LA RECTA Y SUS ECUACIONES

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1 UNIDAD LA RECTA Y SUS ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas correspondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones. Objetivo. Recordarás a qué se llama sistema de coordenadas rectangulares, ejes coordenados y cuadrantes, y cómo se localizan los puntos en el plano. Ejercicios resueltos:.) Gráficamente qué puntos tienen abscisa 3? Como la abscisa es constante, son todos los puntos que se encuentran a 3 unidades a la derecha del eje y, en una recta paralela a él.

2 .) Donde quedan situados los puntos que tienen la abscisa igual a la ordenada? Si la abscisa y la ordenada son siempre iguales, se trata de una recta a 4º que cruza los cuadrantes I y III 3.) Tres vértices de un rectángulo son A(-3, 0), B(3, 0) y C(3, 3) cuáles son las coordenadas del cuarto vértice y cuál es su perímetro y su área?

3 Para completar el rectángulo, el otro vértice tiene que encontrarse al desplazarse en ángulo recto a partir de los dos extremos, de modo que: El punto buscado es D(-3, 3) Perímetro: (6) + (3) unidades. Área: b x h 6 x 3 8 unidades cuadradas. Objetivo. Recordarás y aplicarás las fórmulas para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano coordenado y las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón r. Ejercicios resueltos:.) Encuentra la distancia del origen al punto A(a, b) a 0 b 0 d a b.) Encuentra el valor de x necesario para que el punto P(x, 3) sea equidistante de los puntos A(3, ) y B(7, 4).

4 d 3 x 3 PA 3 x d 7 x 4 3 PB 7 x Para que P equidiste de A de B: d d PA PB 3 x 7 x 3 x 7 x 9 6x x x x 49 4x x 6x 4x x 6 x El punto P(, 3) equidista de los puntos A(3, ) y B(7, 4). 3.) Si los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A(, 3) y B(, 8), calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo que limita. 8 3 d Diámetro AB 3 34 Circunferencia d 34 ; aproximadamente 8.38 unidades Área del círculo 34 r ; r 34 r 4 34 ; aproximadamente u 4

5 4.) Si A(, 3) es un extremo del segmento cuyo punto medio es P(, 4), encuentra las coordenadas del otro extremo, B. x x x ; x ; 0 x ; x 8 de modo que: y y y ; 3 y 4 ; 8 3 y ; y B(8, ).) Encuentra la longitud de la mediana del lado AB del triángulo cuyos vértices son A(, ), B(6, 0) y C(,8). (La mediana es la recta que une el punto medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto). Coordenadas del punto medio del segmento AB : x x x 6

6 y y y P(, -) 0 Distancia del punto P al vértice C d PC 8 9 La mediana del lado AB al vértice C tiene una longitud de 9 unidades. 6.) Los extremos de un segmento son los puntos A(7, 4) y B(-, -4). Encuentra la razón AP PB en que el punto P(, ) divide al segmento. x x rx x r r x rx x rx rx x r x x x x r x x x x 7 6 r 3 La razón en que el punto P(, ) divide al segmento AB es 3. (Un caso para este valor de r es que sea el último de los tres puntos que dividen al segmento en cuatro partes iguales: 3 r ).

7 Objetivo 4. Recordarás y aplicarás las diferentes formas de la ecuación de una recta, dadas dos condiciones que la definen. Ejercicios resueltos:.) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(, 3) y B(, ) y y y y x x x x 3 y 3 x 3 y 3 x 4 y 3 x 7 y 3 4x 7 7y 4x 8 7y 4x 3.) Encuentra la ecuación de la recta que intersecta al eje de las ordenadas 7 unidades hacia abajo del origen y tiene una pendiente de m ; b 7; y mx b y 7 3.) Tres vértices de un paralelogramo son los puntos A, 0, B(0, ) y C(, 8). Encuentra las ecuaciones de los lados que pasan por AB y por BC.

8 Ecuación del lado que pasa por A y B: a ; b ; x a b y x y x y Ecuación del lado que pasa por B y C: y y B(0, ); C(, 8); y y x x x x 8 y x y x 3 y x 4.) Encuentra la ecuación de una recta perpendicular a eje y, que pase por el punto (h, k) α 0º; tan α 0 y y m x x y k 0 x h y k 0 y k

9 Objetivo. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de una recta y las condiciones necesarias y suficientes para las posiciones relativas entre dos rectas en el plano. Ejercicios resueltos:.) Determina la posición relativa de las rectas R : 4x 0y 0 y y R : x 3 4 Para R : 4x 0y 0 4 m 0 7 Para R : y 4 4 x 3 x y 3 0 y 4 x x 7y 4 0 A m B 7 7 m R m Por lo tanto, las rectas son perpendiculares. R

10 .) Demuestra que las rectas R : x y 6 0, R : x y 0, R 3 : x y 3 0 y R 4 : x y 4 0 forman un cuadrado. Posiciones relativas entre las rectas: m R ; m R ; m R3 ; R y R 3 son paralelas; R y R 4, son paralelas. R es perpendicular con R y con R 4 ; R 3 es perpendicular con R y con R 4. m R4 Punto de intersección entre R y R : x y 6 0 ; y x 6 x y 0 ; 6 0 x x ; 6x 30 0 ; x 6 6 y 4 P (, 4) Con el mismo procedimiento, los otros puntos de intersección son: R y R 4 : P (, ) R 3 y R : P 3 (7, 3) R 3 y R 4 : P 4 (6, ) Longitudes de los lados: 4 P 6 P 7 4 P 6 P3 3 6 P 6 P4

11 7 6 3 P 6 3P4 Los cuatro lados tienen la misma longitud, y las rectas forman un cuadrado. Para graficar se pueden determinar otros puntos sobre cada recta: En R : x y 6 0. Si x 3 y 9 A(3, 9) ; En R : x y 0. Si x 3 y B( 3, ); En R 3 : x y 3 0. Si x 8 y 8 C(8, 8); En R 4 : x y 4 0. Si x -4 y 0 D(-4, 0) Objetivo 6. Recordarás la definición y aplicaciones de la expresión de una recta en la forma normal y cómo obtenerla a partir de la forma general. Ejercicios resueltos:

12 .) Calcula la longitud del radio de la circunferencia con centro en el punto (, 3) y que es tangente a la recta 4x 3y 3 0 Radio de la circunferencia distancia del centro de la circunferencia a la tangente. d Ax By C A B 4() 3(3) radio 4 (unidades de longitud).) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son P (, ), P (8, ) y P 3 (3, 6) Base del triángulo: cualquiera de los tres lados, por ejemplo, P P ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados: y x 8 y x 6 6y 6 x x 6y 4 0. Usando la Longitud de la base: P P x x ) ( y y distancia ( 8 ) ( ) Altura del triángulo: distancia del otro vértice, P 3 (3, 6), a la base: d Ax By C A B 3 ( 6)(6) 4 ( 6)

13 Área del triángulo b h (unidades de superficie) 3.) La distancia dirigida de la recta x y 0 0 a un punto P es 3. Si la abscisa de P es, encuentra su ordenada. Distancia dirigida: d Ax By A B C C < 0 signo del radical positivo, y para el punto P (, y): () y 0 3 y ( 3)( 9) y 6 y La ordenada es: 6 3 y 9