INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración

Transcripción

1 Integrión. Cálulo de áres. INTEGRAL INDEFINIDA FUNCIÓN PRIMITIVA F() es un primitiv de f() si F ()= f(). Esto se epres sí: f() = F'() = F() L integrión es l operión invers l derivión, de modo que: FUNCIONES PRIMITIVAS Derivión Integrión FUNCIONES DERIVADAS Si F() es un primitiv de f() (F ()= f()), entones F() +K, siendo K un onstnte, tmién será un primitiv de f(), pues: (F()+K) = f(). Por tnto, podemos firmr que un funión tiene infinits primitivs, lo que podemos epresr: f ( ) = F( ) A l epresión f () se le llm integrl indefinid o simplemente integrl de f(), por eso l álulo de primitivs se le suele llmr álulo de integrles o integrión. Si F() es un primitiv de f(), entones F () = f() y, por tnto d F() = f() d y l integrl se epres sí: f ( ) d = F( ) F() = F () = f() = F() = + 5 F () = f() = F() = - 7 F () = f() = d = + k PROPIEDADES = f ( ) + = f ( ).- ( f ) g( ) ).- ( f ( ) ) C ( + g( ) C, siendo C R 48 I.B. Sos Bynt

2 INTEGRALES INMEDIATAS..- d = n+ n.- d = n + si n.- d = Ln 4.- d = Ln 5.- sen d = os Integrión. Cálulo de áres. 6.- os d = sen 7.- d ( + tn ) d = tn + os = K 4 INTEGRALES INMEDIATAS PARA LA FUNCIÓN COMPUESTA.- ( f ( ) ) n ( f ( ) ) n+ f '( ) d = si n n + f '( ).- d = ln f ( ) f ( ) f ( ) f ( ).- f '( ) d = ln 4.- senf ( ) f '( ) d = os f ( ) 5.- os f ( ) f '( ) d = senf ( ) f ( ) os f ( ) ' 6.- d = se f ( ) f '( ) d = ( + tg f ( ) ) f '( ) d = tgf ( ) EJERCICIOS:.- Clul ls siguientes integrles: ) d = ) 7 d = ) d = 4) d = 5) 5 d = 6) d = 49 I.B. Sos Bynt

3 7) 7 4 d = 8) 7 d = 9) d = 0) d = ) 5 d = 5 ) d = 5) ( 5 + ) d = ) d = 5 Integrión. Cálulo de áres. 4) ( 5 + ) d = 6) ( ) d = ) d = 8) d = ) d = 0) d = ) d = ) os ( + tn ) d = ) ( + ) d = 4) os 5e + 4) d = 5) (5os + ) d = 4 7) ( 5) d = 9) ( 5 + ) ( 5) d = 6) (0 5 ) d = 4 8) ( + ) ( + ) d = 0) (5 + ) d = ) 4d = 8 ) d = ( + ) ) d = 4) ( + ) d = 5) d = 6) d = 7) 5 d = 8) = 9 4 d 5 9) d = 40) d = os 4) d = 4) d = sen e 4) tn d = 44) = e + d d 45) = 46) + d = ) d = 48) 5 d = ) e d = ) ( + ) e d = 5) e d = 5) e d = 50 I.B. Sos Bynt

4 5) e d = + 54) e d = Integrión. Cálulo de áres. 55) ln d = 7 57) 5 d = 56) 7 d = 58) os sin d = 59) os 4 sin d = 60) sin os d = 6) os d = 6) sin d = π 6) os( + ) d = 65) ( + 4) d = 64) tn d = os 66) ( + ) d = 67) = d 68) + 5) 5 ( d = ) d = 70) d = 7) sin( + π) d = 7) ( + ) d = 7) = 5 d 74) + d = 4 75) ( + ) d = 76) e d = π 77) os d = 78) d = os 79) = d + 80) d = ) d = 8) tn d = 8) os 4 sin 4 d = 84) e d = 85) (ln ) 5 d = 86) ln d = d 87) = 88) os ( + ) os 4 d = 89) 5 (8 ) 6 d = 90) ( + tn ) d = 9) = d 9) 4 d = 7 4 ( ) 9) ( sin ) d = 94) d = ) d = 96) ose d = e 5 I.B. Sos Bynt

