INFERENCIA DE LA PROPORCIÓN

Transcripción

1 ESTADISTICA

2 INFERENCIA DE LA PROPORCIÓN

3 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES En una población la proporción de elementos (personas, animales, cosas o entes) que posee una cierta característica es p. En una población de habitantes el 20% contrae una determinada enfermedad. O sea p=0,20 es la proporción de gente enferma. Si tomamos una muestra de 1000 habitantes, la proporción pr de gente enferma es del 17%, o sea pr=de 0,17. Si tomamos otra muestra de 1000 habitantes, la proporción pr de gente enferma es del 21%, o sea pr=de 0,21. Si tomamos otra muestra de 1000 habitantes, la proporción pr de gente enferma es del 23%, o sea pr=de 0,23. En cada una de las muestras habrá una proporción, pr, de gente que reúne dicha característica (estar enferma) distinta. Cómo se distribuyen todos los posibles valores de pr?. Pues bien, los elementos con dicha característica en las muestras de tamaño n sigue una distribución normal de media p y desviación típica (p.q/n). Es decir: N (p, (p.q/n) )

4 DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES PROBABILIDAD Y PROPORCIÓN Proporción: 20 de cada 100 individuos están enfermos 20 / 100 Proporción: El 20% de individuos están enfermos 20 % = 20 / 100 = 0,2 Probabilidad: Cada individuo tiene una probabilidad de 20/100=0,2 de estar enfermo. APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL A LA NORMAL Sea x el nº de elementos de la muestra que posee cierta característica. x es la Binomial B(n, p) Siendo p la probabilidad de que se posea la característica. q=(1 p) será la probabilidad de que no se posea la característica Si n.p 5 y n.q 5 podemos considerar una buena aproximación a la normal. Esta aproximación es mejor cuanto mayor sea n y p esté lo más próximo a 0,5. Lo que debemos de estimar es qué proporción p de esta población tiene o no tiene la característica.

5 EJEMPLO_1 Una fábrica de pasteles realiza un 3% defectuosos. Un cliente recibe un pedido de 500 pasteles de la fábrica. Hallar: a) Probabilidad de que encuentre más del 4% defectuosos. b) Probabilidad de que encuentre menos del 1% defectuosos. Resolución: Tres de cada 100 son defectuosos. Proporción o probabilidad de que un pastel resulte defectuoso: 3/100 = 0,03. Tenemos n=500 y p=0,03 Hallamos q = 1 p = 1 0,03 = 0,97 Como n > 30, la variable aleatoria P de las proporciones muestrales se aproxima a una normal: N(p, (pq/n) = N( 0 03, (0,03.0,97/500) = N(0 03, ) Además podemos afirmar que es una buena aproximación, pues: n.p > = 15 > 5 y n.q > 5 0, = 485 > 5 5

6 EJEMPLO_1 Resolución: a) Probabilidad de que encuentre más del 4% defectuosos P(pr 0,04) = P(Z ) = P(Z 1,3157) = 1 P(Z 1,3157) = = 1 0,9059 = 0,0941 b) Probabilidad de que encuentre menos del 1% defectuosos P(pr 0,01) = P(Z ) = P(Z 2,63) = P(Z 2,63) = = 1 P(Z 2,63) = 1 0,9957 = 0,0043 6

7 EJEMPLO_2 El porcentaje de individuos que contraen una determinada enfermedad es del 20%. Consideramos una muestra de 1000 individuos. Cuál es la probabilidad de que, al menos el 21% de los individuos, tengan dicha enfermedad? Resolución: Tenemos n=1000 y p=0,2 Hallamos q = 1 p = 0,8 La variable aleatoria P de las proporciones muestrales se aproxima a una normal N(p, (pq/n) = N( 0 2, (0,2.0,8/1000) = N(0 2, ) Luego P(pr 0,21) = P(Z ) = 1 - P(Z 0,79) = 0, Además podemos afirmar que es una buena aproximación, pues: = 200 > 5 y 0, = 800 > 5 7

8 EJEMPLO_3 En un saco mezclamos judías blancas y judías pintas en la relación 14:1 respectivamente. Extraemos un puñado de 100 judías. Calcular la probabilidad de que la proporción de judías pintas esté comprendida entre 0,05 y 0,1. Resolución: Como hay una judía pinta de cada 15, tenemos n=100 y p=1/15 Hallamos q = 1 p = 14/15 La variable aleatoria P de las proporciones muestrales se aproxima a una normal, pues n = 100 > 30 y n.p = 6,67 > 5, n.q = 93,33 > 5 N(p, (pq/n) = N( 1/15, [(1/15).(14/15)/100)] = N(0 0666, 0 025) ,05 0,666 Luego P(0,05 pr 0,1) = P(Z ) P(Z ) = 0,025 0,025 = P(Z 1,3333) P(Z 0,6666) = 0,9088 P(Z 0,6666) = = 0,9088 (1 P(Z 0,6666) ) = 0, ,7475 = 0,6563 8

