Análisis de Regresión y Correlación. Material Preparado por Olga Susana Filippini y Hugo Delfino 1
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- Victoria Vidal Montoya
- hace 7 años
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1 Aálss de Regresó y Correlacó Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo
2 ORIGEN HISTÓRICO DEL TÉRMINO REGRESlÓN El térmo regresó fue troducdo por Fracs Galto. E u famoso artículo Galto platea que, a pesar de la preseca de ua tedeca e la que los padres de estatura alta teía hjos altos y los padres de estatura aja teía hjos ajos, la estatura promedo de los ños acdos de padres de ua estatura dada tedía a moverse o «regresar» haca la estatura promedo de polacó total. E otras palaras, la estatura de los hjos usualmete altos o de padres usualmete ajos tede a moverse haca la estatura promedo de la polacó. La ley de regresó uversal de Galto fue cofrmada por su amgo Karl Pearso, que reuó más de regstros de estaturas de memros de grupos famlares. Pearso ecotró que la estatura promedo de los hjos de u grupo de padres de estatura alta era meor que la estatura de sus padres y la estatura promedo de los hjos de u grupo de padres de estatura aja era mayor que estatura de sus padres, geerádose u feómeo medate el cual los hjos altos e hjos ajos «regresaa» e forma smlar haca la estatura promedo de todos los homres. E palaras de Galto, se trataa de ua «regresó haca la medocrdad». Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo
3 Muchas veces las decsoes gerecales se asa e la relacó etre dos o más varales Ejemplos: Itroduccó Después de revsar la relacó etre los gastos de pulcdad y las vetas, u gerete de marketg podría tratar de predecr las vetas para determado vel de gastos de pulcdad. Se quere estmar el cosumo de u e e fucó de los gresos de la famla. Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 3
4 Ejemplos Después de revsar la relacó etre la doss de fertlzate aplcado y el redmeto de u cultvos vetas, u agrcultor podría tratar de predecr el redmeto del cultvo e qq/ha e fucó de la catdad de fertlzate a aplcar. Teedo e cueta todos los gastos e gresos esperados, estalecer el puto optmo de doss de fertlzate a utlzar. U geero e almetos puede ver la relacó exstete etre el tempo y el úmero de acteras que se produce. Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 4
5 Itroduccó E geeral uo desea coocer la relacó exstete etre las varales y cuatfcarla. La represetacó gráfca es efcaz para oteer ua formacó tutva sore la relacó etre varales. Dagrama de Dspersó: Es u gráfco que muestra la tesdad y el setdo de la relacó etre dos varales de terés. Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 5
6 Dagrama de dspersó Los dagramas de dspersó o sólo muestra la relacó exstete etre varales, so tamé resalta las oservacoes dvduales que se desvía de la relacó geeral. Estas oservacoes so coocdas como outlers o valores ustados, que so putos de los datos que aparece separados del resto. Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 6
7 Coceptos áscos Aálss de Correlacó: U grupo de téccas estadístcas usadas para medr la tesdad de la relacó etre dos varales Aálss de Regresó: Es u procedmeto estadístco que estuda la relacó fucoal etre varales. Co el ojeto de predecr ua e fucó de la/s otra/s. Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 7
8 Coceptos áscos Varale depedete (): es la varale que se desea predecr o estmar Varales depedetes ( ). So las varales que provee las ases para estmar. Regresó smple: tervee ua sola varale depedete Regresó múltple: tervee dos o más varales depedetes. Regresó leal: la fucó es ua comacó leal de los parámetros. Regresó o leal: la fucó que relacoa los parámetros o es ua comacó leal Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 8
9 Coefcete de correlacó leal Coefcete de Correlacó (r) requere varales meddas e escala de tervalos o de proporcoes Varía etre -.00 y.00. Valores de -.00 o.00 dca correlacó perfecta. Valor gual a 0.0 dca auseca de correlacó. Valores egatvos dca ua relacó leal versa y valores postvos dca ua relacó leal drecta Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 9
10 Correlacó Negatva Perfecta Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 0
