Unidad 10. Sistemas de ecuaciones lineales

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1 Tem. istems de Ecuciones Unidd. istems de ecuciones lineles. Definiciones, tipos de sistems distints forms de epresrls.. Definición, sistems equivlentes.. Clses de sistems de ecuciones... Epresión de sistems en form mtricil. istems de Crmer. Teorem de Rouchè-Fröbenius. Discusión soluciones sistem. Resolución generl de sistems de ecuciones lineles por Crmer... istems comptibles determindos.. istems comptibles indetermindos. Resolución de istems Homogéneos.. Resolución de sistems por Guss. Tem elbordo por José Luis Lorente rgón

2 Tem. istems de Ecuciones. Definiciones, tipos de sistems distints forms de epresrls.. Definiciones. istems equivlentes. Definición: se llm sistem de ecuciones lineles con n incógnits l conjunto formdo por m ecuciones con ls misms n incógnits. n n b ) n b n ) m m mn m b m m) ij coeficientes del sistem b j términos independientes j incógnits Ejemplo - ) ) ecuciones incógnits --- ) t ) -t ) ecuciones incógnits Resolver un sistem es obtener tods sus posibles soluciones del mismo. soluciones de ) soluciones de ) soluciones del sistem m comunes tods) m soluciones de m) Definición: Dos sistems son equivlentes si tienen misms soluciones. Form de obtener sistems equivlentes: ) umr un constnte mbos miembros de l iguldd de un o vris ecuciones - - Tem elbordo por José Luis Lorente rgón

3 Tem. istems de Ecuciones ) Multiplicmos por un constnte, distint de cero, mbos ldos de l iguldd de un o vris ecuciones - - ) ustituir un ecución por un combinción linel de l mism con ls restntes ecuciones ) )-) 8 )- ) - ) ñdir o quitr ecuciones que sen combinción linel de ls restntes ecuciones: ) ) ) - ) - ))) 7.. Clses de sistems de ecuciones Dos criterios pr clsificr los sistems de ecuciones lineles:. egún el vlor de los términos independientes: - Homogéneos: todos los términos independientes son nulos - No homogéneos: lgún término independiente diferente de cero - Homogéneo No homogéneo. egún el número de soluciones: - Comptibles: tienen solución Determindos: únic solución Indetermindos: infinits soluciones - Incomptibles: sin solución. Tem elbordo por José Luis Lorente rgón

4 Tem. istems de Ecuciones Ejemplos: - Comptible determindo - Comptible indetermindo sin solución Incomptible.. Epresión de sistems en form mtricil Un form más cómod útil de trbjr con los sistems de ecuciones lineles es de form mtricil. El sistem visto en el prtdo. de form mtricil vendrá definido como: n b n b m m mn m b n { { X B X B Mtri de coeficientes Mtri mplid b) m m n b n b mn bn Ejemplo: X b XB Tem elbordo por José Luis Lorente rgón

5 Tem. istems de Ecuciones. istems de Crmer Definición: un sistem de ecuciones lineles se dice que es de Crmer si cumple ls siguientes condiciones: - Mismo número de ecuciones que de incógnits nm - El determinnte de l mtri de coeficientes es distinto de cero Los sistems de Crmer son todos comptibles determindos un sol solución). Eisten dos métodos de resolución de los sistems de Crmer. Metodo: prtir de l mtri invers. El sistem de Crmer se puede escribir en form mtricil como Xb, tl que tiene invers l ser un mtri cudrd con determinnte distinto de cero. sí podemos epresr ls soluciones como: Ejemplo: X - B - - ecuciones incógnits, istem de Crmer X Metodo: por desrrollo de columns En este método no tendremos que clculr l mtri invers, sino tntos determinntes como incógnits, suele resultr más sencillo b b b n n n n nn b b Tem elbordo por José Luis Lorente rgón n n n bn nn,, n n n b b b n

6 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón Ejemplo: vemos el ejemplo nterior:, Ejercicio: Resuelve los siguientes sistems prtir de Crmer si es posible istem de Crmer pues tiene ecuciones incógnits Método: X, -, Método : 8 8, 8 8. Teorem de Rouchè-Fröbenius. Discusión soluciones del istem Teorem: se un sistem con m ecuciones lineles con n incógnits, el sistem es comptible tiene soluciones) si sólo si el rngo de l mtri de los coeficientes es igul l rngo de l mtri mplid istem comptible rng)rng)

