GEOMETRIA EUCLIDEA. 3.-Determinar m para que el producto escalar de u=(m,5) y v=(2,-3) sea la unidad.

Transcripción

1 PRODUCTO ESCALAR GEOMETRIA EUCLIDEA 1.-Dados los vectores u,v y w tales que u*v=7 y u*w=8, calcular: u*(v+w); u*(2v+w); u*(v+2w) 2.-Sea {a,b} una base de vectores unitarios que forman un ángulo de 60. Si u=3a+2b y v=a-3b, calcular a) u*v y b) el coseno del ángulo que forman u y v. 3.-Determinar m para que el producto escalar de u=(m,5) y v=(2,-3) sea la unidad. 4.-Hallar m, sabiendo que el vector x=(m,5) tiene de módulo Determinar el valor de m para que los vectores u=(3,m) y v=(2,-1) a) sean ortogonales. b) formen un ángulo de B/4 radianes. c) formen un ángulo de B/6 radianes. d) formen un ángulo de B/3 radianes. 6.-Dibuja un exagono regular inscrito en una circunferencia de radio unidad. Considera sus lados, orientados en el sentido de giro de las agujas del reloj, como representantes de vectores libres del plano. Calcula: a) el producto escalar de dos vectores contiguos. b) el producto escalar de dos vectores alternos. c) el producto escalar de dos vectores enfrentados. 7.-En una base ortonormal, se considera el vector U=(1,2). Determinar las componentes de un vector ortogonal a U, de módulo Determinar : de modo que los vectores U=(1,:) y V=(:,3) a) sean ortogonales y b) formen un ángulo de Dado el vector U=(1,3), determinar un vector unitario de igual direccion y sentido opuesto que U. 10.-Determinar las coordenadas del vértice D de un paralelogramo ABCD, en el que A(1,-2), B(2,3) y C(-1,2). 11.-Si A(2,0) y B(0,4), determinar un punto P de ordenada 5 que uniendole con el origen forma con el segmento AB bajo un ángulo recto. 12.-Sean U=(4,-3) y V=(1,:). Determinar : para que: a) cos <(U,V)=1/2; b) 2U+V sea unitario y c) U+2V y 2U-V sean ortogonales. 13.-Sea {i,j} una base ortonormal. a) Calcular el producto escalar de los vectores U=3i-j y V=5i+2j, comprobando que forman una base de V². b) Calcular el producto escalar de los vectores A=U+2V y B=5U-4V. 14.-Dados los vectores U=(3,5) y V=(:,-1), calcular el valor de : para que el vector U tenga la misma dirección que U+V. 15.-Sean los vectores U=(3,4) y V=(2,-3). Determinar un vector W que cumpla las condiciones -1-

2 U*W=0 y V*W= Determinar la proyección del vector U=(2,-5) sobre el vector V=(5,1). 17.-Probar vectorialmente que las diagonales de un rombo son perpendiculares. 18.-Probar que dos vectores son ortogonales si, y sólo si, el módulo de su suma coincide con el de su diferencia. 19.-Sea {i,j} una base ortonormal. Determinar otra {U,V} en la que V tenga la misma dirección pero sentido contrario que -i+j. 20.-Determinar la proyección ortogonal del vector (-3,5) sobre (-7,-1). 21.-Probar vectorialmente que un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 22.-Demostrar vectorialmente que las tres alturas de un triángulo son concurrentes. 23.-Sean U y V dos vectores tales que <(U,U+V)=<(V,U+V)=B/3. Calcular el producto escalar de U por V, sabiendo además que el vector U tiene módulo Sean A,B,C y D cuatro puntos del plano. Probar que siempre se verifica que AB*CD+AC*DB+AD*BC= Sea ABC un triángulo rectángulo y sea DB la altura correspondiente al vértice B. Probar vectorialmente el teorema de la altura: DB²=AD*DC. 26.-Sea OA un representante de un vector cuyo módulo es 4. Hallar el conjunto de puntos P del plano tales que OA*OP= Sean U y V dos vectores tales que (U+V)²=25 y (U-V)²=9. Calcular el producto escalar U*V. 28.-Sea B={i,j} una base normada tal que i*j=1/5. Hallar un vector unitario y ortogonal al vector U=29i-25j. 29.-Demostrar vectorialmente que las bisectrices de los ángulos <(U,V) y <(-U,V) se cortan perpendicularmente. 30.-Si B={i,j} es una base normada, puede ser i*j>1?. 31.-Sean B={i,j} una base ortonormal y Õ un número real. Determinar otra base ortonormal B'={U,V} en la que <(i,u)=õ. 32.-Sea ABC un triángulo arbitrario y sean BD y BE la altura y la mediana correspondientes al vértice B. Demostrar las siguientes igualdades: BA²-BC²=2ADEACA; BA²+BC²=2ABE²+½ACA² -2-

