PRÁCTICA 16: MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE SOLUCIÓN

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1 PRÁCTICA 6: MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE SOLUCIÓN EJERCICIO. VERDADERO. VERDADERO (Esta afrmacón no es certa en el caso del modelo general). 3. En el modelo lneal general Y = X b + e, explcar la forma que tenen los vectores Y y e y la matrz de observacones X en el caso de tener más de dos varables explcatvas (además del térmno ndependente). Asmsmo, explctar la forma del vector de los coefcentes b. Se plantea la forma de las matrces en el caso de 3 varables explcatvas (k = 3): y ε x x x3 β0 y ε x x x3 β Y = y3 ε = ε 3 X = x3 x3 x33 β = β β3 yn ε n xn xn xn3 4. VERDADERO. No es posble la representacón medante el dagrama de dspersón s hay más de una varable explcatva. 5. VERDADERO 6. Para evtar que la smple nclusón de varables explcatvas (que no contrbuyen a la explcacón de la varabldad de la varable dependente) haga aumentar el R, y con ello se tenga la falsa mpresón de un R alto, se defne el R corregdo (R C ) hacendo jugar los respectvos grados de lbertad de la suma de cuadrados de los resduos y de la suma de cuadrados total: n R C =.( R ) n k EJERCICIO Una empresa que vende productos de venta masva está estudando el comportamento de sus ventas en los últmos 8 años. Como en el mercado exste úncamente una empresa competdora, con nveles smlares de preco y caldad, se observa la relacón entre las ventas anuales (Y ), los gastos en publcdad de la propa empresa (X, ) y los gastos en propaganda de la competdora(x, ). Se observaron los sguentes datos (los datos que fguran en el Lbro de Práctcas son ncorrectos y deben ser cambados por los sguentes): Y X, X,

2 Se pde:. Plantear un modelo lneal para explcar las ventas anuales de la empresa, explctar los supuestos y estmarlo por MCO usando la notacón matrcal sabendo que (los datos de la matrz tambén fueron cambados): ( X X).30 = MODELO: Y = 0 + βx + β X β + ε SUPUESTOS. ( ε ) = 0 =,,..., n. Los resduos son varables aleatoras con esperanza nula. E. V( ε ) = σε =,,..., n (Homoscedastcdad). La varabldad de los resduos es constante, ndependentemente del valor de las varables explcatvas. En este caso, la varabldad de los resduos o lo que es lo msmo, la varabldad de las ventas no depende del nvel del gasto en propaganda propa y/o de la competenca. 3. COV( ε, ε j ) = 0 j (Incorrelacón). Los resduos correspondentes a dferentes undades de la muestra están ncorrelaconados. En este caso, los resduos correspondentes a los 8 años (datos de la muestra) son ncorrelaconados. 4. Las varables X están dadas, son no estocástcas. Se supone que la muestra ha sdo selecconada prefjando los valores de las varables explcatvas, es decr, que los valores de éstas no son aleatoros. 5. k n. Esto sgnfca que hay sufcentes datos para estmar los parámetros. 6. Los vectores de datos correspondentes a cada varable explcatva y el vector de unos correspondente al β 0 son vectores lnealmente ndependentes. O sea que la dmensón del subespaco generado por los k vectores es de dmensón k. Esto garantza, junto con el supuesto anteror, que la matrz (X t.x) es de rango k, y por tanto exste su nversa: los β se pueden estmar usando la fórmula (X t.x) -.X t.y. Y X X Y.X Y.X Y

