Análisis de respuesta en frecuencia

Transcripción

1 Aálisis de respuesta e freueia Co el térmio respuesta e freueia, os referimos a la respuesta de u sistema e estado estable a ua etrada seoidal. E los métodos de la respuesta e freueia, la freueia de la señal de etrada se varía e u ierto rago, para estudiar la respuesta resultate. El riterio de estabilidad de Nyquist os permite averiguar la estabilidad relativa y absoluta de los sistemas lieales e lazo errado a partir del ooimieto de sus araterístias de freueia e lazo abierto. Obteió de salidas e estado estable para etradas seoidales. Cosidere el sistema estable, lieal e ivariate o el tiempo de la figura. La etrada y la salida del sistema, uya fuió de trasfereia es ( s, se represeta mediate ( t y ( t, respetivamete. Supogamos que la señal de etrada es Supoga que la fuió de trasfereia ( s deir, ( s p q x ( t X se t x y se esribe omo u oiete de dos poliomios e s ; es ( s ( s p( s ( s + s ( s + s ( s + E este aso, la salida trasformada mediate el método de Laplae es 1 s ( s ( s X ( s Y p q ( s ( s X ( s La respuesta e estado estable de u sistema estable, lieal e ivariate o el tiempo ate ua etrada seoidal o depede de las odiioes iiiales. (Por tato, supoemos ua odiió iiial ero. Si Y ( s sólo tiee polos distitos, la expasió e fraioes pariales de la euaió produe X Y ( s ( s X ( s ( s s + a a b1 b b s + j s j s + s s + s s + s so ostates y a es el omplejo ojugado de a. La trasformada iversa de Laplae de la euaió e dode a y b ( para i 1,,, 1 1

2 Para u sistema estable, s, s,, s, e y jt jt s 1t st st ( t ae + ae + b e + b e + + b e ( t 0 s t 1 s t s t 1 tiee partes reales egativas. De este modo, oforme t tiede, e,, y e a ifiito, los térmios 1 tiede a ero. Por lo tato, todos los térmios e el segudo miembro de la euaió, exepto los dos primeros, se desarta e estado estable. y ss jt jt ( t ae + ae E dode la ostate a se evalúa del modo siguiete: a a X s + ( s ( s + j X s + ( s ( s j s j s j X j X j ( j ( j Dado que ( j es ua atidad ompleja, se esribe e la forma siguiete: jφ ( j ( j e e dode ( j represeta la magitud y φ represeta el águlo de ( j ( j ( 1 parte imagiaria de φ ( j ta parte real j ; es deir, El águlo φ puede ser egativo, positivo o ero. Asimismo, obteemos la expresió siguiete para ( j : Cosiderado que La euaió puede esribirse omo jφ jφ ( j ( j e ( j e X a jφ ( j e X ( j j, a j e jφ Dode y ss ( t X ( j X Y se j( t+ φ j( t+ φ e e j ( j se( t + φ ( t + φ Y X ( j

3 Observamos que u sistema estable, lieal e ivariate o el tiempo sujeto a ua etrada seoidal tedrá, e estado estable, ua salida seoidal de la misma freueia que la etrada. Pero la amplitud y la fase de la salida será, e geeral, diferetes de las de la etrada. ( j ( j ( j ( j Y( j X ( j Y oiete de las amplitudes de la seoidal de salida etre la seoidal de etrada X defasamieto de la seoidal de salida o respeto a la seoidal de etrada Por tato, las araterístias de respuesta de u sistema para ua etrada seoidal se obtiee diretamete de Y X ( j ( j ( j La fuió ( j se deomia fuió de trasfereia seoidal. Es el oiete etre Y ( j y ( j X. Es ua atidad ompleja y se represeta mediate ua magitud y u águlo de fase o la freueia omo parámetro. (U águlo de fase egativo se deomia atraso de fase y u águlo de fase positivo se deomia adelato de fase. La fuió de trasfereia seoidal de ualquier sistema lieal se obtiee sustituyedo s por j e la fuió de trasfereia del sistema. 3

4 Ejemplo Cosidere el siguiete sistema, uya fuió de trasfereia es ( s Cambiado la s por j La magitud es ( j ( j El defasamieto es ( s ( s ( s ( s s s 5 s j ( ta 1 φ j Fuió de Trasfereia 60 4 ( s + ( s ( s + 8 ( s + 4( s ( s + 4s + 8( s ( s + + j( s + j( s + 5 ( j ( j º Euaioes de magitud y fase 60 ( j j( j + 4( j ( j ( j 90 ta ta ( ( j + 8 j j j + 4 j + 1 ( ( ( ( j ( j ta 180 ta ta ( j + j4 + 8 j + 5 ( j 1 1 ( ( ( ( j ta ta < ( j ta ta > ( j j + + j j + j j + 5 ( j ( j ( ( ( 70 1 ( + + ( ta + ta ta

