1. a) Sean A, B y X matrices cuadradas de orden n. Despeja X en la ecuación X.A = 2X + B 2. 1 b)

Transcripción

1 Curso 9/. a) Sean, X matrices cuadradas de orden n. Despeja X en la ecuación X. = X + b) Calcula la matri X, siendo = = Solución: a) X. X.( - Id).( - Id) X.X.( - Id) - X. - X -.( Id) X.( - Id) b) 4 ( Id) ( Id) X.( Id) a) Clasifica, en función del parámetro, el siguiente sistema de ecuaciones b) Resuélvelo para =, si es posible. SOLUCIÓN. a) Escribimos la matri asociada al sistema 5. Calculamos el rango de la matri de los coeficientes. Como es una matri cuadrada de orden, lo más sencillo es calcular el determinante de la matri. 5 Det() = (-).(+5) Por tanto: Si,, 5, entonces se tiene Rg() = Rg( * ) = = nº incógnitas, luego el sistema es COMPTILE DETERMINDO (solución única que obviamente dependerá del valor de )

2 Curso 9/ Si =, tenemos que Rg() =,, Rg( * ) =, luego el sistema es INCOMPTILE. Si =-5/, tenemos que Rg() =, Rg( * ) =, luego el sistema es INCOMPTILE. b) Resolvamos ahora el sistema para =, que como hemos visto antes saldrá COMPTILE DETERMINDO Se puede resolver por Cramer, o por el método de Gauss el resultado es: = 5, =, = 7. a) Sean, X matrices cuadradas de orden n. Despeja la matri X en la ecuación.x. = b) Calcula la matri X siendo = = Solución: a).x...x.... X... X. b) X a) Calcula, en función del parámetro, las soluciones de la ecuación = b) Para qué valor de, la ecuación anterior tiene una única solución? a).( ) 4 ( ) b) Si, la solución es única es. 4( ) 5. Sabiendo que, calcula el valor de los siguientes determinantes:

3 Curso 9/ a) b) Solución: 7 7 a) ( ) 9 b) Desarrollamos por los elementos de la cuarta fila a) Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro, - + = - + = resuélvelo para = - -+(+) = + + = Es un sistema homogéneo (todos los términos independientes son iguales a cero) luego nunca puede ser incompatible. También sabemos que en los sistemas homogéneos que son compatibles determinados la solución única es la solución trivial (=== =) Calculemos el rango de la matri de los coeficientes en función del parámetro. Rg. Cuando una matri no es cuadrada, la manera más cómoda es tomar un determinante del maor orden posible que tenga pocas estudiar cuándo es distinto de cero cuando es cero. Para aquellos valores que sea distinto de cero (que serán infinitos) el rango será el orden de dicho determinante, sólo habrá que estudiar aparte el rango de la matri inicial para los valores que haan hecho cero al determinante elegido (que son mu pocos) Elegimos el determinante

4 Curso 9/ Luego si,, el Rg()=, como es homogéneo tiene tres incógnitas, el sistema es compatible determinado con solución trivial === Veamos ahora el Rango de cuando =, cuando =- Si =, comprobamos que Rg 4 luego el sistema es compatible indeterminado con grado de libertad. Si = -, comprobamos que Rg 4 luego el sistema es compatible indeterminado con grado de libertad. Vamos a resolverlo como pide el apartado b). Como el rango es dos, lo que nos indica es que de las 4 ecuaciones iniciales, sólo ha dos que son linealmente independientes, por eso, tomamos la segunda la cuarta ecuaciones nos queda el sistema: soluciones las siguientes:., que evidentemente tiene como conjunto de

5 Curso 9/ 7. Dada la matri =. Se pide: a) Encuentra la epresión de la potencia n-ésima de. En otras palabras, calcula la epresión de n, donde n es un número natural cualquiera. b) Raona que la matri n tiene inversa para cualquier valor de n, calcula dicha matri inversa. a) Vamos a calcular las primeras potencias de para ver la regla de formación... n n b) Para estudiar si una matri tiene inversa tenemos que estudiar cuándo su determinante es distinto de cero. sí, como det ( n ) =, para cualquier valor de n, resulta que n tiene matri inversa independientemente del valor de n Resulta que n n 8. Encuentra, si es posible, un valor del parámetro, para que el sistema - + = a) Sea compatible determinado -+(+) = b) Sea compatible indeterminado + + = c) Sea incompatible Se trata de un sistema homogéneo (todos los términos independientes son nulos), luego nunca puede ser incompatible. Será compatible determinado cuando el rango de la matri de los coeficientes sea, será compatible indeterminado cuando el rango de la matri de coeficientes sea <.

6 Curso 9/ Calculamos el rango mediante el determinante de la matri de coeficientes., si,, el sistema es COMPTILE DETERMINDO ( como es homogéneo la solución es la trivial ===) si =, ó, =-, el sistema es COMPTILE INDETERMINDO