MOMENTOS Y CENTROS DE MASA
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- Sebastián López Mendoza
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1 MOMENTOS Y CENTROS DE MASA El objetivo de ests línes es explicr brevemente otr de ls numeross plicciones que posee el Cálculo Integrl. En este cso, considermos un plc pln y delgd con form culquier, y nos proponemos hllr su centro de ms. Informlmente, entendemos por centro de ms de un plc, el punto donde l mism se equilibr horizontlmente. Primero nlicemos el cso simple en el que dos prtículs de mss m y m 2 están sujets los extremos de un vrill que supondremos tener ms nul y poyd en un fulcro (poyo) (Figur ). Ls mss se encuentrn distncis d y d 2 respectivmente del poyo. L vrill quedrá en equilibrio, según lo estbleció Arquímides trvés de l Ley de l Plnc, cundo m d = m 2 d 2. Pensemos que ubicmos l vrill en el eje x, m en x y m 2 en x 2 (0 < x < x 2 ) y el centro de ms en x M. Es decir, se verific que d = x M x y d 2 = x 2 x M (yúdese con un dibujo). Según l menciond ley de Arquímides tenemos que m (x M x ) = m 2 (x 2 x M ), de donde se desprende que x M = m x + m 2 x 2 m + m 2. Generlizndo l situción nterior, si considermos n prtículs con mss m, m 2,, m n colocds en los puntos de coordends x, x 2,, x n del eje x, se puede demostrr que el centro de ms del sistem está ubicdo en x M = j= m jx j j= m. () j Cd término m j x j se lo llm momento de l ms m j con respecto l origen, y n j= m jx j, momento del sistem con respecto l origen. L ecución en () indic entonces que el centro de ms x M se determin sumndo los momentos de ls mss y dividiendo est cntidd por l ms totl. Observemos que si reescribimos l ecución en () como mx M = M, donde m = j= m j y M = j= m jx j, l mism nos dice que si l ms totl m se considerr concentrd en el centro de ms, su momento es igul l momento M del sistem.
2 Consideremos hor n prtículs con mss m, m 2,, m n colocds en los puntos de coordends (x, y ), (x 2, y 2 ),, (x n, y n ) del plno xy. Por nlogí l cso unidimensionl, el momento del sistem respecto l eje x se define como M x = n m j x j, j= y el momento del sistem respecto l eje y como M y = n m j y j. j= Tmbién por nlogí l cso unidimensionl, ls coordends del centro de ms, (x M, y M ), se expresn en términos de los momentos de l siguiente mner x M = M y m, y M = M x m, donde nuevmente m = j= m j represent l ms totl. Consideremos hor un vrill delgd de metl, colocd en el eje x desde x = hst x = b, con < b. Cortmos l vrill en pequeños trozos de ms m k trvés de un prtición P = {x 0, x,, x n } del intervlo [, b]. Pr cd k = 0,,, n, se c k un punto culquier en el k-ésimo subintervlo [x k, x k ]. El k-ésimo trozo tiene longitud x k x k = x k. Se consej que relice un esbozo de l vrill indicndo todos estos elementos, pr mejor comprensión de lo que sigue. Observemos en primer lugr que el centro de ms de l vrill es proximdmente el mismo que el del sistem de puntos de ms que obtendrímos colocndo cd trozo de ms m k en c k. Entonces, por lo visto más rrib, el momento de cd trozo con respecto l origen es proximdmente igul c k m k, por lo que el momento del sistem con respecto l origen es proximdmente igul k= c k m k. Por último, si l densidd (ms por unidd de longitud) de l vrill en c k es δ(c k ), m k es proximdmente igul δ(c k ) x k. Obtenemos que el centro de ms de l vrill es: x M k= c kδ(c k ) x k k= δ(c k) x k. Conforme l norm de l prtición considerd tiend cero, si l densidd de l vrill es un función integrble de x, obtenemos que x M = xδ(x)dx δ(x)dx. Ejercicio : Un vrill de 5 m de longitud no tiene grosor uniforme, sino que su grosor disminuye de izquierd derech según l ley δ(x) = 0 x. Compruebe que el centro de ms 5 2