5 Presetaió de las araterístias de la respuesta e freueia e forma gráfia. La fuió de trasfereia seoidal, fuió ompleja de la freueia, se arateriza por su magitud y águlo de fase, o la freueia omo parámetro. Por lo geeral se usa tres represetaioes gráfias de las fuioes de trasfereia seoidales: 1. Las gráfias de Bode o gráfias logarítmias. Las gráfias de Nyquist o gráfias polares 3. Las gráfias de magitud logarítmia otra la fase ráfias de Bode Las gráfias de Bode está formadas por dos gráfias: ua es el logaritmo de la magitud de ua fuió de trasfereia seoidal y la otra es el águlo de fase. Ambas se grafia otra la freueia e la esala logarítmia. La uidad que se usa e esta represetaió del logaritmo de la magitud es el deibel ( db, ( j 0log ( j. Se traza las urvas sobre papel semilogarítmio, o la esala logarítmia db para la freueia y la esala lieal para la magitud (e deibeles o el águlo de fase (e grados. (El rago de freueia de iterés determia la atidad de ilos logarítmios que se requiere e la absisa. La vetaja priipal de usar la grafia de Bode es que la multipliaió de magitudes se ovierte e adiió. Además, ueta o u método simple para trazar ua urva aproximada de magitud logarítmia. Se basa e aproximaioes asitótias. Esta aproximaió, mediate asítotas (líeas retas, es sufiiete si sólo se eesita iformaió geeral sobre la araterístia de la respuesta e freueia. 5

6 Ejemplo Para la siguiete fuió de trasfereia, determie el logaritmo de la magitud y la fase para diferetes valores de freueia. 5 ( s s + 1 Cambiado la s por j ( j 5 j + 1 La euaió de la magitud e deibeles es ( j El defasamieto es ( 0log5 0log j db ( ta 1 φ j ( j db ( j ( j db ( j

7 Ejemplo 1 ( s s 60 4 ( s + ( s + 8 ( j ( ( j j( j+ ( j log 60 0log 0log 16 0log 64 j db ( j 90 ta ta 4 8 ( j db ( j ( j db ( j

8 Ejemplo ( s 50( s + 10 ( s + 1( s + 3( s + 5( s + 7 ( j ( db ( j ( j ( j ( j ( j ( j j log 50 0log 100 0log 1 0log 9 0log 5 0log ( j ta ta ta ta ta ( j db ( j ( j db ( j

9 Ejemplo 3 ( s ( s s s s s ( + ( ( 0log 7 + 0log log 0log + 4 0log 16 + ( 8 j db ( j ta 90 ta ta < ( j ta 90 ta ta + 180º 8 > 4 8 ( s 7( s + 4 ( + ( + + ( + s s s j s j ( db ( ( ( ta 90 ta ta ta j 0log 7 + 0log log 0log + 4 0log log + 4 j 4 ( j db ( j ( j db ( j

10 Las razoes de freueia se expresa e térmios de otavas o déadas. Ua otava es ua bada de freueia de 1 a 1. Ua déada es ua bada de freueia de 1 a La distaia horizotal de 1 1 a 1 10 es igual a la de 1 3 a Fatores básios de ( j H ( j Los fatores básios que suele ourrir e ua fuió de trasfereia arbitraria ( j H ( j 1. aaia K j. Fatores itegral y derivativo ( 1 1+ j 3. Fatores de primer orde ( 1 4. Fatores uadrátios 1+ ζ ( j + ( j ± [( ] 1 so: aaia K U úmero mayor que la uidad tiee u valor positivo e deibeles, e tato que u úmero meor que la uidad tiee u valor egativo. La urva de magitud logarítmia para ua gaaia ostate K es ua reta horizotal uya magitud es de 0 log K deibeles. El águlo de fase de la gaaia K es ero. El efeto de variar la gaaia K e la fuió de trasfereia es que sube o baja la urva de magitud logarítmia de la fuió de trasfereia e la atidad ostate orrespodiete, pero o afeta la urva de fase. ( K 10 0 log K 0 ( K log K 0 0 log + 0 log 10

11 Fatores de itegral y de derivada ( 1 j (polos y eros e el orige. La magitud logarítmia de ( 1 j e deibeles es 1 0log 0log j El águlo de fase de ( 1 j es rafia de Bode 1 φ 90 j Si se grafia la magitud logarítmia de 0 log db otra e ua esala logarítmia, se obtiee ua reta o pediete de 0 db / deada 6 db / otava. ( La magitud logarítmia de j e deibeles es 0log j 0log El águlo de fase de ( j es ( j 90 φ La urva de magitud logarítmia es ua reta o ua pediete de 0 db / deada. Si la fuió de trasfereia otiee el fator ( 1 j o ( j la magitud logarítmia se ovierte, respetivamete, e 1 0log 0log j 0log ( j 1 φ *90º ( j ( 0log j 0log j 0log ( j φ *90º 11