11 Correlacó Postva Perfecta Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo
12 Auseca de Correlacó Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo
13 Correlacó Fuerte y Postva Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 3
14 Coefcete de correlacó (r) Pearso r Covaraca( ) Var( )* Var( ) r ( ( ) ) ( ) ( ( )( ) ) ( ) Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 4
15 Test de hpótess del coefcete de correlacó. Hpótess: H 0 : la correlacó e la polacó es 0. H : la correlacó e la polacó o es 0.. Nvel de sgfcacó: = r 3. Estadístca de la pruea: t se dstruye r como u t de Studet co - grados de lertad. 4. Regla de decsó: Rechazamos H 0 s, y solo s, el valor de t calculado es mayor que el valor t teórco, o el valor p es meor que el fjado. E caso cotraro, se acepta H Coclusó: S rechazo H 0 cocluyo que hay evdecas de correlacó etre las varales. E caso cotraro o Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 5
16 Modelo de Regresó U modelo de regresó, es ua maera de expresar dos gredetes esecales de ua relacó estadístca: Ua tedeca de la varale depedete a varar cojutamete co la varacó de la o las de ua maera sstemátca Ua dspersó de las oservacoes alrededor de la curva de relacó estadístca Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 6
17 Modelo de Regresó Estas dos característcas está mplíctas e u modelo de regresó, postulado que: E la polacó de oservacoes asocadas co el proceso que fue muestreado, hay ua dstrucó de proaldades de para cada vel de. Las medas de estas dstrucoes varía de maera sstemátca al varar. Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 7
18 Represetacó gráfca del modelo de Regresó Leal Nota: e esta fgura se muestra las dstrucoes de proaldades de para dsttos valores de Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 8
19 Aálss de Regresó Ojetvo: determar la ecuacó de regresó para predecr los valores de la varale depedete () e ase a la varale depedete (). Procedmeto: seleccoar ua muestra a partr de la polacó, lstar pares de datos para cada oservacó; dujar u dagrama de putos para dar ua mage vsual de la relacó; determar la ecuacó de regresó. Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 9
20 Proceso de estmacó de la regresó leal smple Modelo de regresó y= 0 + x+ Ecuacó de regresó E(y)= 0 + x Parámetros descoocdos 0. Datos de la muestra x y x y x y x y 0 y proporcoa estmados 0 y Ecuacó estmada de regresó y= 0 + x Estadístcos de la muestra 0. Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 0
21 Método de Mímos Cuadrados Cosdera la desvacó de y co respecto a su valor esperado: y ( 0 + x ) Se cosdera la suma de desvacoes elevadas al cuadrado. Este crtero se deota como: Q 0 Los estmadores de 0 y so 0 y que se otee mmzado las ecuacoes ormales 0 0 Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo
22 Posles modelos e la regresó leal smple Seccó A Relacó leal postva Seccó B Relacó leal egatva Seccó C No hay relacó E y Líea de regresó * E y La pedete es egatva E y La pedete es 0 * La pedete es postva Líea de regresó * Líea de regresó x x x * Ordeada al orge 0 Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo
23 Estmacó de la ecuacó de yˆ = 0 + x, dode: Regresó yˆ es el valor estmado de y para dsttos x. 0 es la terseccó o el valor estmado de y cuado x=0 es la pedete de la líea, o el camo promedo de y para cada camo e ua udad de x el prcpo de mímos cuadrados es usado para oteer 0 y : 0 ( ( y xy) x ) ( ( x x)( x) y) Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 3
24 Iterpretacó gráfca de coefcetes de regresó Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 4
25 Regresó Leal smple e térmos matrcales = 0 + x + dode =,..., = 0 + x +.. = 0 + x +... E térmos matrcales 0. = + Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 5
26 Regresó Leal smple e térmos matrcales E térmos matrcales ecotrar el estmador de mímos cuadrados mplca resolver: = ( ) - Para producr las estmacoes ˆ ˆ ˆ. ˆ Los resduales se otee e ˆ Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 6
27 Pruea de Hpótess Gloal La pruea gloal es usada para vestgar s la comacó leal de varales depedetes es sgfcatva. Las hpótess so : H 0: 3... k 0 Ha: Al meos u coefcete de regresó es dstto de cero. La dstrucó estadístca F es usada e esta pruea,co k (úmero de varales depedetes) y -(k+) grados de lertad, dode es el tamaño de muestra. Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 7
