TEMA 4.- FUNCIONES ELEMENTALES

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1 TEMA 4.- FUNCIONES ELEMENTALES 1.- FUNCIONES: CLASIFICACIÓN Y DOMINIOS Un unción rel de vrible rel es un regl que sign cd número rel perteneciente un cierto conjunto D, un único número rel. Formlmente lo podemos representr por :D R Donde D es el conjunto de todos los vlores que puede tomr l vrible independiente,, llmdo Dominio, R es el conjunto de todos los vlores que tom l vrible dependiente,, llmdo Recorrido. Fijémonos por ejemplo en el rectángulo de l igur: Donde represent l ltur del triángulo. L unción que relcion en dicho triángulo l ltur con su perímetro es P 1 6 Mientrs que l unción que relcion en dicho triángulo l ltur con su áre es A 1 Así, un rectángulo como el nterior de ltur cm. tendrá un perímetro de P() = 14 cm, un áre de A() = 10 cm. Por supuesto, el dominio el recorrido de mbs unciones son los números reles prtir del 0, es decir, 0, 0, puesto que l vrible independiente corresponde un número mor o igul que 0. Pero si nlizásemos por si sol l unción números reles,. 6, su dominio su recorrido serín todos los Por tnto, el dominio de un unción no sólo depende de su epresión nlític, sino de lo que dich unción signiic. Gráicmente, el dominio de un unción se obtiene proectndo su gráic sobre el eje OX, es decir, estudindo los vlores del eje OX que tienen su punto correspondiente (,) en l gráic de. El recorrido se obtiene igul pero sobre el eje OY: 1

2 El Dominio de est unción (señldo en zul) es D,8 0,4,0 0,4 4,8 Mientrs que el Recorrido es R,0, En este primer punto vmos estudir los dominios de ls unciones tendiendo su epresión lgebric, pero primero necesitmos clsiicr los dierentes tipos de unciones: Lineles: = +b FUNCIONES ELEMENTALES Algebrics Polinómics Rcionles: Cudrátics: Potenciles: Prop. Invers: n Irrcionles (con rdicles): P( ) Q( ) = + b + c Pres Impres k 4 6,, ,,... Deinids Trozos Eponenciles: = (>0) Trscendentes Logrítmics: = log (>0)

3 Cálculo de los Dominios Fundmentles Funciones Polinómics, rdicles de índice impr, eponenciles D Rcionles P( ) Q( ) D / Q 0 Rdicles con índice pr n D / g 0 Logrítmics log g D / g 0 g, n pr Ejemplos: Clculr el dominio de: 3 ) b) c) d) log 3 3 e) ) g) Solución: ) D por ser un unción polinómic b) Como es un unción rcionl, igulmos el denomindor 0: D 3 c) Es un unción rdicl de índice pr, luego el rdicndo debe ser mor o igul que 0 Resolvemos l inecución 4 0 Pr ello resolvemos l ecución correspondiente estudimos en qué intervlos es positivo: 4 0 Y por tnto el dominio D,, 3

4 d) L unción que h dentro del logritmo tiene que ser positiv por tnto 3 0 D, 3 3 e) Es un ríz de índice impr, por tnto su dominio coincidirá con el de l unción que h dentro, que es rcionl. Igulmos el denomindor 0: D 1 ) Por un ldo es un unción rcionl, luego el denomindor no puede dr 0. Además el denomindor es un unción rdicl, luego el rdicndo debe ser positivo. Por tnto: D 4, g) Es un unción rcionl, por tnto igulmos el denomindor 0: 6 8 0, 4 Y por tnto el dominio será D,4 Ejercicio 1.- Clculr los dominios de ls siguientes unciones: 3 1 ) b) c) d) d) log ) ln 4 3 g) 1 h) i) j) k) FUNCIONES POLINÓMICAS.1.- Funciones Lineles Son unciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, () = m + n Sus gráics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos por los que psen. Por ejemplo: l unción () =3 ps por los puntos (0,-) (1,1), sí que su gráic serí: 4

