Definición. 1. Se define la función logaritmo (neperiano ) por. ln x =

Transcripción

1 ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. LAS FUNCIONES LOGARITMO Y EXPONENCIAL. A partir de la integral y el Teorema Fundamental del Cálculo podemos definir y demostrar las propiedades de las funciones logaritmo y eponencial. Función Logaritmo. Definición.. Se define la función logaritmo (neperiano ) por ln = t dt. Figura. Definición gráfica del logaritmo. Como la función f(t) = t es continua en (0, ), la integral de esta función está definida en todo intervalo cerrado de su dominio. Así: Dom ln = (0, ). Si (0, ) se tiene que ln < 0 y es positivo si >. Además ln = 0. (ln) =, por el Teorema Fundamental del Cálculo. La derivada es siempre positiva luego la función es creciente. (ln) = 2. La derivada segunda es siempre negativa luego la función es concava.

2 2 C. RUIZ lím ln =. Demostración: Como la función es creciente, si no está acotada el límite será infinito. Sea N N, entonces ln N = N N t dt i=2 N i (i (i )) = i=2 i N, ya que la serie armónica diverge. Luego el logaritmo no está acotado superiormente. lím 0 + ln =. Demostración: Como la función es creciente, si no está acotada inferiormente, el límite será menos infinito. Sea N N, entonces N N 0 y N = i i= ln N = N N i= i N i(i + ) = dt = t dt N ( i i + ) i= (i + ) N, ya que la serie armónica diverge. Luego el logaritmo no está acotado inferiormente. Con todos estos datos ya podemos dibujar la gráfica del logaritmo. Figura 2. Gráfica de la función logaritmo. La propiedad histórica del logaritmo es que es una función que convierte productos en sumas. Antiguamente esta propiedad era muy importante para calcular (productos y divisiones). Proposición.. Para todo, y > 0 se tiene que ln(y) = ln + ln y. En consecuencia

3 APUNTES MMI 3 ln n = n ln para todo > 0 y para todo n N; ln( ) = ln ; ln( y ) = ln y ln. Demostración: Consideremos y > 0 fijo y la función f() = ln(y). La función f es derivable y f () =. Como f y ln tienen la misma derivada, se tiene que eiste K constante con f() = ln + K para todo > 0. Ahora, para = f() = ln y = ln + K, así K = ln y y queda probada la igualdad. ln n = ln(...) = ln + ln ln = n ln. 0 = ln( ) = ln + ln( ), despejando se tiene que ln( ) = ln. ln( y ) = ln(y ) = ln y ln. Función Eponencial. La función logaritmo tiene por derivada > 0, por el Teoream de Valor Medio es una función inyectiva, es decir ln = ln y si y solo si = y. Por lo tanto cabe definir su inversa. Definición. 2. ep() = (ln). Veamos propiedades de esta función, así definida. Dom ep = Im ln = R. Además Im ep = Dom ln = (0, ). Así ep : R (0, ). Como la derivada del logaritmo no se anula, el Teorema de la Función Inversa nos dice que la eponencial es derivable y que (ep) () = (ln) (ep()) = ep = ep. Luego es una función que coincide con su derivada. La eponencial es creciente y convea ya que (ep) = (ep) = ep > 0. lím ep = 0 y lím ep = ya que ln 0 += y ln =.

4 4 C. RUIZ Ya estamos en condiciones de pintar la gráfica de la eponencial, realmente es la del logaritmo mirando desde el eje de ordenadas ( = 0). Figura 3. Grafica de la eponencial. Proposición. 2. Para todo, y R se tiene que ep( + y) = ep epy Demostración: Sean = ep y y = epy, así = ln y y = ln y. De lo que se deduce que Tomando eponenciales + y = ln + ln y = ln y. ep( + y) = ep(ln y ) = y = ep epy Definición. 3. Llamamos e al número e = ep. Como para todo n natural, epn = (ep) n = e n, escribimos ep = e. Veamos que este número e es el que ya conocemos por al Teoría de Sucesiones. Teorema.. e = lím n ( + n )n. Demostración: Vimos que la sucesión (( + n )n ) n= era una sucesión creciente y acotada y por tanto tenía un límite que llamaremos l. Consideramos la función f() = ln( + ) para > 0. Calculando límites, usando la Regla de L Hôpital si es necesario, lím ln( + ) = lím ln( + )

5 APUNTES MMI 5 Tomando n = lím = lím + =. lím n ln( + n n ) = lím ln( + n n )n =. Por otro lado, de la continuidad del logaritmo si ( + n )n n l, entonces Por lo tanto l = e Propiedades de la eponencial Proposición. 3. lím ln( + n n )n = ln l =. a: Se f es una función de modo que f () = f(), entonces eiste k constante tal que f() = ke para todo R. e b: Fijado n N, entonces lím n =. Demostración: a: La epreión f = f es un primer ejemplo de ecuación defirencial. Sea g() = f() e. Derivando g () = f ()e f()e e 2 = 0. Si g tiene derivada nula es por que es una constante g() = f() e = k. Despejando tenemos el resultado. b: Aplicando n veces la Regla de L Hôpital tenemos que e e lím =... = lím n n! = Funciones definidas a través de la eponencial. Definición. 4. Para a > 0 y para todo R se define la eponencial de base a por a = e ln a De esta definición es fácil probar que: (a b ) c = a bc. a = a. a +y = a a y para todo, y R. Definición. 5. (Funciones Hiperbólicas.) Llamamos

6 6 C. RUIZ a: Seno hiperbólico a la función sinh = e e 2 b: Coseno hiperbólico a la función cosh = e +e 2 c: Tangente hiperbólica a la función tanh = sinh cosh = e e e +e De estas definiciones es fácil probar que: sinh = cosh, cosh = sinh y tanh = cosh 2 cosh 2 sinh 2 = para todo R. Estas funciones son útiles para calcular primitivas de funciones del tipo + 2 y. + 2 Demostración: Como sinh = cosh > 0, se sigue que el seno hiperbólico es inyectiva y por tanto tiene una inversa. Usando el Teorema de la Función Inversa y que cosh = + sinh 2 (sinh ) () = cosh(sinh ) = = + sinh 2 (sinh ) + 2 Referencias Departamento de Análisis Matemático, Facultad de Matemáticas, Universidad Complutense, Madrid, Spain address: Cesar Ruiz@mat.ucm.es