3 630 Entonces: X t.y = vector proporcona los β : y el resultado de posmultplcar la matrz (X t.x) - por este BETAS 4,7 3,3863 -,4800 Entonces: Yˆ = 4,7 + 3,3863. X,4800. X. En base a los resultados hallados someter a prueba la hpótess de sgnfcacón del modelo en su conjunto a un nvel de sgnfcacón del 5%. La prueba de hpótess para la sgnfcacón de modelo se plantea así: H 0 ) β = β = 0 H ) β ó β 0 Nvel de sgnfcacón α = 0,05 SCReg/(k -) Estadístco de la prueba: F =, que tene dstrbucón F k-, n-k SCErr/( n - k) ( α ) 0,95 Regón Crítca = {F: F > λ} donde λ = F = = 5,79 k, n k F,5 Decsón: Como en la muestra resultó F = 635, (ver punto sguente) mayor que el valor de tablas, se Rechaza H 0, o lo que es lo msmo, se decde que el modelo es sgnfcatvo. 3. Realzar el análss de la varanza confecconando el cuadro correspondente. La suma de cuadrados totales se obtene hacendo: Y n.y = (630/8) = 6.887,5. En este caso, además, por ser sólo ocho datos, se puede calcular la suma de cuadrados resduales drectamente a partr de la dferenca entre los Y y los Y estmados: Y Y^ Y - Y^ Epslon 30 30,590-0,590 0, ,5,479 6, ,03-0,03 0, ,984-3,984 5, ,956,044 4, ,447-0,447 0, ,979 0,0 0, ,50 0,490 0, ,0

4 CUADRO DE ANÁLISIS DE VARIANZA Fuente de Grados de Suma de Cuadrados F varacón lbertad cuadrados medos Regresón k- = 6.860, ,5 635, Resduos n-k = 5 7,0 5,4 Total n- = ,5 EJERCICIO 3 3 CORRECCIONES DE LETRA a) En el cuadro resumen, la Probabldad para la varable X es 0,0 (NO 0,00). b) En el cuadro resumen, le Coefcente de la varable X es -,83879 (y no -7,..). c) En el Se pde 4 las varables ncludas son sgnfcatvas al 5% (y no al 95%).. De acuerdo con la letra, el estmador alternatvo (al que se obtene por el método de los mínmos cuadrados) para el vector β es nsesgado y tambén lneal. De acuerdo con el Teorema de Gauss-Markov, el que se obtene por mínmos cuadrados es el de mínma varanza, por tanto, el propuesto no puede ser mejor, sólo puede ser tan bueno como el de mínmos cuadrados s (A +3.C) = (X.X) -.X.. Para realzar la prueba para β necestamos el valor del estadístco ( Estadístco t ) de la prueba para la varable X, y este dato está faltando en el cuadro resumen. Sabemos que: P( T > t) = 0,0; de donde P(T < t) = 0,995. En tablas se encuentra que el valor de t que acumula 0,995 con 8 grados de lbertad es,88. Además: 3,06664 Estadístco t =,88 = ˆ =,34. β Ahora sí podemos realzar la prueba. H 0 ) β = H ) β Nvel de sgnfcacón = α = 0,05 Estadístco de la prueba: T = que tene dstrbucón t8 β ˆ (0,975) Regón Crítca = {T: T > λ} donde λ = t 8 =, 0 3,06664 Decsón: En la muestra resultó = =, 08, valor que es menor que el ˆ,34 σ β ˆ límte de la RC, la decsón es NO Rechazar H 0, o lo que es lo msmo, se decde que el valor β = no se debe rechazar para un nvel de sgnfcacón del 5%. 3. FALSO. Para realzar la prueba se necesta que se cumplan los supuestos cláscos y adconalmente se requere el supuesto de normaldad de los resduos. S no se cumplen los supuestos cláscos, entonces no valen las estmacones obtendas para los β. 4. Son sgnfcatvas las varables X y X3. En consecuenca, el modelo es sgnfcatvo. 5. Completar la salda