5 El Dominio el Recorrido de tods ests unciones son todos los números Reles. Si l pendiente de l rect ( m) es positiv, l unción será creciente, mientrs que si m es negtiv, será decreciente. A n se le llm ordend en el origen, e indic el punto donde l gráic cort l eje Y. Cunto más se cerque m cero, más horizontl será l rect. Ls rects con pendiente 0 son horizontles, mientrs que ls rects verticles son de l orm =. Algunos ejemplos son: = = - = -+1 = Prábols Son unciones cu le es un polinomio de segundo grdo, es decir: ( ) b c Sus gráics son prábols pr representrls se clcul su vértice los puntos de corte con el eje X. b L primer coordend del vértice se clcul medinte l órmul, mientrs que l segund se clcul sustituendo l primer en l unción. 5

6 Los puntos de corte con el eje X se obtienen igulndo l unción 0 resolviendo l ecución de º grdo correspondiente. Aunque no es estrictmente necesrio, tmbién se puede clculr el punto de corte con el eje Y sustituendo l vrible por 0 Así por ejemplo, representmos l unción ( ) 6 5 b 6 Su vértice será: 3, (3) 4, es decir, el punto V(3,-4) Si resolvemos l ecución 6 5 0, obtenemos como soluciones de l mism = 1 = 5, luego cortrá l eje X en los puntos (1,0) (5,0). Además si = 0, (0) = 5, luego cortrá l eje Y en el punto (0,5) Con todo ello su representción gráic será: Como propiedd común, el dominio de tods ests unciones es todos los números Reles. En este cso el recorrido es [ 4, ), unque éste vrirá de un unción otr. Otr crcterístic común es que si > 0, l prábol es conve su vértice corresponde un mínimo bsoluto, mientrs que si < 0, l prábol es cóncv su vértice será un mínimo bsoluto. Si no tiene puntos de corte con el eje X o sólo tiene uno (el vértice) conviene drle un pr de vlores (uno nterior otro posterior l vértice) pr dibujrl más ectmente. ( ) Algunos ejemplos son: ( ) ( ) 4 6

7 ( ) 3 ( ) 3 ( ) Ejercicios: 1.- Represent ls unciones: ) 4 b) 4 c) 10 8 d) e) 3, 0 ), 0,4 g) 8 4, 1 3 h),,1.- L ltur (en metros) que lcnz un objeto l lnzrlo según el tiempo t (en segundos) que está en el ire viene dd por l epresión: ( t) 50t 5t ) Represent gráicmente dich unción b) Cuánto tiempo está el objeto en el ire? Cuál es l ltur máim que lcnz? En qué instnte? 3.- El beneicio B (en euros) que obtiene un empres por l bricción de q uniddes de un determindo producto, viene ddo por l unción: Bq q 500q Cuánto gnrá por l bricción de 50 uniddes? Y por 00? Represent gráicmente dich unción e indic el intervlo de producción de uniddes pr obtener beneicios. Cuánts debe producir pr que dicho beneicio se máimo? 7

8 .3.- Funciones polinómics de grdo superior Son unciones cu le es un polinomio de grdo superior dos. No tienen crcterístics comunes, slvo que su dominio son todos los números reles. Algunos ejemplos son: 3.- FUNCIONES RADICALES Son unciones con ríces en su epresión lgebric. Recordemos que si el índice es impr, su dominio son todos los números reles, mientrs que si el índice es pr, el rdicndo debe ser positivo. Ls más sencills son: ( ) 3 ( ) (De l ríz cudrd cogemos sólo l prte positiv pr que se unción) 8

9 4.- FUNCIONES A TROZOS Son unciones deinids por distints lees por intervlos, de mner que el dibujo de l unción complet será un mezcl de ls diverss unciones que componen l unción representds cd un de ells en el intervlo (del eje X) correspondiente. Por ejemplo: 1 ( ) Al primer trozo de rect le hemos ddo los vlores (unque podrín ser culesquier) (0,1) ( -1,0), mientrs que pr el segundo trozo los vlores clculdos hn sido (0,-1) (1,1). Como el 0 está incluido en el segundo trozo, se señl con un punto, dejndo un hueco en el (0,1) que serí hst donde llegrí (csi) el primer trozo de l unción. Es de destcr que el tipo de unción que prezc en cd trozo puede en principio ser culquier, puede hber tntos trozos como quermos, de mner que nos podemos encontrr con unciones ormds por dos trozos de prábol, dos rects un prábol,... Algunos ejemplos podrín ser: ( ) 0 0 ( )

10 ( ) Ejercicios: 1.- Represent ls unciones: ) b) 0 3 c) d) e) 0 3 ) Hll l epresión nlític de ls siguientes unciones: ) b) 10

