Funciones hiperbólicas

Transcripción

1 Cpítulo 1 Funciones hiperbólics 1.1. Funciones hiperbólics directs e inverss A cus de l semejnz que eiste entre l circunferenci y l hipérbol, se plnte l cuestión de si hbrá un conjunto de mgnitudes o funciones que se correspondn con l hipérbol de l mism mner que ls funciones circulres se corresponden con l circunferenci. Ess funciones eisten y se denominn funciones hiperbólics, es decir, seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tngente hiperbólico, etc. Se representn por Senh, Cosh, Tnh, etc, ludiendo l letr h l hipérbol. En l figur, se h dibujdo un cudrnte MNP de l circunferenci +y = y de l hipérbol y =, y pr un punto culquier P de mbs curvs l bscis es = 0Q, l ordend es y = QP y el rdio es = 0M. En el cso de l circunferenci, cundo θ es el ángulo circulr Q0P, ls funciones circulres son: Senθ = y, Cosθ =, etc. Análogmente, un vez definido convenientemente el ángulo hiperbólico ϕ, ls funciones hiperbólics son: Senhϕ = y, Coshϕ =, etc. Sin embrgo, como el ángulo hiperbólico no es el ángulo ordinrio Q0P deberemos proceder su definición. Con este objeto comenzremos por desrrollr un importnte propiedd de l circunferenci. Designemos por u el áre del sector circulr M0P. Puesto que el áre de un círculo es igul 1 (rdio longitud de l circunferenci), el áre de un sector circulr será igul 1

2 CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 1 (rdio longitud del rco), siendo el rco quell prte de l circunferenci que limit l sector. Por lo tnto, en l figur rea = 1 (rcomp ). Pero cundo θ = M0P, se verific que rcomp = θ. Por consiguiente, A = 1 A (θ), donde θ = (1.1) Es decir, que en tod fórmul cundo prece un ángulo circulr se puede sustituir por el áre del sector correspondiente l ángulo multiplicd por 1. Por este motivo se llm veces A ángulo sectoril, y l mgnitud thet epresd en función de A por medio de l relción θ = A es el correspondiente ángulo circulr. Utilizndo el ángulo circulr sí epresdo, ls funciones circulres de l circunferenci serán, pues, { y A = Sen = Cos A En el cso de l hipérbol, no se us el ángulo ordinrio M0P, y el ángulo hiperbólico se define como A, en que A es el áre del sector hiperbólico M0P de l figur y = 0M. Ls funciones hiperbólics quedn entonces definids por ls fórmuls { y A = Senh A = Cosh (1.) en ls que y y son ls coordends de un punto P de l hipérbol equiláter. Ls demás funciones hiperbólics se definen como sus nálogs de trigonometrí circulr y entre ells eisten ls misms relciones como, por ejemplo, T nhϕ = Senhϕ Coshϕ, Coshϕ Cotϕ = Senhϕ, Si recordmos que l hblr del ángulo hiperbólico correspondiente un determindo punto P de l hipérbol equiláter, no nos referimos l ángulo ordinrio M0P como en el cso de l circunferenci, sino el ángulo hiperbólico, podremos escribir, como en (1.1) pr l circunferenci, pr el ángulo hiperbólico correspondiente l áre A del sector: y ls fórmuls (1.) se pueden escribir etc. ϕ = A (1.3) { y = Senhϕ = Coshϕ (1.) que corresponden ls fórmuls corrientes de ls funciones circulres. El resto de ls funciones hiperbólics se epresn en función del rdio y de ls coordends y y, por medio de ls relciones y conocids. Eisten muchs, interesntes y útiles relciones entre ls funciones hiperbólics, cuyo conjunto formn lo que veces se llm trigonometrí hiperbólic. Ls funciones eponenciles e hiperbólics, están estrechmente relcionds, tienen enorme importnci en electricidd, principlmente