3 GEOMETRIA METRICA 1.-Hallar las ecuaciones paramétricas y en forma continua de la recta de ecuación 2X-3Y+1=0. 2.-Hallar la ecuación de la recta en forma explícita sabiendo que es paralela a la recta X-Y+1=0 y cuya ordenada en el origen es Hallar la ecuacion segmentaria de la recta que pasa por los puntos A(4,3) y B(-2,-6) 4.-Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto P(3,5) y es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante 5.-Hallar la ecuación en forma continua,la ecuación explicita, y la ecuación segmentaria de la rectas que pasa por las puntos A (5, -20) Y B(-1, 10) 6.-Calcular el valor de p para que la recta 2x+py+1=0 forme un ángulo de 60 con el eje OX. 7.-Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto P(-4,3) y es perpendicular al vector n=(3,-2) 8.- Hallar la ecuacion de la recta que tiene la misma ordenada en origen que la recta 2x -3y +6 =0 y cuyo vector normal N=(1,2) 9.-Sea A(0,8),B(6,0) y C(-2,-2) los vertices de un triangulo.hallar las ecuaciones de sus medianas 10.-Averigua la ecuación de la recta que contiene el jpunto A(1,-2) y forma con los ejes coordenados un triángulo de area 4, Determinar el área del paralelogramo OABC ylas ecuaciones de los lados AB y BC sabiendo que OA es la recta x-2y=0, OC la 3x+y=0 y las coordenadas de B son (3, 5) 12.-Hallar la ecuacion de la mediatriz del segmento AB, donde A es el punto (1,-2) y B el (3,0). Indica el ángulo que forma con el eje OX. 13.-La recta 4X-3Y=12 es mediatriz de un segmento AB. Las coordenadas de A son (1,0). Hallar las de B. 14.-Los puntos B(-1,3) y C(3,-3) son los vértices de un triángulo isósceles que tiene el tercer vértice A en la recta X+2Y-15=0, siendo AB y AC los lados iguales. Calcular las coordenadas de A y las tres alturas del triángulo. 15.-Por el punto A(2,6) se trazan dos rectas perpendiculares a las bisectrices del primer cuadrante y del segundo cuadrante. Hallar: 1. Las ecuaciones de dichas rectas. 2.Las coordenadas de los otros vértices del triángulo que forma la recta 3X-13Y-8=0 con dichas rectas. 16.-Halla un punto de la recta 2x-y+5=0 que equidiste de A(1,0) y B(-3,-2). 17.-Halla un punto C de la recta 2x+y-3=0 que junto con A(3,0) y B(1,3) forme un triángulo rectángulo en A. 18.-Ecuación de la recta perpendicular a 4x+2y-3=0, que pasa por la intersección de las rectas R y R', donde: x+2 y-1-3-

4 R: (x,y)=(1,2)+r(3,1) R': ))) = ))) Determinar m, para que la recta 3x-my+1=0 sea perpendicular a 4x+6y-1= Determinar a y b en las rectas ax-2y+2=0, bx+2y+1=0, de modo que sean perpendiculares y la primera contenga el punto (1,3). 21.-Distancia del origen de coordenadas a la recta 3x-4y+k=0 es 2. Calcula los posibles valores de k. 22.-Qué valor hay que dar a m para que la recta 3x-4y+m=0 pase a una distancia d=3 del punto A(5,2). 23.-Escribe la ecuación de las rectas que pasan por el punto P(1,2) y forman con la recta 2x-y-1=0 un ángulo cuyo coseno vale 1/ Escribe la ecuación de la recta que tiene pendiente m=-2 y pasa a una distancia 3 del punto A(3,2). 25.-Sea un cuadrado de vértices consecutivos ABCD. Se sabe que A(-2,3) y que el segmento CD está sobre la recta x-3y+1=0. Se pide encontrar los vértices B,C y D. 26.-Considera la recta 3x+2y+4=0. Escribe la ecuación de dos rectas paralelas a ella a una distancia Qué puntos del eje de abscisas equidistan de las rectas x+y+1=0, 4x-3y=0? 28.-Dado el triángulo de vértices A(0,1), B(2,3) y C(3,0) a) Halla su circuncentro, baricentro, incentro, ortocentro. b) Calcula la longitud de la altura qque parte del vértice C. c) Calcula el coseno del ángulo A. 29.-Hallar las coordenadas del punto simétrico del origen respecto de la recta 4X+3Y= Determinar el valor de a para que las rectas: ax+(a-1)y-2(a+2)=0 3aX-(3a+1)Y-(5a+4)=0 sean:1. Paralelas y 2. Perpendiculares. 31.-Determinar m para que las rectas mx+y=12 y 4X-3Y=m+1 sean paralelas y hallar su distancia. 32.-Hallar la distancia del punto (-1,1) a la recta que corta a los ejes OX y OY a las distancias 3 y 4 del origen. 33.-Encontrar el pie de la perpendicular trazada por el punto P(-1,2) a la recta 3X-5Y-21=0 y la distancia de dicho pie al punto en que esta recta corta al eje OX. 34.-Hallar el ángulo que forman las rectas X-2Y+4=0 y 3X-Y-1= Eel ángulo que forman las rectas 2X+3Y=5; X-4Y=2 es mayor ó menor de 45?. 35.-Hallar el ángulo que forman las rectas 2X-Y=3; 2X+Y=1. -4-