11 5.- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Son unciones cu le es del tipo: k ( ), donde k es un número rel. Por ejemplo, si le dmos vlores l unción 1 ( ), obtenemos un gráic como l siguiente: Clrmente, como propieddes comunes tods ests unciones, su dominio su recorrido son todos los números reles menos el 0. Sus gráics son hipérbols con ls síntots en los ejes: tods tienen un síntot horizontl en el eje X otr verticl en el eje Y Si hor dibujmos l unción obtenemos l siguiente gráic: 1 ( ), Cu dierenci undmentl con l nterior es su monotoní (ést es creciente l otr er decreciente) En generl, si k es positivo l unción v ser decreciente, mientrs que si k es negtivo, será decreciente. Con este dto, sbiendo l pint que vn tener, bstrá drle un pr de vlores (p. ej. el 1 el 1) pr poder dibujrls correctmente. 11

12 Por ejemplo: ( ) 3 ( ) 4 Ejercicio: Representr ls unciones: ) b) c) ( ) d) ( ) FUNCIONES EXPONENCIALES Son unciones cu le es un potenci, es decir, del tipo ( ) Donde es culquier número positivo. Por ejemplo, ( ) Si le dmos vlores est unción, obtenemos un tbl como l siguiente: () / 1/4 1/8 1

13 Not: conviene recordr cómo se hcen ls potencis negtivs, medinte l propiedd: n 1 n Su gráic serí: De l mism mner podemos representr l 1 unción ( ), obteniendo: En generl vemos por tnto que el dominio de tods ests unciones son todos los números reles el recorrido los positivos (sin contr el 0). Además, si > 1, l unción es creciente, mientrs que si < 1, l unción es decreciente. Tods tienen un síntot horizontl en el eje X (por l izquierd o l derech según sen crecientes o decrecientes) tods son conves. Pr dibujrls no hce lt hcer un tbl de vlores, pues tods psn por el punto (0,1) por el punto (1, ), luego sbiendo l pint que tienen estos puntos podemos representrls gráicmente sin problems. 13

14 Así por ejemplo: Ejercicios: 1.- Representr ls unciones: ) b) c) e 0 1' 5 0 d) e) e De un unción k se sbe que ) Clculr k b) Clculr El rdio es un elemento rdictivo. Un muestr de rdio se descompone por emisión de rdiciones de cuerdo con l ecución: m t 10 e 4 4' 3610 t Donde m es l ms de l muestr en grmos t el tiempo en ños. ) Cuántos grmos de rdio h inicilmente en l muestr? b) Cuántos hbrá l cbo de ños? Y de ? 14

15 7.- FUNCIONES LOGARÍTMICAS Conviene ntes de deinirls indicr l deinición de logritmo en bse de un número, sber: log Por ejemplo, log 8 3 porque 3 8 log 5 5 porque log porque log 10 0' porque 10 0' Como logritmos especiles están el logritmo en bse 10, que se llm logritmo deciml se represent por log, el logritmo Nperino que es el logritmo en bse e ( 71...) se represent por ln. Alguns propieddes interesntes de los logritmos son: )log b)log c)log n n log d)log e)log log log lob log Destcr undmentlmente ls dos primers propieddes que nos servirán pr representr ls unciones logrítmics. Ls unciones logrítmics son quells cu le es del tipo: ( ) log, con un número rel positivo. Como propiedd undmentl, teniendo en cuent l deinición de logritmo, el dominio de tods ests unciones son los números reles positivos (sin contr el cero). Vmos representr por ejemplo l unción vlores: ( ) log, pr l que obtenemos l siguiente tbl de / 1/4 1/8 () Su gráic serí por tnto: 15

16 De l mism mner podemos representr l unción ( ) log 1/, obteniendo: En generl, demás del dominio ntes menciondo, el recorrido de tods ls unciones de este tipo son todos los números reles. Además, si > 1, son crecientes cóncvs, mientrs que si < 1, son decrecientes conves. (Tods tienen un síntot verticl en el eje Y, que irá hci rrib o hci bjo dependiendo de si son crecientes o decrecientes) Conociendo esto, que tods ells psn por los puntos (1,0) (,1), podemos representr culquier unción logrítmic. Por ejemplo: log 1 3 ln log log3 Ejercicio: Representr ls unciones: 1 1 e 0 ) ( ) log 3 b) ( ) log 4 c) d) ( ) 4 3 log 1 ln 0 16

