SISTEMAS DE ECUACIONES

Transcripción

1 . Sistems de ecucioes lieles SISTEAS DE ECUACIONES Se deomi ecució liel quell que tiee l form de u poliomio de primer grdo, es decir, ls icógits o está elevds potecis, i multiplicds etre sí, i e el deomidor. Por ejemplo, es u ecució liel co tres icógits. U sistem de ecucioes lieles es u cojuto de ecucioes lieles de l form: m+ m + m m m E este cso teemos m ecucioes icógits. Los úmeros reles ij se deomi coeficietes, los i se deomi icógits j se deomi térmios idepedietes. U sistem homogéeo es quel cuos térmios idepedietes so todos ulos. Resolver el sistem cosiste e clculr ls icógits pr que se cumpl tods ls ecucioes del sistem simultáemete. E u sistem de ecucioes, se defie l mtri socid l sistem o mtri de los coeficietes,, como l mtri formd por los coeficietes de ls icógits l mtri mplid,, como l mtri formd por los coeficietes de ls icógits los térmios idepedietes. m m m. Clsificció de los sistems de ecucioes m m m m U sistem de ecucioes lieles se puede clsificr e fució de sus solucioes de l siguiete form: Sistem comptile: sistem que tiee solució. E fució de cómo se ls solucioes se clsific e determido (tiee u solució úic) e idetermido (tiee ifiits solucioes). Sistem icomptile: sistem que o tiee solució.. Sistems equivletes Diremos que dos sistems de ecucioes lieles co ls misms icógits so equivletes si tiee ls misms solucioes. Pr oteer sistems equivletes uo ddo se puede efectur ls siguietes trsformcioes: ultiplicr u ecució del sistem por u úmero o ulo, lo que equivle multiplicr todos los elemetos de l fil correspodiete de l mtri mplid del sistem por dicho úmero.

2 Cmir el orde de ls ecucioes; esto supoe cmir el orde de ls fils correspodietes e l mtri mplid. Añdir o suprimir u ecució que se comició liel de ls demás ecucioes; es decir, suprimir u fil e l mtri mplid que se comició liel de ls demás. Sumr u ecució del sistem otr multiplicd por u úmero distito de cero. Segú esto, podremos sumr u fil de l mtri mplid otr fil multiplicd por u úmero o ulo. Despejr u icógit e u de ls ecucioes sustituirl e ls demás.. étodo de Guss Este método cosiste e llegr u sistem esclodo, trsformdo l mtri mplid e u mtri esclod por fils. Pr ello, se elimi icógits medite l sum o l rest de ecucioes (e lgu ocsió es ecesrio multiplicr lgu ecució por u úmero), oteiedo sistems de ecucioes equivletes e los que cd ecució v teiedo u icógits meos. Esquemáticmete lo podrímos represetr (pr u sistem de tres ecucioes co tres icógits): ' + ' + ' ' + ' + ' ' ' ' + ' ' + ' ' ' ' + ' ' + ' ' ' ' + ' + ' ' ' ' ' ' Los coeficietes ' ij " ij so los coeficietes de ls ecucioes equivletes que se v oteiedo l esclor el sistem. Si l reducir l mtri mplid form esclod prece lgu fil e l que so ulos todos los elemetos de u fil (coeficietes), ecepto el correspodiete l térmio idepediete, el sistem es icomptile. E cso cotrrio, el sistem es comptile se distigues por posiiliddes: o Si el úmero de fils o uls de l esclod coicide co el úmero de icógits, el sistem es determido. o Si el úmero de fils o uls es meor que el úmero de icógits, el sistem es idetermido. Ejemplo: +. Apliquemos el método de Guss pr resolver el sistem: f f f f f f f f f L últim fil tiee todos los elemetos ulos, ecepto el térmio idepediete que es 4. Por ello se trt de u sistem icomptile.

3 . Discutmos el siguiete sistem por el método de Guss: f f f f f f f f f + Oservmos que el úmero de fils o uls es dos, que coicide co el úmero de icógits. Por tto, es u sistem comptile determido. 4. Resolució mtricil U sistem de ecucioes liel lo podemos represetr mtricilmete de l siguiete form: m m m m Est ecució l podemos represetr como X B, dode es l mtri socid l sistem, X es l mtri de ls icógits B es l mtri de los térmios idepedietes. A prtir de l ecució mtricil, podemos oteer el vlor de ls icógits: X B. Pr poder resolver el sistem, l mtri dee teer ivers. Ejemplo: Resuelve mtricilmete el sistem de ecucioes siguiete:. + + El sistem se puede escriir e form mtricil como: L mtri ivers de l mtri de los coeficietes A es A. L solució del sistem es:. L solució del sistem es: A ; ;

