SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
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- José Valenzuela Reyes
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1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS ECUACIÓN LINEAL CON VARIAS INCÓGNITAS.- Un ución linel con os o más incónits un ución en l que ls incónits tán sometis solmente ls opercion sum (o rt) proucto por números rel. Ejemplos:,,. No son ucion linel:,, 7, ln,.. Un solución e un ución con vris incónits un conjunto oreno e vlor (uno pr c incónit) que verificn o hcen ciert l iul. Ejemplos: L ución, tiene como solucion:... que se pueen cribir tmbién sí:,,,,,,,... si ls reprentmos sobre un sistem e ej coorenos como puntos el plno ( que l ución tiene solo os incónits), toos tán lineos sobre l mism rt llm rt solución el sistem. Observmos que tiene infinits solucion, que se suelen eprr con un fórmul (l fórmul e ls infinits solucion), que se obtiene: α α ; α ; α α α α R o α, α R De form pri se ruelve l ución:, que tiene tmbién infinits solucion entre ls que tán:,,,,,,,,, L fórmul e ls infinits solucion se obtiene: α β α β α, β ; α β α β ; α, β R que tmbién l poemos eprr: α, β, α β α, β R SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.- Un sistem e ucion linel un conjunto e ucion linel con un o vris incónits. que un sistem e ucion incónits.
2 Un solución el sistem un conjunto oreno e números (uno pr c incónit), que sustituios en tos ls ucion, ls verificn l ve.,, ó (,, ) un solución el sistem: CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS LINEALES.- Seún el número e solucion, los sistems linel pueen ser: (sin solución) solucion) (con infinits sol solución) (un (con solución) Incomptibl (I) Inetermino (In) Determino (D) Comptibl (C) linel (S) Sistems RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES.- Rolver un sistem encontrr tos sus solucion. Obvimente, un sistem solo se puee rolver cuno comptible. SISTEMAS EQUIVALENTES.- Dos sistems son equivlent si tiene tmente ls misms solucion. equivlee pu mbos tienen como solución:, Pr rolver un sistem, se moific el sistem inicil, trnsformánolo en otro sistem equivlente más sencillo, hst conseuir que tos ls incónits queen pejs. Ls moificcion, más utilis, que permiten trnsformr un sistem en otro equivlente son: T : Cmbir e oren os ucion equivlente cmbino l ª. Por l ª. T : Cmbir e oren los términos e ls ucion, por tnto ls incónits (que se hce en tos ls ucion el sistem l ve) equivlente T : Suprimir un ución que se combinción linel e otrs (sum o rt e otrs previmente multiplics por números rel istintos e )
3 equivlente pu l. ª.ª T : Sustituir un ución por un combinción linel e ell con otr u otrs el sistem (sum o rt e ell con otrs, previmente multiplics por números rel istintos e ) equivlente : : : En el que hemos sustituio l por l combinción linel:. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES.- Roremos que los métoos e rolución e sistems linel con os ucion os incónits que conocemos hst hor son: Sustitución: Se pej un incónit e un ución se sustitue en l otr. Iulción: Se pej l mism incónit e ls os ucion se iuln. Reucción: Se multiplicn ls ucion por los números uos pr que l sumrls, posteriormente, se v un incónit. Aemás e los métoos tricionl e rolución e sistems, se utili el métoo e Guss. MÉTODO DE GAUSS.- El métoo e Guss un enerlición el métoo e reucción pr sistems linel e os o más e os ucion e incónits. Pr rolver un sistem por el métoo e Guss. Se moific el sistem inicil: c b c b c b trnsformánolo en otro equivlente que té clono, ir, en el que l ª ución ten, l menos, un incónit menos que l ª ución; l ª ten un incónit menos que l ª; sí sucivmente, hst ller l últim ución, que tenrá un incónit menos que l penúltim: k h f e c b Sistem clono o trinulo
4 Pr conseuir trnsformr el sistem inicil en otro clono que se equivlente, se utili el métoo e reucción e form tructur, sustitueno ls ª ª ucion por un combinción linel e c un e ells (rptivmente) con l ª que no ten un e ls incónits (por ejemplo l ): f e f e c b Dpués se sustitue l ª ución el último sistem por un combinción linel e t con l ª ución que no ten un e ls incónits que quen (por ejemplo l ): k h f e c b De form pri se clonn los sistems con más ucion o/ más incónits. Observción: Si el coeficiente e l ª incónit e l ª ución ó, se fcilit l eliminción e ich incónit e ls emás ucion, pr clonr el sistem. En cso e que no se sí, conveniente cmbir e oren ls ucion o e sus términos hst conseuir que lo se (siempre que se pue) Ejemplos.-. ª ª ª ª ª ª ª ª ª ) ª: ( ª ª ª ª ª clono Sistem. ª ª ª ª ª 7 ª ª ª ª 7 clono Sistem. 8,, términos cmbir 8 ª ª ª ª ª 8 ª ª: ª ª ª ª ª clono Sistem El mismo cmino puee hcerse operno sólo con el queleto numérico el sistem llmo mtri el sistem, que más cómoo, que solo se trbj con los coeficient el sistem (se sobreentienen los prouctos orenos por ls incónits):
5 Ejemplo.-. ª ª ª ª ª ª ª ª ª ) ª: ( ª ª ª ª ª clono Sistem Lo mismo se puee hcer con toos los sistems. Un ve clono el sistem, lo clsificmos, observno ls ucion el sistem que h queo: Clsificción rolución el sistem: Si lun e ls ucion el sistem clono e l form: k con k (bsuro) El sistem incomptible (sin solución). Ejemplo.-. 7 Incomptible Sistem (Sin solución) Lueo no h que rolverlo. Si lun e ls ucion e l form: (ución trivil) que un ienti, se elimin seuimos tenieno un sistem equivlente. Un ve elimins tos ls ucion trivil el sistem clono: - Si el nº e ucion no trivil nº e incónits El sistem comptible etermino (con un sol solución). Ejemplo.-. eincónits n trivil eucion no n º º o comptible etermin Sistem tiene un sol solución que se obtiene: Dpejno l incónit e l últim ución: Sustitueno el vlor e en l ución nterior: ( )
6 Sustitueno los vlor e e en l ª ución: ( ) L únic solución el sistem :,, - Si el nº e ucion no trivil < nº e incónits El sistem comptible inetermino (con infinits solucion). Se ruelve buscno l fórmul e ls infinits solucion el sistem; ich fórmul epenerá e tntos prámetros, o ros e libert el sistem, como h e iferenci entre el nº e incónits el nº e ucion: nº e ros e libertnº e incónits nº e ucion Ejemplo.-. 8 ucion no trivil < incónits El sistem comptible inetermino tiene infinits solucion, epenient e: prámetro (o ro e libert), cu fórmul se obtiene: Llmno un e ls incónits e l últim ución α, por ejemplo: α pejno l otr incónit e ich ución: α α Sustitueno los vlor e en l ª ución: α α α Lueo l fórmul e ls infinits solucion : α, α, α α R
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