x = 4/9 x = 4/9 ; y = 2/9
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- José Luis Ávila Espejo
- hace 7 años
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1 MÉTODO DE REDUCCIÓN (Triangulación) 004 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: RESOLUCIÓN (5) x y (1 ) + y = 5x 10y + y = 9y = 9y = y = /9 x y + y = Calculamos el valor de la otra incógnita, de nuevo, por reducción: (1 ) x y () + y = x y 1 + y = 4 9x / = 4 4/9 4/9 ; y = /9 010 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: RESOLUCIÓN (1) + 1y = 6 ( ) x + 6y = + 1y = 6 x + 6y = 4x + 1y = 6 4x 1y = 6 + 0y INFINITAS SOLUCIONES; Tendría por solución todos aquellos valores de x e y que verifiquen la igualdad 4x + 1y = 6; así, algunas soluciones serían: 1 ; y = 5/6 0 ; y = 1/ 1 ; y = 1/6 011 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: RESOLUCIÓN (1) + y = ( ) x + 5y = 18 + y = x + 5y = 18 7y = 14 y = 4x + y = 4x 10y = 6 7y = 14 Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación: 4x + y = 4x + = ; y = 1
2 "Sistemas de ecuaciones" 018 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: RESOLUCIÓN () x + y = 11 ( 1) x y = x + y = 11 x y = x + 4y = x + y = 5y y /5 y = 4 + 5y = 0 Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación: x + y = 11 x + 4 = ; y = Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: RESOLUCIÓN (5) 7x + y = (7) 5y = 5 7x + y = 5y = 5 5x + 10y = 10 5x 5y = 5 5y = 45 5y = 45 5y = 45 y = 45/5 y = 9/5 Calculamos el valor de la otra incógnita, de nuevo, por reducción: (5) 7x + y = () 5y = x + 10y = y = 10 5x + 0y 0/5 4/5 4/5 ; y = 9/5 x = 9 0 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 6x + 8y RESOLUCIÓN () x = 9 6x 8y (1 ) 6x + 8y 6x + 8y + 0y = 6 Pero como 0 6 Incoherencia Matemáticas y TIC
3 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: 004 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x y + y = Despejamos la "y" de la segunda ecuación: y = - - 5x Sustituimos el valor de "y" en la primera ecuación - x - y - x - (- - 5x) - x /9 Calculamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en 5x + y = - y = - - 5x 4 y = = 9 y = y = /9 = 9 //4-4/9 ; y = /9 RESOLUCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA 010 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: + 1y = 6 x + 6y = Despejamos la "x" de la segunda ecuación: - 6y 6y Sustituimos el valor de "x" en la primera ecuación 4x + 1y = 6 6y 4 + 1y = 6 ( - 6y) + 1y = 6 6-1y + 1y = 6 6 = 6 INFINITAS SOLUCIONES; Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que 6y verifiquen la igualdad ; así, algunas soluciones serían:
4 / ; y - / ; y = 1-9/ ; y = RESOLUCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA La calculadora gráfica no sabe resolvernos estos sistemas con infinitas soluciones. 011 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: + y = x + 5y = 18 Despejamos la x de la segunda ecuación: 18-5y 18 5y Sustituimos el valor de "x" en la primera ecuación 4x + y = 18 5y 4 + y = (18-5y) + y = 6-10y + y = - 7y = - 6-7y = y = 14 y = Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación: 4x + y = 4x + = ; y = RESOLUCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA x + y = Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x y = Despejamos la "x" de la primera ecuación: x + y = 11 4 Matemáticas y TIC
5 11 - y Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación x - y = (11 - y) - y = - 4y - y = - 5y = - - 5y = - 0 5y y = 4 Sustituimos el valor de "x" en la primera ecuación x + y = 11 x + 4 = ; y = 4 RESOLUCIÓN CON CALCULADORA GRÁFICA 019 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 7x + y = 5y = 5 Despejamos la y de la primera ecuación: y = + 7x + 7x y = Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación 5x - 5y = 5 mcm: + 7x 5x - 5 = 5 1-5( + 7x) = /5-4/5 Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación: - 7x + y = y = 5 mcm: y = 10 10y = y = - 18 y = - 18/10 5
