Funciones Hiperbólicas. Who? Verónica Briceño V. When? noviembre 2013
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- Cristián Palma Araya
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1 Funciones Hiperbólicas Funciones Hiperbólicas Who? Verónica Briceño V. When? noviembre 2013
2 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Funciones Hiperbólicas
3 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Funciones Hiperbólicas Grafica
4 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Funciones Hiperbólicas Grafica Identidades
5 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Funciones Hiperbólicas Grafica Identidades Ecuaciones
6 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Funciones Hiperbólicas Grafica Identidades Ecuaciones
7 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Funciones Hiperbólicas Grafica Identidades Ecuaciones Derivadas
8 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Funciones Hiperbólicas Grafica Identidades Ecuaciones Derivadas Integrales
9 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Definición de Funciones Hiperbólicas Grafica Identidades Ecuaciones Derivadas Integrales Funciones Hiperbólicas Inversas
10 Funciones Hiperbólicas
11 Funciones Hiperbólicas Funciones Trigonométricas Sabemos: Se definen sobre la circunferencia
12 Funciones Hiperbólicas Funciones Trigonométricas Sabemos: Se definen sobre la circunferencia
13 Funciones Hiperbólicas Funciones Trigonométricas Funciones Hiperbólicas Sabemos: Se definen sobre la circunferencia Ahora Se definen sobre la hierbóla.
14 Funciones Hiperbólicas Funciones Trigonométricas Funciones Hiperbólicas Sabemos: Se definen sobre la circunferencia Ahora Se definen sobre la hierbóla.
15 Funciones Hiperbólicas Funciones Trigonométricas Funciones Hiperbólicas Sabemos: Se definen sobre la circunferencia Ahora Se definen sobre la hierbóla. Nosotros veremos una perspectiva analítica
16 Definición Seno Hiperbólico sen h : R R, sen h(x) = ex e x 2
17 Definición Seno Hiperbólico sen h : R R, sen h(x) = ex e x 2
18 Definición Coseno Hiperbólico cos h : R R, cos h(x) = ex + e x 2
19 Definición Coseno Hiperbólico cos h : R R, cos h(x) = ex + e x 2
20 Tangente Hiperbólica Definición tg h : R R, tg h(x) = sen h(x) cos h(x) = ex e x e x + e x
21 Tangente Hiperbólica Definición tg h : R R, tg h(x) = sen h(x) cos h(x) = ex e x e x + e x
22 Definición Cosecante Hiperbólica cosec h : R {0} R; cosec h(x) = 1 sen h(x) = 2 e x e x
23 Definición Cosecante Hiperbólica cosec h : R {0} R; cosec h(x) = 1 sen h(x) = 2 e x e x
24 Secante Hiperbólica Definición sec h(x) = sec h : R R; 1 cos h(x) = 2 e x + e x
25 Secante Hiperbólica Definición sec h(x) = sec h : R R; 1 cos h(x) = 2 e x + e x
26 Cotangente Hiperbólica Definición cotg h : R {0} R; cotg h(x) = cos h(x) sen h(x) = ex + e x e x e x
27 Cotangente Hiperbólica Definición cotg h : R {0} R; cotg h(x) = cos h(x) sen h(x) = ex + e x e x e x
28 Propiedades 1 sen h(0) = 0
29 Propiedades 1 sen h(0) = 0 2 cos h(0) = 1
30 Propiedades 1 sen h(0) = 0 2 cos h(0) = 1 3 sen h es impar
31 Propiedades 1 sen h(0) = 0 2 cos h(0) = 1 3 sen h es impar 4 cos h es par
32 Identidades Hiperbólicas x R se verifica: 1 cos h 2 (x) sen h 2 (x) = 1
33 Identidades Hiperbólicas x R se verifica: 1 cos h 2 (x) sen h 2 (x) = tg h 2 (x) = sec h 2 (x)
34 Identidades Hiperbólicas x R se verifica: 1 cos h 2 (x) sen h 2 (x) = tg h 2 (x) = sec h 2 (x) 3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx
35 Identidades Hiperbólicas x R se verifica: 1 cos h 2 (x) sen h 2 (x) = tg h 2 (x) = sec h 2 (x) 3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx 4 cos h(2x) = cos h 2 x + sin h 2 x
