I.T. INDUSTRIAL METODOS ESTADÍSTICOS. FORMULARIO I. ESTADISTICA DESCRIPTIVA Xv.a. Media x = n n i x 2 Varianza poblacional σ 2 i

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1 I.T. INDUSTRIAL METODOS ESTADÍSTICOS FORMULARIO I. ESTADISTICA DESCRIPTIVA Xv.a k modalidades x 1,x,..., x k ; datos i x i Media x = i x Variaza poblacioal σ i = x i (x i x) Variaza muestral S = 1 (x i x) 3 i Coeficiete de Asimetría γ 1 = σ 3 (x i x) 4 i Coeficiete de Aputamieto γ = 3 σ4 KP pp ij x i y j j=1 Covariaza Cov(X, Y )= xȳ N Coeficiete de correlació lieal ρ = Cov(X, Y ) σ x σ y " # " # Cov [X, Y ] Cov [X, Y ] Recta de regresió de Y sobre X ŷ = x + ȳ Var(X) Var(X) x 1

2 II. PROBABILIDAD Operacioes co sucesos Suceso Ocurre siempre que Probabilidad µ A A o ocurre A P =1 P (A) A/B ocurre A si ya ha ocurrido B P (A B) P (A/B) = P (B) A B ocurra A o B P (A B) =P (A)P (B/A) P (A B) =P (B)P (A/B) A B ocurre A y B P (A B) =P (A)+P(B) P (A B) Si A y B so icompatibles P (A/B) =0 P (A B) =0 P (A B) =P (A)+P(B) Si A y B idepedietes P (A/B) =P (A) P (A B) =P (A)P (B) P (A B) =P (A)+P(B) P (A)P (B) Teorema de la probabilidad total y fórmula de Bayes Probabilidad total P P (A) = k P (A/B i )P (B i ) Fórmula de Bayes P (B i /A)= P (A B i) P (A) = P (A/B i)p (B i ) P (A/B i )P (B i )

3 ALGUNAS DISTRIBUCIONES IMPORTANTES Distribució Fució masa de probabilidad/fució de desidad EX U() B(, p) P (λ) P Xi P [X = x i ]= 1 Ã! P [X = k] = p k (1 p) k k ; p k =0, 1,... P [X = k] = e λ λ k ; k =0, 1,... λ k!! Ã!Ã Np Nq k k P [X = k] = Ã! H(N,,p) N, p max{0, N q } k mi{, N p } BN(K, p) Ã! K + x 1 P (X = x) = p k (1 p) x kq ; x =0, 1,... x p G(p) P (X = x) =pq x ; x =0, 1,... q p N(µ, σ ) f(x) = 1 e 1 σ (x µ),x R πσ µ N(0, 1) f(z) = 1 π e 1 z,z R 0 G(, λ) f(x) = λ Γ() x 1 e λx,x>0 Γ() = R 0 x 1 e x dx χ 1 f(x) = Γ( ) x 1 e x,x>0 B(, β) f(x) = Γ( + β) Γ()Γ(β) x 1 (1 x) β 1 ;0<x<1 +1 Γ( ) t f(t) = πγ( F 1, g(f) = Γ( 1 + ) Γ( 1 )Γ( ) t +1 + ) ( ) ; t R 0 )( f 1 ( 1 f + ) ( 1 + ) ; f>0 λ + β

4 III. INFERENCIA ESTADISTICA INTERVALOS DE CONFIANZA Itervalo de cofiaza para la media de ua ormal Variaza coocida (σ 0) Variaza descoocida µ µ " x ± σ # 0 z 1 " x ± S # t 1 Itervalo de cofiaza para la variaza de ua ormal Media coocida (µ 0 ) Media descoocida σ σ P (x i µ 0 ) χ 1 ;, ( 1)S χ 1 ; 1, P (x i µ 0 ) ( 1)S χ ; 1 χ ; Itervalo de cofiaza para la diferecia de medias de dos poblacioes ormales e idepedietes Variaza coocidas Variaza descoocidas pero iguales (σ ) v u co S p = t ( x 1)Sx +( y 1)Sy x + y s µ x µ y x σx y ± z 1 + σ y x y " s µ x µ y x 1 y ± t 1 ;x+y S p + 1 # x y 4

5 Itervalo de cofiaza para el cociete de variazas de dos poblacioes ormales e idepedietes Medias coocidas Medias descoocidas σ y σ x σ y σ x P y ³ yi µ y P x " S y F (x i µ x ) x y F ;x,y, ;x 1,y 1 S x y P P x, S yf 1 ;x 1,y 1 S x ³ yi µ y (x i µ x ) x y F 1 # ;x,y Itervalo de cofiaza para ua proporció v u ˆp ˆ p t (1 ˆp) p ±z 1 5

