Los pesos de las partículas pueden reemplazarse por una única (equivalente) resultante con un punto de aplicación G bien definido.

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Manuel Valdéz Serrano
hace 7 años
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1 UNIDAD 2 EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS. CENTROS DE GRAVEDAD GENERALIDADES.- El centro de gravedad es aquel que localiza el peso resultante de un sistema de partículas y el centro de masas de un sistema de partículas discretas. Para ello consideraremos un sistema de n partículas fijo dentro de una región del espacio. Los pesos de las partículas pueden reemplazarse por una única (equivalente) resultante con un punto de aplicación G bien definido. Es decir, un sistema de fuerzas paralelas entre sí, puede ser sustituido por una fuerza única resultante, como la suma algebraica (W R ) que actúa sobre un punto específico. UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 14

2 Ese es el punto de aplicación que tendrá por coordenadas x, y y z, y se le denominará Centro de Gravedad (G). El Peso resultante = peso total de las n partículas La suma de los momentos de los pesos de todas las partículas respecto a los ejes x, y, z ejes = momento del peso resultante respecto a esos ejes. La Suma de momentos respecto al eje x. La Suma de momentos respecto al eje y. Aunque los pesos no producen momento sobre el eje z, podemos rotar el sistema de coordenadas 90 respecto al eje x (o y) con las partículas fijas y sumar los momentos respecto al eje x (o y), Ya que el Peso = m.g Esto implica que el centro de gravedad coincide con el centro de masas. Las partículas tienen peso solo bajo la influencia de una atracción gravitatoria, mientras que el centro de masas es independiente de la gravedad. UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 15

CENTROS DE GRAVEDAD DE ÁREAS SIMÉTRICAS Y REGULARES El centro de gravedad de áreas regulares y/o simétricas de cuerpos rígidos, tales como: cuadrados, rectángulos, triángulos, círculos, entre otros,

3 CENTROS DE GRAVEDAD DE ÁREAS SIMÉTRICAS Y REGULARES El centro de gravedad de áreas regulares y/o simétricas de cuerpos rígidos, tales como: cuadrados, rectángulos, triángulos, círculos, entre otros, coinciden su centro geométrico de tal forma: r G. a G h G a b Momentos de Primer Orden. Si se tiene un área cualquiera, referidos a un sistema de ejes cartesianos, a su vez, esta puede subdividirse en varias áreas conocidas A 1, A 2, A 3 A n. Entonces se denomina momento de primer orden al producto de dicho eje al considerado. S x = A 1. Y 1 + A 2. Y 2 + A 3. Y A n. Y n En resumen: S x = n i=1 A i. Y i De forma similar con respecto al eje Y: n S y = A i. X i i=1 UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 16

4 Un cuerpo rígido está compuesto por un número infinito de partículas. Si consideramos una partícula arbitraria de peso d W. Por otra parte, si un área definida por el contorno y = f (x) ; se lleva a un elemento infinitesimal, teniendo: Donde x, y y z respectivamente, se denominan momentos estáticos de primer orden respecto a los ejes x, y y z. Centro de Gravedad para un Sistema de Partículas. Si se considera un sistema de n partículas fijas contenidas en un espacio de coordenadas x, y y z. Para el centroide de la superficie de un objeto, tal como una placa o un disco, subdividimos el área en elementos diferenciales d A. UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 17

5 CENTROIDE DE UNA LÍNEA. Si la geometría de un objeto (rígido), por ejemplo una varilla o un alambre, que tenga la forma de una línea continua y homogénea, se elige un diferencial de longitud d L, que tiene coordenadas x, y y z respectivamente En este caso el centro de gravedad del objeto no necesariamente debe estar sobre la línea, sino fuera de ella, tal como se muestra en la figura. Entonces se tiene que: UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 18

6 Eje de Simetría. En el caso de figuras plana, el centro de gravedad G, necesariamente se encuentra dentro de esa área. UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 19

7 Ejemplo # 1. Centros de Gravedad de Áreas Demostrar que el centro de gravedad de un rectángulo es b h y h 2 respectivamente. y Solución: d y h Los lados de b y h se tiene d A = b.dy Aplicando la definición, se tiene: b y x Aŷ = y. d A ; ŷ = ŷ = b. y 2 2 b.h h 0 = b.h2 2.b.h h 0 y.b dy A pero como A = b.h ; ŷ = h 2 Demostramos a X Aplicando la definición, se tiene: d A = h.dx ; x = b 0 X da A pero como d A = h.dx b 0 X.hdx b.h ŷ = h. x2 2 b.h b 0 = h.b 2 2.b.h ; x = b 2 Ejemplo # 2. Determinar el centro de gravedad de un triángulo. Solución: y d A = s.dy Dado que A = ½ b.h, aplicando la definición se tiene: d y I h s y ŷ = s = b h y.d A d A por semejanza de triángulo b s = h h y => (h y) sustituyendo el valor de G b x ŷ = h y. b 0 h (h y ) d y h 0 b h (h y ) d y = b h b h h 0 (h y 2 ) d y h 0 (h y) d y ŷ = h.y y 3 h.y y 2 2 h 0 h = centro de gravedad a 1/3h de la base y a una distancia 2/3h del vértice h3 1 ; ŷ = 1. h identifica el 2 h2 3 UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 20

