Cálculo II (0252) TEMA 3 INTEGRAL IMPROPIA. Semestre

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Julián Rivas Acuña
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1 Cálulo II (5) Smstr - TEMA 3 INTEGRAL IMPROPIA Smstr - Junio

2 Dprtmnto d Mtmáti Aplid U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) Ls nots prsntds ontinuión tinn omo únio fin, l d prstr poyo l studint y filitr su ntndiminto n l tm d l intgrl impropi. L guí ontmpl un pquño rsumn d l torí orrspondint qu sirv d rpso los ontnidos tórios qu omponn l tm. S prsntn jriios rsultos y propustos, lgunos son originls, otros s hn tomdo d guís rdtds por profsors, tmbién hy jriios tomdos d ámns y d lgunos ttos. S h trtdo d sr lo más didátio posibl y s spr prstr un poyo l nsñnz dl Cálulo II n Ingnirí. Agrdzo ls obsrvions y sugrnis qu m pudn hr llgr n l mjor dl prsnt mtril, ls misms pudn sr nvids l siguint dirión d orro: quintrodvil@hotmil.om.

3 INDICE GENERAL U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) Dprtmnto d Mtmáti Aplid TEMA 3. INTEGRAL IMPROPIA 3.. L intgrl impropi 3.. Intgrls on intgrndos no otdos 3.3. Intgrls on intrvlos d intgrión d longitud infinit 3.4. Critrios d onvrgni 3.5. Ejriios rsultos 3.6. Ejriios propustos G

4 LA INTEGRAL IMPROPIA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 3 Intgrl Impropi Pág.: 5 d LA INTEGRAL IMPROPIA Antriormnt s firmó qu si l funión f() s ontinu y positiv n l intrvlo [,b] on y b finitos, b f()d rprsnt l ár bjo l urv, usndo l Torm Fundmntl dl Cálulo pr podr obtnr su vlor numério. Sin mbrgo, n muhs pliions, físis o mtmátis, s formuln intgrls dond no s umpln irts ondiions pusts ntriormnt. A ontinuión s dsribn lguns d lls:. El intgrndo f() s tl qu lim f() r = ± on r [,b], tomndo límit ltrl d sr l so. Es dir l intgrndo s un funión no otd. b. El intrvlo d intgrión no s finito, por jmplo: [, ), (,] o bin (, ). Ls intgrls on lgun d ls ondiions ntriors s onon on l nombr d intgrls impropis. En gnrl, l téni s trnsformr l intgrl impropi n un límit on un intgrl dfinid sobr un intrvlo finito dond s pud plir l Torm Fundmntl dl Cálulo. 3.. INTEGRALES CON INTEGRANDOS NO ACOTADOS CASO. Si f() s ontinu n [,b) y lim f() = ±, ntons (vr figur ) b b r f()d = lim f()d. r b CASO. Si f() s ontinu n (,b] y lim f() = ±, ntons (vr figur )

5 INTEGRALES CON INTEGRANDOS NO ACOTADOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 3 Intgrl Impropi Pág.: 5 d 7 b f()d = lim f()d r r b Figur. Gráfi dl so Figur. Gráfi dl so CASO 3. Si f() s ontinu n [,b] pto n r (,b), dond s tin lim f() = ±, r ntons b r b f()d = f()d f()d r En los sos y, si los límits istn y son finitos s dirá qu l intgrl impropi d l izquird onvrg, n so ontrrio divrgn. En l so 3, si ls intgrls impropis d l drh onvrgn mbs s dirá qu l intgrl impropi d l izquird onvrg; si lgun d ls intgrls impropis d l drh divrg s dirá qu l intgrl impropi d l izquird divrg. A ontinuión s dn lgunos jmplos:

6 INTEGRALES CON INTEGRANDOS NO ACOTADOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 3 Intgrl Impropi Pág.: 53 d 7 Ejmplo. Clul l siguint intgrl impropi (o dtrmin su divrgni). Soluión. 4 d ( ) d d d d d = = lim lim /3 /3 /3 /3 /3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / = lim ( 3 ) lim ( 3 ) = lim ( 3 3) lim ( ) 3 3 = = 3( 3) 3 Ejmplo. Clul l siguint intgrl impropi (o dtrmin su divrgni). Soluión. d d d π = lim = lim rsn() = lim (rsn() ) =. Ejmplo 3. Clul l siguint intgrl impropi (o dtrmin su divrgni). Soluión. S tin ntons: d d = d. du u d = = ln C = ln C u u. (u = du = d) d d = lim = lim ln = lim ln ln o o = ln ln = ln ln = ln ln = ln ln = ln Por lo tnto l intgrl divrg.

