CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE REGRESIÓN

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1 CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE REGRESIÓN Leccó 0: Regreó leal Smple La palabra Regreó fue utlzada por prmera vez por Frac Galto, (.8.9) e u etudo de Bología obre la hereca, doe él oto que la caracterítca promedo de la guete geeracó de u grupo partcular, tedía a movere e la dreccó de la caracterítca promedo de la poblacó, má que a la geeracó preva de dcho grupo. La regreó e coderada ua aocacó cuattatva etre la varable que partcpa e el feómeo. Ete dvera clae de regreó, la cuale o vble por medo de u modelo matemátco, el cual relacoa la varable. Segú el modelo matemátco e cooce dvera clae de regreó: - Regreó leal: - Regreó cuadrátca: L( - Regreó logarítmca: ) Aí ete otro tpo de regreó, que decrbe feómeo partculare. La varable que e etuda e ua regreó o: Varable de Repueta: E la varable, la cual e oberva bajo codcoe epermetale, pero o e puede cotrolar, lo que e mde por medo del llamado Error aleatoro. E todo modelo, e aume que la varable de repueta tee dtrbucó ormal, co meda E( ) co varaza. Ademá, lo valore obervado,, 3,,. o etá correlacoado etadítcamete: Cov(, ) = 0 para j. Varable Predctora: So la varable,, 3,, ; cuo valore e aume de atemao, por lo cual o o varable aleatora, a que puede er cotrolable e el feómeo o epermeto. Dagrama de Dperó. Ua dtrbucó bdmeoal o bvarate puede repreetare gráfcamete e u plao carteao, ubcado e el eje horzotal o abca lo valore de la prmera varable deomada e el eje vertcal u ordeada, lo valore de la eguda varable,. De maera pue que e grafca tata pareja ordeada como obervacoe haa de la varable. A ete cojuto de puto o ube de puto e le deoma dagrama de dperó, dado que lo puto e ubca de forma dpera e el plao carteao. E mucho cao el ólo dagrama de dperó dca ua tedeca de agrupacó de lo puto, que puede er leal (haca arrba o haca abajo), epoecal, curvlíea o polgoal. Parte del aál etadítco que hace el vetgador e determar cuál e la mejor líea o curva que repreeta a ee cojuto de dato. El mejor ajute e hace cuado e elabora be la gráfca, e cooce la dtrbucó e va adquredo epereca e u cálculo determacó. Pága 80 de 77

2 Fgura: Gráfca de dperó (a) leal; (b) curvlíea; (c) relacó (a) (b) (c) Regreó Leal Smple. La regreó eama la relacó etre do varable retrgedo ua de ella repecto a la otra, co el objeto de etudar la varacoe de la prmera cuado la otra permaece cotate. La regreó e u método que e emplea para prootcar o predecr el valor de ua varable e fucó de lo valore dado de la otra o de la otra varable. La regreó leal mple, e caracterza porque e tee la varable de repueta Ua ola varable eplcatva o depedete. Lo dato e puede repreetar por medo de pareja ordeada (, ) para =,, 3,,. E la regreó leal mple, la meda ) e relacoa lealmete co lo valore, por medo de la ( llamada ecuacó de regreó: ). Dode α β o lo parámetro del modelo, que e ( relacoa lealmete, o decoocdo correpode a lo coefcete de correlacó. El modelo de regreó leal mple e eprea como e preeta a cotuacó: Dode ε e llamado Error Aleatoro o Error del Modelo, el cual tee como caracterítca: Meda: 0 Varaza: la cual o e medble. Lo parámetro e etma por medo de dato muetrale, obteedo ua ecuacó de regreó ajutada. Aí cada par de obervacoe atface: Dode a = Etmador de α. b = Etmador de β e = Lo reduale. Se mde aí: e a b e Pága 8 de 77

3 Grafca: Regreó el Modelo Leal Cuado e codera, depué de ua peccó e la gráfca de dperó, que ua líea recta e la mejor curva que e ajuta al cojuto de puto e procede etoce a emplear el método de la regreó leal mple. La mejor líea e aquella que hace míma la uma de lo cuadrado de la dfereca etre lo puto dado lo obtedo medate la líea ajutada o etmada. E por eo que a ete método també e le cooce como el método de lo mímo cuadrado. La ecuacó de regreó ajutada erá: Dode: a : b : a b Varable depedete (la que e va a predecr) Itercepto de la varable Varable predctva o depedete Pedete de la recta E eta ecuacó ha do valore decoocda: a b, que debe determare aplcado el crtero de lo mímo cuadrado, bucado aí la mejor recta que e ajute a lo dato. Para hallar lo etmadore a b, e utlza la guete ecuacoe. la demotracó e deja como ejercco de vetgacó, e mu tereate. b b a Dode: b : Pedete de la recta a : Itercepto de la varable : Valore de la varable depedete : Valore de la varable depedete : Tamaño de la muetra Pága 8 de 77