36 Identidades Hiperbólicas x R se verifica: 1 cos h 2 (x) sen h 2 (x) = tg h 2 (x) = sec h 2 (x) 3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx 4 cos h(2x) = cos h 2 x + sin h 2 x
37 Identidades Hiperbólicas x R se verifica: 1 cos h 2 (x) sen h 2 (x) = tg h 2 (x) = sec h 2 (x) 3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx 4 cos h(2x) = cos h 2 x + sin h 2 x x, y R se verifica:
38 Identidades Hiperbólicas x R se verifica: 1 cos h 2 (x) sen h 2 (x) = tg h 2 (x) = sec h 2 (x) 3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx 4 cos h(2x) = cos h 2 x + sin h 2 x x, y R se verifica: 1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y)
39 Identidades Hiperbólicas x R se verifica: 1 cos h 2 (x) sen h 2 (x) = tg h 2 (x) = sec h 2 (x) 3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx 4 cos h(2x) = cos h 2 x + sin h 2 x x, y R se verifica: 1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y) 2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
40 Identidades Hiperbólicas x R se verifica: 1 cos h 2 (x) sen h 2 (x) = tg h 2 (x) = sec h 2 (x) 3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx 4 cos h(2x) = cos h 2 x + sin h 2 x x, y R se verifica: 1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y) 2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y)
41 Identidades Hiperbólicas x R se verifica: 1 cos h 2 (x) sen h 2 (x) = tg h 2 (x) = sec h 2 (x) 3 sen h(2x) = 2 sen hx cos hx 4 cos h(2x) = cos h 2 x + sin h 2 x x, y R se verifica: 1 cos h(x + y) = cos h(x) cos h(y) + sen h(x) sen h(y) 2 sen h(x + y) = sen h(x) cos h(y) + cos h(x) sen h(y) Demostrar!!!
42 Ejercicios Propuestos: Demostrar: tg h(2x) = 2 tg h(x) 1+tg h 2 (x)
43 Ejercicios Propuestos: Demostrar: tg h(2x) = sen h(2x) = 2 tg h(x) 1+tg h 2 (x) 2 tg h(x) 1 tg h 2 (x)
44 Ejercicios Propuestos: Demostrar: tg h(2x) = sen h(2x) = 2 tg h(x) 1+tg h 2 (x) 2 tg h(x) 1 tg h 2 (x) cos h(2x) = 1 tg h2 (x) 1+tg h 2 (x)
45 Ejercicios Propuestos: Demostrar: tg h(2x) = sen h(2x) = 2 tg h(x) 1+tg h 2 (x) 2 tg h(x) 1 tg h 2 (x) cos h(2x) = 1 tg h2 (x) 1+tg h 2 (x) sen h 2 (x) = cos h(x) 1 2
46 Ejercicios Propuestos: Demostrar: tg h(2x) = sen h(2x) = 2 tg h(x) 1+tg h 2 (x) 2 tg h(x) 1 tg h 2 (x) cos h(2x) = 1 tg h2 (x) 1+tg h 2 (x) sen h 2 (x) = cos h 2 (x) = cos h(x) 1 2 cos h(x)+1 2
47 Ecuaciones En general Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores que hacen que la igualdad sea verdadera. Así,
48 Ecuaciones En general Ejemplos Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores que hacen que la igualdad sea verdadera. Así, Resolver:
49 Ecuaciones En general Ejemplos Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores que hacen que la igualdad sea verdadera. Así, Resolver: cos h(2x) = cos h 2 (x) sen h 2 (x)
50 Ecuaciones En general Ejemplos Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores que hacen que la igualdad sea verdadera. Así, Resolver: cos h(2x) = cos h 2 (x) sen h 2 (x) tg h(2x) = 1
51 Ecuaciones En general Ejemplos Resolver una ecuación significa encontrar el o los valores que hacen que la igualdad sea verdadera. Así, Resolver: cos h(2x) = cos h 2 (x) sen h 2 (x) tg h(2x) = 1 cos h(x) = 2
52 Ejercicios Propuestos 1 Resolver los sistemas: a) sen h(x) + cos h(y) = 1 cos h(x) + sen h(y) = 1 b) sen h(x + y) = 2 tg h(x y) = 0
53 Ejercicios Propuestos 21 Resolver los sistemas: a) sen h(x) + cos h(y) = 1 cos h(x) + sen h(y) = 1 b) sen h(x + y) = 2 tg h(x y) = 0
54 Derivadas Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones racionales de las funciones diferenciables e x y e x luego son derivables en todo punto donde ellas estén definidas.
