opuesto a un ángulo la medida del cateto adacente al mismo ángulo siempre un valor constante. esta relación se le conoce como el seno de un ángulo, teniéndose que: cos cateto opuesto cateto adacente Ejemplo: α c b β a C Datos: a,5cm b 3cm c? sen? sen? cos? Re sp.3.91cm Re sp.0,63 Re sp.0,76 Re sp.0.76 cos? Re sp.0.63 tg? Re sp.0.83 tg? Re sp.1. Prof. Ronn J. ltuve 4

5 Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial De los cálculos anteriores, se puede escribir que: sen cos sen cos Lo anterior nos lleva a establecer: En un triángulo rectángulo, el seno de uno de sus ángulos agudos es igual al coseno del ángulo complementario viceversa 3. nálisis vectorial: a) ector: es todo segmento de recta dirigiendo en el espacio. Cada vector posee unas características. b) Elemento de un vector: Origen: También denominado punto de aplicación. Es un punto exacto sobre el que actúa el vector. Modulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen el extremo de un vector, pues para saber cuál es el modelo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Dirección: Es la orientación en el espacio de la recta que la contiene. Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Extremo: es el final del segmento, de la flecha. Y b Y 1 a X X 1 Prof. Ronn J. ltuve 5

6 Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial Su origen: a Su extremo: b ab Longitud o modulo del vector Dirección: Ángulo de inclinación con respecto al eje horizontal Sentido: de origen a extremo Se denominan componentes del vector el par ordenado obtenido de la diferencia de los valores de las abscisas (x) de las ordenadas () de cada punto. ab X X ; Y Y 1 1 c) Componentes rectangulares de un vector Se llama componentes rectangulares de un vector a dos vectores perpendiculares entre sí, que sumados dan como resultado de dicho vector, es decir son los proecciones del vector sobre los ejes coordinados. x Donde: Componentes de en la relación de x Componentes de en la relación de ngulo que forma el vector con el eje horizontal Las componentes vienen dados por: Componente horizontal... Componente vertical Prof. Ronn J. ltuve 6

7 Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial El módulo del vector viene dado por: La dirección de : ( x ) ( ) En general, los signos de la vertical horizontal depende del cuadrante donde este. I Caso II Caso (-) (+) x (+) x (-) x x (-) (-) x (-) x (+) x x Prof. Ronn J. ltuve 7

8 Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial d) ector unitario: se dice que un vector es unitario cuando se modulo (norma) es igual a 1 o a la unidad. Si U es el vector unitario es un vector cualquiera puede decirse como norma general que el vector puede ser expresado como producto de su modulo por el vector unitario: U, en donde el vector unitario queda expresado como: U Ejemplo: Dado el vector dirección de i 5 j 3k 9, hallar un vector unitario en la ( 9) (5) ( 3) 115 U 9i 5 j 115 3k U i j k e) Operaciones con vectores: dición: Cuando dos o más vectores se suman todos deben tener las mismas unidades. Existen diferentes métodos para calcular la suma de vectores, entre los cuales se tienen los siguientes. El método del Paralelogramo: El vector suma es aquel que tiene como origen, el origen común como extremo, el punto de corte de las paralelas. ab S = ab + cd cd Prof. Ronn J. ltuve 8

9 Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial El método analítico: La forma de sumar dos o más vectores analíticamente, es sumar cada una de sus componentes: Dado los vectores: a a, a ) b ( b, ) ( b 1 1 Se defina el vector suma: a b, a ) s ( b 1 1 Sustracción: En la sustracción de vectores se usa la definición del negativo de un vector. Esta operación se da de la siguiente: = ( ) Ejemplo: Sean lo vectores: Determinar: a. + b. - c. Un vector unitario en la dirección de + Solución: a. + =? + = => + = b. - =? - = => - = c. El vector unitario en la dirección de + U (7) () ( 9) 134 Prof. Ronn J. ltuve 9

10 Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial f) Producto de un escalar por un vector: Se un vector m un escalar. El producto del escalar m por el vector es otro vector expresado como m. Ejemplo: Sea: m = 3 sea = i-4j+3k m 3 i 4 j 3k m 6i 1 j 9 k Si m = -3, Resp: m 6 i 1 j 9k La Magnitud de m=?...resp: m 61 g) Producto vectorial de dos vectores conociendo sus módulos el ángulo que ellos forman: Sean dos vectores. Sea θ el ángulo que ellos forman. El producto escalar de dos vectores es el escalar que resulta de multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo que ellos θ forman se representa por un punto (.)...cos h) Producto escalar de dos vectores conociendo sus expresiones analíticas: Consideremos dos vectores dados por sus expresiones analíticas: x i j z k x i j z k Evaluando el producto escalar., nos queda:. ( i j k ).( i j k ) x z x z plicando propiedad distributiva:. x x z z Prof. Ronn J. ltuve 10

11 Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial Ejemplo: Dados los vectores en forma analítica: i j 3k i 4 Hallar: a) El Producto Escalar Resp. -7 b) El ángulo que forman.resp c) 3..Resp. 161 j k Expresión analítica de un vector en el plano en función de sus vectores unitarios Y En términos de sus vectores unitarios se pueden escribir en: J i x X Ejemplo: Dado el vector de origen (,1) extremo (3,3) escribir el vector en función de sus vectores unitarios. Encontrar también la dirección del vector (3- ; 3-1) (1,) = i+j 4 3 La dirección del vector viene dada por: Prof. Ronn J. ltuve 11

12 Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial Expresión analítica de un vector en el espacio en función de sus vectores unitarios Z (k) β Y (j) X (i) = (X, Y, Z) En función de los vectores unitarios: = (i, j, k) Los cosenos de los ángulos α, β σ se llaman cosenos directores del vector, llamados asi porque fijan la dirección del vector en el espacio. Ellos quedan determinados como: cos x cos cos z La magnitud del vector está dada por: Prof. Ronn J. ltuve 1

13 Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial Ejemplo: Dado el vector = (-3,, 1) hallar la magnitud los cosenos directores de. Z Y X 3 Prof. Ronn J. ltuve 13

14 Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial Métodos de las Componentes Ejemplo: Sean los vectores: 1 = 0 = 1 3 = 30 Y los ángulos: Hallar: a) los componentes de cada vector b) La Fuerza Resultante c) La Magnitud de la Fuerza Resultante d) La Dirección de la Fuerza Resultante. Y σ x 3 x 1 x Prof. Ronn J. ltuve 14

15 Unidad Educativa enezuela Trigonometría nálisis ectorial Solución: Componente en el eje de las X: 1x = 1. x =. 3x = 3. Componentes en el eje de las : 1 = 1. =. 3 = 3. La resultante sobre el eje x: R x = 1x + x + 3x R x = 17,3+8,48+15 = 40,8 La resultante sobre el eje Y: R = 10+8,48+5,9 = 44,38 La Magnitud viene dada por: La dirección: tan R R tan 1 1,08 x 44,38 40,8 1,08 47, '3,93" R R R x Prof. Ronn J. ltuve 15