8 UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 21

9 Ejemplo # 3. Determinar el centro de gravedad de la figura compuesta que se muestra. Solución: C1 C2 UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 22

10 Ejemplo # 4. Determinar el centro de gravedad de la figura. Solución:. Ejemplo # 5. Localice el centro de gravedad de la figura compuesta. UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 23

11 Ejemplo # 6. Localice el centro de gravedad de la figura compuesta. UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 24

12 Ejemplo # 7. Determinar el centro de gravedad de la figura. UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 25

13 Ejemplo # 8. Determinar el centro de gravedad de la figura. Un cuarto de Elipse Ejemplo # 9. Determinar el centro de gravedad de la figura. UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 26

14 Ejemplo # 10. Determinar el centro de gravedad de la figura. UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 27

15 Usando Y de un arco de radio En el límite como Δ 0 Así que: UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 28

16 Ejemplo # 11. El eje horizontal x señala el centroide del área mostrada y divide el área en dos componentes A 1 y A 2. Determine el primer momento para cada componente de área respecto al eje x, y explique los resultados obtenidos. Primero, se localiza y en la figura Área 1 Área 2 UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 29

17 Centros de Gravedad de Líneas Ejemplo # 12. Determinar la distancia de x al centro de gravedad de una varilla homogénea de forma parabólica. Si la varilla tiene un peso por unidad de longitud de 0.5 lb/ft. Determine la reacción al soporte de apoyo O. Solución: = 0 UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 30

18 Ejemplo # 13. Una varilla uniforme de acero es doblada en un arco circular con radio de 500 mm. La varilla está apoyada por un vínculo A y una cuerda BC. Determine la tensión de la cuerda y la reacción en A. Solución: Primero, por definición sabemos que: También note que la deflexión ABD es un triángulo equilátero. Equilibrando se tiene:: UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 31

19 Ejemplo # 14. Un alambre homogéneo de acero es doblada en un arco parabólico. Determine por integración la coordenada x de su centroide. Solución: Primero, notemos que debido a que el alambre es homogéneo, su centro de gravedad coincide con el centroide de la línea correspondiente se tiene: Luego: Entonces: Entonces: UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 32

20 Ejemplo # 15. Un alambre homogéneo de acero es doblada en un arco parabólico. Determine por integración la coordenada x de su centroide. Solución: Primero, notemos que debido a que el alambre es homogéneo, su centro de gravedad coincide con el centroide de la línea correspondiente Ahora: Luego: Y: Entonces: UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 33

Centros de Gravedad de Volúmenes Ejemplo # 16. Determine el volumen y área del sólido obtenido por rotación del área del ejemplo # 4. a) referente al eje x, b) a la línea x = 165 mm.

21 Centros de Gravedad de Volúmenes Ejemplo # 16. Determine el volumen y área del sólido obtenido por rotación del área del ejemplo # 4. a) referente al eje x, b) a la línea x = 165 mm. Solución: De la solución del Ejemplo # 4, tenemos: Área Aplicando el Teorema de Pappus-Guldinus, tenemos: Línea (b) La Rotación referente al eje x: (a) La Rotación referente a x= 165 mm: UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 34

Ejemplo # 17. En un agujero de 15 mm de díametro se introduce un tornillo de acero de 20 mm de espesor, el orificio luego es compensado por el tornillo, tal como se muestra.

22 Ejemplo # 17. En un agujero de 15 mm de díametro se introduce un tornillo de acero de 20 mm de espesor, el orificio luego es compensado por el tornillo, tal como se muestra. Determine el volumen del acero removido durante el proceso de atornillado Solución: El volumen requerido puede ser generado por la rotación del área mostrada referenten al eje y. aplicando el segundo Teorema de Pappus-Guldinus, tenemos: UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 35

23 Ejemplo # 18. Determine el volumen y el área de superficie de la figura mostrada, el cual está hecha de 2 in (pulgadas) de diámetro. Si R = 3 in y L = 10 in. Solución: Notemos que el área A y la circunferencia C del cruce de la sección del tubo es: Observemos que el final de la sección semicircular puede ser obtenida por la rotación al cruce de la sección a través del arco semicircular del radio R. Luego aplicando el segundo Teorema de Pappus-Guldinus, tenemos: UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 36

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