MINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA
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- Adrián Cáceres Toro
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1 MINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA CURSO 4 TRIGONOMETRIA Y TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS EN EL PLANO CARTA DIDÁCTICA Desripión: Con este módulo se pretende inorporr el lenguje de l trigonometrí l modo de expresión hitul de los doentes, sí omo estudir estrtegis espeífis pr l resoluión de prolems y plir l trigonometrí situiones de l vid rel y otrs áres de onoimiento. Ojetivos generles: Desrrollr l hilidd de ls y los doentes pr: 1. Utilizr on preisión l terminologí y notión de ls propieddes, identiddes y funiones trigonométris. 2. Busr propieddes, regulriddes, formulr y ompror onjeturs er de propieddes de ls funiones trigonométris plindo métodos indutivos y dedutivos pr justifir ess propieddes y reliones. 3. Aplir l metodologí de resoluión de prolems, identifindo y diferenindo los elementos onoidos de los que se pretende onoer y los relevntes de los irrelevntes. 4. Identifir y her omposiiones de trnsformiones geométris senills, visulizndo ls propieddes que se onservn Metodologí: Al iniio de d jornd el filitdor presentrá l teorí y ejemplos ásios que permitirán que los y ls doentes, plindo l metodologí de resoluión de prolems, puedn profundizr en el onoimiento de diversos hehos y oneptos trigonométrios, l vez que desrrolln su ompeteni mtemáti pr definir, rgumentr y justifir. En unto l orgnizión y gestión de l lse se hrá lo siguiente, slvo que se dig otr os: Orgnizr l lse en prejs o pequeños grupos. Coneder un tiempo entre 10 y 15 minutos pr que los doentes disutn, expliquen, justifiquen y demuestren prolems; mientrs que el formdor supervisrá y limentrá el trjo grupl. El formdor dedirá entre 10 y 15 minutos pr soilizr on tod l lse ls soluiones o demostriones respetivs de uno o dos grupos, hiendo ls oserviones y orreiones neesris.
2 CARTA DIDÁCTICA SABADO 1: 18/JUNIO/2011 Ojetivos espeífios: 1. Definir y lulr l medid de un ángulo en grdos y rdines. 2. Her onversiones de grdos en rdines y vievers. 3. Definir y lulr ls rzones trigonométris pr ángulos gudos. 4. Deduir y usr ls identiddes trigonométris fundmentles. 5. Elorr estrtegis espeífis de resoluión de prolems que involurn propieddes y medids de ángulos. Atividdes: 1.1 (8:00-8:15) Presentión y orgnizión. Ojetivos Metodologí Evluión Orgnizión 1.2 (8:15-8:45) Exmen dignóstio 1.3 (8:45-9:15) Hiendo uso de diujos exponer l seión 1.1.1: mediión de un ángulo. Luego explir l relión entre grdos y rdines (360 grdos = 2π rdines o 180 grdos = π rdines) y her los ejeriios siguientes de onversión entre grdos y rdines y vievers: Convertir de grdos rdines los ángulos siguientes: 30º, 45º, 60º, 90º, 120º, 135º, 150º, 180º, -270º, -45º y -107º Convertir de rdines grdos los ángulos siguientes: π/6 rdines, -3π/2 rdines, -3π/4 rdines, 7π/3 rdines, 3 rdines, 4π/3 rdines, 5π/4 rdines y 11π/6 rdines 1.4 (9:15-9:50) Ddo un ángulo gudo θ (0 < θ < 90 ó 0 < θ < π ), formr un triángulo retángulo y onstruir ls seis rzones trigonométris (ver 2