55 Derivadas 1 Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones racionales de las funciones diferenciables e x y e x luego son derivables en todo punto donde ellas estén definidas. d dx (sin h(x)) = cos h(x)
56 Derivadas 1 2 Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones racionales de las funciones diferenciables e x y e x luego son derivables en todo punto donde ellas estén definidas. d dx d dx (sin h(x)) = cos h(x) (cos h(x)) = sen h(x)
57 Derivadas Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones racionales de las funciones diferenciables e x y e x luego son derivables en todo punto donde ellas estén definidas. d dx d dx (sin h(x)) = cos h(x) (cos h(x)) = sen h(x) d dx (tg h(x)) = sec h2 x
58 Derivadas Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones racionales de las funciones diferenciables e x y e x luego son derivables en todo punto donde ellas estén definidas. d dx d dx d (sin h(x)) = cos h(x) (cos h(x)) = sen h(x) dx (tg h(x)) = sec h2 x d dx (cotg h(x)) = cosec h2 (x)
59 Derivadas Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones racionales de las funciones diferenciables e x y e x luego son derivables en todo punto donde ellas estén definidas. d dx d dx d (sin h(x)) = cos h(x) (cos h(x)) = sen h(x) dx (tg h(x)) = sec h2 x d dx (cotg h(x)) = cosec h2 (x) (sec h(x)) = sec h(x) tg h(x) d dx
60 Derivadas Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones racionales de las funciones diferenciables e x y e x luego son derivables en todo punto donde ellas estén definidas. d dx d dx d (sin h(x)) = cos h(x) (cos h(x)) = sen h(x) dx (tg h(x)) = sec h2 x d dx (cotg h(x)) = cosec h2 (x) d (sec h(x)) = sec h(x) tg h(x) dx d dx (cosec h(x)) = cosec h(x) cotg h(x)
61 Derivadas Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones racionales de las funciones diferenciables e x y e x luego son derivables en todo punto donde ellas estén definidas. d dx d dx d (sin h(x)) = cos h(x) (cos h(x)) = sen h(x) dx (tg h(x)) = sec h2 x d dx (cotg h(x)) = cosec h2 (x) d (sec h(x)) = sec h(x) tg h(x) dx d dx (cosec h(x)) = cosec h(x) cotg h(x)
62 Derivadas Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones racionales de las funciones diferenciables e x y e x luego son derivables en todo punto donde ellas estén definidas. d dx d dx d (sin h(x)) = cos h(x) (cos h(x)) = sen h(x) dx (tg h(x)) = sec h2 x d dx (cotg h(x)) = cosec h2 (x) d (sec h(x)) = sec h(x) tg h(x) dx d dx (cosec h(x)) = cosec h(x) cotg h(x) Demostrar!!!
63 Integrales En forma directa, obtenemos:
64 Integrales 1 En forma directa, obtenemos: sen h(x)dx = cos h(x) + C
65 Integrales 1 2 En forma directa, obtenemos: sen h(x)dx = cos h(x) + C cos h(x)dx = sen h(x) + C
66 Integrales En forma directa, obtenemos: sen h(x)dx = cos h(x) + C cos h(x)dx = sen h(x) + C sec h 2 (x)dx = tgh(x) + C
67 Integrales En forma directa, obtenemos: sen h(x)dx = cos h(x) + C cos h(x)dx = sen h(x) + C sec h 2 (x)dx = tgh(x) + C cosec h 2 (x)dx = cotg h(x) + C
68 Integrales En forma directa, obtenemos: sen h(x)dx = cos h(x) + C cos h(x)dx = sen h(x) + C sec h 2 (x)dx = tgh(x) + C cosec h 2 (x)dx = cotg h(x) + C sec h(x) tg h(x)dx = sec h(x) + C
69 Integrales En forma directa, obtenemos: sen h(x)dx = cos h(x) + C cos h(x)dx = sen h(x) + C sec h 2 (x)dx = tgh(x) + C cosec h 2 (x)dx = cotg h(x) + C sec h(x) tg h(x)dx = sec h(x) + C cosec h(x) cotg h(x)dx = cosec h(x) + C
70 Ejercicios Propuestos Calcular: d dt (tg h( 1 + t 2 )) cotg h(5x)dx 1 0 sen h2 (x)dx ln 2 0 e x sen h(x)dx d dx ( ex e x ) 3 e x +e x
71 Ejercicios Propuestos Calcular: Hallar dy dx en: a) y = 1 4 sen h(2x) 1 2 b) y = ln tg h(2x) Si x = senh(t) e y = sen h(pt), pruebe que: (1 + x 2 ) d 2 y dx 2 + x dy dx = p2 y Demostrar que: sen h(a+bi) = sen h(a) cos h(b)+i sen h(b) cos h(a). A partir de esto, calcular: sen h(1 + π 2 i)
72 Funciones Hiperbólicas Inversas Recordar:
73 Funciones Hiperbólicas Inversas Recordar: No todas las funciones hiperbólicas son biyectivas.
74 Funciones Hiperbólicas Inversas Recordar: No todas las funciones hiperbólicas son biyectivas. En algunos casos debemos restringir el dominio y codominio para poder definir la inversa.