5 Resumen Estadístcas de la regresón Coefcente de correlacón múltple Coefcente de determnacón R^ 0,9 R^ ajustado -0,095 Error típco 05,6994 Observacones 0 ANÁLISIS DE VARIANZA Grados de lbertad Suma de Cuadrados Promedo de Cuadrados Regresón , , 63,47 Resduos ,7.7,36 Total ,09 F Valor crítco de F Coefcentes Error típco Estadístco t Probabldad Intercepcón 85, ,5797 6, ,000 Varable X -3,06664,34,88 0,0 Varable X -, , , ,69 Varable X3 0,3385 0, La forma de cálculo es dferente, ambos ndcadores se relaconan así: n R C =.( R ), lo que sgnfca que el R C corrge la fórmula del R n k ajustándola para que la mera nclusón de varables (que no contrbuyen a explcar la varabldad de la Y) haga aumentar el valor de R, producendo la falsa mpresón de un buen ajuste. EJERCICIO 4 Una empresa de ómnbus utlza el sguente modelo lneal para explcar los costos de reparacón y mantenmento de sus undades: COSTOS = β0 + βkmviaj + β EDAD + ε COSTOS KMVIAJ EDAD = = total de costos anuales de reparacón y mantenmento del -ésmo vehículo. = mles de klómetros vajados por el -ésmo vehículo. antgüedad en años del -ésmo vehículo.

6 SE PIDE:. Completar la salda calculando los datos faltantes. Grados de lbertad Para el Total = n - = 4 n = 5. Para la Regresón = k =, pues de acuerdo con el modelo explcatvo es k = 3. Para los Resduos = n k = 5 3 =. Suma de cuadrados Según la salda excel es SCRes = 3.785,3 y por defncón del coefcente de determnacón resulta: SC Re g SC Re s 3.785,3 R = = = 0,837 = 0,87763 SCT SCT SCT SCT = 3.785,3/0,87763 = 74.60,07 SCReg = 74.60, ,3 = 4.84,76 Cuadrados Medos (Promedo de Cuadrados) SCReg/k- =4.84,76/ = 70.9,38 SCRes/n-k = 3.785,3/ =.73, Se puede verfcar que el cocente de ambos concde con F = 5,955. SCT 74.60,07 Error típco para el total: = = 0, 63 n k 7,3096 Error típco para β : = t = 3, ˆ = 9, 04 β Estadístco t Para β 0 = 08,95/73,7075 =,49 Para β = 6,67879/3, = 7,0. Cómo nterpreta el valor de los β obtendos? - ˆβ 0 es el costo de reparacón y mantenmento esperado estmado, que es ndependente de los klómetros recorrdos por la undad e ndependente de la antgüedad del vehículo. - ˆβ es el ncremento esperado estmado en el costo de reparacón y mantenmento de una undad por cada.000 klómetros de recorrdo. - ˆβ es el ncremento esperado estmado en el costo de reparacón y mantenmento de una undad por cada año de antgüedad del vehículo. 3. Construr ntervalos de confanza al 95% para β y β. Fórmula para el ntervalo de confanza para β : ± ( α ). tn k Intervalo para β : 6,68 ± t.3,704 = 6,68 ±,8x3,704 = 6,68 ± 8,07 = [8,6-34,75] Intervalo para β : 7,3 ± t.9,04 = 7,3 ±,8x9,04 = 7,3 ± 4,5 = [9,6-,64]