7 Tem. istems de Ecuciones egún l relción entre el rngo el número de incógnits tenemos que el sistem será comptible determindo, comptible indetermindo o incomptible. Veámoslo en l siguiente tbl resumen:. rng)rng ) istem incomptible no solución). rng)rng )r ) si rn nnº incógnits) Comptible determindo b)si r<n nnº incógnits) Comptible indetermindo con n-r prámetros libres. Resolución generl de sistems de ecuciones por Crmer. En el prtdo vimos como resolver sistem sistems con igul número de incógnits que de ecuciones cundo el determinnte de l mtri de los coeficientes es distinto de cero. En este prtdo vmos ser más genéricos, resolviendo por Crmer todo tipo de sistem comptible. Es decir sistems en los que rng)rng ) tnto si son comptibles determindos como indetermindos. Vemos uno uno los dos csos:.. Comptible determindo Pr que un sistem se comptible determindo es necesrio que el número de ecuciones m se mor o igul que el de incógnits n m n), que se cump que rng)rng )n. De est form sólo h n ecuciones independientes, de tl mner que si el sistem tiene m ecuciones m-n son dispensbles podemos eliminrls. Es importnte comprobr que ls n ecuciones escogids sen independientes, lo cul se comprueb viendo que el rngo del nuevo sistem continúe siendo n. El nuevo sistem será equivlente l nterior misms soluciones) se puede resolver por Crmer. Ejemplo: ) el sistem no puede ser de Crmer pues nm 7 rng) que 7 7, rng ) que rng)rng )n nºincógnits) Comptible determindo. Tem elbordo por José Luis Lorente rgón 7

8 Tem. istems de Ecuciones Como el rngo es tenemos sólo ecuciones linelmente independientes, de form que podemos eliminr un de ls ecuciones, de mner que el rngo del sistem continúe siendo. Vmos quitr l tercer ecución ) - rng ) misms soluciones) olución: ) es hor de Crmer Comptible indetermindo e un sistem con m ecuciones n incógnits, tl que rng)rng )r<n, entonces el sistem es comptible indetermindo con n-r prámetros libres. Tenemos sí que buscr un sistem equivlente con r ecuciones r incógnits:. Tommos r ecuciones independientes rngo del sistem es r). Psmos n-r incógnits l derech de l iguldd ls trtmos como prte del término independiente prámetros libres).. El sistem se resuelve por Crmer con n-r prámetros libres Ejemplo: -- ) i clculmos los rngos se cumple que rng)rng ). Luego comptible indetermindo con - prámetro libre. Tomremos l como prámetro libre ls primers ecuciones: ) luego el rngo no será, tenemos que o bien coger l otr ecución o cmbir de prámetro libre. Cmbiremos de prámetro tomndo l : Tem elbordo por José Luis Lorente rgón 8

9 Tem. istems de Ecuciones - ) - rng ) misms soluciones) Tenemos sí que se puede resolver por Crmer: Es lógico que no pudiérmos tomr l como prámetro libre, pues tiene un vlor fijo, por tnto no podemos poner ls demás vribles en función de l. Ejercicios pg 78. Resolver sistems con incógnits. ) ) Comptible determindo, podemos tener sistem equivlente con ls dos primers ecuciones) b) Incomptible rng )) c) Comptible indetermindo con un prámetro libre rng)rng ). ólo un ecución independiente -) -. ) ) Comptible determindo,,. b) Comptible indetermindo con prámetro libre el ). -, - c) istem comptible indetermindo con prámetro libre. Tenemos dos ecuciones independientes, el sistem formdo por ls primers ecuciones con l como prámetro libre es equivlente mismo rngo, ). -/7/, -// d) Comptible determindo, -,. e) Comptible indetermindo con prámetro libre ecuciones independientes. Tomndo el sistem formdo por ls dos primers ecuciones l como prámetro libre el sistem es equivlente mismo rngo, ). -7, - f) Incomptible. Resolución de sistems homogéneos. Recordemos que los sistems homogéneos son los que tienen todos sus términos independientes nulos. n n ) n ) m m mn m m) Un de ls crcterístics más relevntes es que todo sistem homogéneo es comptible, que l últim column de l mtri mplid,, es nul, con lo que siempre rng)rng ). Tem elbordo por José Luis Lorente rgón