3 CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 3 en telefoní, telegrfí, cbles de trnsmisión, y tmbién en l teorí de l máquin de vpor, motores de gsolin, compresores de ire, y en muchs otrs rms de l físic y de l físico-químic. Como vmos ver hor, ls funciones hiperbólics están estrechmente relcionds con el número e. El áre A = M0P M en el cso de l hipérbol equiláter, está dd por A = 1 ( ) + y log e De quí, y según l fórmul (1.), result Ahor bien, l ecución de l hipérbol es ( ) + y log e = A + y = e A y = + y = e ϕ (1.5) ( ) ( ) + y y = 1 Si dividimos miembro miembro est ecución y l (1.5), se obtiene y Est ecución y l (1.5) se pueden escribir: = 1 e ϕ y = e ϕ Restndo miembro miembro (1.7) de (1.6), los términos + y = eϕ (1.6) y = e ϕ (1.7) se reducen, y se obtiene y = eϕ e ϕ y = 1 (eϕ e ϕ ) (1.8) Análogmente, sumndo miembro miembro ls ecuciones (1.6) y (1.7) se obtiene = 1 (eϕ + e ϕ ) (1.9) Ahor bien, en ls ecuciones (1.8) y (1.9) y en ls ecuciones (1.), y y son ls misms coordends de un punto P de l hipérbol y es el rdio hiperbólico. Comprndo ess ecuciones, tendremos { Senhϕ = 1 (eϕ e ϕ ) Coshϕ = 1 (eϕ + e ϕ (1.10) ) y medinte ests ecuciones podremos, grcis ls relciones y conocids, epresr tmbién l tngente, cotngente, secnte y cosecnte hiperbólics en función de ls funciones eponenciles. Estos son los resultdos que buscábmos l investigr ls relciones que eisten entre ls funciones hiperbólics y el número e.

4 CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS Grcis ests ecuciones podremos epresr directmente ls funciones hiperbólics de un número culquier, en función de ls funciones eponenciles, sin hcer ningun referenci l hipérbol, y eso es lo que se suele hcer frecuentemente. Hy que sobrentender, sin embrgo, que l relción hiperbólic, se use eplícitmente o no, es l bse de ls ecuciones. Despejndo en ls ecuciones (1.10) e ϕ y e ϕ, se pueden epresr tmbién ls eponenciles en función de ls funciones hiperbólics. En efecto, sumndo primero ls dos ecuciones se eliminn ls eponenciles negtivs, y restndo l primer de l segund, se eliminn los términos positivos, teniendo sí los resultdos { e ϕ = Coshϕ + Senhϕ e ϕ (1.11) = Coshϕ Senhϕ Ess dos notbles fórmuls dn l función eponencil e ±ϕ en función de ls funciones hiperbólics Función seno hiperbólico El seno hiperbólico se define en R, con l fórmul Ddo que f() = 1 (e e ) f( ) = 1 [e( ) e ( ) ] = 1 (e e ) = 1 (e e ) = f() l función f() = Senh es impr, monóton creciente desde hst +. El origen de coordends es un punto de infleión y el centro de simetrí de l curv. No tiene síntots. L invers de f() = Senh, se estblece de l siguiente mner: Figur 1.1: f()=senh y f()=aresenh Ddo que y = 1 (e e ) e ye 1 = 0 = ln (y ± ) 1 + y AreSenh = ln ( + ) 1 +, R f( ) = AreSenh( ) = AreSenh = f() l función f() = AreSenh es impr, monóton creciente desde hst +. El origen de coordends es un punto de infleión y es el centro de l simetrí de l curv. Crece de síntots.

