CAPÍTULO IV: MODELOS MATEMÁTICOS Y MODELOS EN RED

Transcripción

1 Modelo en red para la smulacón de procesos de agua en suelos agrícolas. CAPÍTULO IV: MODELOS MATEMÁTICOS Y MODELOS EN RED IV.1 Modelo matemátco 2-D Exsten dos posbldades, no ndependentes, de acuerdo con lo expuesto en el capítulo segundo de este proyecto, para defnr el modelo matemátco: - Tomando como varable ndependente el contendo volumétrco de humedad, v, y - Tomando como varable ndependente el potencal mátrco, ψ m. Se segurá la prmera opcón por ser v la varable más adecuada debdo a los rangos de valores en los que se mueve así como a los rangos de valores de los coefcentes de la ecuacón dferencal del modelo. La conversón de los resultados es nmedata por medo de las relacones que lgan ambas varables ndependentes, (capítulo II). Capítulo IV: modelos matemátcos y modelos en red José Francsco Maestre Valero 75

2 Modelo en red para la smulacón de procesos de agua en suelos agrícolas. IV.1.1 Ecuacón dferencal De acuerdo con lo expuesto en el capítulo segundo, s tomamos como ee la profunddad y como ee x la horontal de un suelo, la ecuacón dferencal 2-D del modelo, usando la ecuacón de Darcy y practcando el balance de agua a un volumen nfntesmal de suelo, es: = t Dx + x x D + K (4.1) donde: K es la conductvdad hdráulca, es el contendo volumétrco de agua en el suelo, y D es la dfusvdad de agua en el suelo, relaconada con la conductvdad hdráulca y la capacdad específca por la expresón K D = C (4.2) Kx Dx = (4.3) C La ecuacón dferencal del modelo tomando como varable el potencal mátrco, según se mostró en al capítulo segundo, es: ψ m C t = Ψm Kx x x + K ψ m + K (4.4) IV.1.2 Condcones de contorno Pueden clasfcarse en: - Humedad constante: Esta condcón puede ser aplcada tanto a la superfce del terreno como a la capa freátco, en su caso: ( = o, t) = o Capítulo IV: modelos matemátcos y modelos en red José Francsco Maestre Valero 76

3 Modelo en red para la smulacón de procesos de agua en suelos agrícolas. - Suelo mpermeable (condcón adabátca): Esta condcón, que puede aplcarse tambén tanto a la superfce del suelo como a una certa profunddad, como a los laterales del suelo marcados como fronteras por la propa naturalea del suelo, mplca que no exste fluo de agua a través de la cota marcada: / = 0, = o / x = 0, x = x o - Fluo constante de agua: Esta condcón, que habtualmente se da en las cotas superfcales del suelo debdo fundamentalmente a la rrgacón, tene certas restrccones ya que no puede superar certos valores que mplquen contendos de humedad por encma del 100% en nnguna cota del suelo. - Fluos o contendos de humedad dependentes del tempo en la superfce. Pueden asumrse, fáclmente, condcones no estaconaras en la frontera sempre que éstas sean compatbles entre sí y que los valores de fluos sean de pequeño valor para evtar lo menconado en el caso anteror. IV.1.3 Ecuacones de dependenca de los coefcentes de la ecuacón dferencal - Conductvdad Hdráulca (K): Su relacón con el contendo volumétrco de agua vene dada, habtualmente, por la fórmula: K = A * exp (B * ) (4.5) donde A y B son dos constantes. K se expresa normalmente en mm/h. La fgura 2.13, Capítulo II, muestra una sere típca de curvas de valores del parámetro K para dstntos tpos de suelos agrícolas. - Capacdad específca de agua del suelo (C) : Ésta es la relacón local entre el contendo volumétrco de agua y el potencal mátrco: Capítulo IV: modelos matemátcos y modelos en red José Francsco Maestre Valero 77

4 Modelo en red para la smulacón de procesos de agua en suelos agrícolas. d C = (4.6) dψ m Su expresón matemátca puede obtenerse para cada suelo a partr de la relacón anteror. Las fguras 2.14 y 2.31, Capítulo II, muestran la varacón de y de Ψ m para dstntos tpos de suelos. - Coefcente de dfusón de agua en suelo (D) o dfusvdad: Es la relacón entre K y C, (m 2 s -1 ): K D = (4.7) C IV.2 Modelo de N capas La únca dferenca con el caso anteror es que exsten unas característcas dferencadas en el suelo para cada rango o espesor de la capa, sendo la ecuacón dferencal que rge el proceso, la msma en todas las capas. Por otro lado, dos nuevas condcones de frontera pueden señalarse en la frontera entre capas, una dervada de la contnudad del contendo volumétrco de agua y otra asocada a la conservacón del fluo de agua. Condcones que, como se verá nmedatamente no requeren nngún tpo de consderacón a la hora de elaborara el modelo en red ya que las leyes de los crcutos las asumen mplíctamente (leyes de Krchhoff). IV.3 Modelo en red 1-D La nomenclatura utlada para el modelo 1-D se muestra en la fgura 4.1. Una extensón de esta nomenclatura para el modelo 2-D es nmedata añadendo los fluos de entrada y salda de agua y sus correspondentes potencales de contendo de humedad para la componente horontal (coordenada x). Capítulo IV: modelos matemátcos y modelos en red José Francsco Maestre Valero 78

