Variables aleatorias conjuntas

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1 Variables aleatorias conjuntas M. en A. Víctor D. inilla Morán Facultad de Ineniería UNAM Resumen Variables aleatorias conjuntas discretas; unción de probabilidad conjunta: su deinición propiedades. Función de distribución acumulativa: su deinición propiedades. Funciones marinales de probabilidad. Funciones condicionales de probabilidad. Variables aleatorias conjuntas continuas; unción de probabilidad conjunta: su deinición propiedades. Función de distribución acumulativa: su deinición propiedades. Funciones marinales de probabilidad. Funciones condicionales de probabilidad. Valor esperado de una unción de dos o más variables. La curva de reresión. Variables aleatorias independientes. Covarianza varianza de una suma de dos o más variables.. Variables aleatorias conjuntas discretas continuas: Función de probabilidad conjunta su deinición propiedades. Funciones marinales de probabilidad. Funciones condicionales de probabilidad. El estudio realizado asta este momento está restrinido a espacios muestrales de una sola dimensión en los que se reistran resultados de un eperimento como valores asumidos por una única variable aleatoria. Sin embaro abrá situaciones donde sea preerible reistrar los resultados simultáneos de varias variables aleatorias. ara el caso particular de dos variables aleatorias éstas se denominan variables aleatorias conjuntas. Deinición. Si son dos variables aleatorias la distribución de probabilidad de sus ocurrencias simultáneas puede representarse por una unción F para cualquier par de valores dentro del rano de las variables aleatorias; a esto se le denomina distribución de probabilidad conjunta. robabilidad Estadística M.A. Víctor Damián inilla Morán. Noviembre 7

2 B / A ropiedades caso continuo. a F b c F d [ ΕA] F d d A ropiedades caso discreto. a b d [ ΕA] c para cualquier reión en el plano A A robabilidades marinales. Se les llama marinales cuando a partir de una unción conjunta se marina a una de las variables aleatorias. Es el equivalente a la probabilidad total de las unciones de una sola variable. robabilidad condicional. d d or otra parte si se desea encontrar la probabilidad de que la variable aleatoria continua esté entre a b cuando se sabe que la variable aleatoria se obtiene: AB A / / > > a < < b b a d Ejemplo. Se seleccionan al azar repuestos para una pluma de una caja que contiene: repuestos azules repuestos rojos repuestos verdes Si representa el número de repuestos azules seleccionados el de rojos. Determine: la unción de probabilidad conjunta. C C C C C C / / / / / - / - - C C C C C C C C C robabilidad Estadística M.A. Víctor Damián inilla Morán. Noviembre 7

3 robabilidad Estadística M.A. Víctor Damián inilla Morán. Noviembre 7 ara el ejercicio anterior determinar las probabilidades marinales de. i i i Equivale a sumar orizontalmente en la tabla. i i i Equivale a sumar verticalmente en la tabla Ejercicio. Dada la unción: casos otros F a Determinar si se trata de una distribución de probabilidad conjunta. º d d dd b Encuentre la probabilidad [ ] A d d dd c Obtener la probabilidad marinal para la variable. d d Obtener la probabilidad marinal de la variable. d / / / / / /

4 Ejemplo. Continuando con el ejemplo de los repuestos: e Determinar la distribución condicional de dado que utilícela para determinar / ½ ½ Ejemplo. Supona que la racción de atletas ombres la racción de atletas mujeres que terminan la carrera del maratón puede describirse por la unción de densidad conjunta. F otros casos de que menos de un octavo de las mujeres que se inscribieron para un maratón en particular lo inalicen si se sabe que eactamente un medio de los atletas ombres lo terminaron. < F F F F < < d d d d d Ejemplo. ara la unción de dos variables: F a Obtener < < < < < < otros casos Encuentre las probabilidades marinales FI FI determine la probabilidad robabilidad Estadística M.A. Víctor Damián inilla Morán. Noviembre 7

5 Independencia Estadística. Si F / no depende de entonces: F F i i F F F F F F F F Los eventos no son estadísticamente independientes. Deinición: Sean dos variables aleatorias discretas o continuas con distribución de probabilidad conjunta F / distribuciones marinales respectivamente se dice que las variables aleatorias son independientes estadísticamente si se cumple que: Generalizando. Sean... n variables aleatorias discretas o continuas con distribución de probabilidad conjunta... n con sus respectivas unciones marinales n... n. Si las variables aleatorias son mutuamente independientes se cumple que: n n n. Valor esperado de una unción de dos o más variables aleatorias. Valor esperado condicional. Valores esperados momentos para las unciones bivariadas. Sean dos variables aleatorias conjuntas el valor esperado de la unción se deine como: E { μ μ } Generalmente: μ μ μ μ dd Ejemplo. Retomando el ejemplo de los repuestos: robabilidad Estadística M.A. Víctor Damián inilla Morán. Noviembre 7