4 Número de comercale tramtdo por día Alguo autore calcular lo valore de a b e térmo de la meda de de lo cojuto de dato co la guete do ecuacoe: b ) ( a b Dode: : Valore de la varable depedete : Valore de la varable depedete : tamaño de la muetra El departameto de publcdad de ua dutra almetca deea aber ete ua relacó etre la veta el úmero de comercale de televó tramtdo por día. Para ello, toma ua muetra aleatora de ete cudade. La guete tabla muetra lo reultado obtedo. Tabla: Relacó de veta de u producto la emó del comercal e televó Veta Catdad de mlloe por me Comercale Número tramtdo por día 8,4 9 5, 6 7, 8 0,9, 3 4,4 4 a-) Deñar el dagrama de dperó para detfcar el comportameto de lo dato. b-) Determar la ecuacó de regreó etmada. Solucó: EJEMPLO a-) Para coocer el tpo de relacó que puede etr etre eta do varable, el prmer pao e determar e el dagrama de dperó efectvamete úa ua tedeca leal. Fgura: Dagrama de dperó de veta de u producto la emó del comercal e televó Veta, ceto de udade por me Pága 83 de 77

5 El dagrama cofrma la opecha, e procede ahora a determar la ecuacó de la recta que má e ajuta. b-) Para determar la ecuacó de regreó: mímo cuadrado. Dode: b ) ( Mlloe por me a b a b Comercale e debe etmar lo parámetro, por medo de lo 8,4 9 75,6 70,56 5, 6 3, 7,04 7, 8 56,8 50, ,9 54,8 66,4, 3 57,3 46,4 4,4 4 0,6 07,36 70, ,3 768,9 b 7 *787,3 (70,)(73) 393,8 7 *768,9 (70,) 463,3 ( ) a 0,43 0,85*0,0,9 Co la otra ecuacó: b 73 ( ,) 3,45 a, Aí la ecuacó de regreó ajutada e: 0,85, 9 0,85 Co lo dato del ejemplo ateror, cual ería la veta e paa: a-) 0 comercale b-) 7 comercale. EJEMPLO Solucó: a-) Como = 0. Etoce: 0,85(0),9 0, 4 Mlloe por me b-) Para = 7. 0,85(7),9 7, 87 Mlloe por me. Pága 84 de 77

6 Leccó : Relacó Correlacó CORRELACIÓN: La correlacó e ua medda del grado de aocacó etre la varable eplcatva, repecto al varable de repueta. El aál de correlacó mde La Fuerza de relacó etre la do varable a travé del llamado coefcete de correlacó de Pearo. Se repreeta co r edo ete u valor etre -. S el coefcete de correlacó r e gual o meor que uo, o dca que tato la covaraza, como lo coefcete agulare, o egatvo por tato la recta erá decedete, por er la pedete egatva. Ademá e gual a -, o dca que ete ua relacó vera perfecta etre la varable. Para el cao de que r ea potvo, la recta e crecete e gual a, dca que ete ua relacó drecta perfecta. E eta codcoe, cada valor de la varable deberá er eactamete gual al etmado, por tato la varaza redual e gual a cero; ademá, la varaza eplcada gual a la varaza total. Fgura: Gráfca de dperó leal (a) potva (b) egatva (a) (b) Propedade: a-) El coefcete de correlacó o depede de lo valore de e. b-) El valor del coefcete e depedete de la udade de e c-) El valor del coefcete etá etre - : - r d-) Cuado r = 0, etoce o ete correlacó leal etre la varable. e-) Cuado r =, ete correlacó potva perfecta ademá e drecta, e eto cao ha depedeca total etre la varable. f-) Cuado r = -, ete correlacó egatva perfecta ademá e vera, e eto cao també ha depedeca total etre la varable. El coefcete de correlacó poblacoal e defe como: σ : Covaraza de e. σ σ Devacó típca de la dtrbucoe margale de e. S (, ) o valore de ua muetra aleatora proveete de ua poblacó bvarada, etoce el coefcete de correlacó muetral eta dado por: Dode: r E pertete teer preete que e tee do correlacoe: r = 0,3 r = 0,9 etá dcado que la do o potva, pero NO e puede pear que: r = 3r Pága 85 de 77