75 Inversa de Seno Hiperbólico Como... sen h : R R es biyectiva.
76 Inversa de Seno Hiperbólico Como... sen h : R R es biyectiva.
77 Inversa de Seno Hiperbólico Como... Se define... sen h : R R es biyectiva. sen h 1 : R R como: arc sen h(x) = sen h 1 (x) = ln(x + x 2 + 1)
78 Inversa de Seno Hiperbólico Como... Se define... sen h : R R es biyectiva. sen h 1 : R R como: arc sen h(x) = sen h 1 (x) = ln(x + x 2 + 1)
79 Inversa de Seno Hiperbólico Como... Se define... sen h : R R es biyectiva. sen h 1 : R R como: arc sen h(x) = sen h 1 (x) = ln(x + x 2 + 1)
80 Inversa: Coseno Hiperbólico Como... cos h : [0, + [ [1, + [ es biyectiva
81 Inversa: Coseno Hiperbólico Como... cos h : [0, + [ [1, + [ es biyectiva
82 Inversa: Coseno Hiperbólico Como... Se define... cos h : [0, + [ [1, + [ es biyectiva cos h 1 : [1, + [ [0, + [ como: arc cos h(x) = cos h 1 (x) = ln(x + x 2 1)
83 Inversa: Coseno Hiperbólico Como... Se define... cos h : [0, + [ [1, + [ es biyectiva cos h 1 : [1, + [ [0, + [ como: arc cos h(x) = cos h 1 (x) = ln(x + x 2 1)
84 Inversa: Coseno Hiperbólico Como... Se define... cos h : [0, + [ [1, + [ es biyectiva cos h 1 : [1, + [ [0, + [ como: arc cos h(x) = cos h 1 (x) = ln(x + x 2 1)
85 Notar que: x 2 1 > 0, pues x > 1
86 Notar que: x 2 1 > 0, pues x > 1 Como x + x 2 1 > 1 entonces cosh 1 (x) > 0
87 Como... Inversa: Tangente Hiperbólica tg h : R ] 1, 1[ es biyectiva
88 Como... Inversa: Tangente Hiperbólica tg h : R ] 1, 1[ es biyectiva
89 Como... Se define... Inversa: Tangente Hiperbólica tg h : R ] 1, 1[ es biyectiva tg h 1 :] 1, 1[ R como: arc tg h(x) = tg h 1 (x) = 1 1+x 2ln( 1 x )
90 Como... Se define... Inversa: Tangente Hiperbólica tg h : R ] 1, 1[ es biyectiva tg h 1 :] 1, 1[ R como: arc tg h(x) = tg h 1 (x) = 1 1+x 2ln( 1 x )
91 Como... Se define... Inversa: Tangente Hiperbólica tg h : R ] 1, 1[ es biyectiva tg h 1 :] 1, 1[ R como: arc tg h(x) = tg h 1 (x) = 1 1+x 2ln( 1 x )