6 y = - 9/5-4/5 ; y = - 9/5 x = 9 0 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 6x + 8y Despejamos la "x" de la primera ecuación: y 9 + 4y Sustituimos el valor de "x" en la segunda - 6x + 8y = y y = ( y) + 8y = y + 8y = y + 8y 6 Pero como 6 0 Incoherencia MÉTODO DE IGUALACIÓN 004 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x y + y = - y = x y = - x x y = x = - - 5x y = - - 5x Sustituimos el valor de "y" en la primera ecuación - x - y x /9 Calculamos el valor de la otra incógnita sustituyendo en y = - - 5x y = 4 y = = 9 y = /9 /9 ; y = - 4/9 6 Matemáticas y TIC
7 010 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: + 1y = 6 x + 6y = 4x + 1y = y 6 1y 4 6y - 6y 6y 6y 6y = 0 INFINITAS SOLUCIONES; Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que verifiquen la igualdad 4x + 1y = 6; así, algunas soluciones serían: - 1 ; y = 5/6 0 ; y = 1/ 1 ; y = 1/6 011 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: etc. + y = x + 5y = y y 4 y = y 18-5y 18 5y - y = (18-5y) - y = 6-10y - y + 10y = 6-7y = 14 y = Sustituimos el valor obtenido en la primera ecuación: 4x + y = Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 4x + = ; y = x + y = 11 x y = x + y = y 11 - y = + y Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación x - y = (11 - y) = + y - 4y = + y - 4y - y = - + y + y 7
8 - 5y = - 0 5y y = 4 Sustituimos el valor de "x" en la primera ecuación x + y = 11 x + 4 = ; y = Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 7x + y = 5y = 5 y = + 7x + 7x y = - 5y = 5-5x 5y = x y = x + 7x = x x 7x /5 Sustituimos el valor obtenido en la segunda ecuación: y = x 4 y = y = - 9/5-4/5 ; y = - 9/5 x = 9 0 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 6x + 8y y 9 + 4y 9 + 4y y y y = y = y = 9 + 4y 4y - 4y = y = y 0 = 18 Pero como 0 18 Incoherencia 8 Matemáticas y TIC
9 MÉTODO GRÁFICO 004 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x y + y = RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO Como se trata de rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores: - x - y 5x + y = /5 0 Representamos gráficamente ambas rectas: ; y... Esta solución pertenece a ambas ecuaciones 010 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: + 1y = 6 x + 6y = RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO Como se trata de rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores: 4x + y = 6 x + 6y = 0 0 1/ / 0 / 0 Representamos gráficamente ambas rectas: INFINITAS SOLUCIONES; Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que verifiquen la igualdad 4x + 1y = 6; así, algunas soluciones serían: (-, 1.5) (-, ) etc. 011 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: + y = x + 5y = 18 RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO Como se trata de rectas, realizamos unas sencillas tablas de valores: 4x + y = x + 5y = 18 0 / 0 18/5 11/ ; y = Esta solución pertenece a ambas ecuaciones 9
10 018 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x + y = 11 x y = RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO Como se trata de rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores: x + y = 11 x - y = 0 11/ Representamos gráficamente ambas rectas: ; y = 4 Esta solución pertenece a ambas ecuaciones 019 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 7x + y = 5y = 5 RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO Como se trata de rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores: - 7x + y = 5x - 5y = / Representamos gráficamente ambas rectas: -4/5 ; y = -9/5 Esta solución pertenece a ambas ecuaciones x = 9 0 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 6x + 8y RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO Como se trata de rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores: x - 4y = - 9-6x + 8y = /4 0-9/4-0 0 Representamos gráficamente ambas rectas: 10 Matemáticas y TIC
