Resolución de la EDO lineal de 2º orden a coeficientes constantes, homogénea

Transcripción

1 rof. Andr mpillo Análisis Mtmático II Rsolción d l EDO linl d º ordn coficints constnts, homogén onsidrmos l cción con. r st tipo d ccions difrncils, mos proponr n solción rificrmos q s trt d l solción gnrl. Rcordmos q l solción gnrl srá d l form, sgún l torm isto ntriormnt. En st cso bscmos ls fncions, linlmnt indpndints, d modo q l solción gnrl rslt n combinción linl d sts fncions. omo dbmos proponr n solción l cción, comnzmos por nlizr ls ccions difrncils linls d primr ordn coficints constnts, homogén. En st cso, l cción srá: con. odmos rsolrl plicndo l mtodologí d ribls sprbls: d d d d Si hcmos k tnmos: d k d ln k c k onsidrmos l solción prticlr n l cl c. En st cso:. L solción prticlr hlld s n fnción ponncil, sponindo q sto pd gnrlizrs ls ccions linls d º ordn, proponmos como solción prticlr otr fnción ponncil. Es dcir, pr l cción k proponmos como solción prticlr l fnción. El problm hor s hllr l lor d l constnt k pr q l fnción propst rslt solción d l cción. r llo rmos qé condicions dbn cmplirs pr q l solción propst stisfg l cción difrncil. or lo tnto: k k k k k Rmplzndo n l cción difrncil: k k k k k k k k k omo R :, db cmplirs q: k k Ahor podmos hllr los lors d k pr q l solción propst s solción prticlr d l cción: los lors d k srán ls rícs d n cción d sgndo grdo. Est polinomio s dnomin polinomio crctrístico d l cción difrncil, pr rmrlo s tilizn los mismos coficints d l cción q s ds rsolr.

2 rof. Andr mpillo Análisis Mtmático II Ls rícs dl polinomio crctrístico nos prmitirán hllr ls solcions prticlrs q, mdint n combinción linl, gnrn l solción gnrl d l cción. L sitción q s plnt hor, s r qé scd n cd no d los distintos csos posibls pr ls rícs d polinomios d sgndo grdo: rícs rls distints, n ríz dobl, rícs compljs conjgds. En todos los csos hbrá q idntificr clrmnt ls fncions, dmostrr q son linlmnt indpndints, pr gnrr l solción gnrl como combinción linl d lls. Rícs rls distints: sponmos ls rícs dl polinomio crctrístico k k En st cso, ls solcions prticlrs propsts srán: k k Ncsitmos probr q mbs fncions son LI. r llo tilizmos l Wronskino. k k k k k k k k k k W, k k k k k k k k Sindo k k W, k k R, dmás k {, } s LI. k porq k k, rslt q: or lo tnto, l solción gnrl srá d l form: k k Rícs rls igls: sponmos ls rícs dl polinomio crctrístico k k Llmrmos k k k l ríz dobl dl polinomio. En st cso, ls solcions prticlrs propsts srán: k k L fnción s clrmnt LD con l fnción d hcho mbs fncions son igls. or llo dbmos propons otr fnción pr podr rmr l solción gnrl. Un método práctico pr trnsformr dos fncions LD n LI s mltiplicr n d lls por l ribl. or so, n st cso proponmos como solción prticlr l k fnción. Ahor ncsitmos probr q l fnción propst s solción d l cción difrncil d sgndo ordn, dmás q s LI rspcto d. omncmos por nlizr si s solción d l EDO. Vrmos qé condicions dbn cmplirs pr q l solción propst stisfg l cción difrncil. or lo tnto: k k k k k k k k k k k k k k Rmplzndo n l cción difrncil: k k k k k k k k k k k k k k k k ] [ L prsión k k s nl porq k s ríz dl polinomio crctrístico.

3 rof. Andr mpillo Análisis Mtmático II A s z, l prsión k tmbién s igl. Esto s db q l númro k s ríz dobl dl polinomio crctrístico. Rcordndo n torm d Análisis Mtmático I, si n númro s ríz d mltiplicidd mor q d n polinomio, srá tmbién ríz d s drid. Sindo, rslt. or lo tnto, k Volindo lo ntrior: k k k k k ] [. ] [ or lo tnto l fnción propst dbrmos probr q l conjnto s solción d l cción difrncil. Ahor {, } s LI. Vmos tilizr l Wronskino. W k, k k k k k k k k k k k k k k k k Sindo W k R { } k k,, s LI. por trtrs d n fnción ponncil, rslt: or lo tnto, l solción gnrl srá d l form: k k Rícs compljs conjgds: sponmos ls rícs dl polinomio crctrístico k bi k bi En st cso, ls solcions prticlrs propsts srán: bi bi Y sbmos q mbs fncions son solcions d l EDO d sgndo ordn, por l form n q fron obtnids, por lo tnto dbmos probr q mbs sn LI pr obtnr l solción gnrl. r llo tilizmos l Wronskino. W bi, bi bi bi bi bi bi bi bi bi bi bi bi bi bi bi bi bi bi bi bi Sbmos q bi bi R, por trtrs d n fnción ponncil. En st cso, rslt b porq ls rícs son númros compljos, por lo q l prt imginri d dichs rícs db sr no nl. or lo tnto bi, tnmos q: W bi bi,, { bi bi or lo tnto, l solción gnrl srá d l form: Vmos trnsformr st prsión mdint l fórml d Elr. Rcordmos q: bi cosb i snb 3