92 Notar que: tgh(x) ±1, x R
93 Notar que: tgh(x) ±1, x R Mas aún, 1 < tgh(x) < 1, x R
94 Notar que: tgh(x) ±1, x R Mas aún, 1 < tgh(x) < 1, x R Además, 1+x 1 x > 0 ssi x ] 1, 1[
95 Notar que: tgh(x) ±1, x R Mas aún, 1 < tgh(x) < 1, x R Además, 1+x 1 x > 0 ssi x ] 1, 1[
96 Notar que: tgh(x) ±1, x R Mas aún, 1 < tgh(x) < 1, x R Además, 1+x 1 x > 0 ssi x ] 1, 1[ Demostrar!
97 Como... Inversa: Cosecante Hiperbólica cosec h :]0, + [ ]0, + [ es biyectiva
98 Como... Inversa: Cosecante Hiperbólica cosec h :]0, + [ ]0, + [ es biyectiva
99 Como... Se define... Inversa: Cosecante Hiperbólica cosec h :]0, + [ ]0, + [ es biyectiva cosec h 1 :]0, + [ ]0, + [ como: arc cosec h(x) = cosec h 1 (x) = ln( 1+ x 2 +1 x )
100 Como... Se define... Inversa: Cosecante Hiperbólica cosec h :]0, + [ ]0, + [ es biyectiva cosec h 1 :]0, + [ ]0, + [ como: arc cosec h(x) = cosec h 1 (x) = ln( 1+ x 2 +1 x )
101 Como... Se define... Inversa: Cosecante Hiperbólica cosec h :]0, + [ ]0, + [ es biyectiva cosec h 1 :]0, + [ ]0, + [ como: arc cosec h(x) = cosec h 1 (x) = ln( 1+ x 2 +1 x )
102 Notar que: 1 + x 2 0 ssi x R
103 Notar que: 1 + x 2 0 ssi x R x 2 > 0, x R
104 Notar que: 1 + x 2 0 ssi x R x 2 > 0, x R Por tanto, 1+ 1+x 2 x solo si x > 0
105 Notar que: 1 + x 2 0 ssi x R x 2 > 0, x R Por tanto, 1+ 1+x 2 x solo si x > 0
106 Notar que: 1 + x 2 0 ssi x R x 2 > 0, x R Por tanto, 1+ 1+x 2 x solo si x > 0 Demostrar!
107 Inversa: Secante Hiperbólica Como... sec h : [0, + [ ]0, 1] es biyectiva
108 Inversa: Secante Hiperbólica Como... sec h : [0, + [ ]0, 1] es biyectiva
109 Inversa: Secante Hiperbólica Como... Se define... sec h : [0, + [ ]0, 1] es biyectiva sec h 1 :]0, 1] [0, + [ como: arc sec h(x) = sec h 1 (x) = ln( 1+ 1 x 2 x )
110 Inversa: Secante Hiperbólica Como... Se define... sec h : [0, + [ ]0, 1] es biyectiva sec h 1 :]0, 1] [0, + [ como: arc sec h(x) = sec h 1 (x) = ln( 1+ 1 x 2 x )
111 Inversa: Secante Hiperbólica Como... Se define... sec h : [0, + [ ]0, 1] es biyectiva sec h 1 :]0, 1] [0, + [ como: arc sec h(x) = sec h 1 (x) = ln( 1+ 1 x 2 x )
112 Notar que: 1 x 2 0 ssi x [ 1, 1]
113 Notar que: 1 x 2 0 ssi x [ 1, 1] x 2 > 0, x [ 1, 1]
114 Notar que: 1 x 2 0 ssi x [ 1, 1] x 2 > 0, x [ 1, 1] Por tanto, 1+ 1 x 2 x solo si x ]0, 1]
115 Notar que: 1 x 2 0 ssi x [ 1, 1] x 2 > 0, x [ 1, 1] Por tanto, 1+ 1 x 2 x solo si x ]0, 1]
116 Notar que: 1 x 2 0 ssi x [ 1, 1] x 2 > 0, x [ 1, 1] Por tanto, 1+ 1 x 2 x solo si x ]0, 1] Demostrar!
117 Inversa: Cotangente Hiperbólica Como... cotg h : R {0} ], 1[ ]1, + [ es biyectiva
118 Inversa: Cotangente Hiperbólica Como... cotg h : R {0} ], 1[ ]1, + [ es biyectiva
119 Inversa: Cotangente Hiperbólica Como... Se define... cotg h : R {0} ], 1[ ]1, + [ es biyectiva cotg h 1 :], 1[ ]1, + [ ]R {0} como: arc cotg h(x) = cotg h 1 (x) = 1 x+1 2 ln( x 1 )
120 Inversa: Cotangente Hiperbólica Como... Se define... cotg h : R {0} ], 1[ ]1, + [ es biyectiva cotg h 1 :], 1[ ]1, + [ ]R {0} como: arc cotg h(x) = cotg h 1 (x) = 1 x+1 2 ln( x 1 )
121 Inversa: Cotangente Hiperbólica Como... Se define... cotg h : R {0} ], 1[ ]1, + [ es biyectiva cotg h 1 :], 1[ ]1, + [ ]R {0} como: arc cotg h(x) = cotg h 1 (x) = 1 x+1 2 ln( x 1 )