6 En orma de unciones: μ E{ } dd ara el caso r s el momento alrededor de la media: E { μ μ } μ μ μ μ dd Se puede demostrar que el coeiciente de correlación toma valores entre menos uno uno; esto siniica que el coeiciente de correlación es sólo una medida estandarizada de la asociación lineal que eiste entre las variables aleatorias en relación con sus dispersiones. El valor de ρ indica la ausencia de cualquier asociación lineal mientras que los valores ρ- ρ indican relaciones lineales perectas neativa positivamente. Es necesario señalar que debe recazarse cualquier otra interpretación del término correlación. Interpretación de la covarianza. Tomando dos enómenos aleatorios: Recibe el nombre de covarianza. Una orma alterna para calcular la covarianza es: Cov{ } E E E E E E { μ μ } { μ μ μ μ } { } μ E{ } μ E{ } { } μ μ μ μ μ { } μ μ { } E{ } E{ } Si la covarianza de se divide por el producto de las desviaciones estándar de el resultado es una cantidad adimensional que recibe el nombre de coeiciente de correlación. μ μ μ La primera variable aleatoria es el corto que es la cantidad de dinero que BANICO retira del circulante para evitar que la inlación se dispare. En consecuencia la seunda variable aleatoria es la inlación. ρ : coeiciente de correlación Cov ρ { } σ σ robabilidad Estadística M.A. Víctor Damián inilla Morán. Noviembre 77

7 En suma cuando las variables cambian en la misma dirección positiva-positiva o neativa-neativa el coeiciente de correlación es de sino positivo. or el contrario cuando las variables cambian en direcciones dierentes positiva-neativa o neativa-positiva el coeiciente será de sino neativo. or otra parte si: Cov ρ { } σ σ En esta ráica observamos que el corto la inlación crecen en la misma dirección. Si calculáramos el coeiciente de correlación éste tendría sino positivo. La única posibilidad para que ρ es que la covarianza lo sea. Esto implica que cuando la covarianza es cero las variables aleatorias son estadísticamente independientes. Esto implica que conorme ρ las variables tienen una relación más estreca. Varianza de una suma de dos variables aleatorias. donde a b son constantes En esta ráica aparece una tercera variable aleatoria el precio del dólar. Se observa que conorme el corto aumenta se retira dinero circulante el precio del dólar baja. En este caso el coeiciente de correlación entre el corto el dólar tendrá sino neativo. Si son estadísticamente independientes. or deinición: robabilidad Estadística M.A. Víctor Damián inilla Morán. Noviembre 7

8 los que el número de años que an transcurrido es el mismo. En otras palabras para cada valor de eiste una distribución de inresos anuales lo que se busca es la media de esa distribución dado. La ráica de la media condicional E { } como una unción de recibe el nombre de curva de reresión de sobre. De tal orma si es la unción de densidad conjunta de probabilidades de es la unción de densidad si condicional de dado se deine la curva de reresión como Análisis de reresión. El motivo de estudio de este tipo de análisis son las asociaciones cuantitativas entre un número de variables en lo particular en la manera de que sea posible ajustar una ecuación de alún tipo al conjunto de datos dado con el propósito de obtener una ecuación empírica de predicción razonablemente precisa que proporcione un modelo teórico que no está disponible. Las técnicas de reresión proporcionan medios leítimos a través de los cuales pueden establecerse asociaciones entre las variables de interés en las cuales la relación usual no es casual. De manera básica la reresión tiene dos siniicados: uno sure de la distribución conjunta de probabilidad de dos variables aleatorias; el otro es empírico nace de la necesidad de ajustar aluna unción a un conjunto de datos. Como ejemplo del primer siniicado se desea predecir el salario de un proesionista dado el número de años que an transcurrido desde su raduación. Sea el número de años el salario anual. Resulta obvio que para un valor dado de es imposible predecir de manera eacta el salario anual de una persona en particular. Sin embaro es posible predecir el salario promedio de todos aquellos individuos para E d Ejemplo. Considérese la unción de densidad conjunta de probabilidad dada por: < < < otro valor Obténase la curva de reresión de sobre. A partir de: entonces d d Sustituendo: robabilidad Estadística M.A. Víctor Damián inilla Morán. Noviembre 7

9 La curva de reresión será: K E d Corresponde a una línea recta con pendiente e intersección iual a. El seundo siniicado de la reresión resulta más práctico. En él no se tienen los elementos necesarios para determinar la curva de reresión como en el ejemplo anterior. No obstante dado un conjunto de datos pude asumirse una orma uncional para la curva de reresión entonces tratar de ajustar ésta a los datos. En estas situaciones la variable respuesta es una variable aleatoria cuos valores se observan mediante la selección de los valores de las variables de predicción en un intervalo de interés. or lo tanto las variables de predicción no se consideran como variables aleatorias sino que éstas son un conjunto de valores ijos que representan los puntos de observación para la variable respuesta. El modelo de reresión propuesto debe ser relativamente sencillo deberá contener pocos parámetros. Un procedimiento mu útil para la selección inicial cuando se tiene sólo una variable de predicción es raicar la variable respuesta contra la variable de predicción. Si esta ráica revela una tendencia lineal deberá suponerse un modelo de reresión lineal. Si es evidente aluna curvatura deberá suponerse un modelo cuadrático o de maor rado para ajustarse a los datos. Biblioraía Canavos robabilidad Estadística Edit. Mc Graw Hill Méico. Borras et. al. Apuntes de robabilidad Estadística Facultad de Ineniería UNAM Méico. Villarreal robabilidad Modelos robabilísticos UAEM Méico. Hines Montomer; robabilidad Estadística Edit. CECSA ª edición Méico. Captura Edición: M.A. María Torres Hernández. robabilidad Estadística M.A. Víctor Damián inilla Morán. Noviembre