PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 14
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- Elena Parra Torregrosa
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1 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº 4 PAGINA Nº 80 GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJOS PRACTICOS Nº 4 OBJETIVOS: Lograr que el Alumo: Resuelva correctamete aritmos y aplique sus propiedades. Resuelva ecuacioes epoeciales. Distiga Modelos Matemáticos discretos epresados mediate Progresioes. CONTENIDOS: Logaritmo Progresioes Aritméticas, Geométricas y Geométricas Modificadas Modelos Matemáticos Discretos mediate Progresioes Ecuacioes Epoeciales NOTA: o Los ejercicios idicados co (EO) so ejercicios oligatorios y formara la carpeta de traajos prácticos. o Es requisito para los alumos aspirates al Régime de Promoció de la Asigatura que ha presetado la primera parte de la carpeta completa, presetar esta guía de traajos prácticos co todos los ejercicios (EO) desarrollados hasta el día siguiete al segudo parcial. o Los ejercicios de aplicació Biológica se idica co (AB). ACTIVIDADES LOGARITMO Recuerde que la poteciació tiee varias defiicioes, segú el cojuto umérico al que perteece la ase y el epoete. Por otro lado la poteciació tiee a diferecia de la suma y la multiplicació, dos operacioes iversas, esto ocurre porque la poteciació o satisface la propiedad comutativa; es efecto, si camiamos el orde de la ase y el epoete, e geeral oteemos solucioes distitas. Las operacioes iversas de la poteciació se llama radicació y aritmo. Así dada la potecia =, dode es la ase, el epoete y la potecia, podemos oteer a partir de dos de esos elemetos el tercero. Si os pregutamos cuál es el úmero que elevado a la quita potecia es, tal preguta puede epresarse como ua ecuació del tipo: =, y para despejar la icógita deemos pasar el epoete al segudo miemro como ídice de la raíz, es decir: =, co lo cuál se ra que =. Si e camio la preguta es, cuál es el epoete al que deemos elevar el úmero dos para que la potecia sea, deemos recurrir a ua ueva epresió: Defiició : Logaritmo de u úmero real y positivo a, e la ase, es el epoete de la potecia a que dee elevarse dicha ase para oteer el úmero a dado. Simólicamete: a = sii = a La operació presetada se llama aritmo y podemos decir que el aritmo es tamié operació iversa de la poteciació. Es importate idicar que las ases de los aritmos dee ser u úmero positivo mayor que.
2 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº 4 PAGINA Nº 8 Cosecuecias de la defiició: a)los úmeros egativos o tiee aritmos. + Ejemplo: 4 ( 6) E efecto, pues 4 = 6 y )El aritmo de la ase es uo. Ejemplo: =, pués = c)el aritmo de uo es cero. Ejemplo: = 0, pués 0 = 4 = 6, y o -6. Al uscar el aritmo decimal de 0 oteemos,00, este resultado es u úmero decimal, e realidad, puede oteerse epresioes periódicas tamié. La parte etera se deomia característica y la parte decimal matisa. Deemos distiguir tres casos al calcular u aritmo decimal. )Logaritmos de las potecias de 0: los úicos úmeros cuyos aritmos so úmeros eteros so las potecias de epoetes eteros de 0. )Logaritmos de úmeros mayores a uo: so ellos úmeros irracioales epresales e forma decimal co la aproimació que se desee, siedo geeralmete co cico cifras decimales. Además, la característica del aritmo de u úmero mayor que uo es igual al úmero de cifras de su parte etera meos uo. )Logaritmos de los úmeros positivos meores a uo: la característica es egtiva, irracioal y puede epresarse de dos formas: moomial o iomial. Para aclarar estos térmios veamos la siguiete propiedad. Propiedad : Ivariailidad de la matisa: La matisa del aritmo del producto o cociete de u úmero por la uidad seguida de ceros es igual a la del aritmo de dicho úmero. Aclaremos esto, co el siguiete ejemplo: Ejemplo : Coociedo que 4=,7496 ecotrar el aritmo de 400 y de 4,. Solució: Esto es: 400 = (4. 00) 4, = (4 : 00) = = 4-00 =, =, =,7496 =,7496 Si la matisa matiee su valor ialterale, como justificar que: 0,4 = -0,604? Recurriedo al ejemplo aterior: 0,4 = ( 4 : 0000) = =, = -0,604 []
3 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº 4 PAGINA Nº 8 Podemos epresar esto mateiedo fija la matisa: 0,4 =, 7496 [] Este uevo úmero resulta de restar la parte etera úicamete, y es por eso que el sigo se coloca e la parte superior. Las dos formas que mecioamos ateriormete so [] la forma moomial y [] la forma iomial. De lo mecioado hasta aquí, resulta que la poteciació tiee dos operacioes iversas: radicació y aritmo. Esto lo resumimos así: = a a = = a Mecioamos a cotiuació las propiedades de los aritmos: a)logaritmo del producto: ( a. ) = a + a )Logaritmo del cociete: = a k c)logaritmo de ua potecia: a = k. a k a d)logaritmo de ua raiz: a = k Fialmete, se mecioa la fórmula de camio de ase: a = Ejemplo : Idique el valor del aritmo a partir de la defiició: 6 = 4 porque 4 = 6 Ejemplo : Aplicado las propiedades del aritmo, calcular: ( 6 8) = 4 Como ( 6 8) = ( ) 7 ( ) por ser potecias de la misma ase del aritmo = por producto de potecias de igual ase = 7 aritmo de ua potecia = 7 = 7 aritmo de la ase.- Eprese coloquialmete las propiedades de los aritmos..- Idique el valor del aritmo a partir de la defiició: a) (EO) = ) (EO) 4 = c) = d) =.-(EO) Aplicado las propiedades del aritmo, calcular: a) ( 7 ) = ) ( 64 : 6) = c) 4 = d) = 4.- (EO) Calcule los aritmos siguietes escriiedo los úmeros co ua aproimació tal que use cuatro cifras decimales. a.- 64 =.- = c.- 8 = d.- 4 = e.- 0 = f.- 4= g.- 4,= h.- 8= i.- 0,4= c c a