122 Notar que: cotg h(x) ±1, x R
123 Notar que: cotg h(x) ±1, x R Además, x+1 x 1 > 0 ssi x ], 1[ ]1, + [
124 Notar que: cotg h(x) ±1, x R Además, x+1 x 1 > 0 ssi x ], 1[ ]1, + [
125 Notar que: cotg h(x) ±1, x R Además, x+1 x 1 > 0 ssi x ], 1[ ]1, + [ Demostrar!
126 Ejercicios Propuestos Obtener, sin utilizar calculadora,cotgh(2x), siendo senh(x) = 1 2 6
127 Ejercicios Propuestos Obtener, sin utilizar calculadora,cotgh(2x), siendo senh(x) = Determinar x R tal que senh 4 (x) 2 cos h 2 (x) 1 = 0
128 Ejercicios Propuestos Obtener, sin utilizar calculadora,cotgh(2x), siendo senh(x) = Determinar x R tal que senh 4 (x) 2 cos h 2 (x) 1 = 0 Resolver: 2 ln(sen h(x))+ln(cos h(x)) = 4 ln( e)
129 Ejercicios Propuestos Obtener, sin utilizar calculadora,cotgh(2x), siendo senh(x) = Determinar x R tal que senh 4 (x) 2 cos h 2 (x) 1 = 0 Resolver: 2 ln(sen h(x))+ln(cos h(x)) = 4 ln( e) Resolver los sistemas: a) arc sen h(x) = 2arc sen h(y) b) 3 ln(x) = 2 ln(y) cos h(x) + cos h(y) = a sen h(x) + sen h(y) = b
130 Ejercicios Propuestos Demostrar: a) y = a cos h( x a ) verifica y = 1 a 1 + y 2 b) Si y = A cos h(bx) + B sen h(x) se verifica y = b 2 y (A;B; b ctes)
131 Ejercicios Propuestos Demostrar: a) y = a cos h( x a ) verifica y = 1 a 1 + y 2 b) Si y = A cos h(bx) + B sen h(x) se verifica y = b 2 y (A;B; b ctes)
132 Ejercicios Propuestos Demostrar: a) y = a cos h( x a ) verifica y = 1 a 1 + y 2 b) Si y = A cos h(bx) + B sen h(x) se verifica y = b 2 y (A;B; b ctes)
133 Integrales En relación a las funciones hiperbólicas inversas tenemos:
134 Integrales 1 En relación a las funciones hiperbólicas inversas tenemos: dx = arc sen h( x a 2 +x 2 a ) + C, a > 0 Demostrar!!!
135 Integrales 1 2 En relación a las funciones hiperbólicas inversas tenemos: dx = arc sen h( x a 2 +x 2 a ) + C, a > 0 dx = arc sen h( x a 2 x 2 a ) + C, x > a > 0 Demostrar!!!
136 Integrales En relación a las funciones hiperbólicas inversas tenemos: dx = arc sen h( x a 2 +x 2 a ) + C, a > 0 dx = arc sen h( x a 2 x 2 a ) + C, x > a > 0 dx = 1 a 2 x 2 a arc tg h( x a ) + C, x 2 < a 2 Demostrar!!!
137 Integrales En relación a las funciones hiperbólicas inversas tenemos: dx = arc sen h( x a 2 +x 2 a ) + C, a > 0 dx = arc sen h( x a 2 x 2 a ) + C, x > a > 0 dx = 1 a 2 x 2 a arc tg h( x a ) + C, x 2 < a 2 dx = 1 a 2 x 2 a arc cotg h( x a ) + C, x 2 > a 2 Demostrar!!!
138 Integrales En relación a las funciones hiperbólicas inversas tenemos: dx = arc sen h( x a 2 +x 2 a ) + C, a > 0 dx = arc sen h( x a 2 x 2 a ) + C, x > a > 0 dx = 1 a 2 x 2 a arc tg h( x a ) + C, x 2 < a 2 dx = 1 a 2 x 2 a arc cotg h( x a ) + C, x 2 > a 2 dx a = 1 2 x 2 a arc sec h( x a ) + C, 0 < x < a x Demostrar!!!
139 Integrales En relación a las funciones hiperbólicas inversas tenemos: dx = arc sen h( x a 2 +x 2 a ) + C, a > 0 dx = arc sen h( x a 2 x 2 a ) + C, x > a > 0 dx = 1 a 2 x 2 a arc tg h( x a ) + C, x 2 < a 2 dx = 1 a 2 x 2 a arc cotg h( x a ) + C, x 2 > a 2 dx a = 1 2 x 2 a arc sec h( x a ) + C, 0 < x < a x x dx a = 1 2 +x 2 a arc cosec h( x a ) + C, x 0, a > 0 Demostrar!!!
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