7 INTEGRALES CON INTERVALOS DE INTEGRACIÓN DE LONGITUD INFINITA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 3 Intgrl Impropi Pág.: 54 d INTEGRALES CON INTERVALOS DE INTEGRACIÓN DE LONGITUD INFINITA CASO. Si f() s ontinu n [, ) ntons f()d = lim f()d CASO. Si f() s ontinu n (,] ntons f()d = lim f()d CASO 3. Si f() s ontinu n (, ) ntons f()d = f()d f()d En los sos y, si los límits istn y son finitos s dirá qu l intgrl impropi d l izquird onvrg, n so ontrrio divrg. En l so 3, si ls intgrls impropis d l drh onvrgn mbs s dirá qu l intgrl impropi d l izquird onvrg n so ontrrio divrg. A ontinuión s dn lgunos jmplos: Ejmplo 4. Clul l siguint intgrl impropi (o dtrmin su divrgni). Soluión. - rtg() d rtg() rtg() rtg() d = d d - - rtg() rtg() = lim d lim d (rtg()) = lim lim (rtg()) π π = = 8 8

8 INTEGRALES CON INTERVALOS DE INTEGRACIÓN DE LONGITUD INFINITA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 3 Intgrl Impropi Pág.: 55 d 7 Ejmplo 5. Clul l siguint intgrl impropi (o dtrmin su divrgni). b ( ) d Soluión. b b b b b lim ( ) d = lim ( ) d = lim ( b) b b b u = du = d, dv = d v = = lim ( b) = lim b b b b b = Ejmplo 6. Clul l siguint intgrl impropi (o dtrmin su divrgni). Soluión. = b d ( ) b d d d ( ) ( ) ( ) d du = = rtg(u) C = rtg( ) C ( ) u d (u = du = ) d d lim lim = lim rtg( ) lim rtg( ) ( ) ( ) b b π π π lim rtg() rtg() lim rtg(b) rtg() =... = π b 4 4

9 CRITERIOS DE CONVERGENCIA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 3 Intgrl Impropi Pág.: 56 d CRITERIOS DE CONVERGENCIA El studio d l onvrgni d intgrls impropis por ví dl límit rquir dl álulo d un primitiv y no simpr s ftibl o fáil su álulo; ist l ltrntiv d omprión on otrs intgrls impropis d ls uls s ono su omportminto. TEOREMA. (Critrio d omprión simpl). Sn f() y g() funions ontinus y tls qu f() g() n [, ).. Si b. Si g()d f()d onvrg ntons divrg ntons Ejmplo 7. Estudi l onvrgni d Soluión. Si, ) s tin l intgrl > y f()d g()d < por sr onvrg. divrg. d. d = lím d = lím = s onvrgnt, lugo por l ritrio d omprión l intgrl onvrg. d un funión drint. Por otro ldo TEOREMA. (Critrio d omprión por pso l límit). Sn f() y g() funions ontinus no ngtivs n [, ) on g().. Si f() lím = L g() ntons ls intgrls f()d y g()d onvrgn o divrgn mbs.

10 CRITERIOS DE CONVERGENCIA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 3 Intgrl Impropi Pág.: 57 d 7 b. Si y. Si y g()d g()d onvrg ntons divrg ntons f() lím = g() f()d onvrg. f() lím = g() f()d divrg. Ejmplo 8. Estudi l onvrgni d Soluión. Si p = s tin qu Por lo tnto onvrg Si p >. p d, p >. p p d = lím d = lím = lím = p p p p p p > p p d = lím d = lím ln = lím ln = p d p Ejmplo 9. Estudi l onvrgni d Soluión. Considr l intgrl ln() d.

11 CRITERIOS DE CONVERGENCIA U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 3 Intgrl Impropi Pág.: 58 d 7 qu divrg porqu p <. S tin y n, ). D modo qu ln() d /3 ln() f() = > g() = > /3 /6 /3 lugo por l prt dl torm l intgrl divrg. lím = lím ( ln()) =, ln() d Ejmplo. Estudi l onvrgni d Soluión. 4 3 d. Sindo f() = y g() = 4 3 qu son ontinus y positivs n, ) s tin Pusto qu onvrg s tin por l prt dl torm onvrg. lím =. 4 d 4 3 d 4

