PRESENTACIÓN TODOS LOS APUNTES Y HOJAS DE EJERCICIOS ESTÁN EN EL BLOG QUE HE CREADO PARA MIS CLASES:

Transcripción

1 PRESENTACIÓN TODOS LOS APUNTES Y HOJAS DE EJERCICIOS ESTÁN EN EL BLOG QUE HE CREADO PARA MIS CLASES:

2 CONCEPTOS PREVIOS PROPORCIONALIDAD Recta: línea continua formada por infinitos puntos, que no tiene principio ni final Semirrecta: es cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos Segmento: es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados extremos Ángulo: es la parte del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el mismo punto origen

3 CONCEPTOS PREVIOS

4 Teorema de TALES

5 TEOREMA DE TALES Si tres rectas PARALELAS a, b y c cortan a otras dos rectas cualesquiera r y r, se cumple que:

6 TEOREMA DE TALES Otra conclusión del Teorema de Tales es la siguiente:

7 APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES Calcular una longitud desconocida Ejemplo: Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

8 APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES Dividir un segmento en partes iguales o proporcionales

9 APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES Comprobar el paralelismo entre rectas Ejemplo: Sabemos que las rectas a y b son paralelas. Teniendo en cuenta las medidas que se dan en el dibujo, podemos asegurar que c es paralela a las rectas a y b? Por tanto, la recta c es paralela a las rectas a y b.

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11 TRIÁNGULO Es un polígono cerrado de tres lados

12 PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS 1) Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos, y mayor que la diferencia. 2) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º. 3) El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los otros dos interiores no adyacentes.

13 EJEMPLOS Comprueba si los siguientes lados pueden formar un triángulo: a=7, b=10, c=8 Debemos comprobar si se cumple que: b < a+c a > b-c c > b-a a+c = 7+8 = 15 ; b = 10, por tanto 10 < 15 SE CUMPLE b-c = 10-8 = 2 ; a = 7, por tanto 7 > 2 SE CUMPLE b-a = 10-7 = 3 ; c = 8, por tanto 8 > 3 SE CUMPLE Solución: Los lados a, b y c, sí pueden formar un triángulo Hacer lo mismo con: 1) a=8 ; b= 2 ; c = 7 3) a = 2 ; b = 3 ; c = 8 2) A = 10 ; b = 20 ; c= 31 4) a = 18 ; b = 24 ; c = 30

14 EJEMPLOS Calcula el tercer ángulo interior de un triángulo sabiendo que los otros dos son: Â = 37º y ^B = 68º Aplicando la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo: Â + ^B + Ĉ = 180º Ĉ = 180º - Â - ^B = 180º - 37º - 68º = 75º Solución: El valor del ángulo Ĉ es 75º Hacer lo mismo con: 1) Â = 25º ; Ĉ = 110º 2) Â = 174º ; Ĉ = 5º 3) Â = 14º ; Ĉ = 90º

15 CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS Según la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en: EQUILÁTEROS: Sus tres lados son iguales ISÓSCELES: Tienen dos de sus lados iguales ESCALENOS. Sus tres lados son diferentes

16 CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS Según la medida de sus lados, los triángulos se clasifican en: ACUTÁNGULO: Sus tres ángulos son agudos (menores de 90º) RECTÁNGULO: Tiene un ángulo recto (igual a 90º) OBTUSÁNGULO. Tiene un ángulo obtuso (mayor de 90ª)

17 EJEMPLOS Dibuja y clasifica los siguientes triángulos, en función de sus ángulos interiores 1) Â = 25º ; Ĉ = 110º Obtusángulo 2) Â = 174º ; Ĉ = 5º Obtusángulo 3) Â = 14º ; Ĉ = 90º Rectángulo 4) Â = 40º ; Ĉ = 80º Acutángulo

18 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

19 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES CUANDO TIENEN SUS ÁNGULOS HOMÓLOGOS IGUALES Y SUS LADOS HOMÓLOGOS PROPORCIONALES RAZÓN DE SEMEJANZA: Es la razón de proporcionalidad entre los lados de dos triángulos semejantes. En el dibujo: a/d = b/e = c/f α, β son iguales en los dos triángulos

20 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos SON SEMEJANTES si: 1. Tienen 2 ángulos iguales 2. Tienen los tres lados proporcionales 3. Tienen 2 lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual.

21 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Un caso particular de los triángulos son los TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS, que son aquellos en los que se cumple que dos de sus lados forman un ángulo recto (90º). Dos triángulos rectángulos son semejantes si: 1. Tienen un ángulo agudo igual. 2. Tienen los 2 catetos proporcionales 3. Tienen la hipotenusa y un cateto proporcionales

22 SEMEJANZA DE POLÍGONOS Dos POLIGONOS SON SEMEJANTES si tienen los ángulos homólogos iguales y los lados homólogos proporcionales.

23 ESCALAS

24 ESCALAS Se define la ESCALA de una representación como la razón de semejanza entre la figura representada y la figura real. Se representa: Escala numérica: e=1:100 ; e=1:5000 Escala gráfica:

25 ESCALAS Las ESCALAS que se utilizan en la representación pueden ser: Escala Natural: es aquella en que las dimensiones de la representación son iguales a las del objeto real. En este caso la escala es e=1:1 Escala de Reducción: es aquella en que las dimensiones de la representación son menores a las del objeto real. Escala de Ampliación : es aquella en que las dimensiones de la representación son menores a las del objeto real.

26 EJEMPLOS: ESCALA NATURAL Representación objeto real

27 EJEMPLOS: ESCALA DE REDUCCIÓN

28 EJEMPLOS: ESCALA DE AMPLIACIÓN Representación objeto real

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30 TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, se cumple siempre que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

31 Aplicaciones del Teorema de Pitágoras El Teorema de Pitágoras nos permite clasificar un triángulo en función de sus ángulos: Si Si Si < >, el triángulo es RECTÁNGULO el triángulo es ACUTÁNGULO el triángulo es OBTUSÁNGULO

32 Ejemplos Teorema de Pitágoras Calcula la altura de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 4,8 y el otro 3,6.

33 Ejemplos Teorema de Pitágoras 1. Calcula la diagonal del rectángulo. Ejercicio Una escalera de 3,7 m de longitud se encuentra apoyada en una pared, quedando el pie a 1,5 m de la misma. Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

34 GEOMETRIA PLANA

35 DEFINICIONES POLÍGONO es una figura plana delimitada por segmentos rectos llamados lados. Polígono regular, es aquel polígono que tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales.

36 DEFINICIONES ÁREA es la superficie delimitada por los lados de un polígono. PERÍMETRO es la suma de las longitudes de los lados de un polígono. APOTEMA es la distancia entre el centro de un polígono regular y cualquiera de sus lados. El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto de su perímetro por su apotema

37 ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES