APUNTES DE MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO

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1 APUNTES DE MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO Aputes Bchillerto

2 Tem 0 1. TEMA 0:NÚMEROS REALES 1.1. CONJUNTOS NUMERICOS INTERVALOS Y SEMIRECTAS VALOR ABSOLUTO PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS IGUALDADES NOTABLES. 6. DEFINICIÓN DE RADICAL Propieddes de los rdicles Simplificció de rdicles Reducció ídice comú Rciolizr Etrcció de fctores de u rdicl Itroducció de fctores e u rdicl CONCEPTO DE LOGARITMO Log A e l clculdor L A e l clculdor Propieddes de los logritmos Cmio de se EXPRESIONES ALGEBRÁICAS.ECUACIONES Y SISTEMAS Opercioes co poliomios Descomposició Fctoril FRACCIONES ALGEBRAICAS ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS ECUACIONES RACIONALES ECUACIONES IRRACIONALES ECUACIONES EXPONENCIALES ECUACIONES LOGARÍTMICAS SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS INECUACIONES DE 1ER GRADO CON UNA INCÓGNITA INECUACIONES DE º GRADO CON UNA INCÓGNITA INECUACIONES FRACCIONARIAS SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA Aputes Bchillerto

3 Tem 0 1. TEMA 0:NÚMEROS REALES 1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.. REPRESENTACIÓN SOBRE LA RECTA L represetció de u úmero rel sore l rect se hrá de u modo u otro segú el tipo de úmero que se: Etero o deciml ecto: ;,47 Deciml periódico: Puede epresrse e form de frcció y, de este modo, se represet dividiedo cd uidd etre ls prtes que teg el deomidor y tomdo tts de ess prtes como idique el umerdor: 5/6, -8/5 Rciol cudrático: Costruyedo triágulos rectágulos y teiedo el cuet el Aputes Bchillerto

4 Tem 0 Teorem de Pitágors: 6; INTERVALOS Y SEMIRECTAS INTERVALO ABIERTO DE EXTREMOS A Y B. Es el cojuto de úmeros compredidos etre y, si coger éstos. Se suele represetr de ls siguietes forms: (,) { R / < < } 1... INTERVALO CERRADO DE EXTREMOS A Y B. Es el cojuto de úmeros reles compredidos etre y icluyedo éstos. Se suele represetr de ls siguietes forms: [,] { R / } 1... INTERVALO SEMIABIERTO O SEMICERRADO. So itervlos dode uo de sus etremos es ierto y el otro cerrdo. Se os puede presetr los siguietes csos: (,], itervlo ierto e y cerrdo e. Es el cojuto de úmeros compredidos etre y si coger l y tomdo l. Sus otrs forms de represetció so { R / < } [,), itervlo cerrdo e y ierto e. Es el cojuto de úmeros compredidos etre y, cogiedo l y o l. Sus otrs forms de represetció so { R / < } SEMIRECTAS. So itervlos dode uo de sus etremos es u úmero rel y el otro es Teemos los siguietes csos: ± [, ) { R / } Aputes Bchillerto

5 Tem 0 (, ) { R / < } (,] { R / } (,) { R / < } B 1.4. ENTORNOS Se llm etoro de cetro y rdio r, y se deot por Er() o E(,r), l itervlo ierto (-r, +r). Er() (-r, +r) Los etoros se epres co yud del vlor soluto. Er(0) (-r, r) se epres tmié <0, o ie, -r < < r. Er() (-r, +r) se epres tmié - <0, o ie, -r < < +r ENTORNO REDUCIDO Se emple cudo se quiere ser qué ps e ls proimiddes del puto, si que iterese lo que ocurre e dicho puto. E r*() { (-r, +r), } 1.5. VALOR ABSOLUTO. Cosideremos los úmeros 5 y 5, estos dos úmeros tiee el mismo vlor si el sigo, o lo que es lo mismo, tiee el mismo vlor soluto. El vlor soluto de u úmero se desig por y coicide co el úmero si este es positivo o co el opuesto si este es egtivo... si si... < 0 Tomemos por ejemplos - -(-) (-6) 6 Oservd que pr elimir ls rrs del vlor soluto, os teemos que fijr e el sigo de lo que vy detro de ls rrs del vlor soluto. Si es positivo, qued igul y si es egtivo, cmimos el sigo de lo que vy detro. El prolem se os preset cudo o coozcmos el sigo. Por ejemplo, resolver l siguiete ecució co vlor soluto Pr resolverl, lo primero es quitr el vlor soluto. Deemos coocer el sigo de lo de detro (). Como o coocemos el vlor de, o coocemos su sigo, o podemos quitr el vlor soluto. Aputes Bchillerto

6 Tem 0 E estos csos se supoe que lo de detro del vlor soluto puede presetr los dos sigos, luego el prolem tiee dole solució. Supoemos e primer lugr que > 0 ê Supoemos e segudo lugr que < Ejemplo: Hllr l solució (es) de l siguiete ecució: Supoemos - 1< Supoemos hor -1> PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS ( ) m.m 5.- m m ( ) m 6.- m. m+ 7.- m : m- 8.- (..c) d d. d.c d 9.- c c Todo úmero etero que ce e ceros, se puede epresr como producto del úmero si los ceros, por u poteci de se 10 y epoete igul l úmero de ceros: (otció cietífic) Todo úmero deciml se puede epresr como producto del úmero si l com por u poteci de se 10 y epoete egtivo igul l úmero de cifrs decimles.. IGUALDADES NOTABLES (+) (-) +.- (+) + ª (-) ª (+).(-) Aputes Bchillerto

7 Tem 0 Ejemplos: ( + 5) ( 5) () ( + 1) ( ( )+1) ( ) +1 +(( ))1 ( ) +(-) - (-)+( ) ( ) ( + ) () 9 4. DEFINICIÓN DE RADICAL. Dd l ecució, llmmos ríz -ésim de, u de ls solucioes de dich ecució, y que se simoliz por, dode es el ídice de l ríz y el rdicdo..1. Propieddes de los rdicles m. m m 4.- ( ) m.. Simplificció de rdicles Ddo m, si y m tiee divisores e comú, podemos simplificr el rdicl, por ejemplo:.. Reducció ídice comú Oteer el ídice comú de vrios rdicles cosiste e hllr el m.c.m. de los ídices, dividir este mcm etre cd ídice y el resultdo multiplicrlo por el epoete del rdicdo. Por ejemplo, reducir ídice comú los siguietes rdicles:,, 6 7 El mcm(,,6) 6.4. Rciolizr. ê 6, 6, 6 7 Rciolizr u frcció cosiste e elimir ls ríces del deomidor de u frcció multiplicdo el umerdor y el deomidor por u epresió decud. Dich epresió v e fució de l epresió del deomidor. Podemos distiguir dos csos: Aputes Bchillerto

8 Tem m. m. m m. m. m ( + c ) +.- c ( c )(. + c ) c c Ejemplos:Rciolizr ls siguietes epresioes: ( + ) ( )(. + ) Etrcció de fctores de u rdicl. Pr etrer fctores de u rdicl p, p dee ser myor o igul que. Se divide p etre, el cociete os dice cuátos fctores sle y el resto os idic cuátos se qued: Itroducció de fctores e u rdicl. 4 Pr itroducir fctores detro de u rdicl, se elev el fctor l ídice: Ej : SUMA DE RADICALES. 5. Pr sumr o restr rdicles, éstos dee ser semejtes, es decir, h de teer el mismo ídice y el mismo rdicdo: ( )..6.. PRODUCTO Y COCIENTE DE RADICALES Pr multiplicr y dividir rdicles lo primero es reducir ídice comú y, plicdo propieddes de rdicles, reducir u solo rdicl Aputes Bchillerto

9 Tem 0 4. CONCEPTO DE LOGARITMO. Se u úmero rel positivo, o ulo y distito de 1, y A otro úmero positivo o ulo. Se llm logritmo e se del úmero A, l epoete que dee elevrse l se pr oteer el úmero A. Se represet por log A A Ejemplos 1.- Hllr los siguietes logritmos: ) log log ) log 1/ Clculr: log 18, log 4, log 5 5 De l ifiidd de ses que podemos elegir pr u logritmo, hy dos que so, e l práctic, los más utilizdos, los de se 10 y se e. Bse 10: Los logritmos de se 10, se llm Logritmos decimles, y se suele represetr de l siguiete form 4.1. Log A e l clculdor Estos logritmos decimles se puede oteer directmete co l clculdor, usdo l tecl log. Por ejemplo, si desemos clculr el vlor de log 45, procederímos de l siguiete form 45 log e l ptll prece log Bse e: Se llm logritmos eperios y se represet por 4.. L A e l clculdor Estos logritmos tmié se otiee directmete usdo l clculdor y co l tecl l, por ejemplo, si desemos oteer el vlor de l 45, teclerímos 45 l e l ptll prece l Propieddes de los logritmos. Ls siguietes propieddes de los logritmos so fudmetles pr poder operr co los mismos. Ls propieddes de los logritmos so ls propieddes de ls potecis. 1.- log log Aputes Bchillerto