4 5. Discusió de sistems medite rgos Teorem de Rouché - Froeius Permite coocer si u sistem de ecucioes tiee solució prtir del estudio del rgo de l mtri socid l sistem del rgo de l mtri mplid de éste. SISTEA COPATIBLE DETERINADO rgo rgo º icógits SISTEA COPATIBLE INDETERINADO rgo rgo < º icógits SISTEA INCOPATIBLE rgo rgo * SISTEAS DE ECUACIONES LINEALES rgo rgo Tiee solució. rgo rgo No tiee solució rgo º icógits Solució úic. DETERINADO 6. étodo de Crmer COPATIBLE rgo < º icógits Ifiits solucioes INDETERINADO INCOPATIBLE U sistem de ecucioes liel es u sistem de Crmer cudo tiee igul úmero de ecucioes que de icógits el determite de l mtri de coeficietes del sistem es diferete de cero. Pr plicr el método de Crmer utilimos dos determites: Determite de l mtri del sistem. Determite i que se otiee l sustituir, e l mtri del sistem, l colum de l icógit i, por l colum de los térmios idepedietes. i Colum i - ésim i El vlor de cd icógit se otiee de l siguiete form:

5 Ejemplo: Resuelve el siguiete sistem utilido, si es posile, l regl de Crmer: El determite de l mtri de los coeficietes A es det (A) 4, como teemos tres ecucioes tres icógits, podemos plicr l regl de Crmer pr resolverlo: Discusió de sistems co prámetros Es frecuete ecotrr sistems de ecucioes lieles e los que uo o más coeficietes, o lguos térmios idepedietes, tom vlores descoocidos, llmdos prámetros. Ejemplos: m. Cosider el sistem de ecucioes m m ) Clsific el sistem segú los vlores de m. ) Clcul los vlores de m pr los que el sistem tiee u solució e l que. ) Ddo el sistem de ecucioes mplid so: A m m m, su mtri de los coeficietes su mtri m m m A m m E A teemos que det (A) m +. Iguldo cero result m, de dode m ó m. Aplicdo el Teorem de Rouché, vemos los csos que se puede presetr: Si m o m, rgo(a) rgo( A ), el sistem es comptile determido, teiedo u úic solució. Si m. Teemos A su mtri mplid es A. E A, rgo(a), pues tiee dos colums proporcioles. E A, rgo( A ), pues tiee dos fils igules. Por tto, el sistem es comptile e idetermido, co lo cul tiee ifiits solucioes.

6 Si m. Teemos A su mtri mplid es A. E A, rgo(a), pues tiee dos fils igules. E A, como, teemos que rgo( A ). Como rgo(a) rgo( A ), el sistem es icomptile por tto o tiee solució. ) Vmos clculr m e el sistem pr que l vlg. m Nuestro uevo sistem serí. Despejdo de l ª ecució teemos m. m m Sustituedo e l ª teemos m (m ) m. Operdo se lleg m + m 4, de 4 dode m m. Por tto pr m o pr m 4 teemos l meos u solució dode l vle. + m. Ddo el sistem de ecucioes lieles +, discútelo pr los distitos vlores del m prámetro resuélvelo cudo se comptile. L mtri de coeficietes A tiee como míimo rgo, pues podemos ecotrr u meor de orde dos o ulo, como por ejemplo: 4. El determite de l mtri mplid A es: m A m m m 9 Se tiee que A cudo m m 9, cus solucioes so: /. Estos so los vlores del prámetro d lugr l siguiete discusió del sistem: Si m m /, etoces rg ( A ) rg (A), el sistem es icomptile. Si m, etoces rg (A) rg ( A ) º de icógits el sistem es comptile determido. E este cso l solució es úic. El sistem equivlete que se otiee, lo podemos escriir como: + + Resolviedo este sistem de dos ecucioes co dos icógits, se otiee que,.

7 Si m /, etoces rg (A) rg ( A ) º de icógits el sistem es comptile determido. E este cso l solució es úic. El sistem equivlete que se otiee, lo podemos escriir como: + / + Resolviedo este sistem de dos ecucioes co dos icógits, se otiee que /8, 5/ Determi siedo que el sistem de ecucioes + + tiee l meos dos solucioes distits. Se A l mtri de los coeficietes A l mtri mplid. 4 Como os dice que el sistem tiee dos solucioes, se deduce que h de teer ifiits solucioes, por tto h de ser u sistem comptile e idetermido, como l mtri de los coeficietes como máimo es de orde solo os qued l posiiliddes: rgo(a) rgo( A ) o ie rgo(a) rgo( A ) E A, podemos ecotrr u meor de orde dos o ulo, como por ejemplo + 4, etoces, A tiee como míimo rgo. Por tto l segud posiilidd terior qued descrtd. Como A o puede teer rgo, su determite h de ser ulo: Como A dee teer rgo, su determite tmié h de ser ulo: Resolviedo el sistem de dos ecucioes co dos icógits que hemos oteido: se otiee 4 8.