10 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón demás es fácil ver que todo sistem homogéneo tiene como solución l denomind solución trivil o impropi n. Pr discutir obtener l solución del de un sistem homogéneo tenemos el siguiente esquem rng)rng )r con n incógnits: i rn comptible determindo únic solución l solución trivil i r<n comptible indetermindo con n-r prámetros libre ecuciones independientes. Ejemplo: C. eptiembre del, prueb. m m m ) m m m Vemos el rngo de en función de m: -m m- ) i m rng ), sistem comptible indetermindo b) i m rng), sistem comptible determindo,. Eámenes de l PU eptiembre. Prueb B. P. ) Pr estudir el sistem h que ver los rngos de ls mtrices en función del prámetro libre.. Rngo de : El rngo mor de puede ser. rng) o o Ls ecuciones que quedn son ls siguientes: ± Como pr que el rngo se deberín de ser tods los determinntes nulos no eiste ningún vlor de que hg todos los determinntes nulos, entonces el rngo de siempre es.

11 Tem. istems de Ecuciones Luego R rng). Rngo de : el rngo de puede ser como máimo.. rng), ± R-{,, -} rng ) b. rng) solo puede ser en, o -. Vemos lo que ocurre pr estos vlores:, rng ), rng ) -, rng ) e cumple sí que pr,, - el rngo de l mplid es dos. Concluendo, vmos pornos en est tbl pr discutir el sistem de ecuciones: K- R-{,,-} rng) rng ) Incomptible Incomptible Incomptible Comp Determi Conclusión: i,, - istem comptible determindo i R-{,, -}istem incomptible L segund prte del enuncido dice que lo resolvmos pr los vlores de que teng solución. Podrimos resolverlo independientemente pr los tres vlores de, unque serí mu lborioso. Vmos resolverlo en función de. Tenemos que como el rngo de es, buscr dos ecuciones independientes, en los que el rngo se. Tem elbordo por José Luis Lorente rgón

12 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón ') Vemos como son independientes rngo de es ). - pr, -. Resolvmos el sistem: i, i, - i - -/, -/ Junio. Prueb B. P. ) ) Vemos un rngo de de :. Rngo de ) rng) -,- R-{,-}, rng) b) Vemos el rngo cundo : ), rng)) c) Vemos hor cundo - -), rng-)). Rngo de ) rng ) siempre que R-{,-}. b) Vemos el rngo pr de,

13 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón rng )) c) Vemos el rngo pr - de rng -)) Luego el rngo de es independientemente del vlor de. Vemos l siguiente tbl pr discutir el sistem según el vlor de : - R-{,-} rng) Rng ) INC INC C.D. Conclusión : R-{,-} istem Comptible determindo solución),- istem incomptible sin soluciones) b) olución cundo : el sistem es comptible determindo, resolviendo por Crmer tenemos que ls soluciones son,,. eptiembre. Prueb B. P. ) Vemos un rngo de de :. Rngo de ) rng) --) ),- R-{,-}, rng) b) Vemos el rngo cundo : ), rng))

14 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón c) Vemos cundo - -), rng-)). Rngo de ) rng ) siempre que R-{,-}. b) Vemos el rngo pr de, rng )) c) Vemos el rngo pr - de rng -)) Vemos l siguiente tbl pr discutir el sistem según el vlor de : - R-{,-} rng) Rng ) INC C. IND C.D. Conclusión : R-{,-} istem Comptible determindo solución) - istem incomptible sin soluciones) istem comptible indetermindo con un prámetro libre b) olución cundo : el sistem es comptible determindo, resolviendo por Crmer tenemos que ls soluciones son -/, /, /.

15 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón Junio. Prueb. P. ) ) Vemos un rngo de de :. Rngo de ) rng) -,/ R-{,/}, rng) b) Vemos el rngo cundo : ), rng)) c) Vemos hor cundo / /) / / /, rng/)). Rngo de ) rng ) siempre que R-{,/}. b) Vemos el rngo pr de, rng )) c) Vemos el rngo pr / de / / / / / / / rng /))

16 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón Vemos l siguiente tbl pr discutir el sistem según el vlor de : / R-{,/} rng) Rng ) INC INC C.D. Conclusión : R-{,/} istem Comptible determindo solución), / istem incomptible sin soluciones) b) olución cundo : el sistem es comptible determindo, resolviendo por Crmer tenemos que ls soluciones son -,, eptiembre. Prueb B. P. ) ) Vemos un rngo de de :. Rngo de ) rng) no h ningún vlor de que hg el determinnte distinto de cero, luego el rngo siempre es menor de. b) rng): pr que el rngo se tiene que hber lgún menor de orden distinto de cero. Vemos los menores:,, Luego siempre que el rngo de será. R-{} rng) c) Vemos hor cundo ), rng)).