10 Tem 0.- log log 4.- log log 5.- Logritmo de u producto log (A.B) log A + log B A 6.- Logritmo de u cociete log log A log B B 7.- Logritmo de u poteci log A.log A Logritmo de u riz log A log A Domir ests propieddes, equivle poder resover u gr ctidd de prolems. Ejemplos: 1.- Hllr el vlor de los siguietes logritmos decimles si usr l clculdor: ) log 10 log10.1 ) log 40 + log 5 log(40.5) log 1000 log c) log 80 log 8 log log Descompoer los siguietes logritmos e logritmos simples: ) log (.y.z) log + log y + log z. y ) log log (.y) log z log + log y log z z.log + log y log z.- Reducir u solo logritmo ls siguietes epresioes ) log A + 5log B log Z log A + log B 5 log Z log ( A.B 5 ) log Z 5 A. B log Z 1 1 ) log A + log B + log Z log A + log B + log Z log ( ). B. Z 1 A lo ( A. B. Z ) 4.- Siedo que log 0 010, hllr el vlor de los siguietes logritmos ) log 8 log.log ) log 5 log(10/) log 10 log Aputes Bchillerto

11 Tem Cmio de se. 15 c) log 0 15 log log 15 log 1000 log log1000 log1000 log 8 log 1000-log 8 -.log Coocido el logritmo de u úmero e u se, se puede hllr e culquier otr se. Supogmos que coocemos el logritmo de cierto úmero A e dos ses distits y, es decir, coocemos log A y log A Nos pltemos coocer l relció que hy etre mos. Est relció viee dd por l fórmul log A log A log Como cosecueci de est últim propiedd, se deduce que solmete ecesitmos coocer los logritmos e u sol se, los demás se otiee plicdo el proceso terior. Pr hllr u logritmo e culquier se, hremos u cmio se 10, que semos hllr. Hllr los siguietes logritmos: log 40 1'601 ) log 40 ' 580 log 0'4771 log1'567 1' 15 ) log ' 765 log 0'010 Aputes Bchillerto

12 Tem 0 5. EXPRESIONES ALGEBRÁICAS.ECUACIONES Y SISTEMAS 5.1. Opercioes co poliomios SUMA: Pr oteer l sum de dos poliomios P() y Q() se sum coeficietes coeficietes de l mism poteci. Por ejemplo, cosideremos los poliomios: P() y Q() P()+Q() PRODUCTO: Ddos dos poliomios P() y Q(), pr multiplicr P().Q(), se multiplic cd moomio de P() co cd uo de los moomios de Q() y después sumr los de igul grdo. Por ejmplo, cosideremos los poliomios : P() y Q() + -1 P().Q() DIVISIÓN: Ddos dos poliomios P() y Q(), pr poder dividir P() etre Q(), el grdo de P() h de ser myor o igul que el de Q(). P() R() Q() C() P() Q().C()+R() Cosideremos los poliomios: P() y Q() -6 Relicemos l divisió P():Q() Aputes Bchillerto

13 Tem C() 4 y el resto es R() -9-5 Divisió por u moomio de l form (-): Pr relizr est divisió plicmos l Regl de Ruffii Por ejemplo, relicemos l divisió ( - +-5):(+) C() y R() Descomposició Fctoril. Por ejemplo, fctorizr el poliomio P() Aplicmos Ruffii co los divisores de +6 que so : ± 1, ±, ±, ± 6, y os quedmos co los que de de resto P() (-1).(+1).(-). siedo ls ríces de P() 1, -1, 5.. FRACCIONES ALGEBRAICAS. DEF: Deomimos Frcció Algeric l cociete de poliomios: P() Q() co Q() 0 Por ejemplo: ; SIMPLIFICAR FRACCIONES ALGEBRAICAS: Aputes Bchillerto