28 Pruea de Hpótess Parcales La pruea t de Studet es utlzada para determar cual varale depedete tee coefcetes de de regresó dstto de cero. So llamadas prueas parcales. Las varales co coefcete de regresó cero so elmadas. La estadístca t se utlza e este caso co - (k+) grados de lertad. Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 8
29 Estmacó de la varaca de los térmos del error ( ) Dee ser estmada por varos motvos Para teer ua dcacó de la varaldad de las dstrucoes de proaldad de. Para realzar ferecas co respecto a la fucó de regresó y la predccó de. La lógca del desarrollo de u estmador de para el modelo de regresó es la msma que cuado se muestrea ua sola polacó La varaca de cada oservacó es, la msma que la de cada térmo del error Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 9
30 Estmacó de la varaca de los térmos del error ( ) Dado que los provee de dferetes dstrucoes de proaldades co medas dferetes que depede del vel de, la desvacó de ua oservacó dee ser calculada co respecto a su propa meda estmada Ŷ Por tato, las desvacoes so los resduales - Ŷ = e la suma de cuadrados es: SC e ( ˆ ) ( 0 ) e Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 30
31 Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 3
32 Estmacó de la varaca de los térmos del error ( ) La suma de cuadrados del error, tee -(k+) grados de lertad asocados co ella, ya que se tuvero que estmar k parámetros. Por lo tato, las desvacoes al cuadrado dvddo por los grados de lertad, se deoma cuadrados medos e SCe CM e ( k ) ( k ) Dode CM es el Cuadrado medo del error o cuadrado medo resdual. Es u estmador sesgado de Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 3
33 Aálss de Varaca e el aálss de regresó El efoque desde el aálss de varaca se asa e la partcó de sumas de cuadrados y grados de lertad asocados co la varale respuesta. La varacó de los se mde covecoalmete e térmos de las desvacoes ( ) La medda de la varacó total SCtot, es la suma de las desvacoes al cuadrado ( ) Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 33
34 Varacó Total Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 34
35 Desarrollo formal de la partcó Cosderemos la desvacó Podemos descompoerla e ( ) (Ŷ ( Ŷ) T R E (T): desvacó total (R): es la desvacó del valor ajustado por la regresó co respecto a la meda geeral (E): es la desvacó de la oservacó co respecto a la líea de regresó ) Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 35
36 Partcó de la varacó total Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 36
37 Desarrollo formal de la partcó S cosderemos todas las oservacoes y elevamos al cuadrado para que los desvíos o se aule (Ŷ ) ( Ŷ ) SC tot SC reg SC er (SC tot ): Suma de cuadrados total (SC reg ): Suma de cuadrados de la regresó (SC er ): Suma de cuadrados del error Dvdedo por los grados de lertad, (-), (k) y (-), respectvamete cada suma de cuadrados, se otee los cuadrados medos del aálss de varaca. Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 37
38 Coefcete de Determacó Coefcete de Determacó, R - es la proporcó de la varacó total e la varale depedete que es explcada o cotalzada por la varacó e la varale depedete. El coefcete de determacó es cuadrado del coefcete de correlacó, y vara etre 0 y. Para calcular el R se utlzó la sguete fórmula: R ( ( yˆ y c o y) y) Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 38
39 Supuestos Lealdad. Idepedeca de los resduos. Homocedastcdad Normaldad No colealdad. Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 39
40 Lealdad La relacó etre las varales depedetes y depedetes es leal. Cómo se pruea? Dagrama de dspersó etre las varales Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 40
41 Dagrama de dspersó Los dagramas de dspersó o sólo muestra la relacó exstete etre varales, so tamé resalta las oservacoes dvduales que se desvía de la relacó geeral. Estas oservacoes so coocdas como outlers o valores ustados, que so putos de los datos que aparece separados del resto. Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 4