5 Integrión. Cálulo de áres. INTEGRAL DEFINIDA. ÁREAS INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN CONTÍNUA Y POSITIVA EN UN INTERVALO. y = f() T O Un trpeio urvilíneo (o mitilíneo) T es un figur pln omo l que pree en l figur: Está limitd por: El eje de siss de euión y =0 Ls rets de euiones = ; = Un funión y = f() positiv y ontinu en [,] Cundo l funión f es positiv y ontinu eiste el áre de este trpeio urvilíneo. Este áre se llm integrl definid entre y de l funión f y se represent: áre (T) = f ( ) d Tod funión ontinu y positiv en [, ] es integrle, y f ( ) d es el áre del reinto delimitdo por l urv el eje de siss y ls rets de euiones = y =. 5 I.B. Sos Bynt

6 Integrión. Cálulo de áres. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. - Si f es un funión integrle en [,] y ],[ entones: 0 f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d - Si f es un funión integrle sore [,] y = f ( ) d = 0 - f ( ) d = - f ( ) d Y que 0 = f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d 4- Si f y g son dos funiones integrles en [,] entones tmién lo es f ± g: ((f() ± g()) d = f() d ± g() d 5- Si f es un funión integrle en [,] tmién lo es kf, siendo k un onstnte: k f() d = k f() d REGLA DE BARROW. Si f es un funión ontínu en [,] y G es un funión primitiv de f, enton-es se verifi que: f ( ) d G( ) = G() = G() - G() Ejeriio. = [ ] 5 I.B. Sos Bynt

7 Integrión. Cálulo de áres. 4 INTEGRAL DEFINIDA Y ÁREA Si f es un funión positiv entones l integrl f ( ) d es tmién positiv y, reflej el áre de l región somred Ejeriio. Si f es negtiv l integrl f ( ) d es negtiv. El vlor de l integrl será negtivo, pero no el áre, uyo vlor será: S = f ( ) d Ejeriio. Si f ort l eje de ls X en : L integrl f ( ) d no oinide on el áre uyo vlor será: S = f ()d + f ()d Ejeriios 4, 5, I.B. Sos Bynt

8 Integrión. Cálulo de áres. Áre entre dos urvs, eje de siss y ls rets = y = g() f() S = g ) d ( + f ( ) d Ejeriios 7, 8. Ejeriios seletividd. 55 I.B. Sos Bynt

9 Integrión. Cálulo de áres..- Hll: EJERCICIOS ) ( + ) d ) π sin d 0 ) π 4 sin d d) ( 4 + ) d π e) ( 4) d f) e 0 0 d.- ) Hll ( + ) d ) Hll el áre limitd por l funión y = +, el eje X y ls rets = - ; =..- ) Hll ( 4) d ) Hll el áre limitd por l funión y = 4, el eje X y ls rets = - ; =. 4.- ) Hll ( 4) d ) Hll el áre limitd por l funión y = 4, el eje X y ls rets = ; =. 5.-Hll el áre enerrd entre l urv y = 4 +, el eje X y ls rets = 0; = Hll el áre omprendid entre y = - 4, el eje de siss y ls rets =, = 4. si 0 7.-Se f() = si < ) Represent l funión. ) Clul f () d 0 ) Áre omprendid entre y = f(), el eje de siss y ls rets = 0, =. si 8.-Se f() = + si < ) Represent l funión. ) Clul f () d ) Áre omprendid entre y = f(), el eje de siss y ls rets = -, =. 56 I.B. Sos Bynt