12 Por tato, las pedietes de las urvas de magitud logarítmia para los fatores ( j 1 y ( j so 0 db / deada y db / deada 1 j es igual a 90 durate todo el rago de freueia, e tato que el de ( j es igual a 90 e todo el rago de 0 db, 1. 0, respetivamete. El águlo de fase de ( freueia. Las urvas de magitud pasará por el puto ( Fatores de primer orde ( 1 1+ jt (polos y eros reales rafia de Bode La magitud logarítmia de ( 1+ jt 1 es 1 0 log 0 log 1+ T 1+ j T El águlo de fase de ( 1+ jt 1 es 1 φ ta 1+ jt 1 T La magitud logarítmia de ( + jt 1 es 0 log 1+ j T 0 log 1+ T El águlo de fase de ( + jt φ 1 es 1 ( 1+ jt ta T 1

13 [ ] 1 Fatores uadrátios 1 ζ ( j + ( j + (polos y eros omplejos La magitud logarítmia de ( ( 1 1+ ζ j + j es rafia de Bode 1 0log 1+ ζ j + j 0log 1 + ζ El águlo de fase es ζ 1 1 φ ta 1 ζ j j La magitud logarítmia de 1+ ζ ( j ( + j es 0log 1+ ζ j + j 0log 1 ζ + El águlo de fase es ζ 1 φ 1+ ζ j + j ta 1 13

14 Estabilidad Marge de fase: El marge de fase es la atidad de atraso de fase adiioal e la freueia de rue de gaaia requerida para llevar el sistema al borde de la iestabilidad. La freueia de rue de gaaia es la freueia e la ual la magitud de la fuió de trasfereia e lazo abierto, es uitaria, ( j 1. El marge de fase MF sería. Marge de gaaia: ( MF j El marge de gaaia es el reíproo de la magitud ( j E térmios de deibeles M M. f e la freueia de rue de fase f 1 ( j ( db 0log M 0log ( j La freueia de rue de fase f es la freueia e la ual el águlo de fase de la fuió de trasfereia e lazo abierto es 180º, ( j 180º. f f f Marge de fase y de aaia para sistemas estables, rítiamete estables e iestables. 14

15 Ejemplo 1 ( j j 3 ( j + 1( j + ( s ( s s ( 3 ( + 1( s+ 0log 3 0log 0log 1 0log 4 j + + db j 90 ta ta 1 1 ( j db ( j ( j db ( j Freueia de trasiió de gaaia Freueia de trasiió de fase f rad seg ( ( j 0 db j 160 MF 0 rad seg ( f ( f j 180 j 6.0 db M 6.0 db 15

16 Cuál es la gaaia rítia K? La gaaia rítia es uado teemos u MF 0 y M 0 db Neesitamos subir la gráfia de magitud 6.0 db o sea que debemos de teer ua de magitud de 0 db y u defasamieto de 180 e f rad seg log K 6.0 K 10 Cuál es la gaaia eesaria para teer u MF de 50º? Para umplir o el MF debemos de teer u defasamieto de 130º ( , este defasamieto se preseta e 0.49 y teemos ua magitud de 8.53 db Etoes, se eesita bajar la gráfia de magitud 8.53 db para teer 0 db e log K 8.53 K ( s s 3* ( s + 1( s + 16

17 Ejemplo ( j 1700 ( j+ 3( j+ 6 ( db ( s 1700 ( s+ 3( s+ 6 0log log 9 0log 36 0log 36 j ( j ta ta ta ( j db ( j ( j db ( j Freueia de trasiió de gaaia 10.8 rad seg ( ( Freueia de trasiió de fase 8.49 rad seg Sistema iestable j 0 db j 196. MF 16. f ( f ( f j 180 j 4.86 db M 4.86 db Cuál es la gaaia rítia K? log K 4.86 K

18 Cuál es la gaaia eesaria para teer u MF de 50º? Para umplir o el MF 50 debemos de teer u defasamieto de 130º, ( , este defasamieto se preseta e 4.5 y teemos ua magitud de db Etoes, se eesita bajar la gráfia de magitud db para teer 0 db e log K K ( s 1700* ( s+ 3( s+ 6 ( s+ 3( s+ 6 Freueia de trasiió de gaaia 4.48 rad seg ( ( Freueia de trasiió de fase 8.49 j 0 db j 19.7 MF 50.3 f rad seg ( f ( f j 180 j 10.1 db M 10.1 db aaia rítia K log K 10.1 K

19 Cuál es la gaaia eesaria para teer u MF de 60º? Para umplir o el MF 60 debemos de teer u defasamieto de 10º defasamieto se preseta e 3.98 y teemos ua magitud de db Etoes, se eesita bajar la gráfia de magitud db para teer 0 db e log K K ( s 1700* ( s+ 3( s+ 6 ( s+ 3( s+ 6, ( +, este Freueia de trasiió de gaaia 3.98 Freueia de trasiió de fase 8.49 rad seg ( j 0 db ( j 10.1 MF 59.9 f rad seg ( f ( f j 180 j 11.5 db M 11.5 db aaia rítia K log K 11.5 K

20 Diagrama de Bode para diferetes valores de gaaia ( j K j j+ j+ ( 1( ( s ( ( s s K ( + 1( s+ j + + db 0log K 0log 0log 1 0log 4 j 90 ta ta 1 1 Margees de fase y de gaaia para diferetes valores de gaaia K MF M f K MF M f