17 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón 7. Rngo de Tenemos que buscr un menor de orden no nulo pr que se de rngo :,. No h ningún menor de orden no nulo l tercer fil es sum de ls dos primers), con lo que el rngo es menor que pr culquier vlor de. Vemos si h lgún menor de orden no nulo: independientemente del vlor de. Luego el rngo de es siempre, independientemente del vlor de. Vemos l siguiente tbl pr discutir el sistem según el vlor de : R-{} rng) Rng ) INC C.I. Conclusión : R-{} istem Comptible indetermindo prámetro libre) istem incomptible sin soluciones) olución cundo : el sistem es comptible indetermindo, ), tenemos sólo dos ecuciones independientes un prámetro libre. Vemos como si cogemos ls primers ecuciones l como prámetro libre el sistem es el siguiente: ) ') tn ') ' ' ') to por rng,

18 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón 8 Junio. Prueb B. P. ) λ λ λ λ λ λ λ λ Vemos un rngo de de :. Rngo de ) rng) -λ λ- λ λ R-{}, rng) b) Vemos el rngo cundo λ: λ), rngλ)). Rngo de ) rng ) siempre que R-{}. b) Vemos el rngo pr λ de, rng λ)) Vemos l siguiente tbl pr discutir el sistem según el vlor de : λ λ R-{} rng) rng ) Com In C.D. Conclusión : λ R-{-} istem Comptible determindo solución) λ istem comptible indetermindo infinits soluciones) b) olución cundo λ-: el sistem es comptible determindo. Resolvemos por Crmer. olución: -, -, - c) olución cundo λ: el sistem es comptible indetermindo con prámetros libres. ólo ecución independiente, tomremos, como prámetros libres. olución: --

19 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón Problem: Discútse el siguiente sistem resuelvs cundo se posible. ). Rngo de ) rng ) -) ),-, Luego R-{,-,} el rngo de es b) Vemos el rngo pr., tomndo el menor: luego rng )) c) Vemos el rngo pr -, tomndo el menor: rng -)) d) Vemos hor pr rng )). Rngo de ) El rngo máimo es, luego pr R-{,-,} donde el rngo de es, el sistem es incomptible. Vemos pr los demás vlores de b) rng)

20 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón - rng-)) c) rng)) - R-{,-,} rng) < Rng ) C.D. C.D C.I. INCOM Resolver si : sistem homogéneo C.D. Resolver si : como el rngo es uno nos quedmos con un ecución dos prámetros libres: -- s t s t t,s R i - el rngo de es, luego nos quedmos con tres ecuciones, cundo vimos el rngo ls ecuciones ern l ), ls ) l ). Por Crmer,,

21 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón Junio 7. Prueb B. P. ) ) 7 7 T B No invertible pues B T dos columns proporcionles) b) ) D T. Es un mtri de, es decir un número, como es distinto de cero el rngo es uno. rng D T ) c) B t C)ME 7 ' rng )rng ) Resolviendo por Crmer -/7; ; - eptiembre 7. Prueb. P. ) Rngo de: ---)/) i R-{,-/} rng) i,, rng) i -/ / /, / /, rng)

22 Tem. istems de Ecuciones Rngo de : i R-{,-/} rng) i L column l column son igules luego no todo menor de orden que formdo por mbos es nulo. Vemos el que qued: rng) i -/ / / / rng) -/ R-{,-/} rng) Rng ).I sin soluciones).c.i infinits soluciones)..c.d. solución) b) i rng)rng) CD. Tenemos que tomr un sistem equivlente con dos ecuciones dos incógnits, psándol otr incógnit l término independiente. Como el rngo del sistem equivlente h de ser, tommos el reltivo l determinnte no nulo de orden que clculmos l estudir el rngo de. Es decir ls primers ecuciones con, como incógnits. ) ) Podemos resolverlo fácilmente por reducción: )) - - )-) t oluciones: t t R Tem elbordo por José Luis Lorente rgón