7 U etudo obre la traformacó de ua utaca e certo proceo a dferete temperatura, orgó la guete tabla: 0 C,0,,,3,4,5,6,7,8,9,0 Kg 8, 7,8 8,5 9,8 9,5 8,9 8,6 0, 9,3 9, 0,5 Hallar el coefcete de correlacó de Pearo e terpretar el reultado. Solucó: r 5,59 5,85 6,50, 93,58 00,4 7,,99,99 r 0,708, 7,0,8,0 8,,0 65,6 8,, 7,8, 60,84 8,58, 8,5,49 7,5 0,,3 9,8,69 96,04,74,4 9,5,96 90,5 3,3,5 8,9,5 79, 3,35,6 8,6,56 73,96 3,76,7 0,,89 04,04 7,34,8 9,3 3,4 86,49 6,74,9 9, 3,6 84,64 7,48,0 0,5 4,0 0,5,0 6,50 00,4 5,85 93,58 5,59 6,5000,4, 99 0 EJEMPLO Como r e potvo relatvamete grade, etoce ha ua alta relacó etre la varable temperatura catdad de maa, lo que o dca que a maor temperatura, maor catdad de traformacó de maa. DETERMINACIÓN: El coefcete de determacó e ua medda de la bodad de ajute del modelo de regreó. El coefcete de determacó etablece el grado de proporcó de la varacó total de la varable de repueta, () que e eplcado por el modelo, epecífcamete por la varacó de la varable eplcatva. Lo ateror gfca que e ecearo medr el porcetaje de la formacó recogda o eplcada por el modelo de regreó obtedo. Pága 86 de 77

8 Medda de Varacó: Por el aál de regreó, e abe que el -émo redual e e puede mmzar por el método de mímo cuadrado, catdad coocda como la uma de cuadrado del error SSE, el cual e la medda del error que e comete cuado e utlza la ecuacó de regreó, para hallar a partr del modelo obtedo. SSE De la mma maera, para el -émo valor de la varable de repueta, e tee la dfereca que e la medda del error ocaoado al utlzar para etmar el valor de la varable de repueta, obteedo lo llamado uma total de cuadrado SST. SST La otra medda de regreó, e la devacó de lo valore etmado meddo e la líea de regreó repecto al valor promedo, orgado la llamada uma de cuadrado de la regreó SSR. SSR La tre uma de cuadrado, e relacoa e ua de la ecuacoe má mportate e etadítca: SST = SSR + SSE A partr de la ecuacó ateror, e puede ver que el modelo ajuta perfectamete cuado 0 eto dca que el valor de la varable de repueta etaría obre la líea de regreó. Aí como SSE = 0, etoce SST = SSR. Tomado eta ecuacó, e hace la guete relacó. SST SSR SSR Ajute perfecto. SST SST SST Etoce el Coefcete de Determacó: Lo ateror gfca: r r SSR SST Varacó ep Varacó total lcada El coefcete de determacó toma valore etre 0, cluve. Cuado el coefcete e cercao a uo, dca que el modelo e eplcado mu be por la líea de regreó. Cuado el coefcete e cercao a cero, etoce la varacó de la varable de repueta o e cauada por la varable eplcatva. Reumedo: Cuado r ha depedeca total de repecto a. r 0 ha depedeca etre la varable. Obtecó de la Varacoe: La varacoe SST SSR, e puede calcular de la guete maera: SST SSR Pága 87 de 77

9 U etudo obre la traformacó de ua utaca e certo proceo a dferete temperatura, orgó la guete tabla: 0 C,0,,,3,4,5,6,7,8,9,0 Kg 8, 7,8 8,5 9,8 9,5 8,9 8,6 0, 9,3 9, 0,5 Hallar el coefcete de determacó e terpretar el reultado. Solucó: EJEMPLO,0 8,,0 65,6 8,, 7,8, 60,84 8,58, 8,5,49 7,5 0,,3 9,8,69 96,04,74,4 9,5,96 90,5 3,3,5 8,9,5 79, 3,35,6 8,6,56 73,96 3,76,7 0,,89 04,04 7,34,8 9,3 3,4 86,49 6,74,9 9, 3,6 84,64 7,48,0 0,5 4,0 0,5,0 6,50 00,4 5,85 93,58 5,59 SST 93,58 6,5000,4 77, 98 5,59 6,5000,4,99 SSR, 5,85 6,50 r = 0, ,60 Lo que dca el coefcete e que ólo el 0,4657% de la varacó, e eplcada por el modelo. Leccó : Regreó Múltple. Cuado e emplea má de ua varable depedete para evaluar ua varable depedete e coveete utlzar u método de regreó múltple, que cote e el mmo procedmeto de ua regreó leal mple: decrbr la ecuacó de regreó, determar el error de etmacó aalzar la correlacó etre la varable. A cotuacó e dearrollará eto cocepto upoedo do varable depedete. Para má varable depedete, ólo bata co egur lo mmo pao. a b b La ecuacó de regreó etá dada por: Pága 88 de 77