4 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº 4 PAGINA Nº 8 ECUACIONES EXPONENCIALES Nuestro paseo por las ecuacioes lo etedemos a las ecuacioes, e dode la icógita está e el epoete, por ejemplo: = 8 Esta ecuació se llama ecuació epoecial, y para resolver deemos teer e cueta el aritmo como fució iversa, a sus propiedades, que so aplicales e alguos casos, y la fórmula de camio de ase. Veamos alguos ejemplos de resolució de éstas ecuacioes: Ejemplo 4: Resolver: = 8 Solució: Despejamos la icógita: = 8 8 Por camio de ase resulta: = =, 90 + Ejemplo : Resolver 4 = 7 + Solució: Aplicado aritmo decimal e amos miemros: 4 = 7 Aplicado propiedad del aritmo de ua potecia: ( + ) 4 = 7 Distriuyedo e el primer miemro se trasforma e ua ecuació lieal co ua icógita, asi: = 0,084 Ejemplo 6: Resuelva + = 4 Solució: Aplicado aritmo decimal e amos miemros y propiedad de aritmo de ua potecia: ( ) = ( + ) 4 Distriuyedo e amos miemros y agrupado segú la icógita se tiee ua ecuació lieal cuya solució es: = 0, (EO) Hallar el valor de e las siguietes ecuacioes: a) = 4 e) = ) = + f) = + c) = 64 g) 4 = + d) = h) + 4 = 7 i) = + 4 j) = 8 k) = +
5 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº 4 PAGINA Nº 84 PROGRESIONES ARITMÉTICAS, GEOMÉTRICAS Y GEOMÉTRICAS MODIFICA- DAS Defiició : Ua sucesió se llama progresió aritmética si u térmio cualquiera es igual al aterior más ua costate, llamada diferecia de la progresió. E símolos: = + d +, 0 Ejemplo 7: Hallar los primeros térmios de la progresió aritmética cuyo primer elemeto es y la diferecia es 4. Solució: Siedo, podemos hallar alguos de los siguietes térmios: = 0 = 0 + d = + 4 = 7 = + d = = = + d = + 4 = Defiició : Ua sucesió se llama progresió geométrica si u térmio cualquiera es igual al aterior multiplicado por ua costate llamada razó. E símolos:. = + r, 0 Ejemplo 8: Hallar los primeros térmios de la progresió geométrica cuyo primer elemeto es y la razó es -. Solució: Siedo, podemos hallar alguos de los siguietes térmios: 0 = = r. 0 = = 6 = r. = ( 6) = = r. = = Defiició 4: Ua sucesió se llama progresió Geométrica Modificada si u térmio cualquiera es igual al aterior multiplicado por ua costate llamada razó, todo esto más otra costate llamada diferecia. E símolos: a a 0, = 0,, = 4 +,, (EO) Halle e cada apartado los primeros seis térmios de cada progresió solicitada: a) Progresió aritmética co primer elemeto y diferecia -. ) Progresió aritmética co primer elemeto - y diferecia 4. c) Progresió geométrica co primer elemeto y razó. d) Progresió geométrica co primer elemeto 7 y razó -. e) Progresió geométrica modificada co primer elemeto 8, razó - y diferecia. 7.- Hallar los primeros cico térmios siguietes de las progresioes dadas, idicado previamete el tipo de progresió, segú las defiicioes dadas: a.-,,7,9, ,8,6,,... c.-,-0,0,-40,...
6 GUIA DE TRABAJO PRACTICO Nº 4 PAGINA Nº 8 MODELOS MATEMÁTICOS DISCRETOS MEDIANTE PROGRESIONES Cosideremos u cultivo acteriao, co alimeto y espacio limitado, que crece a razó de u porcetaje costate r e u periodo cualquiera respecto del úmero de acterias e ese periodo, tal que para el periodo i- ésimo ese úmero se deota por P i. Siedo la polació iicial P 0, podemos ecotrar los restates valores de la polació por iteració. E efectos estamos ate ua progresió geométrica, o más ie ate u modelo geométrico de crecimieto. Por lo tato para el i-ésimo periodo la polació tiee u tamaño determiado por: i P = P ( r) i 0 + Ejemplo 9: Se estima que la polació de cierta ciudad se icremeta e u 0% aual durate cuatro años. E qué tato por cieto aumetará la polació a los cuatro años? Solució: Siedo P 0 la polació iicial y el icremeto r= 0,0, etoces al cuarto año se tiee: 4 P 4 = P0 ( + 0,0) =, 464P0 Luego el crecimieto es del 46,4% respecto de la polació iicial. 8.- (EO) (AB) La polació de ciertos aimales sometidos a u eperimeto se icremeta e u 0% semaales durate las diez semaas ajo oservació. Idique la catidad de idividuos durate el eperimeto, saiedo que iicialmete se cotaa co ocho ejemplares. 9.- (EO) (AB) La polació de u cierto polado crece durate diez años a ua tasa de % aual. Si iicialmete haia.00 haitates, cuatos hará a los cico, siete y diez años?. 0.- (EO) (AB) La polació de ua ciudad crece a ua tasa de 7% aual e los últimos veite años. Si hace doce años haia.00 haitates cuatos hará actualmete?. Respuestas a alguos ejercicios: 8.- Traaje co los resultados a dos decimales y luego efectue el redodeo: 8,0,,4, 7,0,4,9,4 y , 6 y
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