23 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón Eámenes del ño psdo Problem. e el siguiente sistem: ) ) ) Discute según los vlores del prámetro ptos) b) Resuelve el sistem cundo se posible pto) olución Estudio del rngo de R Vemos si eiste lgún vlor de pr el cul rng). Pr que esto ocurr tiene que cumplirse que todos los menores de orden sen nulos, es decir se nulen pr el mismo vlor de : como no eiste un vlor de que nule todos los menores de hecho no eiste ninguno que nule estos dos menores) se cumple que rng) R Estudio el rngo de : Vemos cundo los tres menores de orden distintos de ) se nuln. El rngo será si h lgún vlor de en el que se nulen los tres menores de orden :, ) R rng ) rng )

24 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón Conclusión: R-{} rng) rng ) C.I. Inc i sistem comptible indetermindo con un prámetro libre incomptible, no solución b) ólo tiene solución si. Tenemos que sólo h dos ecuciones independientes con un prámetro libre: ' ') ') ) rng olución, Problem. e el siguiente sistem: ) Discute según los vlores del prámetro.7ptos) b) Resuelve el sistem cundo cundo. ptos) ud: fíjte en el sistem ntes de escribir olución Ordenndo l segund ecución: Estudio del rngo de - -, -/ Luego : ) o -/ rng) b) R-{,-/}rng )

25 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón Estudio el rngo de : i R-{,-/} rng),, rng ) / rng ) Conclusión: - R-{,- } rng) rng ) C.I. Inc C. D. sistem comptible indetermindo con un prámetro libre -/ incomptible, no solución R-{,-/}sistem comptible determindo, un solución b) sistem comptible determindo: - / - sistem comptible indetermindo con un prámetro libre dos ecuciones independientes ) ) rng ) ) ) -, //

26 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón Problem. e el siguiente sistem: ) ) ) ) Discute según los vlores del prámetro ptos) b) Resuelve el sistem cundo se comptible pto) olución ), Estudiemos el rngo de : luego el rngo de no puede ser pr ningún vlor de, que el determinnte siempre es cero Por otro ldo eiste un menor de orden dos no nulo pr culquier vlor del prámetro: rng) pr culquier vlor de. Estudiemos el rngo de : Pr que el rngo de se menor que tienen que nulrse los menores, uno de ellos es, que como hemos visto siempre es cero, vemos pr que vlores de se nuln los otros menores., ) ), )) )) ) ± - Pr que el rngo se menor que todos los menores de hn de ser cero, esto sólo ocurre si, que pr - no se nul el º clculdo pr ± no se nuln el º el º. rng ) R-{}

27 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón 7 Vemos si, rng )) Concluendo: R-{} rng) rng ) C.I. Inc Luego R-{}el sistem incomptible por tnto no tiene soluciones, pr el sistem es comptible indetermindo, por tnto infinits soluciones con un prámetro libre. b) ) ) ) ) Tenemos que el rngo es un prámetro libre, por tnto tenemos que eliminr un ecución poner un prámetro l otro ldo del igul: ') ) ) rng ) ). No hce flt utilir Crmer, sustituendo por en ) tenemos que ls soluciones son:, - Problem. e el siguiente sistem: ) Discute según los vlores del prámetro.7ptos) b) Resuelve el sistem cundo cundo. ptos) olución )

28 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón 8 Estudiemos el rngo de : El rngo de será si - rng) R-{,} Vemos pr : rng) Vemos pr : rng) Estudiemos el rngo de : Pr R-{,} rng ), pues rng). Vemos pr, tenemos que el menor de orden : rn ) Vemos pr, tenemos que el todos los menores de de orden son nulos:,, rn ) pues Concluendo: R-{,} rng) rng ) Inc C.I. C. D. R-{,} sistem comptible determindo, si sistem comptible indetermindo si sistem incomptible. b) ) ) ) ) tenemos que rng),luego sólo dos ecuciones independientes un prámetro libre ) ') ') ) ) rng. Ls soluciones son,

29 Tem. istems de Ecuciones Tem elbordo por José Luis Lorente rgón ) ) ) ) Comptible determindo, resolvemos por Crmer: -,, Problem. e el siguiente sistem: m m m ) Discute según los vlores del prámetro m.7pto) b) Resuelve el sistem si m.. ptos) c) Resuelve el sistem si m pto) Problem. e el siguiente sistem: ) Discute según los vlores del prámetro.7ptos) b) Resuelve el sistem cundo se posible es decir no se incomptible).. ptos)

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