3 Fig ):,,,, y Luego oservr que (por triángulos semejntes) ests rzones sólo dependen del tmño del ngulo y no del triángulo formdo (ver Fig1.4.3): Fig Fig Fig =, =, =, =, = y = Como ls rzones dependen sólo del ángulo θ y no del triángulo en sí, se d d rzón un nomre que involur θ: seno de θ, oseno de θ, tngente de θ, osente de θ, sente de θ y otngente de θ. Ests seis rzones se llmn funiones trigonométris de ángulos gudos y se definen omo sigue: Nomre de l funión Arevitur Vlor seno de θ oseno de θ sen θ os θ tngente de θ tn θ osente de θ s θ sente de θ se θ sen θ =. opuesto/hipotenus os θ =. dyente/hipotenus tn θ =. opuesto/. dyente s θ = hipotenus/. opuesto se θ = hipotenus/. dyente
4 otngente de θ ot θ ot θ =. dyente/. opuesto Como yud pr reordr ests definiiones, introduir los nomres de hipotenus pr el ldo, teto opuesto pr el ldo y teto dyente pr el y prfrser los nomres de ls funiones usndo estos términos (ver l últim olumn de l tl nterior.). 1.5 (9:50-10:10) RECESO 1.6 (10:10-10:30) Ddo el ángulo gudo θ enontrr el vlor de ls seis funiones trigonométris si: 1.7 (10:30-10:45) Estleer ls identiddes fundmentles: sθ =1/sen θ, seθ =1/os θ, otθ =1/tn θ tnθ =sen θ/os θ y otθ =os θ/sen θ 1.8 (10:45-11:00) Ddos sen θ = 5 5 y osθ = 2 5, enuentre el vlor de ls funiones trigonométris restntes de θ (11:00-11:30) Deduión de identiddes fundmentles. Considere el siguiente triángulo retángulo
5 El Teorem de Pitágors estlee que = 2. Entones = 1 o ( )2 + ( )2 = 1. Sustituyendo ls rzones orrespondientes se otiene: (senθ) 2 + (osθ) 2 = 1 o sen 2 θ + os 2 θ = 1. Est últim relión es válid pr ulquier vlor del ángulo θ. Por ello se llm identidd trigonométri. Si est últim identidd se divide entre os 2 θ se otiene l identidd: tn 2 θ + 1 = se 2 θ. Y si se divide entre sen 2 θ se otiene l identidd: ot 2 θ + 1 = s 2 θ (11:30-12:00) Ddo el vlor de sen θ = 1 3 y θ un ángulo gudo, enuentre el vlor exto de ls ino funiones trigonométris de θ restntes. Soluión 1. Usndo ls definiiones de ls funiones trigonométris. Consideremos el triángulo retángulo Por el Teorem de Pitágors: = 3 2, entones el ldo dyente = 2 2. Por tnto, usndo ls definiiones de ls funiones trigonométris se enuentr: os θ = 2 2 3, tnθ = 2 4, sθ = 3, se θ = 3 2 4, otθ = 2 2 Soluión 2. Usndo ls identiddes fundmentles estleids en 1.7 y 1.9.
6 Se omienz por usr osθ, que se lul usndo l identidd sen 2 θ + os 2 θ = 1. Así, os2 θ = 1, de donde os θ = Ahor: tnθ = senθ 1 osθ = = 2 2 4, otθ = 1 tnθ = 2 2, et. Tre 1. Diujr los ángulos siguientes: 30º, 45º, 60º, 90º, -120º, 135º, 450º, 180º, -270º, -45º, π/6 rdines, -3π/2 rdines, -3π/4 rdines, 7π/3 rdines, 3 rdines, 4π/3 rdines, 5π/4 rdines y 11π/6 rdines. 2. Conviert d ángulo de grdos rdines: 240º, 330º, -60º, -90º, 120º, 135º. 3. Conviert d ángulo de rdines grdos: π/3 rdines, -π/2 rdines, -π/6 rdines, 5π/12 rdines, -4π/3 rdines, 5π/4 rdines y π/12 rdines 4. Enuentre el vlor de ls seis funiones trigonométris del ángulo θ en d figur. 5. Use ls identiddes pr enontrr el vlor exto de ls utro funiones trigonométris restntes del ángulo gudo θ. sen θ = 1 2 sen θ = 2 3 y osθ = 3 2 y osθ = 5 3
7 6. Use l definiión o ls identiddes pr enontrr el vlor exto de ls otrs ino funiones trigonométris del ángulo gudo θ. senθ = 2 2, osθ =, osθ = 1, tnθ = 1, otθ = 1, seθ = 5, sθ = Reursos Mteril impreso Crt didáti Pizrr y plumones Exmen dignóstio
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