17 EJERCICIOS 1.- Clcul los dominios de ls siguientes unciones: 4 7 ) b) 4 c) g) ln h) 1 i) 0 1 j) 3 1 d) log 5 e) 9 ) e Representr gráicmente ls siguientes unciones: 1) () = ) + 3 < -1 ( ) = - 1 < 3) 8 ( ) = +1 si si < ) ( ) Ln 0 1 5) ( ) ) ( ) = si si < > 7) ( ) = si si 0 0 < < 3 si 3 8) ( ) ) ( ) ) ( ) 11) ( )

18 log ) ( ) ) ( ) 14) ( ) e ) ( ) )( ) log log3 3 17) ( ) ) ( ) ) ( ) log )( ) ) ( ) 5 5 ) ( ) Un cñón lnz un dispro cu trectori viene dd por 3 18, con e en cientos de metros. Represent gráicmente l unción e indic l ltur máim del proectil el lcnce del dispro 4.- En un trbjo de investigción sobre el rendimiento (en un escl de 0 100) durnte 4 hors de uncionmiento de ciert válvul, los ingenieros industriles hn comprobdo que dicho rendimiento se comport de cuerdo con l unción 1 R t t 5t 75 (t en hors) 4 Represent gráicmente l unción e indic el rendimiento de l válvul l inicir su uncionmiento l inlizrlo. En qué momento tiene máimo rendimiento cuál es? 18

19 5.- Un ondo de inversión gener un rentbilidd R que depende de l cntidd invertid (en cientos de euros) según l unción: R 0' 8 0' 00 5 Cuál será l rentbilidd si invierto ? Cuánto debo invertir si quiero un rentbilidd de 3.000? Cuánto debo invertir pr obtener l máim rentbilidd? Cuál será ést? 6.- Un tiend de productos de bellez h comprobdo que el número de uniddes de un determindo perume vendids cd mes depende del precio de vent de cuerdo con l epresión: N 70 3 ( es el precio por unidd en euros) ) Determinr l unción I() que represent los ingresos obtenidos cd mes en unción del precio por unidd (Ingresos = nº uniddes * precio/unidd) representrl gráicmente b) Cuál será el precio por unidd que hce máimos estos ingresos? c) Cuánts uniddes se venderán con ese precio? 7.- Un estudi cerc de l presenci de gses contminntes en l tmóser de un determind ciudd indic que el nivel de contminción viene ddo por l unción: C t 0' t 4t 5, 0 t 5 (t = ños trnscurridos desde el ño 015) ) Cuál será el nivel de contminción en el ño 035? b) En qué ños hbrá un nivel de contminción de 40? c) Represent l unción e indic en qué ño se lcnzrá el máimo nivel de contminción d) En qué ño se lcnzrá el nivel de contminción 0? 8.- Un lmcenist de ruts h estimdo que el beneicio que le produce cd kilogrmo de ress depende del precio de vent de cuerdo con l unción: B 4 3 Siendo B() el beneicio por kg el precio de cd kg, mbos epresdos en euros ) Entre qué precios se producen beneicios pr el lmcenist? b) Qué precio mimiz los beneicios? c) Si tiene en el lmcén kg de ress, cuál será el beneicio máimo que podrá obtener? 9.- El gerente de un empres sbe que los beneicios de l mism, B(), dependen de l cntidd invertid,, según l unción B ( B() en millones de euros). ) Determin los vlores de l inversión pr los que l unción beneicio es no negtiv b) Hll el vlor de l inversión pr el cul el beneicio es máimo c) Entre qué vlores debe estr comprendid l inversión pr que el beneicio se creciente no negtivo? 19

20 Soluciones: ),3 b) 4, c) 1,1 d) 5, e), 3 3, ) g),, h) i) 1,1 j) ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0

21 10) 11) 1) 13) 14) 15) 16) 17) 1

22 18) 19) 0) 1) ) 3.- ltur 700 m lcnce 600 m 4.- Al inicio, 75; l inl, 51. El máimo rendimiento ls 10 hors es de ; 5000 ; con un rentbilidd de ) I 3 70 b) 45 /u c) 135 uniddes 7.- ) 0 b) c) 05 d) ) Entre 1 3 /kg b) /kg c) ) Entre 1 10 millones de euros b) 5 5 millones de euros c) Entre millones de euros

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