3 de l vrill se encuentr resolviendo ls siguientes dos integrles; resuélvls y concluy cuál es el centro de ms. 5 0 x(0 x 5 5 )dx ; (0 x 5 )dx. 0 Ejercicio 2: Considere un vrill de metl delgd con densidd constnte. Según su intuición, dónde se encuentr ubicdo su centro de ms? Compruébelo. Por último, como nticipmos en el comienzo de ests línes, consideremos un plc pln y delgd, por ejemplo un disco de metl. En muchs plicciones se necesit hllr el centro de ms de un tl plc. Consideremos que l plc ocup un ciert región del plno xy. Se l densidd de l plc (ms por unidd de áre) dd trvés de un función δ (función de x). A est ltur del cursdo de Análisis Mtemático II estmos imposibilitdos de estudir un situción más generl, pero clrmos que más delnte vmos considerr densiddes que sen funciones de mbs vribles, es decir, de x e y. El principio de simetrí en físic estblece que si un región es simétric respecto de un líne, su centro de ms está sobre l mism. Si tiene dos ejes de simetrí, éste estrá en l intersección de los ejes. Los momentos se deben definir entonces de modo que si tod l ms se concentr en su centro de ms, sus momentos permnezcn inlterdos. Además, debe verificrse que el momento de l unión de dos regiones que no se solpn es igul l sum de los momentos de cd región. Primero supongmos que l región R que ocup l plc qued comprendid entre ls rects de ecuciones x =, x = b, por encim del eje x y por debjo de l gráfic de ciert función integrble f. Consideremos un prtición P = {x 0, x,, x n } del intervlo [, b] y elijmos c k en cd subintervlo [x k, x k ] como el punto medio, esto es c k = x k +x k (yúdese con un 2 dibujo pr visulizr l situción). El centro de ms del k-ésimo rectángulo R k está en su centro (c k, f(c 2 k)) (lo idelizmos con un vrill delgd y considermos que l densidd no vrí demsido en cd punto de R k pr poder utilizr el resultdo del ejercicio 2). Su áre es f(c k ) x k ; luego su ms es igul δ(c k )f(c k ) x k. El momento de R k respecto del eje x es igul l producto de su ms por l distnci de su centro de ms l eje x (notr que est distnci es igul f(c 2 k)); es decir: M x (R k ) = 2 δ(c k)[f(c k )] 2 x k. Sumndo sobre k en l expresión nterior, obtenemos el momento respecto l eje x de un proximción de l región R. Conforme l norm de l prtición P tiend cero, obtenemos que el momento de R respecto l eje x es M x = 2 δ(x)[f(x)]2 dx. 3
4 Análogmente, el momento de R k respecto del eje y es igul l producto de su ms por l distnci de su centro de ms l eje y (notr que est distnci es igul c k ); es decir: M y (R k ) = δ(c k )c k f(c k ) x k. Sumndo sobre k en est últim expresión, obtenemos el momento respecto l eje y de un proximción de l región R. Conforme l norm de l prtición P tiend cero, obtenemos que el momento de R respecto l eje y es M y = δ(x)xf(x)dx. De mner nálog que pr sistems de prtículs, ls coordends del centro de ms, (x M, y M ), se expresn en términos de los momentos de l siguiente mner x M = M y m = δ(x)xf(x)dx δ(x)f(x)dx, y M = M x m = donde en este cso m = δ(x)f(x)dx represent l ms de l plc. 2 δ(x)[f(x)]2 dx δ(x)f(x)dx, Ejercicio 3: Considere un plc de metl delgd con densidd constnte igul δ, que ocup l región encerrd por el eje x y l prábol de ecución y = 2 x 2. Hlle ls coordends de su centro de ms. Como podrá observr un vez finlizdo el ejercicio 3, cundo l densidd es un cntidd constnte, ls coordends del centro de ms son independientes de l densidd (notr que el fctor δ prece multiplicndo y dividiendo en cd uno de los miembros de l derech). Además, segurmente sus cálculos le permitieron concluir que l coordend en x del centro de ms de l plc es 0 (revise sus cuents si no es éste el cso!). Por qué cree que esto ocurrió? Antes de relizr el ejercicio que sigue, nlice si l coordend en x del centro de ms volverá ser igul 0 o no. Ejercicio 4: Considere l mism plc del ejercicio 3. Determine su centro de ms, si l densidd en un punto (x, y) de l mism es igul l cudrdo de l distnci entre (x, y) y el eje y. Ejercicio 5: Considere un plc delgd con densidd constnte igul δ, con form de semicírculo de rdio 2. Hlle ls coordends de su centro de ms. 4
5 Referencis [] Jmes Stewrt, Cálculo de un vrible. Trnscendentes temprns. Interntionl Thomson Editores. 4t edición. [2] George B. Thoms, Jr., Cálculo. Un vrible. Person. Addison Wesley. Undécim edición. 5
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