7 4. Analzar la valdez del modelo. H 0 ) β = β = 0 H ) β ó β 0 Nvel de sgnfcacón = α SCReg/(k -) Estadístco de la prueba: F = SCErr/( n - k) Regón Crítca = {F: F > λ} donde λ = F, que tene dstrbucón F k-, n-k ( ) ( α ) α k, n k = F, FALTA Decsón: Como en la muestra resultó F = 5,955, valor que es mayor que cualquera de los dos valores de tablas (para nveles de sgnfcacón del 5% y del %: 3,89 y 6,93), se Rechaza H 0, o lo que es lo msmo, se decde que el modelo es sgnfcatvo. 5. El gerente de la empresa afrma que los klómetros vajados no nfluyen sgnfcatvamente en los costos. Qué comentaro le merece esta afrmacón? Sería pertnente exclur alguna de las varables ncludas? La afrmacón del gerente es equvocada. Las dos varables explcatvas son sgnfcatvas en el modelo. Alcanza con observar los respectvos ntervalos de confanza y verfcar que no contenen el cero. Ambas varables contrbuyen a explcar el costo de reparacón y mantenmento de las undades de transporte. 6. No. No sería pertnente exclur varables explcatvas en el modelo. EJERCICIO 5. Fórmula para el ntervalo de confanza para β : ( 0,975) ± t. = 47 β ˆ = 98,04 ±,96 x 67, = [66,3; 49,77]. H 0 ) β 3 = β = 0 H ) β 3 ó β 0 Nvel de sgnfcacón = 0,05 SCReg/(k -) Estadístco de la prueba: F =, que tene dstrbucón F k-, n-k SCErr/( n - k) Regón Crítca = {F: F > λ} donde λ = F ( 0,95) = F ( α ) k, n k 3,470 = Decsón: Como en la muestra resultó F 0 = 63,43 >,60, se Rechaza H 0, o lo que es lo msmo, se decde que el modelo es sgnfcatvo. 3. H 0 ) β = 0 H ) β < 0 Nvel = α Estadístco de la prueba: E = t47 ˆ σ β ˆ Regón Crítca = {E: E < λ} donde λ = t α 47 que por el número de grados de lbertad se puede aproxmar por una normal estándar. S se fja α = 0,05, entonces λ = -,645. Como E 0 = -58,95 < -,645, se decde rechazar H 0. Se concluye que, para ese nvel de sgnfcacón (o cualquer otro: 0,05; 0,0; 0,00), la edad nfluye negatvamente en el salaro.,60

8 4. Tene que ver con la nterpretacón de β ˆ = 58, 95, que representa la reduccón estmada promedo en el salaro con el ncremento de un año en la edad del funconaro. La nterpretacón de la salda es correcta. EJERCICIO 6. Hay colnealdad entre las varables OCUPADO y DESOCUPADO (s se asume que el Jefe de Hogar sólo puede revestr en una de estas dos categorías) pues se cumple que: OCUPADO = DESOCUPADO.. (OCUPADO) es el ncremento estmado esperado en el hogar cuando el Jefe pasa de desocupado a ocupado. EJERCICIO 7. MODELO a) El R se obtene como cuadrado del coefcente de correlacón múltple: 0,955 = 0,9073. b) Observacones: n k = n = 38, entonces n = 40. c) Intercepcón: Coefcente / Error típco = Estadístco t. Entonces 7,568 / Error típco = 4,556. Entonces: Error típco = 0,509. d) Intervalo para β 0 : ( 0,975) t β ˆ 0 ± = 7,568 ±,0 x 0,509 = (6,3; 8,8). MODELO ) R ajustado, se aplca la fórmula que lo relacona con el R y resulta 0,909. ) Suma de cuadrados de la regresón, se obtene a partr de la fórmula del estadístco F = (SCReg/k-) / (SCResduos/n-k) = 8,3. Entonces SCReg = 3.85,6. ) Suma de cuadrados Total = 3.85, ,9 = 4.43,5. v) Cuadrados medos: SCReg/k- = 3.85,6 / =.96,3 SCResduos/n-k = 390,9 / 37 = 0,56.. Prueba del MODELO H 0 ) β = β = 0 H ) β ó β 0 Nvel de sgnfcacón = α Estadístco de la prueba: F = Regón Crítca = {F: F > λ} donde λ = SCReg/(k -), que tene dstrbucón F k-, n-k SCErr/( n - k) F ( ) ( α ) α k, n k = F,37 FALTA Decsón: Como en la muestra resultó F = 8,3, valor que es mayor que cualquera de los dos valores de tablas (para nveles de sgnfcacón del 5% y del %: 3,3 y 5,8), se Rechaza H 0, o lo que es lo msmo, se decde que el modelo es sgnfcatvo. Interpretacón de las hpótess: s H 0 es certa, entonces la varabldad de X y X no es sgnfcatva para la explcacón de la varabldad de la Y; s H es certa, entonces por lo menos una de las varables X y X explca la varabldad de la Y, lo que sgnfca que el modelo es sgnfcatvo.