5 CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 5 Ejemplo 1.1 Determine el dominio de l siguiente epresión: f() = Senh 1 1 Sen L epresión está determind si se cumple lo siguiente: 1 0 ( 1)( + 1) 0 1 y ( 1)(3 + 1) y 1 Por lo tnto, el dominio de l función es: R\ { 1, 1 3, } Función coseno hiperbólico El coseno hiperbólico se define en R, con l fórmul f() = 1 (e + e ) Ddo que f( ) = 1 (e + e ( ) ) = 1 (e + e ) = 1 (e + e ) l función f() = Cosh es pr; pr < 0 decrece desde + hst 1, pr > 0 crece desde 1 hst +. Tiene un mínimo en el punto (0, 1): no tiene síntots. L curv está situd simétricmente con respecto l eje Y. L invers de f() = Cosh, se estblece de l siguiente mner: Figur 1.: f()=cosh y f()=arecosh y = 1 ( (e + e ) e ye + 1 = 0 = ln y ± ) y 1 ( AreCosh = ln + ) 1, 1. (AreCosh > 0es vlor principl) L epresión f() = AreCosh no es pr ni impr, es biforme y eiste sólo pr los vlores de 1. L curv es simétric con respecto l eje X; en el punto (1, 0) es tngente l rect verticl = 1, después y crece en vlor bsoluto.

6 CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 6 Ejemplo 1. Demuestre l siguiente propiedd Cosh Senh = Cosh Senh = 1 ( e + e ) ( e e = e + e e + e ) e e e + e = e + e e + e e + e e e = e e = 1. Ejemplo 1.3 Demuestre l siguiente propiedd Senh( + y) = SenhCoshy + CoshSenhy Pr demostrr est propiedd, utilizremos ls identiddes estblecids nteriormente pr el Senh y Cosh. SenhCoshy + CoshSenhy = e e = e e y + e e y e e y e e y ey + e y + e + e + e e y e e y + e e y e e y = e e y + e e y e e y e e y + e e y e e y + e e y e e y = e e y e e y = e+y e +y = Senh( + y). Ejemplo 1. Demuestre l siguiente propiedd Senh = SenhCosh ey e y Pr demostrr est propiedd, utilizremos ls identiddes estblecids nteriormente pr el Senh y Cosh: SenhCosh = e e e + e = e e + e e e e e e = e e = Senh Función tngente hiperbólic L tngente hiperbólic se define en R, de l siguiente mner: f() = e e e + e

7 CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 7 Ddo que f( ) = e e ( ) e + e = e e ( ) e + e = e e e = f() + e l función f() = T nh es impr, monóton creciente desde -1 hst + 1. El origen de coordends es un punto de infleión y es el centro de simetrí de l curv. Tiene dos síntots: y = ±1. L invers de f() = T nh, se estblece de l siguiente mner: Figur 1.3: f()=tnh y f()=aretnh y = e e e + e e = 1 + y 1 y = 1 ( ) 1 + y ln 1 y AreT nh = 1 ( ) 1 + ln, 1 < < 1. 1 L epresión f() = AreT nh es impr y eiste sólo pr los vlores de < 1; desde hst + es monóton creciente. El origen de coordends es un punto de infleión y es el centro de simetrí de l curv. Tiene dos síntots: = ±1. Ejemplo 1.5 Demuestre l siguiente propiedd T nh( + y) = T nh + T nhy 1 + T nht nhy Pr probr est identidd, utilizremos ls fórmuls deducids nteriormente pr Senh y Cosh: Sen( + y) SenhCoshy + CoshSenhy T nh( + y) = = Cosh( + y) CoshCoshy + SenhSenhy = = SenhCoshy+CoshSenhy CoshCoshy CoshCoshy+SenhSenhy CoshCoshy Senh Cosh + Senhy Coshy 1 + Senh Cosh Senhy Coshy = T nh + T nhy 1 + T nht nhy.