14 Tem 0 Pr simplificr u frcció lgeric, hy que descompoer fctorilmete los poliomios del umerdor y del deomidor, y después, elimir los fctores comues de mos. Por ejemplo, simplificr l frcció: (.( ) + + ).( + ).( + ).( + ).( + 1) OPERACIONES: Pr sumr o restr frccioes lgerics, procedemos como e l sum de frccioes uméric, reducimos comú deomidor. Por ejemplo, relizr l siguiete difereci : Oteemos l descomposició fctoril de cd deomidor: ++1 (+1).(+1) (+1) -- (+1).(-) el míimo comú múltiplo es (+1).(-) ( ).( 1) ( + 1).(4 1) ( + 1).( ) ( + 1).( ) 6. ECUACIONES E l resolució de u ecució coviee seguir los siguietes psos: 1.- Quitr deomidores..- Quitr prétesis..- Psr ls icógits u miemro y los úmeros l otro. 4.- Despejr l icógit. Ejemplos: Aputes Bchillerto

15 Tem Resolver l ecució ( 5) >.(+) 1.(4 4) 0.( 5) > > ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Ls ecucioes de º grdo se reduce, utilizdo ls trsformcioes e ls ecucioes, l form + + c 0 co 0 que es u ecució complet de º grdo e. L ecució icomplet de º grdo e tiee l form 1) 0 ) + 0 ) + c 0 Pr resolver ests ecucioes de º grdo, plicmos l fórmul ± 4c Auque ls ecucioes icomplets se puede resolver directmete despejdo. 0 ) 0 > 0 ê 0 ) + 0 > ( +) c) + c 0 > -c c ± c Ejemplos: Resolver ls siguietes ecucioes + ) -480 ) +0 c) d) + + Aputes Bchillerto

16 Tem 0 El úmero de solucioes de u ecució de segudo grdo + + c 0, puede ser dos, u o igu. Pr ser cuáts solucioes tiee u ecució de segudo grdo si teer que resolverl, st oservr el vlor de l epresió - 4c, que se llm discrimite de l ecució. 1.- Si - 4c > 0 L ecució tedrá dos solucioes distits..- Si 4c 0 L ecució u solució..- Si 4c < 0 L ecució o tiee solució. 6.. ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS ECUACIONES BICUADRADAS. Ests ecucioes tiee l form c 0 Pr resolver ests ecucioes hcemos u cmio de vrile, llmremos z. L ecució qued de l form z + z + c 0 que es de º grdo y y semos como hllr el vlor z. U vez hlld l z, se clcul el vlor de si más que despejrl e l ecució Ejemplo. z > ± z 1.- Resolver l ecució Llmmos z z + 0z z 0 ± ± 5 z z 16 6 Hllemos hor el vlor de 1.- z 16 > 16 > ± 4.- z -6 > -6 > ± 6 R o hy solució..- Resolver ls siguietes ecucioes: Aputes Bchillerto

17 Tem 0 ) ) El áre de u rectágulo mide 48 cm y l digol mide 10 cm. Cuáto mide los ldos del rectágulo? APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE POLINOMIOS A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A DOS. Supogmos que teemos el poliomio P() Si igulmos dicho poliomio cero, oteemos u ecució poliómic Podemos plicr todo lo estudido co el cálculo de ríces de u poliomio, pr clculr ls solucioes de ests ecucioes. Pr resolver l ecució terior podemos plicr l fctorizció de poliomios, plicmos l regl de Ruffii. Los divisores de 6 so ± 1, ±, ±, ± (+1).( 5 +6) ± Ejemplos: 1.- Resolver l ecució - +0 Solució: Scmos fctor comú 0 0 ( -+)0 ± Resolver ls siguietes ecucioes: ) ) Aputes Bchillerto

18 Tem ECUACIONES RACIONALES. Hy veces que e u ecució puede precer l vrile e el deomidor. E estos csos se procede de form similr cudo trjmos co frccioes lgerics. Ejemplos: Se elimi los deomidores. Se resuelve l ecució. Ls solucioes oteids se comprue e l ecució origil. Ls que l verific o ls solucioes uscds. Resolver l siguiete ecució: Solució: ( + 1).( 1) + ( 1).( + 1) ( 1).( + 1).( 1).( + 1) ( 1).( + 1) ECUACIONES IRRACIONALES. So quells ecucioes dode l icógit prece, e lguo de sus térmios, jo el sigo rdicl. Lo primero que deemos hcer es islr l ríz e u miemro y elevr l cudrdo mos miemros de l ecució. Si qued lgú rdicl, repetimos el proceso. De est form, llegremos u ecució del tipo de ls teriores, que y semos cómo resolverls. 1.- Resolver l ecució > ( 5) ( 5 ) > > > > 4.- Resolver ls siguietes ecucioes: ) ) ECUACIONES EXPONENCIALES. Aputes Bchillerto