9 3. = 3,43 es el aumento esperado estmado en la varable Y ante un aumento de una undad en la varable X. 4. La varable X en el MODELO no es sgnfcatva al 5% porque un ntervalo de confanza al 95% para el coefcente β es (-0,5; 0,4) que ncluye el cero. Esto sgnfca que en una prueba de hpótess de la forma H 0 ) β = 0 contra H ) β 0, la hpótess nula no sería rechazada para un nvel de sgnfcacón del 5%. 5. Se cumple que = X. β ˆ = X. ( X '. X ) [. X '. Y ] = [ X. ( X '. X ). X ']. Y = P Y ˆ Y.. Entonces, la matrz de proyeccón P es gual a X.( X '. X ). X '. Como X n.k y en este problema en el MODELO es k = 3 y n = 40, la matrz P tene dmensones 40 x 40 pues (X.X) es 3x3 y las msmas dmensones para su nversa; entonces X (X.X) X 3.40 = P EJERCICIO 8. Modelo estmado: Y ˆ =.80 +,5. X X 0,8. X X X 5. El n resulta de la fórmula que relacona el coefcente de determnacón con el coefcente de determnacón corregdo. En dcha fórmula debe tenerse en cuenta que es k = 6. Resulta entonces n = Como R = SCReg / VT, entonces SCReg = R x VT = 0,75 x = Desarrollo de la prueba de hpótess H 0 ) β = β = β 3 = β 4 = β 5 = 0 H ) Alguno de los β 0 con =,, 3, 4, 5. Nvel de sgnfcacón = 5% SCReg/(k -) Estadístco de la prueba: F =, que tene dstrbucón F k-, n-k = F 5, 44 SCErr/( n - k) Regón Crítca = {F: F > λ} donde λ = F ( ) ( α ) α k, n k = F5,40 =,45. Decsón: F 0 = ( /5) / ( /44) = 6,4 >,45. F 0 pertenece a la regón crítca, por tanto, la decsón es rechazar la hpótess nula: el modelo es sgnfcatvo. 4. En las pruebas de la forma H 0 ) β = 0 contra H ) β 0 se utlza el estadístco t n- y s el p-valor es menor que α, entonces corresponde rechazar H 0 y asumr que la varable X es sgnfcatva. Tal es el caso, en este problema, de las varables X, X 3 y X ˆβ = U$S Reducr el tamaño de las págnas de los catálogos. Esta reduccón tendría como efecto esperado estmado un ncremento en las ventas, dado que el coefcente correspondente es negatvo. Obsérvese que la varable X 3 es sgnfcatva. 7.. El nuevo R 0,75 pues al agregar varables el R es crecente (en sentdo amplo). En consecuenca, al consderar menos varables explcatvas (en el modelo nuevo), el R ha de ser menor (en sentdo amplo). 7.. No puede afrmarse nada sobre el nuevo R corregdo porque al agregar varables se produce un doble efecto: a) R crece, y en consecuenca ( - R ) decrece, y b) k aumenta y entonces (n-)/(n-k) tambén aumenta. Entonces, no se puede saber qué es lo que ocurre con C R = [(n-)/(n-k)]. ( - R ). Por el msmo motvo, al qutar varables, se desconoce el efecto que tendrá sobre R C Sabemos que y = α ˆ 0 + αˆ. x y =.60 + αˆ Por otro lado, tambén es: y = + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ + ˆ 0 β. x β. x β3. x3 β 4. x4 β5. x5 =.80 +,5 x ,8x x6 + 0x40 = = =.60 + αˆ α ˆ =,9.

10 7.4. El nuevo modelo es lneal smple. Entonces se cumple que F = t = 9,798 = 96. SCReg/(k -) SC Re g.(50 ) Como F = = 96 = SC Re g = SCErr/( n - k) ( ).( VT SC Re g) 7.5. E(Y/X =.000) =.60 +,9 x.000 = Un ntervalo para dcho ( ) ( x x) 0,975 parámetro al 95% es: ± t ε 50 SC Re s donde = = = = ( ε 7.777,78 y SC Re g αˆ. x x) n k =,9. ( x x) ( x x) = = ,6 Intervalo: ±,0 x 4,79 = ± 854 = (33.06; 34.94).