4 rof. Andr mpillo Análisis Mtmático II Aplicndo st fórml, obtnmos lo sigint: bi bi bi bi [ cosb i snb cos b i sn b ] Aplicndo propidds d pridd impridd d ls fncions sno cosno, s obtin: cosb i sn b cosb i sn b [ cosb i i sn b] Rnombrndo ls constnts d l sigint mnr: i i rslt n prsión pr l solción gnrl d l form: cosb sn b sindo l prt rl d ls rícs dl polinomio crctrístico b l módlo d l prt imginri d dichs rícs. Est tipo d procdiminto s gnrliz pr rsolr ccions difrncils linls coficints constnts d ordn n con n 3 : s rm l polinomio crctrístico socido l cción difrncil s hlln ls rícs socids dicho polinomio. r rmr l solción gnrl, s n smndo ls solcions prticlrs socids cd n d ls rícs dl polinomio crctrístico, mltiplicds cd n d lls por n constnt sncil rbitrri. 4

5 rof. Andr mpillo Análisis Mtmático II Eccions linls d sgndo ordn complts L form gnrl d sts ccions s: con Un z q hmos rslto ls ccions d sgndo ordn homogéns, mos trtr d hllr n método pr rsolr ls ccions complts. r llo comnzmos por plntr l sigint torm. Torm S l cción linl d sgndo ordn linl coficints constnts no homogén o complt, d l form con S H l solción gnrl d l cción difrncil homogén socid l ntrior, s dcir q H s l solción gnrl d l cción con S n solción prticlr d l cción. Entoncs, l solción gnrl d stá dd por: G H Dmostrción Dbmos probr q G s solción d l cción difrncil, s dcir q stisfc l cción. G H G H G H G Sstitndo n l cción: H H H H H H [ ] [ ] H H H porq H s SG d l porq s n S cción homogén d l cción L solción G H s solción gnrl porq pos dos constnts sncils rbitrris: ls constnts q prcn n. r hllr ntoncs l solción gnrl d n cción difrncil d sgndo ordn complt, comnzmos por obtnr l solción gnrl d l cción difrncil homogén socid H, q sbmos cómo ncontrrl. Ncsitmos ntoncs n método q nos prmit obtnr l solción prticlr socid l cción complt. H 5

6 rof. Andr mpillo Análisis Mtmático II Método d rición d los prámtros onsidrmos l cción difrncil con S l solción gnrl d l cción difrncil homogén socid. H roponmos como solción prticlr d l sigint fnción: con fncions rbitrris. Obsrmos q pr rmr n l solción gnrl d l cción difrncil homogén, n lgr d ls constnts sncils proponmos dos fncions d. r q st propst s solción d l cción difrncil, db stisfcr l cción. or lo tnto rlizrmos ls drids primr sgnd d pr sstitir n l cción. L drid sgnd srá ún más complicd. or lo tnto, sinto fncions rbitrris, podmos imponr condicions q fcilitn los cálclos. dimos ntoncs: Bjo sts condicions rslt: Sstitimos ntoncs n l cción, q si s solción db stisfcr dich cción. orq son solción d l cción difrncil homogén socid porq Tnmos ntoncs n sistm d ccions q nos prmit hllr ls fncions. L primr cción dl sistm rslt d l condición impst pr fcilitr los cálclos, l sgnd cción srg dl dsrrollo lgbrico ntrior. 6

7 rof. Andr mpillo Análisis Mtmático II or lo tnto: Aplicndo l rgl d rmr pr rsolr l sistm tnmos q: Tngmos n cnt q l dtrminnt dl dnomindor nnc s hc cro, q s trt dl Wronskino q nnc s nl por sr ls fncions LI., W Un z obtnid l fnción, s intgr pr obtnr l fnción. Análogmnt rslt:, lgo s intgr pr obtnr l fnción D st modo llgmos l solción prticlr bscd pr compltr l solción gnrl. Rslt L prsión d l solción gnrl srá: H G 7