19 Tem 0 epoete. U ecució epoecil es quell dode l icógit prece e el So ecucioes epoeciles Pr resolver ests ecucioes distiguiremos dos prtdos: ECUACIONES DONDE LA INCÓGNITA APARECE EN UN SOLO EXPONENTE. Resolver ls siguietes ecucioes: ) +1 8 ) ) ) / Puede ocurrir que o podmos descompoer todos los miemros e potecis de l mism se, por ejemplo e: 17 E estos csos, pr despejr, tomremos previmete log Log log 17 log17 ' 108. Log log 17 0' 6 lo 0' ECUACIONES DONDE LA INCÓGNITA APARECE EN MÁS DE UNA POTENCIA. So ecucioes de este tipo , E este tipo de ecucioes, tods ls potecis que teg e el epoete l icógit, se descompoe e potecis de l mism se. A cotiució, y hciedo uso de ls propieddes de ls potecis, deemos coseguir que e el epoete prezc t sólo. Posteriormete, hcemos u cmio de vriles, llmmos z l poteci que tiee e el epoete, queddo u ecució lgeric simple de resolver. Ejemplo: Resolver ls siguietes ecucioes: ) ) Aputes Bchillerto

20 Tem 0 ) ( ) 0 0 llmmos z 8.z + 4. z 0 0 z + z 80 0 z ± z z U vez hlld z, hllmos 1) 8 ) -10 o tiee solució. ) llmmos z z + z + z 7 z + z + 4z 14 7z 14 z ECUACIONES LOGARÍTMICAS. Resolver ls siguietes ecucioes: ) log + log (+).log(+1) ).log. Log(+1) 0 ) log + log ( +). Log( +1) log ( +) log (+1) ).log..log(+1) 0 log log (+1) 0 log log / 6.7. SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS. Aputes Bchillerto

21 Tem ESTUDIAR EL CARÁCTER DE UN SISTEMA. Todo sistem de ecucioes puede presetr o o solucioes, y e cso de teer solucioes, puede teer u o muchs. Los sistems que teg solucioes se dice que so Sistems Comptiles. Si l solució es úic, se llm Sistems Comptiles Determidos. Si hy más de u solució se llm Sistems Comptiles Idetermidos. Los sistems que o tiee solució se llm Sistems Icomptiles. Estudir el crácter de u sistem es estudir su comptiilidd o icomptiilidd. Ejemplos. El sistem y 1 es u SCD, pues tiee u úic solució (,1) 5 + y 1 El sistem y y > > 0 0 > es u SCI, tiee 4 6y...4 6y ifiits solucioes El sistem y y > 4 6y...4 6y 0 1 Cotrdicció es u S.I., sistem icomptile, o tiee solució MÉTODO DE GAUSS El método de Guss es el más propido cudo teemos que resolver sistems lieles co más de dos ecucioes. E eseci, este método cosiste e trsformr el sistem iicil e otro equivlete de form que este último se más secillo de resolver. 1.- Resolver medite el método de Guss el siguiete sistem de ecucioes: Aputes Bchillerto

22 Tem 0 Solució: 5y 4z + y z + y + z 6 0 5y 4z + y z + y + z y z 5y 4z + y + z 6 0 E 1 E -E 1 +E -1E 1 +E + y z.. 11y z... y + z y z + y z + y z.. 11y z 4... y + z 4... y + z 4... y + z y z z 48 E E -11E +E z y0 4 Solució (4,0,).- Resolver los siguietes sistems: 4y + z 0 y + z 0 y + z 0 4y + 7z 1 9 y + z y z SISTEMAS NO LINEALES. E geerl, el prolem de l resolució de sistems lieles csi uc preset demsidos prolems, pero co los sistems o lieles, l cos cmi. Resolver u sistem de ecucioes o lieles es stte complicdo y lorioso. E este curso, vmos limitros l estudio de lguos csos prticulres. Sistems o lieles de dos ecucioes e ls cules u ecució es liel y l otr es de segudo grdo. + y 5 y Pr resolver este tipo de sistem, el método de sustitució es el más propido; se despej u vrile de l ecució liel y se sustituye e l ecució o liel, resultdo u ecució de segudo grdo. U vez resuelt est ecució, volvemos l primer ecució y oteemos los vlores de l otr vrile. Aputes Bchillerto