10 Dode: Ŷ : Varable depedete. Itercepto de la varable. a :, : b b : Valore de la do varable depedete. Pedete aocada co cada varable depedete, repectvamete. Lo valore de la tre cotate umérca e obtee reolvedo el guete tema de ecuacoe: a b b a b b a b b Ua vez obteda la ecuacó de regreó, e determa el error etádar de la etmacó de regreó múltple: Se, ( ) a b b Se 3 3 el coefcete de determacó múltple, etará dado por: R a Dode: : Valore de la varable depedete. Itercepto de la varable. a :, : b, b : : b b Valore de la do varable depedete. Pedete aocada co cada varable depedete, repectvamete. Meda de lo valore de la varable depedete. EJEMPLO El jefe de produccó de ua emprea maufacturera deea etmar lo gato drecto de produccó co bae e el úmero de hora de trabajo e el úmero de hora máqua. E la guete tabla e relacoa la formacó correpodete al prmer emetre del año. El jefe de produccó defe: : Hora de trabajo (ceto). : Hora de máqua (ceto) : Gato drecto de produccó (ceto de mle de peo) Pága 89 de 77

11 Tabla: Gato drecto de produccó Me Eero Febrero Marzo Abrl Mao Juo TOTAL a b b a b b a b b Se reuelve el tema de ecuacoe: 59 6a 65b a 75b 60 85a 3756b 85b 3756b b () () (3) Ecuacó () multplcada por 85/6 retada por la ecuacó (3): a b 60 85a 3756b b Se depeja la varable b de la ecuacó (4): 6.83b 04.7b b (4) b b.83 Ecuacó () multplcada por 65/6 retada por ecuacó (): a 704.7b a 75b b Varable b reemplazada e la ecuacó (5):.83b b 3756b (5) b b b b b b reemplazada e la ecuacó (4): b 85b b b reemplazada e la ecuacó (): a Pága 90 de 77

12 Se obtee aí la ecuacó de regreó múltple: a b b Ejercco:. Eplque claramete e qué cote el proceo de regreó.. Cuál e la utldad del coefcete de regreó de determacó. 3. La Compañía LISTO, ha obtedo lo guete reultado co repecto al coto de la mao de obra drecta la catdad de udade producda (e mle), de la guete maera: Mao de Obra Produccó Co la formacó ateror e requere lo guete: a-) Etmar el valor mímo de la mao de obra drecta que debe obteere para ua produccó de udade. b-) Determar que tato etá relacoada la varable e etudo. c-) Eplcar que ta cofable e la bodad de ajute del modelo: mao de obra drecta e fucó de la produccó. 4. Ua ofca de fca raíz etá tereada e aalzar la reta de lo apartameto que arreda o típca, por tato, a ecogdo ua muetra aleatora de alqulere del tamaño de lo apartameto de edfco mlare. Lo dato e tracrbe eeguda. Reta No habtacoe 3 a-) Dearrolle el modelo de regreó leal mple que mejor decrba el feómeo b-) Hacer el dagrama de dperó de lo dato c-) Calcular el coefcete de regreó determacó d-) Hacer el grafco ajutado egú el modelo obtedo. e-) Realzar lo aál correpodete del cao e etudo. 5. Ua compañía de ahorro crédto, deea aber cómo o afectada la veta de vveda por dferete taa de teré. Durate ocho mee e recopló la formacó e obtuvo el guete reultado: Taa de teré (%) Veta de vveda a. Etmar la veta e fucó de la taa de teré. b. Cuáta vveda e puede veder el teré e del 7.5%? c. Determar el error etádar del etmado. d. E cofable el modelo? e. Calcule el tpo de aocacó etre la varable. Pága 9 de 77