42 Idepedeca de los Resduos Los resduos so ua varale aleatora. No dee estar autocorrelacoados. Es comú que ocurra e seres temporales. Cómo dagostcar? Dur Watso DW Vara etre 0 y 4 alrededor de sgfca depedeca de los resduos. Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 4 ( e e e )
43 Homocedastcdad Para cada valor de la varale depedete la varacó alrededor de la líea de regresó de la varale depedete es costate. Cómo dagostcar? Gráfco de dspersó etre las valores proostcados y los resduales (amos estadarzados) Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 43
44 Aálss de resduos resduos estadarzados valores proostcados Los resduos deería estar: Dstrudos aleatoramete alrededor del 0, es decr que haya aproxmadamete la msma catdad de valores postvos y egatvos. Varar etre -3 y +3. Esto dca que el modelo que se especfco es correcto Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 44
45 Aálss de resduos resduos estadarzados valores proostcados Caso : Se requere mas varales e el modelo. Caso : La relacó o es leal etre las varales. Caso 3: Hay heterocedastcdad. Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 45
46 Normaldad de los Resduos Resduo: e Resduo tpfcado: Los resduos dee segur ua dstrucó Normal. Cómo proarlo? z Hstograma de los resduos. Gráfco de proaldad ormal e e Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 46
47 Colealdad leal perfecta cuado ua varale se relacoa de forma perfectamete leal co otra. Colealdad perfecta: o se puede estmar los parámetros. Colealdad parcal: aumeta los resduos tpfcados y produce coefcetes de regresó estales. Cómo dagostcar? No colealdad FIV (Factores de Iflacó de la Varaca) Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 47
48 Regresó múltple Para dos varales depedetes, la forma geeral de la ecuacó de Regresó múltple es: ' a y so las varales depedetes. a es la tercepcó co cuado y so guales a cero. es el porcetaje de camo e por cada udad de camo e mateedo costate. La msma terpretacó se aplca a.. y. so llamados coefcetes de Regresó Parcales. Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 48
49 Proceso de estmacó de la regresó múltple Modelo de regresó múltple y= 0 + x + x p x p + Ecuacó de regresó múltple E(y)= 0 + x + x p x p So parámetros descoocdos p Datos de la muestra x x x p y p proporcoa estmados p Ecuacó estmada de regresó y= 0. x + x p x p 0... p so estadístcos de la muestra Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 49
50 Modelo geeral La Regresó Múltple Geeral co k varales depedetes esta dada por: ' a... El crtero de Mímos cuadrados es utlzado para estmar los parámetros de la ecuacó. Calcular,, etc.es muy tedoso. Hay software que puede utlzarse para resolver el algera matrcal que se usa e la estmacó de los parámetros k k Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 50
51 Ifereca e el aálss de Regresó Estmacó por tervalo de los parámetros de la regresó, 0 y. E todo lo que sgue, asumremos el modelo de errores co dstrucó ormal = [] dode 0 y so parámetros, las so costates coocdas y los so errores depedetes co dstrucó N(0,). Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 5
52 Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 5 Iferecas acerca de - Dstrucó por muestreo de La dstrucó por muestreo de se refere a los dsttos valores de que se otedría co muestras repetdas cuado los veles de la varale depedete se matee costates de muestra e muestra. E( ) = ecestamos estmar ( ) medate s( ) Por lo tato (0,) N t s ; ; t s t P ; ; s t s t P CM s E
53 Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 53 Iferecas acerca de 0 - Dstrucó por muestreo de 0 0. La dstrucó por muestreo de 0 se refere a los dsttos valores de 0 que se otedría co muestras repetdas cuado los veles de la varale depedete se matee costates de muestra e muestra. E( 0 ) = 0 ecestamos estmar ( 0 ) medate s( 0 ) Por lo tato 0 0 CM s E (0,) N t s ; ; t s t P 0 ; 0 0 ; 0 s t s t P
54 Materal Preparado por Olga Susaa Flpp y Hugo Delfo 54 Estmacó por tervalo de E( ) - Dstrucó por muestreo de. Ŷ 0 ˆ La dstrucó por muestreo de se refere a los dsttos valores de que se otedría co muestras repetdas cuado los veles de la varale depedete se matee costates de muestra e muestra. E( ) = E( ) ecestamos estmar ( ) medate s( ) Por lo tato Ŷ Ŷ ˆ Ŷ ˆ CM s E Ŷ Ŷ E ˆ ˆ h h h s E ˆ ˆ ˆ ˆ ; ; h h h t s E t P ˆ ˆ ˆ ˆ ; ; s t E s t P
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