12 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 3 Intgrl Impropi Pág.: 59 d EJERCICIOS RESUELTOS. Pr un irto vlor rl C, l intgrl dd por C d onvrg. Dtrmin l vlor d C y lúll. Soluión. C C C d = lim d = lim ln( ) ln( ) Pr qu onvrj =. Asi s tin qu C C C ( ) ( ) 5 = lim.ln =. lim ln ln lim ln ln =. ln ln =. ln ln = ln Dtrmin k pr qu l intgrl s onvrgnt. Soluión. k k ln()d = ln() d k k d k k k u = ln() du =, dv = d v = k k ln()d k k k k k lím ln()d = lím ln() = lím ln() k (k ) k (k ) (k ) Si k > k > : k ln()d =. (k )

13 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 3 Intgrl Impropi Pág.: 6 d 7 3. Si f(t) s ontinu pr t, l trnsformd d Lpl s l funión F dfinid por st F(s) = f(t) dt. Hll l trnsformd d Lpl d ls funions: n. f(t) = t. (n N) b. Soluión. st n n st n st t n n st F(s) = t dt = lím t dt = lím t dt s s n lím t n st dt, s, n,,... = > = s st n n t = lím n n st t dt, s >, n =,,... s s s n(n ) n st lím t dt, s, n,,... s = > = n! st n! n! = lím dt =. =, s >, n =,,... n n s n s s s n n st st s (u = t du = nt dt, dv = dt v = ) n n st st s (u = t du = (n )t dt, dv = dt v = ) t < U(t ) =. (funión slón unitrio) t Soluión. st st st F(s) = U(t ) dt = dt = lím dt = lím s st s s s = lím =, s > s s s 4. L dfiniión por intgrl d l funión gmm, vin dd por t Γ () = t dt. Prub qu:. L intgrl onvrg pr >. Soluión.

14 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 3 Intgrl Impropi Pág.: 6 d 7 t t t t = = t t dt lím t dt lím ( ) t dt t t ( u = t du = ( )t dt, dv = dt v = ) t t t t = lím ( ) t dt t t t t (u = du = dt, dv = t dt v = ) b. Γ ( ) = Γ (). Soluión. t t t Γ ( ) = t dt = t t dt = lím Γ () = Γ (), > t t (u = t du = t d, dv = dt v = ). Γ (n ) = n!. Soluión. t t Γ () = dt = =. Aplindo l propidd ntrior s tin: = Γ ( ) =. Γ () =. = Γ () =! = Γ ( ) =. Γ () =. = Γ (3) =! = 3 Γ (3 ) = 3. Γ (3) = 3. = 6 Γ (4) = 3! Γ (n ) = n! 5. Estudi l onvrgni d Soluión. d. S h uso dl ritrio d omprión por pso l límit prt : Considr ls funions n l intrvlo, ) g() = y f() = dond mbs son ontinus y positivs. D modo qu lím = =

15 EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 3 Intgrl Impropi Pág.: 6 d 7 Por otro ldo d divrg, lo ul pud sr omprobdo fáilmnt, lugo l intgrl d divrg. 6. Utili l torm d omprión pr dtrminr si l intgrl s onvrgnt o divrgnt. π/ d.sn() Soluión. Si (, π s tin qu sn(), d modo qu.sn(). Lugo.sn() Por otro ldo π/ π/ π/ d = lím d = lím ln() = Por l torm d omprión prt l intgrl divrg. π/ d.sn()

16 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 3 Intgrl Impropi Pág.: 63 d EJERCICIOS PROPUESTOS. Vrifiqu ls siguints firmions: d = 3 d (divrg) ( ) d (divrg) d = π d (divrg) ln() π tg()d (divrg) rtg() π d = 8 d π = sn()d = d = 4 d (divrg) 5 4 d = d (divrg) sn()d (divrg) d = d π = d = (ln()) ln() k d = (k > ) k d = ln(3) ( ) 3 4 d (divrg) 3 5 d = π d (divrg) ( ) d (divrg) d π =

17 EJERCICIOS PROPUESTOS U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (5) TEMA 3 Intgrl Impropi Pág.: 64 d 7. Enuntr > tl qu d d =. 3. Dtrmin todos los posibls vlors d q pr los uls l intgrl onvrg. q d Rt. Convrg q si q >. 4. Dtrmin l vlor d n pr l ul l intgrl impropi n d 3 3 s onvrgnt, y vlú l intgrl pr st vlor d n. Rt. n = y l intgrl onvrg ln( ) ln( ). 5. Dtrmin si l intgrl d onvrg o divrg, n so d sr onvrgnt, lull. 6. Hll y b tl qu b d =. ( )

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