9 Fórmula para determinar el intervalo de confianza en una proporción p q p z, p z 2 n 2 p q n 9

10 EJEMPLO_4 Una fabrica que elabora tornillos, ha detectado que su máquina produce el 3% de ellos con algún defecto. Si se empacan en cajas de 500 unidades, determinar: a) Cómo se distribuye la proporción p de tornillos defectuosos en las cajas? b) Encontrar un intervalo en el cual se encuentre el 90% de las proporciones de tornillos defectuosos. 10

11 Solución Ejemplo 4 Tenemos que la proporción, p, de tornillos defectuosos es p=0,03 Cada caja es una muestra de 500 tornillos, luego n=500 Hallamos q = 1 p = 0,97 Media: p=0,03 Desviación típica: Será la normal N(0,03, 0,0076) pq 0,03 0,97 0,0076 n 500 Una probabilidad del 90% significa: 1 α = 0,9 α/2 = 0,05 z α/2 = 1,645 El intervalo correspondiente es: (0,03 1,645. 0,0076, 0,03 + 1,645. 0,0076) = (0,0175, 0,0425) El 90% de las cajas tiene una proporción de tornillos defectuosos entre 1,75% y 4,25%. 11

12 EJEMPLO_5 En la Corporación Universitaria Minuto de Dios, UNIMINUTO, se realiza una encuesta a sus estudiantes y se encuentra que el 25% de los alumnos proviene de municipios diferentes al área metropolitana de Bucaramanga, si suponemos que todos los grupos se conforman de 30 estudiantes. Determinar a) Cómo se distribuye la proporción p de estudiantes que provienen de municipios diferentes al área metropolitana en las aulas de clase? b) Encontrar un intervalo en el cual se encuentre el 99% de las proporciones de dichos estudiantes. 12

13 Solución al Ejemplo 5 Tenemos que la proporción, p, de alumnos de pueblos p=0,25 Cada grupo es una muestra de 30 alumnos, luego n=30 Hallamos q = 1 p = 0,75 Media: p=0,25 Desviación típica: Será la normal N(0,25, 0,0790) pq 0,25 0,75 0, 0790 n 30 Una probabilidad del 99% significa: 1 α = 0,99 α/2 = 0,005 z α/2 = 2,575 El intervalo correspondiente es: (0,25 2,575. 0,0790, 0,25 + 2,575. 0,0790) = (0,0466, 0,4534) El 99% de las clases tiene una proporción de alumnos de pueblos entre el 4,66% y el 45,34%. 13

14 EJEMPLO_6 Se ha notado que los jóvenes inician el consumo de cigarrillos desde muy temprana edad. Se quiere determinar el intervalo de confianza, con una significación del 0,05, para la proporción poblacional de fumadores entre los jóvenes menores de 21 años, a partir de una muestra de tamaño 900 en la cual la proporción de fumadores ha resultado p = 0,3. 14

15 Solución al Ejemplo 6 Una significación del 0,05 significa: α = 0,05 α/2 = 0,025 1 α = 0,95 z α/2 = 1,96 Tenemos que la proporción, p, de fumadores menores p=0,3 Hallamos q = 1 p = 0,7 Media: p=0,3 Desviación típica: pq 0,3 0,7 0, 0153 n 900 Será la normal N(0,3, 0,0153) El intervalo correspondiente es: (0,3 1,96. 0,0153, 0,3 + 1,96. 0,0153) = (0,27, 0,33) El 95% de las muestras de tamaño 900 nos darán una media situada entre el 27 % y el 33 % de fumadores. 15

16 EJEMPLO_7 Determinar el intervalo de confianza, con una significación del 0,05, para la proporción poblacional de fumadores entre los jóvenes menores de 21 años, a partir de una muestra de tamaño 900 en la cual la proporción de fumadores no se ha podido determinar. Solución: Una significación del 0,05 significa: α = 0,05 α/2 = 0,025 1 α = 0,95 z α/2 = 1,96 Tenemos que la proporción, p, de fumadores menores es desconocida. En ese caso calculamos la desviación típica para los valores más desfavorables, que son p=q=0,5: σ = (pq/n) = (0,5.0,5/900) = 0,0167 Será la normal N(p, ) El intervalo correspondiente es: (p 1,96. 0,0167, 0,3 + 1,96. 0,0167) = (p 0,0326, p + 0,0326) Si tomamos p = 0,3 (como en el Ejemplo 6), vemos que el intervalo es ligeramente mayor, del 26,73 % y el 33,26 de fumadores. Ello es así porque p=q=0,5 es el caso más desfavorable, con mayor error. 16