11 0 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: Vamos a resolverlo por diferentes métodos: x = y 4y = x E 8 4E 1B B RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN: Colocamos los términos semejantes de las ecuaciones en la misma columna: ) x y = 8 x + 4y = ) x = x = + 0y = 14 Pero como 0 14 Incoherencia Despejamos la "x" de la primera ecuación: 8 + y Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación - 4y = - x - 4y = - (8 + y) - 4y = y - 4y + 4y = y = - 14 Pero como 0-14 Incoherencia 8 + y 8 + y = 1 + y y - y = 1-8 0y = y + 4y 1 + y Pero como 0-7 Incoherencia RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO: Como se trata de rectas realizamos unas sencillas tablas de valores: x - 8 = y - 4y = - x Representamos gráficamente ambas rectas: Las dos ecuaciones que forman el sistema no tienen ninguna solución en común. Geométricamente son dos rectas paralelas y que por lo tanto nunca se cortan. Así pues se denominan SISTEMAS INCOMPATIBLES ya que no tienen ningún punto común. 11
12 "Sistemas de ecuaciones" x + y = 5 04 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x + y = 9 Vamos a resolverlo por diferentes métodos: E 4E 1B B RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN: ) x + y = 5 + 1) x + y = 9 y = 1 x y = 10 x + y = 9 0 y = 1 x + y = 5 x + 1 = 5 4 Despejamos la x de la primera ecuación: 5 y Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación x + y = 9 (5 y) + y = 9 10 y + y = 9 y = 1 y = 1 5 y Despejamos la misma incógnita en cada una de las ecuaciones e igualamos las expresiones obtenidas. x + y = 5 5 y 5 y = 9 y 10 9 = y y x + y = 9 9 y 10 y = 9 y RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO: y = 1 5 y Como se trata de rectas bastará con realizar unas sencillas tablas de valores: x + y = 5 x + y = Representamos gráficamente ambas rectas: 1 1 Las dos ecuaciones que forman el sistema tienen una solución en común. Geométricamente son dos rectas secantes que se cortan en el punto (4, 1) Así pues, cuando presentan una o más soluciones se dicen que son SISTEMAS COMPATIBLES, y si ésta se puede determinar de forma única, como es el caso que nos ocupa, se les llaman SISTEMAS COMPATIBLES DETERMINADOS. 1 Matemáticas y TIC
13 x y = 5 05 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: x y = 15 Vamos a resolverlo por diferentes métodos: RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN: ) x y = 5 1) x y = 15 x + y = 15 x y = y INFINITAS SOLUCIONES; Tendría por solución todos aquellos valores de x e y que verifiquen la igualdad x y = 5; así, algunas soluciones serían: 0 ; y = ; y 8 ; y = etc. Despejamos la "x" de la primera ecuación: 5 + y Sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación x - y = 15 (5 + y) - y = y - y = 15 0y = INFINITAS SOLUCIONES; Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que verifiquen la igualdad x - y = 5; así, algunas soluciones serían las anteriormente señaladas. x - y = y 5 + y = 5 + y y - y = y 15 + y 5 + y INFINITAS SOLUCIONES; Tendría por solución todos aquellos valores de "x" e "y" que verifiquen la igualdad x - y = 5; así, algunas soluciones serían las anteriormente señaladas. RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO: Se trata de rectas por lo que basta con realizar unas sencillas tablas de valores: y = x - 5 x - y = E 4E 1B B Las dos ecuaciones que forman el sistema tienen soluciones en común. Geométricamente son dos rectas coincidentes, o sea, que están superpuestas, con todos los puntos en común. Así pues, cuando presentan una o más soluciones se dicen que son SISTEMAS COMPATIBLES, y si éstas NO se puede determinar de modo único, como es el caso que nos ocupa, se les llaman Sistemas Compatibles INDETERMINADOS. Algunas soluciones podrían ser aquellas que verifican la igualdad 4x + 1y = 6, es decir, las anteriormente señaladas
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