5 Modelo en red para la smulacón de procesos de agua en suelos agrícolas. Fgura 4.1 Nomenclatura de una celda (1-D) Tomando dferencas fntas para la varable espacal en la ecuacón (4.1) d 1 = dt y usando la ley de Darcy ΔK Δ +Δ x + Δ Δ +Δ (4.8) ( ) + 1 ( ) = K Δ (4.9) obtenemos d = K dt Δ Δ K +Δ +Δ + K Δ K +Δ (4.10) Llamando a cada uno de los térmnos de la ecuacón anteror Capítulo IV: modelos matemátcos y modelos en red José Francsco Maestre Valero 79

6 Modelo en red para la smulacón de procesos de agua en suelos agrícolas. d alm = dt Δ = K Δ +Δ = K +Δ = K Δ ent, df sa, df ent,gravedad sal,gravedad = K Δ +Δ (4.11) Fgura 4.2 Balance hídrco en la celda dcha ecuacón puede escrbrse como un balance de fluos de agua en la celda, fgura 4.2. J alm = ent,df sal,df + ent,gravedad sal,gravedad (4.12) Tomando para la conductvdad y el potencal mátrco funcones genércas, que aparecen generalmente en la bblografía, de la forma, K = a * e b (4.13) Ψ m = - c * -d (4.14) donde e es la base de los logartmos neperanos (e = ), la dervada del potencal mátrco respecto de la humedad es ψ m = c * d * d 1 (4.15) Capítulo IV: modelos matemátcos y modelos en red José Francsco Maestre Valero 80

7 Modelo en red para la smulacón de procesos de agua en suelos agrícolas. susttuyendo estas expresones en la ecuacón (4.2 y 4.3), el valor de la dfusvdad es D = a * c * d * e b * -d-1 (4.16) ahora las expresones (4.11) anterores se escrben: ent = a * c * d * e b * d 1 + * (4.17) sal = a * c * d * e b * d 1 + * + + (4.18) Kent = a * b * e b * 2 (4.19) Ksal = a * b* e b * 2 + (4.20) Usando la analogía (contendo de humedad) Potencal eléctrco (V), y (fluo de humedad m s -1 ) Corrente eléctrca (A/m -2 ) podemos dseñar el modelo en red, fgura 4.3. Fgura 4.3 Modelo en red de la celda elemental. Capítulo IV: modelos matemátcos y modelos en red José Francsco Maestre Valero 81

8 Modelo en red para la smulacón de procesos de agua en suelos agrícolas. E 1 es un generador de corrente controlado por tensón. Se trata de un generador de corrente especal cuyo valor puede ser especfcado en el programa. En este caso la corrente de E 1 concde con ent,df ; es decr, es una corrente dependente de los potencales y -Δ, señalados entre corchetes en la fgura, de acuerdo con la expresón matemátca (4.15). De la msma forma, cada uno de los generadores de corrente controlados por tensón, E 2, E 3, y E 4, proporconan las correntes ent,gravedad, sal,df y sal,gravedad, de acuerdo con las funcones de control dadas por (4.16), (4.17) y (4.18). En cuanto a la corrente alm, puede ser mplementada por un smple condensador C de valor. Su conexón, entre los generadores de entrada y salda y el nudo común, es tal que la ecuacón (4.12) se satsface. Por últmo, las resstencas R -Δ y R +Δ son necesaras para establecer la condcón de contnudad eléctrca en corrente contnua requerda por el programa Pspce. Fgura 4.4 Modelo en red para las condcones de contorno Una conexón en sere de N de estos crcutos elementales reproduce todo el medo. Valores de N alrededor de 40 ó 50 son sufcentes para consegur resultados con errores desprecables. Al modelo en red resultante es necesaro añadr las condcones de contorno en la superfce y fondo del terreno. Esto se logra por medo de dspostvos eléctrcos elementales como los que se muestran en la fgura 4.4. La condcón de humedad constante, fgura 4.4(a), se mplemente por Capítulo IV: modelos matemátcos y modelos en red José Francsco Maestre Valero 82

9 Modelo en red para la smulacón de procesos de agua en suelos agrícolas. medo de un generador de tensón constante cuyo valor concde con la humedad exteror; la condcón fluo constante se mplementa por medo de un generador de corrente constante, fgura 4.4(b) y la condcón de mpermeabldad requere una smple resstenca de valor muy elevado (nfnto), fgura 4.4(C). Otras condcones de contorno dferentes pueden mplementarse fáclmente. De acuerdo con lo expuesto en el capítulo sguente, el fchero que se eecuta en Pspce, equvalente al modelo en red anteror, es un fchero de texto organado en dos seccones. Una la de especfcacón del propo modelo, que se elabora medante subcrcutos, y otra que recoge datos complementaros tales como el tempo de smulacón, la precsón requerda a la respuesta, la organacón de los datos de salda, etc. Un eemplo de este fchero puede verse al fnal de dcho capítulo. IV.4 Modelo en red 2-D La componente horontal del fluo de agua se modela dentro de la celda de la msma forma que la componente vertcal, excluyendo el térmno gravtatoro. Dos generadores controlados smlares a E 1 y E 2, fgura 4.3 se dsponen en el modelo 1-D a sendas entradas correspondentes a las paredes laterales horontales de la celda. El resto de componentes son los msmos que aparecen en la fgura 4.3. Capítulo IV: modelos matemátcos y modelos en red José Francsco Maestre Valero 83