6 CONTRASTES DE HIPÓTESIS Cotraste para la media de ua ormal co variaza coocida Hipótesis ula Estadístico de cotraste H 0 : µ = µ 0 Z = X µ σ 0 / Hipótesis alterativa H 1 : µ 6= µ 0 H 1 : µ>µ 0 H 1 : µ<µ 0 Z z / o Z z 1 / Z z 1 Z z Cotraste para la media de ua ormal co variaza descoocida Hipótesis ula Estadístico de cotraste H 0 : µ = µ 0 T = X µ S/ Hipótesis alterativa H 1 : µ 6= µ 0 H 1 : µ>µ 0 H 1 : µ<µ 0 T t /, 1 o T t 1 /, 1 T t 1, 1 T t, 1 Cotraste para la variaza de ua ormal co media coocida Hipótesis ula Estadístico de cotraste P H 0 : σ = σ 0 χ (x i µ = 0 ) Hipótesis alterativa σ 0 H 1 : σ 6= σ 0 H 1 : σ > σ 0 H 1 : σ < σ 0 χ χ /, o χ χ 1 /, χ χ 1, χ χ, 6

7 Cotraste para la variaza de ua ormal co media descoocida Hipótesis ula H 0 : σ = σ 0 Hipótesis alterativa H 1 : σ 6= σ 0 H 1 : σ > σ 0 H 1 : σ < σ 0 Estadístico de cotraste χ ( 1) S = σ 0 χ χ /, 1 o χ χ 1 /, 1 χ χ 1, 1 χ χ, 1 Cotraste para el cociete de variazas de dos ormales idepedietes co medias coocidas Hipótesis ula Estadístico de cotraste P X H 0 : σ X = σ Y F = (x i µ X ) / X P Y (y i µ Y ) / Y Hipótesis alterativa H 1 : σ X 6= σ Y H 1 : σ X > σ Y H 1 : σ X < σ Y F 1/f 1 /,Y, X o F f 1 /,X, Y F f 1,X, Y F 1/f1, Y, X Cotraste para el cociete de variazas de dos ormales idepedietes co medias descoocidas Hipótesis ula H 0 : σ X = σ Y Hipótesis alterativa H 1 : σ X 6= σ Y H 1 : σ X > σ Y H 1 : σ X < σ Y Estadístico de cotraste F = S X S Y F 1/f 1 /,Y 1, X 1 o F f 1 /,X 1, Y 1 F f 1,X 1, Y 1 F 1/f 1,Y 1, X 1 7

8 Cotraste para la diferecia de medias de dos ormales idepedietes co variazas coocidas Hipótesis ula Estadístico de cotraste H 0 : µ X µ Y = δ 0 Z = r X Ȳ δ 0 Hipótesis alterativa σ, X X + σ, Y Y H 1 : µ X µ Y 6= δ 0 H 1 : µ X µ Y > δ 0 H 1 : µ X µ Y < δ 0 Z z / o Z z 1 / Z z 1 Z z Cotraste para la diferecia de medias de dos ormales idepedietes co variazas descoocidas pero iguales Hipótesis ula Estadístico de cotraste H 0 : µ X µ Y = δ 0 X T = 0 s µ 1 Sp + 1 X Y Hipótesis alterativa H 1 : µ X µ Y 6= δ 0 H 1 : µ X µ Y > δ 0 H 1 : µ X µ Y < δ 0 T t /, o T t 1 /, T t 1, T t, dode = X + Y S p = ( X 1) S X +( Y 1) S Y 8

9 Cotraste para la diferecia de medias de dos ormales relacioadas (muestras apareadas) co variazas descoocidas pero iguales Hipótesis ula Estadístico de cotraste H 0 : µ X µ Y = δ 0 T = D δ 0 r SD Hipótesis alterativa H 1 : µ X µ Y 6= δ 0 H 1 : µ X µ Y > δ 0 H 1 : µ X µ Y < δ 0 T t /, 1 o T t 1 /, 1 T t 1, 1 T t, 1 dode D = X Y Cotraste para ua proporció Hipótesis ula Estadístico de cotraste H 0 : p = p 0 ˆp p 0 Z = s p0 (1 p 0 ) Hipótesis alterativa H 1 : p 6= p 0 H 1 : p>p 0 H 1 : p<p 0 Z z / o Z z 1 / Z z 1 Z z Cotraste para la comparació de dos proporcioes Hipótesis ula H 0 : p 1 = p Z = Hipótesis alterativa H 1 : p 1 6= p H 1 : p 1 >p H 1 : p 1 <p Estadístico de cotraste ˆp 1 ˆp q p T (1 p T ) / 1 + p T (1 p T ) / Z z / o Z z 1 / Z z 1 Z z 9

10 dode ˆp T = 1ˆp 1 + ˆp 1+ TABLA ANOVA Y CONTRASTE DE LA F Fuetes de Variació Suma de Cuadrados Grados de libertad Variazas IP Etre grupos (VE) i ( x i x) I 1 Se = VE I 1 IP P i µx Itera, o explicada ij x i j=1 I S o residual (VNE) P = I i σ R = VNE I i µ IP P i TOTAL (VT) x ij x 1 Sy = j=1 VT 1 dode i deota el úmero de observacioes e el grupo i, x i la media, σ i la variaza (e calculadora σ al cuadrado), y x la media del cojuto total de observacioes. I es el o de grupos y el o total de observacioes. Hipótesis ula H 0 : µ 1 =... = µ I Hipótesis alterativa No todas las medias so iguales Estadístico de cotraste F = S e S R Rechazar H 0 si: F>F 1,I 1, I 10