23 Tem 0 + y 5 y5- (5-) ( ) y ± si y-1 Solució (,-1) si y Solució, INECUACIONES DE 1ER GRADO CON UNA INCÓGNITA. Resolver l iecució ( + 1) ( ) < < + 6 < < - > 1 > 1 1 L solució de l iecució es (1, ) 6.9. INECUACIONES DE º GRADO CON UNA INCÓGNITA. Resolver l iecució + 0 Hllmos ls ríces de l ecució + 0 ± 9 8 ± Los tres itervlos e los que qued descompuest l rect so (, 1], [1,], [, ). Tommos u vlor de cd itervlo y lo sustituimos e l iecució: o verific l iecució si verific l iecució o verific l iecució l solució es el itervlo [1,] [1,] Aputes Bchillerto

24 Tem 0 El poer corchete o prétesis e los itervlos depede de si e l desiguldd prece el sigo igul o o INECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR A DOS. Resolver - -6 < 0 Solució: Teemos que - -6.(+).(-) < L solució es (,0) ( 0,) INECUACIONES FRACCIONARIAS. Tod iecució frcciori de primer grdo co u icógit se reduce u epresió del tipo + c + d <, >,, 0 Vemos co u ejemplo cómo se resuelve ests iecucioes: Resolver l iecució > > 1 > 1 > 0 > + 1 > 1 > 0 > > 0 Hllmos los vlores que os ule el umerdor (4) y el deomidor (-1), y costruimos l siguiete tl (,-1) (-1,4) (4, ) X X Aputes Bchillerto

25 Tem E los itervlos, si l desiguldd o llev el igul, se podrá e todos prétesis. Pero si l desiguldd es ó, los úmeros procedete del umerdor llevrá corchetes y los del deomidor prétesis. De cd itervlo tommos u vlor y lo sustituimos e ls epresioes del umerdor y deomidor, putdo el sigo resultte. Al fil plicmos l regl de los sigos. Si l desiguldd es < 0 ó 0 tomremos como solució los itervlos dode hy queddo el sigo (-). Si l desiguldd es > 0 ó 0, tomremos como solució los itervlos dode hy queddo el sigo (+). E uestro cso, l solució está e los itervlos (,-1)U(4, ) SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA. Todo sistem formdo por dos o más iecucioes, recie el omre de sistem de iecucioes. Pr resolverlo, resolvemos cd iecució por seprdo, represetmos gráficmete cd solució y tommos como solució del sistem l zo comú etre ells. Ejemplo. Resolver los siguietes sistems: ) > > Si motmos u diujo e 0 el otro, l zo comú es 0 (,0] solució. ) > > Si motmos u regió sore 1 l otr, oservmos que o hy 4 zo comú > el sistem o 4 tiee solució. Aputes Bchillerto

26 Tem 0 EJERCICIOS CON SOLUCIÓN DE LOGARITMOS 1.- Clculr los siguietes logritmos: ) log 4 sol: ) log 64 sol:6 c) log 18 sol:7 d) log ½ sol:-1 e) log 1/4 sol:- f) log 1/16 sol:-4 g) log sol:1/ h) log sol:/ 8.- Clculr los siguietes logritmos: )log 1 sol:0 )log 10 sol:1 c)log 100 sol: d)log 1/10 sol:-1 e)log 1/1000 sol:- f)log 10 sol:1/ g)log 100 sol:1.- Siedo que log5 Nh, determi el logritmo e se 5 de N/15. sol: h- 4.- Hllr el vlor de: ) log 1000-log0.001+log 1/1000 ) log 7 + log 1/7 sol: ) ) Despej y e l iguldd log + log y log( + y) sol: y Resolver ls siguietes ecucioes logrítmics ) log + log 50 log 1000 ) log 1 + log(-) c) log - log (-16) d) log log 6 + log sol: ) 0 ) 0 c) :0 80 d) Clcul el vlor de "" e ls siguietes epresioes: 1 ) log ; ) log 15 ; c) log 4 16 sol: ) 4 ) 5 c) Siedo que log y log 5. Clcul: ) log ) log / c) log log d) log sol: ) 8 ) c) 15 d) / Aputes Bchillerto