5 36.-Hallar la tangente del ángulo que forman las rectas: 3X-2Y=1; X+Y= Calcular la tangente del ángulo que forman las rectas -X+2Y+1=0 y 3X+Y+5= Hallar la ecuación de la recta que, pasando por el punto P(2,-3), forma un ángulo de 45 con la recta 3X-4Y+7= Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,1) y forme un ángulo de 45 con la recta 2X-3Y+2= Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas 3X-4Y+1=0; 5X+12Y-7= Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forma la recta 5X+12Y-60=0 con el eje de ordenadas. 42.-Hallar las ecuaciones de las bisectrices del ángulo formado por las rectas 6X-8Y+2=0 y -5X+12Y-6= Hallar la ecuación normal de la recta que corta al eje OX en el punto de abcisa 3 y forma con él un ángulo de Qué pendiente debe tener una recta para que forme un ángulo de 60 con x+5y+1=0? 48.- Qué pendiente debe tener una recta para que forme un ángulo de 30 con otra de pendiente 27? 49.-Hallar el area del triángulo de vértices (2,1), (6,3) y (-1,4). 50.-Hallar a para que el triángulo de vértices (0,0) (3,2) y (a,0) tenga de área Se dan las rectas y+2=0 y-3=0 y-2x-1=0 y-2x+1=0. Hallar el área del cuadrilátero que forman. 52.-Hallar la longitud de la altura del triángulo de vértices A(2,-1), B(-5,1) y C(0,3), que parte del vértice C y determinar el área de dicho triángulo. 53.-Dados los puntos A(2,1), B(-3,5) y C(4,m), calcular m para que el triángulo ABC tenga área Calcula el área limitada por la recta 3x+2y-6=0, el eje de abscisas el de ordenadas y x= Hallar las ecuaciones de las rectas que pasando por el punto A(1,-2) disten dos unidades del punto B(3,1). 56.-Escribir en forma normal la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,2) y tiene pendiente Hallar un punto en la bisectriz de los cuadrantes 2 y 4 equidistante de (4,-2) y de (10,0). 58.-Una recta cuya ecuación normal canónica es Xcos60 +Ysen60-5=0, intercepta entre los ejes de coordenadas un segmento. Hallar: 1. La ecuación de la mediatriz de dicho segmento; 2.Las -5-

6 coordenadas del baricentro del triángulo que la recta dada forma con los ejes de coordenadas; 3. El área del triángulo y 4 las bisectrices de este triángulo. 59.-Un cuadrado tiene un vértice ena(1,12) y su centro es el punto P(6,0). Halla sus otros vértices y su área. 60.-El vértice A de un rombo está en el eje de abascisas. Dos vértices opuestos son B(3,5) y D(2,1). Calcula las coordenadas de sus vértices A y C, su perimetro y su área. 61.-Determinar el punto de la recta 2x-4y-1=0, que con el punto A(-4,0) y el origen de coordenadas, determina un triángulo de area El triángulo ABC tien de área 6. Ls vértices son A(1,-3), B(2,1) y C está sobre la recta x+y+3=0. Determina ese vértice C. 63.-La recta r pasa por el punto P(-2,4) y forma un ángulo de 135 con la recta y-2x=0. Determina su ecuación. 64.-El triángulo ABC es isosceles. El lado desigual tiene por extremos A(3,1) y B(-2,3). El vértice C está en el eje de ordenadas. Halla las ecuaciones de los lados del triángulo y su área. 65.-Halla la recta que que pasa por el punto de corte de las rectas x+4y-18=0 y x+2y-2=0, de manera que su distancia al origen de coordenadas sea Calcula el área del triángulo limitado por los ejes de coordenadas y la recta que, pasando por el punto P(1,2) forma un ángulo de -45 grados con la recta 2x+3y-5= Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano, tales que sus distancias a A(-2,1) y B(1,-2) está en la razón 3/ Te dan la recta 3x+4y+5=0 y el punto A(2,7). Calcula las coordenadas de A' simétrico de A, respecto de r. 69.-Te dan las rectas 3x+2y-6=0 y 2x+3y+6=0. Tienes que encontrar otra, de modo que con las dadas forme un triángulo isosceles cuyos lados iguales estén sobre las rectas dadas y que su baricentro sea el origen de coordenadas. 70.-Desde el punto P(2,6) se trazan dos rectas perpendiculares a las bisectrices de los cuadrantes del sistema ortonormal de referencia. Calcula sus ecuaciones y los vértices del triángulo que esas perpendiculares forman con la recta 3x-13y-8= La diagonal menor de un rombo, que es igual al lado, tiene por extremos los puntos B(2,1) y D(6,7). Halla la ecuación de otra diagonal, el perímetro del rombo, los ángulos del rombo. -6-