8 CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS Función cotngente hiperbólic L Cotngente hiperbólic se define en R\{0}, de l siguiente mner: Ddo que f() = e + e e e f( ) = e + e ( ) e e = e + e ( ) e e = + e e e = f() e l función f() = Coth es impr, pr = 0 tiene un discontinuidd. Pr < 0 decrece desde -1 hst, pr > 0 decrece desde + hst +1. No tiene etremos ni puntos de infleión. Tiene tres síntots: = 0, y = ±1. L invers de f() = Coth, se estblece de l siguiente mner: Figur 1.: f()=coth y f()=arecoth y = e + e e e e = y + 1 y 1 = 1 ( ) y + 1 ln y 1 AreCot = 1 ( ) + 1 ln, > 1 ó < 1. 1 L función f() = AreCoth es impr y eiste sólo pr los vlores de > 1. Pr < < 1 decrece desde 0 hst, pr +1 < < + decrece desde + hst 0. No tiene etremos ni puntos de infleión. Tiene tres síntots: y = 0, = ±1. Ejemplo 1.6 Demuestre l siguiente propiedd AreCoth = AreT nh 1 Pr probr est identidd, se procede de l siguiente mner: AreCoth = 1 ( ) + 1 ln = 1 ( ) 1 ln 1 1 = AreT nh 1.

9 CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS Función secnte hiperbólic L Secnte hiperbólic se define en R, de l siguiente mner: Ddo que f( ) = f() = e + e e + e = ( ) e + e = e = f() + e l función f() = Sech es pr; pr < 0 crece desde 0 hst 1, pr > 0 decrece desde 1 hst 0. Tiene un máimo en el punto (0, 1). No tiene etremos, l curv está situd simétricmente con respecto l eje Y. Tiene un síntot: y = 0. L invers de f() = Sech, se estblece de l siguiente mner: Figur 1.5: f()=sech y f()=aresech y = AreSech = ln ( ) 1 1 e + e ye e + y = 0 = ln y ± y 1 ( ) , 0 < 1 (AreSech > 0es vlor principl) l función f() = AreSech no es pr ni impr y eiste sólo pr los vlores de 0 < 1. Pr 0 < 1 decrece desde + hst 0. No tiene síntots Función cosecnte hiperbólic L Cosecnte hiperbólic se define en R\{0}, de l siguiente mner: f() = e e Ddo que f( ) = e e = ( ) e e = e = f() e

10 CAPÍTULO 1. FUNCIONES HIPERBÓLICAS 10 Figur 1.6: f()=csch y f()=arecsch l función f() = Csch es impr; pr < 0 decrece desde 0 hst, pr > 0 decrece desde + hst 0. No tiene etremos, l curv está situd simétricmente con respecto l origen. Tiene dos síntots: y = 0, = 0. L invers de f() = AreCsch, se estblece de l siguiente mner: y = e e ye e y = 0 = ln AreCsch = ln ( 1 y ± ( ) , 0. 1 y + 1 l función f() = AreCsch es impr; pr < 0 decrece desde 0 hst, pr > 0 decrece desde + hst 0. No tiene etremos, l curv está situd simétricmente con respecto l origen. Tiene dos síntots: y = 0, = Tre 1. Demuestre ls identiddes: ) Sech + T nh = 1; b) Coth Coth = 1; c) SenhSenhy = 1 [Cosh( + y) Cosh( y)]; d) SenhCoshy = 1 [Senh( + y) + Senh( y)]; e) CoshCoshy = 1 [Cosh( + y) + Cosh( y)]; f) Senh( y) = SenhCoshy CoshSenhy; g) Cosh( + y) = CoshCoshy + SenhSenhy; h) Cosh( y) = CoshCoshy SenhSenhy.. Demuestre ls identiddes: ) (Cosh + Senh) n = Coshn + Senhn; b) c) Coshn = 1 [(Cosh + Senh)n + (Cosh Senh) n ]; Senhn = 1 [(Cosh + Senh)n (Cosh Senh) n ]. 3. Utilizndo ls igulddes Senh n = 1 n (e e ) n ; Cosh n = 1 n (e + e ) n. )